无理数与实数
无理数与实数
6.3 《无理数与实数》导学案教学目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类2.知道实数与数轴上点的一一对应关系教学重点： 实数的概念及实数的分类 教学难点： 理解的无理数意义 教学过程：【知识回顾，创设情境】1、 把下列各数按要求填在横线上：1.91， 0，-52，+75，18，-7.5，，3.101001000100001 (4)43-整数 ；分数 ；正数 。
2、 有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请在小组内交流。
3、4、95,9011,119,847,53,3-发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？验证：下列有限小数能化为分数吗 5、2.3、0.25、1.334, …… 验证：无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② ②－①,得:９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3仿此法：能把0.21，0.125化成分数吗？试试看。
【合作交流，探究新知】【活动1】无理数的概念问题： 我们在求一个数的平方根或立方根时发 现有些数的平方根或立方根是无限不循环数。
如2=1.41421356 … ,又如 π＝3.14159265…,还有1.101001000100001 …(每两个1之间依次多一个0）。
这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，那么它们是什么数呢？1、 无2、 常你们的结论是 【活动2】无理数与数轴的关系我们知道有理数能用数轴上的点来表示；那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？探究1：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长画正方形，则对角线的长度就是2，以原点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点 就是 。
探究2：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，那么点O ′所表示的数是 ；若向原归纳：(1)无理数都是无限小数. (2)带根号的数是无理数.(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数 应用：在这些数5， 3.14， 0， 3 ，34- ， 0.57 ，4- ，- π，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．有理数有 ；无理数有 ； 整数有 ：分数有【活动3】实数的概念及分类定义： 统称为实数分类：按照定义分类如下： 按照正负分类如下：实数【活动4】实数与数轴上点的对应关系1、每一个有理数都可以用 的一个点来表示，每一个无理数都可以用 的一个点来表示23【应用举例，巩固拓展】例1、把下列实数按要填在相应的集合中① 理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④整数集合： ｛ …｝．②有一定的规律，但不循环的无限小数；③圆周率及一些含有的数。
初一-实数复习(1)(教师版)
… … 有理数集合 无理数集合 OACB 题型2：实数的分类【例2-4】实数可分为正实数，零和__负实数__.正实数又可分为_正有理数_和_正无理数__，负实数又可分为_负有理数_和_负无理数__. 【例2-5】下列说法正确的是( D )A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【例2-6】 把下列各数分别填在相应的集合里：,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3π，⋅⋅⋅313113111.0。
举一反三 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6，π，-23，-|-3|，227，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1… 整数：{ -6，-|-3|，0 ,…}， 负分数：{ -23，-0.4 ,…}， 无理数：{ π，6，1.101 001 000 1… ,…}.知识点三：实数与数轴实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。
【例3-1】把无理数5在数轴上表示出来。
分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。
解：如图所示，,1,2==AB OA 由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。
【例3-2】下列结论正确的是( D ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点【例3-3】比较下列各组实数的大小：（1）4，15 （2）π，1416.3 （3）23,23-- （4）33,22举一反三 若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____7_____.举一反三 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是____π______.三、课堂练习一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．是近似值，无法在数轴上表示准确22．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数 3．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±14．估计的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间5．－27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或66．实数和的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个正方体水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在（ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点二、填空题9．__无限不循环小数____叫无理数，__有理数和无理数___统称实数． 10．___实数___与数轴上的点一一对应． 11．把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ －1、－3.14、 、 ｝；（2）无理数集合｛、π、、 ｝； 768176.2、227226.2<<226.27<<2276.2<<76.222<<153926-22-7.0&97.0&326-22-②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
第二讲 无理数与实数
第二讲 无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1．有理数：整数和分数统称有理数。
有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:π）。
无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。
3．有理数和无理数统称为实数. 4．实数的分类 ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()( 例1：将下列各数填在相应括号内：35，3.14，⋅⋅12.0，38-，32-，3333+-，π有理数集合{ }； 整数集合 { }； 正数集合 { }； 分数集合 { }； 实数集合 { }。
变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？.343555,3.1416,,27,0.64,0.4,,0.38,16,0.12112111211112,.47π----正数集合：{ } 负数集合：{ } 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零 （ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ） （5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数（ ）变式：在数0.222；－∙∙24.1；2.525252…；π-3；－43；1.1351335…；3.1416；32；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（ ）. A ．1个 B.2个C.3个D.4个二、与实数有关的概念5．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的关系. 6．实数的几个概念. （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.例3：32-的相反数是________________；绝对值是_________________。
中考数学复习-无理数与实数(含解析)
中考数学-无理数与实数（含解析）一、单选题1.(-2)2的算术平方根是（）A. 2B. ±2C. -2D.2.下列各数中，最小的是（）A. -B. 0C. -1D. -3.下列各数中，与最接近的无理数是（）A. B. C. - D. 1.9292924.数轴上A、B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是A. B. C. D.5.下列说法不正确的是（）A. 1的平方根是±1B. 1的立方根是1C. 2是的平方根D. -是﹣3的立方根6.﹣2，0，0.5，﹣这四个数中，属于无理数的是（）A. ﹣2B. 0C. 0.5D.7.下列说法不正确的是（）A. 有限小数和无限循环小数都能化成分数B. 有理数都可以化为分数C. 整数可以看成是分母为1的分数D. 无理数是无限循环的数8.在3.14，﹣，π，，﹣0.23，，1.131331333133331…（每两个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.下列说法中①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的．正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 410.在tan45°,sin60°,3.14，π ,0.101001中，无理数的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 511.4的算术平方根是（）A. 2B. ﹣2C. ±2D.12.的值是( )A. 4B. 2C. ±2D.13.下列说法中错误的是( )A. 负数有一个平方根B. 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C. 负数有立方根，并且是负数D. -1的立方根是-114.下列四个实数中是无理数的是( )A. 2.5B.C. πD. 1.414二、填空题15.已知=0，则x=________，y=________．16.计算：25的平方根是________．17.2的平方根是________．18.64的平方根是________．19.实数a、b在数轴上的位置如图所示，写出不等式组的解集为________ ．三、计算题20.计算：|1﹣3|+（π﹣3）0﹣﹣（﹣）﹣221.﹣12﹣（﹣2）3× ．22.计算：|﹣3|+（）﹣1﹣÷5．答案解析部分一、单选题1.(-2)2的算术平方根是（）A. 2B. ±2C. -2D.【答案】A【考点】算术平方根【解析】【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a是算术平方根，利用此定义进行分析即可判定．【解答】∵（-2)2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A．【点评】此题主要考查学生对算术平方根的概念的理解及运用，注意算术平方根与平方根的区别，弄清概念是解决本题的关键．2.下列各数中，最小的是（）A. -B. 0C. -1D. -【答案】D【考点】实数大小比较【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜﹣＜﹣1＜0，故各数中，最小的是﹣．故选：D．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．3.下列各数中，与最接近的无理数是（）A. B. C. - D. 1.929292 【答案】C【考点】实数大小比较，估算无理数的大小【解析】【分析】运用有理数与无理数的定义，可以得出A错误，B，C，D可以直接求出它们的值，进行比较，得出符合要求的答案．【解答】A.∵是有理数，∴不是无理数，故A错误；B.∵≈1.57，∴与≈1.414相差较多，故B错误；C.-≈3.162-1.732=1.43；比较接近，故C正确；D.1.929292．与≈1.414相差较多，故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查了几个无理数值的大小问题，得出它们的值在进行比较，是解决问题的关键4.数轴上A、B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是A. B. C. D.【答案】D【考点】实数与数轴【解析】【分析】∵A，B两点表示的数分别是1和，∴AB=-1，∵点A关于点B的对称点是点C，∴AB=BC，设C点表示的数为x，则，解得x=2-1．故选D．5.下列说法不正确的是（）A. 1的平方根是±1B. 1的立方根是1C. 2是的平方根D. -是﹣3的立方根【答案】C【考点】立方根【解析】【解答】解：A、1的平方根是±1，正确，不合题意；B、1的立方根是1，正确，不合题意；C、2是4的算术平方根，故此选项错误，符合题意；D、﹣是﹣3的立方根，正确，不合题意．故选：C．【分析】分别结合平方根以及立方根的定义分析得出答案．6.﹣2，0，0.5，﹣这四个数中，属于无理数的是（）A. ﹣2B. 0C. 0.5D.【答案】D【考点】无理数【解析】【解答】解：﹣2和0是整数，是有理数；0.5是有限小数，是有理数；﹣是无理数．故选D．【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．7.下列说法不正确的是（）A. 有限小数和无限循环小数都能化成分数B. 有理数都可以化为分数C. 整数可以看成是分母为1的分数D. 无理数是无限循环的数【答案】D【考点】正数和负数，实数，无理数【解析】【分析】A、有限小数和无限循环小数都能化成分数，正确；B、整数可以看成是分母为1的分数，正确；C、有理数都可以化为分数，正确；D、无理数是无限不循环小数，故本选项错误，故选D。
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。
这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。
二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。
三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。
2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。
3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。
2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。
2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.无理数和实数的教学素材。
3.小组合作学习的指导手册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。
问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。
实数不是有理数就是无理数
学以致用 １、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对
值是 0 ，负实数的绝对值是 它的相反数.
２、 3 的相反数是 3 ，绝对值 是 3．
３、绝对值等于 5 的数是 5 ， 7 的平
方是7 ．
4是、一 个2p 数的.绝对值是
p 2
，则这个数
学以致用
Байду номын сангаас
(1)分别写出- 6 , 3.14的相反数;
2 -1.5
5 π3
A
B C DE
-2
0
4
数轴上任意两点，左边的点表示的实数总比右边的小； 反之，右边的点表示的实数总比左边的大。
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
A 7 B 7 C -3.2 D 10
P -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2.如下图，数轴上表示 3 的点是__B____
(2)指出 5,1 3各是什么数的相反数
(3)求 3 64的绝对值
(4)已知一个数的绝对值是 3 求这个数.
（5） 3.14 的绝对值是
。
例2 计算下列各式的值
(1)( 3 2) 2;
(2)3 3 2 3
练习
计算：
1 (1)、（ 3 4） 3 (2)、2 2 3(1 3 2) (3)、(-2)2 (3)2 ( 3 2)3 4
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
6.所有的实数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示实数。（ ）
数学七年级下册6.3.1 实数 无理数概念 教案-【经典教育教学资料】
6.3.1 实数 无理数概念【教学目标】 知识与技能：① 了解无理数和实数的概念； ② 会对实数按照一定的标准进行分类；③ 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：在按不同标准给实数分类的过程中，培养学生的分类的能力；知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，进一步掌握“数形结合”的思想方法。
情感态度与价值观：① 通过了解数系扩充体会数系扩充的意义与作用；② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：① 了解无理数和实数的概念；② 知道实数与数轴上的点是一一对应的关系； ③ 对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
【教学过程】 复习引入：问题：请给下列各数分类,并说明分类标准：（设计意图：自然引入有理数，让学生回忆有理数的分类，为引入实数的分类做好铺垫，从而建立新旧知识的联系。
）探究新知：问题1：有理数包括整数和分数，如果将下列分数119,911,427,53,25-写成小数的形式，你有什么发现？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：18.01192.191175.64276.0535.225. ===-=-=，，，，归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
（设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。
）问题2：你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型？通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数或者无限循环小数，是一类不同于有理数的数。
于是，把无限不循环小数叫做无理数。
比如。
， 7099759.15442249.13,7320508.13,414213.1233==-=-=等都是无理数。
14159265.3=π…也是无理数。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数,整数,自然数,有理数的概念
实数,整数,自然数,有理数的概念
实数是指包括有理数和无理数在内的所有数字的集合。
有理数指可以表示成两个整数的比值的数字，而无理数则是不能表示成有限小数或分数的数字。
例如，π和根号2就是无理数。
整数是指不带小数点的数字，包括正整数、负整数和0。
自然数是指从1开始的整数，即1、2、3、4......。
有理数包括所有整数、分数和小数。
在数学中，实数、整数、自然数、有理数都有重要的应用，例如在代数、几何、微积分等学科中都有广泛的应用。
对于数学学习者来说，理解和掌握这些概念是非常重要的基础知识。
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数学科普(三)无理数的本质与实数连续性
(三)无理数的本质与实数连续性人们发现了无理数,但是又不承认它是数,这便是第一次数学危机。
那么无理数到底是不是数？究竟是什么原因才让这个世界产生了无理数这样的怪物？无理数如何和有理数进行统一？这些问题的背后都跟无理数的本质有关，都跟人们对数的认识有关。
虽然人们把有理数和无理数统称为实数，但直到19世纪中叶，人们才真正的认识到这种统一的本质。
从而也认识到了无理数的本质是什么。
要说清无理数的本质是什么，首先要说一说连续性这个概念。
一、直线的连续性想象一下你跟一位好朋友几天没有见面了，但是当你们在大街上碰面时，你是不是还会第一眼就能够认出他？实际上在这几天里，你的这位朋友肯定发生了变化。
因为细胞无时无刻不在生长变化。
然而这种变化对你来说，却是微观的，甚至意味着没有什么变化。
换句话说，这几天里的微小的变化并没有改变你的朋友在你心底的状态，所以你能一眼认出他。
但是如果隔了十年，二十年，你再碰见这位朋友，恐怕你就没那么敢认了。
因为这么长的时间之后，你的朋友的状态早就不是当初你记忆中的那个状态了，相当于两个状态一下子间断了很多年。
我们显然能够认识到，时间越短，变化越微小。
如果时间能够无限细分的话，那么这种变化就会以无限微小的状态改变。
那么在我们看来，这种变化就是无缝衔接的。
我们把这种无缝衔接叫做连续。
这种变化叫做连续性的变化。
实际上这个世界上有很多事物给我们的感觉都是连续的变化。
例如时间的变化是连续的，空间上的运动是连续的。
人绝对不可能从这一刻突然就穿越到下一刻的下一刻，也不可能从开头直接跳到结尾。
那么在直线上，一个点从一个位置移动到另一个位置，这期间所经历的路程也应该是连续的。
既然是连续的，那这个连续的里面都包含什么呢？直观来看连续就是没有缝隙。
在一条直线上的两个点之间必定是连续的，没有缝隙的。
那这两个点之间充满了什么？如果把直线当做一条数轴，则这两个点之间充满了什么样的数字？有理数可以填满这两个点之间的路程吗？如果不能，那就说明两个问题。
实数包括有理数和无理数
什么是实数?
疑惑：什么是实数?
解析：实数这个概念是相对虚数而言的，如果一个数的平方是负数我们就说这个数是虚数。
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，当时的观念认为这是不存在的数，所以称为虚数。
实数包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，除了无理数就是有理数。
实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
可以把实数理解为“实实在在存在的数”，而虚数是不存在的数。
结论：实数是相对虚数而言，实数包括有理数和无理数。
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2无理数与实数
第二讲 无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏． 对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】 把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}． 点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】 解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】 对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495； 乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？ 分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1． 小数，叫做无理数。
数学无理数与实数
数学无理数与实数数学是一门严谨而深奥的学科，其中包含了许多有趣的概念和理论。
无理数与实数是数学中一对重要的概念，在数学的发展中起到了重要的作用。
本文将着重介绍无理数与实数的定义、性质和应用。
一、无理数与实数的定义1. 无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。
无理数可以用无限不循环小数表示，例如π（pi）、e（自然对数的底数）等。
2. 实数的定义实数包括有理数和无理数，是一切数的集合。
实数可以用有限小数、无限循环小数和无限不循环小数来表示，例如整数、分数和无理数等。
二、无理数与实数的性质1. 无理数的性质（1）无理数的十进制表示是无限不循环小数。
（2）无理数与有理数相加、相乘、相减仍是无理数。
（3）无理数存在无穷多个，且无理数的集合与有理数的集合的交集为空。
2. 实数的性质（1）实数具有稠密性，即对于任意两个实数a和b，存在一个实数c使得a<c<b。
（2）实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
（3）实数域是一个有序域，可以进行大小比较。
三、无理数与实数的应用1. 几何学中的应用无理数在几何学中起到了重要的作用，例如π（pi）常用来表示圆周率，e（自然对数的底数）在指数增长和减少的模型中得到了广泛应用。
2. 物理学中的应用无理数与实数在物理学中也有重要应用，例如黄金分割比例、分形理论等。
3. 金融学中的应用实数的无穷性和稠密性在金融学中具有重要意义，例如套利交易、期权定价等。
四、总结无理数与实数是数学领域中重要的概念和理论，对于数学的发展和各个学科的应用都起到了关键作用。
通过研究无理数与实数，我们能够更好地理解数学的本质和规律，并将其应用于实际问题的解决中。
无论是几何学、物理学还是金融学，无理数与实数都扮演着不可忽视的角色。
因此，深入研究和探索无理数与实数的性质和应用，对于我们的数学学习和应用有着重要的意义。
这篇文章介绍了数学中的无理数与实数的定义、性质和应用。
无理数与实数练习题
12．4无理数与实数知识回顾:：1.什么叫有理数？_____________________________________________________________2.比较下列各组数的大小.（1）8和7；（2）-3和-4；（3）-1000和-0.01；（4）4332和；（5）5232和- 3.把下列个数填在相应的大括号里：-0.1，-9，125，0，317-，16.71，+1，-0.072，-284，1290，1.正整数﹛ ﹜；负分数﹛ ﹜ 整数 ﹛ ﹜；负数 ﹛ ﹜ 目标解读:：1．知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应.2．学会比较两个实数的大小.3．了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算.4．通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，建立“数形结合”的数学思想. 基础训练:一、填空题1.把下列各数填入相应集合（填序号）：①25.0②π-③16-④39-⑤0⑥1010010001.0⑦3⑧213- . 有理数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝ 正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝2.把下列各数填入相应集合（填序号）：①3.14②2π-③179-④3100⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 .有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝3.36的算术平方根是 ，1.44的平方根是 ，11的平方根是 ， 的平方根是23±，2)3.4(-的算术平方根是 ， 410是 的平方.4. 21-的相反数是 、倒数是 、绝对值是 .5. 满足32<<-x 的整数x 是 .6. 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于-27, 则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .7. 若误差小于10, 则估算200的大小为 .8． 比较大小: ; --2.(填“>”或“<”)9. 化简: 8125= , 810--= , 51= . 10．9的算术平方根是 ___、3的平方根是 ___, 0的平方根是 ___,-2的平方根是 . 11．–1的立方根是 ,271的立方根是 , 9的立方根是 . 12 .2的相反数是 , 倒数是 , -36的绝对值是 .13. 比较大小:-6; 310 填“>”或“<”) 14. =-2)4( . =-33)6( , 2)196(= . 15．一个数的平方根与立方根相等，这个数是 ;立方根等于本身的数是_________.平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________.大于0小于π的整数是_________；3-满足＜x ＜8的整数x 是__________.16.._______a ,2)2(2的取值范围是则若a a -=-二、计算：17. 求下列各式中的x ：（1）x 2=196； （2）(x +1)2=9； （3） x 2－169=0；（4）(4x )2=16; （5）8x 3+1=0 ; （6）64（2x －1）3=27.能力拓展:18．b b ab),022a)-12求（已知（=-+的值.19.．已知2a-1的平方根是±3， 3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b 的平方根20.小东在学习了b a b a=后, 认为ba b a =也成立,因此他认为一个化简过程:545520520-⨯-=--=--545-⋅-==24=是正确的. 你认为他的化简对吗?如果不对请写出正确解题过程.。
无理数与实数(基础)知识讲解
无理数与实数（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π--- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73-- 无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【高清课堂： 389318 实数复习 ，巩固练习3】【变式】下列说法错误的是（ ）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小． 【答案与解析】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键． 举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--754__2333232 90－ 3___10- |43___(7)---【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）A. 3.2-B.7- C. 7 D. 10- 【答案】B ；【解析】－3＜7-＜－2.【总结升华】关键是估计出7-的大小. 类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案与解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________． 【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++=【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.。
人教版初一数学下册无理数、实数概念
1.知识与技能:了解无理数和实数；会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点一一对应，了解实数范围内相反数和绝对值的意义.
2.过程与方法:理解“实数与数轴上的点一一对应关系”，渗透“数形结合”的数学思想．
3.情感态度与价值观:通过小组间的合作交流，增强学生间互助合作、共同探究的精神．
教学重点和难点
教学重点:正确理解实数的概念．理解实数与数轴上的点的一一对应关系。
教学难点：理解实数的概念．并会正确区分有理数和无理数。同时理解实数与数轴上的点的一一对应关系。
突破策略：学会的学生教没有学会的学生
教学过程
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
一．阅读质疑，自主探究:内容（教材82页-83页例1）
书面作业成绩记录表
班别：姓名：第（）周
本周各次作业成绩记录
本周综合评
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等级
A
B
C
D
小计
综合
评
初次做
补做次数Biblioteka 再补做说明：（1）“各次作业成绩记录”一栏，由学生根据本周自己在各个作业本上老师评定的成绩，把每次结果如实填上去；“综合评”一栏则由教师综合各次成绩来评定。
（2）每次做作业，要求学生养成补做的习惯，错哪题就补做哪题。补做后的题目同样根据正确与否，给予评分，所评定的等级成绩，照样纳入计算综合评成绩的范畴。
《实数》教学设计
课题
八年级上册第十三章第三节实数
作者及工作单位
西华县李大庄乡一中奈安定
教材分析
“实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围有小数到有理数的进一步扩展。由π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。
无理数实数概念二
（3）｜3.14｜=______3_.1__4__
（4）绝对值等于 6 的数是 _______6__ （5）1 3 的 绝对值是 ___3_____1_
( 6 ) 比较大小：－７ 4 3
谈谈本节课的收获：有什么新发现？ 知道了哪些新知识？
课本87页:3, 6
问题2.你能在数轴上表示出 2吗？
实数与数轴上的点一一对应
实数与数轴上的点一一对应
-2
-1
0 A1
2
（数点） 每一个实数都可以用数轴上的一个
点来表示．
（点数）反过来 ，数轴上的每一个点都表示
一个实数．
相反数： 实数 a 的相反数是- a． 若a与b互为相反数，则a＋b=0．
绝对值： 实数a的绝对值，记为|a|，它 是一个非负实数．
报道一： 在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔 以12.91秒的成绩夺得金牌,这个成绩打破12.96的 奥运会纪录,平了世界纪录,实现了中国男子田径 金牌0的突破.
报道二：在女子柔道52公斤级的冠军争夺赛中, 中国选手冼东妹仅用1.1分钟,就为中国柔道队夺 得首枚金牌.
你没忘吧
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110, 12.91, 12.96, 0, 52, 1.1,
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以生命为代价的发现
毕达哥拉斯（Pythagoras）学派
“万物皆为数”（指有理数）
希帕斯（Hippasus）
发现了一种实际存在的量， 毕达哥拉斯 却不能表示为两个整数的比．
毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”， 他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的 一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除 此之外，就不再有别的什么东西了．
33.0, 30.6, 475.875,
实数的概念虚数
实数的概念虚数实数概念是数学中基础且广泛应用的概念之一。
在实数中，每个数都可以用有限的小数表示，也就是说，实数是可测量的，可以在数轴上具体的位置上表示出来。
首先，我们先来讨论实数的定义。
实数是包括有理数和无理数在内的一类数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，比如1/2、-3/4等等。
而无理数则是指不能表示为两个整数比值的数，例如π和开根号2等。
无理数无法用有限的小数或者分数表示，所以它们会有无限不循环小数的性质。
实数的性质是非常重要的，因为它们是数学分析的基础。
实数不仅可以进行基本的四则运算，如加减乘除，还可以进行更高级的运算，如对数、指数、三角函数等。
这些运算可以由实数的性质来推导和证明。
在实数中，有一类特殊的数被称为虚数。
虚数是无法表示在数轴上的数，因为它们不属于实数范围。
虚数由一个实部和一个虚部组成，实部和虚部分别由实数表示。
虚数的定义是：如果一个数a不能表示为一个实数的平方，那么a就是一个虚数。
虚数的形式可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，而i是一个特殊符号，称为虚数单位，它满足i^2=-1。
对于虚数的运算，我们可以使用虚数单位i的性质来进行推导。
虚数单位i的平方是-1，所以i^2=-1。
那么i的任何奇数次幂都可以表示为i的某个偶数次幂乘以i，而i的偶数次幂可以表示为1或-1乘以i的某个奇数次幂。
这意味着我们可以通过简单地使用奇数次幂和偶数次幂来表示虚数单位i的任何幂。
实数和虚数之间有一种特殊的关系，称为复数。
复数由一个实部和一个虚部组成，实数和虚数都是复数的特殊情况。
复数的定义是：如果一个数可以写成a+bi的形式，其中a和b分别是实数，那么它就是一个复数。
复数的运算可以通过实数和虚数的运算规则来进行，只需分别对实部和虚部进行运算即可。
复数的重要性在于它可以用来描述在实数范围之外的数学问题。
例如，由于虚数单位i的存在，我们可以计算负数的平方根。
实数的平方根是一个实数或者无理数，而负数的平方根是一个虚数。
初中数学无理数与实数
无理数与实数【知识要点】1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.14159261.414213 ，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
②倒 数：若0a ≠，则1a称为a 的倒数，0没有倒数。
1ab a =⇔、b 互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数3.14，25，3.33330.412⋅⋅，0.10110111011110…，π， 中，哪些是有理数，哪些是无理数？例2 （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（ ）A ．若a 为实数，则a 大于－aB ．实数m 的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例3的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x <<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -+=，求20012002x y +的值。
实数的概念与分类
实数的概念与分类在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它贯穿了从基础数学到高等数学的各个领域。
要理解实数，首先得清楚它的定义和分类。
实数，简单来说，就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数，比如－3、0、5 等等；还有分数，比如 1/2、－3/4 等等，这些都属于有理数的范畴。
有理数可以表示为两个整数的比值。
那什么是无理数呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数e 了。
还有像根号2 、根号 3 这样开方开不尽的数，也是无理数。
我们先来仔细看看有理数。
整数很好理解，就是像－2、－1、0、1、2 这样的数，它们没有小数部分。
而分数呢，比如 1/2 ，它表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。
有理数在我们的日常生活中应用非常广泛。
比如去买东西算价格，或者计算路程和时间的关系等等，很多时候用到的都是有理数。
接下来谈谈无理数。
以根号 2 为例，它的值约等于 141421356 是一个无限不循环小数。
为什么说它是无限不循环的呢？假设我们去计算根号 2 的小数部分，如果一直计算下去，是找不到任何规律的，不会像 1/3 等于 03333 这样循环。
无理数的发现其实还有一段有趣的历史。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是有理数。
但是后来他们的一个成员发现了根号2 不能表示为有理数，这在当时引起了巨大的震动。
实数的分类除了按照有理数和无理数来分，还可以从正负的角度来看。
正实数，就是大于 0 的实数，比如 2、35、π 等等。
负实数则是小于 0 的实数，像－1、－25 等等。
0 既不是正实数，也不是负实数。
在数轴上，实数与点是一一对应的。
也就是说，每一个实数都能在数轴上找到一个唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
这种一一对应的关系非常重要，它帮助我们更好地理解实数的连续性和稠密性。
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例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ C A.面积为25的正方形； B.面积为 4 的正方形；
）
25
C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
例4
？
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边
a是有理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即
a2=34.因为34不是完全平方数，
0
负实数
四、辨一辨
2 ,3.14 , 0.1010010001…, 5
, 3 ,
9 ,
2 1
答案:无理数有 0.1010010001…
,பைடு நூலகம்3 , ,
2 1
方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数. 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数; (2) 是无理数; (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强 调
像0.585885888588885…，1.41421356…， 2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,而且不是 循环的,是无限不循环小数.
故无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3.14159265…
也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
三、分一分
a 2
2
a
a
是多少？
=1.41421356…
b 5
2
b
b
是多少？
=2.2360679…
结论：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b 一定不是有理数.
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种 情况？
请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数，
另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式? 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
)
例2 判断题
？
（
(1)有限小数是有理数;
√） √）
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （
(4)有理数是有限小数.
（ ╳ ）
强 调
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或
无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数
q 为整数且互质），而无理数不能.
p q
形式（ p，
二、活动与探究
活动1：面积为2，5的正方形的边长a，b究竟是多少呢?
边长a 1<a<2
面积s 1<S<4
1.4<a<1.5
1.41<a<1.42
1.96<s<2.25
1.9881<s<2.0164
1.414<a<1.415
1.999396<s<2.002225
1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449
八年级上册
(二)
一、想一想
1.有理数如何分类？
思 考
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数.
有理数
分数(如
1 2 9 , , 3 5 11
…
):可不可能都化成有
限小数或无限循环小数? 2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不 是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
所以a不是有理数.
5
a
3
本课小结:
1.无理数的定义.
2.数的分类. 3.判定一个数是无理数还是有理数.
1600年英国的威廉.奥托兰特（Willian Oughtred）首先使
用 表示圆周率，他的理由是，因为π是希腊文圆周的第一个
字母，奥托兰特用它表示圆周长，而δ是希腊文直径的第一个字 母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率=
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？ 按小数的形式来分 整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数 分数
无理数：无限不循环小数
三、分一分
实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
按数的概念来分：全体实数
｛ 无理数
正实数
｛ 有理数 分数(有限小数和循环小数)
(无限不循环小数)
整数
按数的性质来分： 全体实数
｛
圆周长 ， 直径
理解为圆
周率,但在推求圆周率的过程中,人们常选用直径为1的圆,即设
δ=1,于是就等于π了.
1706年英国的数学家威廉.琼斯(WillianJones,1675~1749)首
先改用π表示圆周率,后来被数学家们所接受,一直沿用至今.
数够用了吗?
再见!!!
1．将下列实数填入相应的括号中:－3.14 , 2006 ,－ 2 , 1 0.010110111…(每相邻两各O之间依次多个1); 22 , 22 3 8 7 , 9, 0 0.23 自然数的有( 有理数的有( 无理数的有( 正实数的有( 负实数的有( ) ) ) ) )
1.下列说法正确的是( ). A.无限小数都是无理数; B.所有小数都是有理数; C.带有根号的数都是无理数; D.无理数都是无限小数. 1 2.在 4 , 3 , 0 , 3 , 2这五个数中是无理数的共有( A.0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个