第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题-A
18届2013年小高组华杯赛竞赛题初赛 决赛A卷 B卷 C卷 完美版
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A（小学高年级组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1.2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（）。
A．5 B．6 C．7 D．82.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
A．16 B．18 C．20 D．223.一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一。
8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟。
A．22 B．20 C．17 D．164.一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与白子数之比为9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数之比为7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个。
A．5 B．6 C．7 D．85. 右图ABCD 是平行四边形, M 是DC 的中点, E 和F 分别位于AB 和AD上, 且EF 平行于BD 。
若三角形MDF 的面积等于5平方厘米, 则三角形CEB 的面积等于（ ）平方厘米。
A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池A 和B 同为长3米, 宽2米, 深1.2米的长方体。
1号阀门用来向A 池注水, 18分钟可将无水的A 池注满; 2号阀门用来从A 池向B 池放水, 24分钟可将A 池中满池水放入B 池。
若同时打开1号和2号阀门, 那么当A 池水深0.4米时, B 池有（ ）立方米的水。
A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7. 小明、小华、小刚三人分363张卡片, 他们决定按年龄比来分。
2020年第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷-试题及解析word版
总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A（小学高年级组）（时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题10分,共80分）1．计算:19×0.125+281×81-12.5=________.解析：原式=（19+281-100）×0.125=200×0.125=252．农谚‘逢冬数九’讲的是,从冬至之日起,每九天分为一段,依次称之为一九,二九,……,九九,冬至那天是一九的第一天.2012年12月21日是冬至,那么2013年的元旦是________九的第________天.解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2013年的元旦是二九的第3天.3．某些整数分别被119977553，，，除后,所得的商化作带分数时,分数部分分别是92725232，，，,则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A,分别被119977553，，，除后,所得的商分别为A A A A 911795735，，，;)1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。
所以A-1=315，A=316。
4．如右图,在边长为12厘米的正方形ABCD 中,以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB .则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.解析:过P点做PE⊥AB,由于三角形PAB为等腰三角形，所以AE=EB=6cm。
根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm。
S△PAB=12×8÷2=48cm 2，S△PCB=12×6÷2=36cm 2，S△PAC=48+36-12×12÷2=12cm 2。
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
第18届华杯赛决赛真题答案(小高组a卷)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案25 2, 3 316 12 62 74 94 54二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9.解答.例如(4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 ,4 - (4 - 4) ⨯ 4 = 4 ,(4 ⨯ 4 + 4) ÷ 4 = 5 ,(4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 .10.答案：25解答. 设比小明小的学生为x人,比小华小的学生为y人.因为比小明大的学生为2x人,所以全班学生共 N =3x +1人;又因为比小华大的学生为3y人,所以全班学生共N=4y+1人. 这样, N-1既是 3 的倍数, 又是 4 的倍数, 因此N-1是3⨯4=12的倍数. 这个班学生人数大于 20 而小于 30, 所以N-1只可能是 24. 因此这个班共有学生N=24+1=25人.11.答案：1.375解答.小虎划船的全部时间为120分钟,他每划行30分钟,休息10分钟,周期为40分钟, “华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解所以一共可分为 3 个 30 分钟划行时间段, 有 3 个 10 分钟休息划船时, 顺水的船速与逆水的船速之比为 4.5:1.5=3:1. 因为小虎要把船划到离租船处尽可能远, 他在划船的过程中只能换一次划船的方向, 而且是在尽可能远处. 分两种情况讨论.1)开始向下游划船, 设最远离租船处x千米. 因为回到租船处是逆水, 所以小虎只有 110 分钟可用. 由于划船时顺流速度是逆流速度的 3 倍, 所以用在向下游划船的时间不能超过半小时. 另外两次休息时间只能用在返程, 在休息期间内船向下游漂流了13⨯1.5 , 所以⎛ 1 ⎫x ÷4.5+ x + ⨯1.5⎪ ÷1.5 = 1.5 .3⎝ ⎭整理上式得x +3x +1.5=6.75,4x= 5.25,x =1.3125(千米).2)开始向上游划, 设最远离租船处y千米. 小虎可用 120 分钟, 有两次休息时间用在向上游. 所以⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫y + ⨯1.5⎪ ÷1.5 + y - ⨯1.5⎪ ÷ 4.5 = 1.5 .3 6⎝ ⎭ ⎝ ⎭整理上式得4 y+5 ⨯1.5 = 6.75 , 4 y= 5.5 , y =1.375(千米).6综合 1) 和 2) 的讨论, 小虎的船最多离租船处 1.375 千米.12.答案：不能解答. 设放的最小自然数为a,则放的最大自然数为a+23.于是这24个数的和为A= 12(2a+ 23).假设可能, 设每个正方形边上的数之和为S . 因为共有5个正方形, 这些和的和为5S . 因为每个数在这些和中出现两次, 所以有5S= 2A.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解记最小的 16 个数的和为B , 则B=8(2a+15) . 下面分两种情形讨论:(1)若 B ≤ S ,则S = 2 A = 24 (2a+ 23) ≥ 8(2a+15) , 9.8a+110.4 ≥16a+120 ,5 5不存在自然数 a 使得不等式成立.(2)情形 B > S 也是不可能的,因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使得这16 个数的和等于S .三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13.答案：5解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.因为题目所给的小长方形上下不对称,所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中, 不会既在上半部分也在下半部分. 这样, 就可以只考虑上半部分的不同情形.1)相邻的空白格在第一行最左边或最右边. 因为要排除旋转相同的, 所以只考虑相邻空白格在最右边的情况, 有下图所示的 2 种图形,2)相邻的空白格在第一行中间. 去掉旋转重合的, 有下图所示的 3 种图形,所有不同的图形为 5 种.14.答案：6036“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解解答. 令n = a1+ a2++ a2010 = b1 + b2 + + b2012 = c1 + c2 ++ c2013 ,其中, 所有的a i数字和相同, 所有的b j数字和相同, 所有的c k数字和相同. 两个自然数数字的和相同, 则它们除以 9 的余数相同, 即a i = 9u i + r, i =1, 2, , 2010,bj = 9v j + s, j =1, 2, , 2012,c k = 9w k + t, k =1, 2, , 2013.则n= 9 ⨯ (u1+u2+ +u2010 ) + 2010⨯r= 9 ⨯ (v1+v2+ +v2012 ) + 2012⨯s (1)= 9 ⨯ (w1+w2+ +w2013 ) + 2013⨯t,由上面的等式可得,9 ⨯ (u1+u2++ u2010 + 223 ⨯ r) + 3r = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(2)9 ⨯ (w1+w2++ w2013 + 223 ⨯ t) + 6 ⨯ t = 9 ⨯ (v1 + v2 ++ v2012 + 223 ⨯ s) + 5 ⨯ s ,(3) 由 (2) 可以得出s是 3 的倍数, 只能是 0, 3 或 6. 下面三种情况讨论:1)s =0.此时,对j=1, 2,, 2012 ,因为b j=9v j的数字和不为零,所以v j≥1. 则n =9⨯(v1+ v2++ v2012 ) ≥ 9 ⨯ 2012 = 18108 .2)s =6.此时“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解客服电话：400 650 0888 n =9(v1+ v2++ v2012 ) + 2012 ⨯ 6 ≥ 12072 .3)s =3,此时n= 9(v1+v2+ +v2012 ) + 2012 ⨯ 3 ≥ 6036 .可以取 r =2, t =1.而6036 = 3 + 3 + + 3 = 2 + 2 + + 2 +11 +11 + +112012 个x 个y 个=10 +10 + +10 +1 +1 + +1.=m 个n 个下面计算 x, y 与 m, n,⎧x + y =2010, ⎨ ⎧m + n =2013,⎨⎩10m+n= 6 0 3,6即6036 = 2⨯1786 +11⨯224 =10⨯447 +1566 = 3⨯2012.最终, 满足条件的最小自然数是 6036.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解第 5 页共5页。
18届华杯赛七年级试题(ab卷)卷 初赛 决赛综合版讲课教案
2013年18届华杯赛七年级试题(A B卷)卷初赛决赛综合版第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A （初一组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1． 下列的结论中, 正确的有（ ）个:① 两个正数的和一定是正数； ② 两个正数的差可以是正数；③ 两个负数的和一定是负数； ④ 两个负数的差可以是负数。
A ．1B ．2C ．3D ．42． 从—6，—4，—3，—2，—1，3，6中任取两个数相乘, 所得积中的最大值记为a , 最小值记为b , 那么b a 的值为（ ）。
A ．32- B ．43- C ．-1 D ．323．将••••⨯352323.0342.0乘积化为小数, 小数点后第2014位数字是（ ）。
A ．0B ．7C ．9D ．14．如果a 、b 、c 都是大于21-的负数, 那么下列式子成立的是（ ）。
A ．a+c-b<0B ．a 2-b 2-c 2>0C ．abc>81-D ．∣abc ∣81>5．在方格的每个格中填上数字1,2,3,4中的一个, 要求每行、每列和每条对角线上所填的数字各不相同。
右图中已经填好了3个数字，请完成填数, 那么两个阴影方格中所填数的乘积最小值为（ ）。
A ．5B ．4C ．3D ．26．满足不等式m 3n 532<<的有序整数对（m ，n ）的个数是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7． 如果x=3，y=1时, 代数式ax+by 的值等于9, 那么x=-3，y=-1时代数式ax+by+9的值等于________．8．一个水池有甲、乙、丙三个进水口和一个出水口。
同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整个水池分别需要6小时、5小时和4小时；同时打开出水口和三个进水口, 注满整个水池需要3小时。
第18届华杯赛决赛小中组卷及参考答案
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:(2014×2014+2012)-2013×2013=________.2.将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF落在三角形DEF的位置,顶点E恰落在边AB上.已知∠1＝20°,那么∠2是________度.3.鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只.4.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形.图a图b图c5.右面的加法竖式中,相同的汉字代表1至9中的相同数字,而不同的汉字代表不同的数字.则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个.6.大小两个正方体积木粘在一起,构成右图所示的立体图形,其中小积木的下底面的四个顶点,恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2,那么这个立体图形的表面积是________.7.某班学生人数大于20而小于30,其中女同学的人数是男同学的2倍.全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人.这个班有学生________名.8.见右图,图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积,那么阴影三角形的面积为________.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.用4个数码4和一些加、减、乘、除号和小括号,写出值分别等于2、3、4、5、6的五个算式.10.右图是U,V,W,X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量.如果每辆车都有50升油,那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?11.某商店卖出一支钢笔的利润是9元,一个小熊玩具的进价为2元.一次,商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销,共获利润1922元.问这次促销最多卖出了多少支钢笔?12.编号从1到10的10个白球排成一行,现按照如下方法涂红色:1）涂2个球;2）被涂色的2个球的编号之差大于2，求不同的涂色方法有多少种?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.解析：【知识点】运算律，平方差公式原式6039201240272012)20132014()20132014(20122013201422=+=+-⨯+=+-=2.解析：【知识点】平面几何o 201=∠=∠CDF ，DCF ∠与CDF ∠互余，则o o o 702090=-=∠DFC ，o 70=∠=∠DFC DFE ，o o o o 4070701802=--=∠。
第十八届华罗庚金杯少数学邀请赛决赛试题
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算：211118-+=____331111527⨯÷÷（2（）（）） 【答案】【考点】计算【解析】 2. 农谚“逢冬数九”讲的是， 从冬至之日起， 每九天分为一段， 依次称之为一九， 二九， ……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年 2 月 3 日是________九的第________天．【答案】五、九【考点】周期问题【解析】12月21日到31日有：天；1月份有31天；2月1日到2月3日有3天．所以从2012年12月21日到2013年2月3日经过天．，所以是2013年2月10日是五九的第九天．3. 最简单分数 a 满足1a 15b 4＜＜ ，且 b 不超过 19，那么 a b 的最大可能值与最小可能值之积为________．【答案】253【考点】比较大小，最值【解析】化简可得：．取最小值时，，，，．取最大值时，，，，．的最大可能值与最小可能值积为．4. 如图所示，P Q , 分别是正方形 ABCD 的边 AD 和对角线 AC 上的点， 且 AP : PD 1: 4，AQ : QC 3: 2． 如果正方形 ABCD 的面积为 100， 那么三角形 PBQ 的面积是【答案】【考点】几何【解析】连接，正方形的面积为100，故边长为10，因为，， 所以11414110445452PAQ QAD ADC ABCD S S S S ==⨯=⨯⨯=△△△， 44140552BAQ ABC ABCD S S S ==⨯=△△，1 2.51012.52APB S =⨯⨯=△， 所以10412.537.5PBQ QAP QAB PAB S S S S =+-=+-=△△△△．5. 四位数 abcd 与 cdab 的和为 3333，差为 693，那么四位数abcd 为________．【答案】2013或1320【考点】和差问题【解析】大数等于，小数等于．．6. 两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成下图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为 5， 那么这个立体图形的表面积是________．【答案】270【考点】立体几何表面积【解析】三视图法：表面积在原来棱长为5的正方体表面积的基础上增加了4个棱长为的正方形的一面的面积和4个棱长为的正方形的一面的面积；（题中三个积木的棱长互不相同），，所以表面积为：．7. 设 a ，b ，c 分别是 0 9的数字，它们不同时都是 0 也不同时都是 9．将循环小数0.a bc ••化成分数最简分数后，分子有________种不同情况．【答案】660【考点】计数：容斥原理【解析】，根据题意，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复．由，可得：1、 1）中3的倍数有个；2）中的倍数有个；说明是3的倍数但不是81的倍数的有个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数．2、中37的倍数有个；说明是37的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数．3、中3和37的倍数有个；说明是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数．根据容斥原理，约分后会有重复的数有个，则分子有种不同情况．8. 由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体图形，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是【答案】55【考点】立体几何：空间想象、最值问题【解析】如图所示，与3点相邻的面分别有2点、1点、4点和6点，所以3的对面为5；与4点不相对的面分别有1点、3点、6点、5点，所以2的对面为4；则1的对面为6．如下图，分别为这个立体图形的六个方向的视图：，本题的难点在于左视图中绿色的确定，通过原图可以看出，当3上面，2在左面时1在后面；所以当2在上面2在前面时，1应该在左面．唯一不能确定的是底视图的中间红色部分，为了让表面的数字和最小，则可以取1．故最大值为．二、解答下列各题（每题10 分，共40 分，要求写出简要过程）9. 下图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80 厘米，阴影部分的面积为880 平方厘米．那么，大正方形的面积是多少平方厘米【答案】1024【考点】几何面积【解析】将图中空白的正方形摆正，放在大正方形的角上，如下图：两正方形的周长相差80厘米，则右上角的小正方形C的边长为厘米．则长方形A和B的面积都是平方厘米，则空白正方形的边长为厘米，小正方形的面积是平方厘米．大正方形的面积是平方厘米．10. 某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生．所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10 分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26 分，所有考生的平均成绩是70 分．那么录取分数线是多少【答案】87【考点】平均数问题【解析】假设一共有4人参加考试，则有1人录取，3人没有录取．设录取分数线为x分，则有解得，录取分数线，是87分．11. 设n 是小于50 的自然数，求使得3n+5 和5n+4 有大于1 的公约数的所有n．【答案】7，20，33，46【考点】数论：因数倍数【解析】假设，，．所以m是13的因数，且m大于1，m=13．则，．是13的倍数且n小于50，所以2113,39,65,91n-=时，n分别等于7，20，33，46．12. 一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0 分，3 分和5 分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32 分．若任何一个队的总得分都可能达到32 分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况【答案】255【考点】不定方程，计数【解析】设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则有．解得：1）；2）．当三队得3分的题共9道，得5分的题共1道．三队的3分的题共9道，三队分配共有种；三队得5分的题共1道，三队分配共有3种．则这种情况共有种．当三队得3分的题共4道，得5分的题共4道．三队得3分的题共4道，三队分配共有种；三队得5分的题共4道，三队分配共有种，但是当一队得5分题数大于等于3个时，由于3个5分与5个3分的总分都是15分，所以会与1）中情况重复．比如一队的得分为15分，可以为5个3分得来，也可以由3个5分得来，这种情况重复．而一队得5分题数大于等于3个的情况分两类：①一队得5分题数等于4个，共3种情况；②一队得5分题数等于3个，共有种．则与1）不重复的排法有种．则这种情况共有种．综上所述，共有种．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 在等腰直角三角形 ABC 中，A 90， AB AC 1，矩形 EHGF 在三角形 ABC 内，且 G ， H 在边 BC 上．求矩形 EHGF 的最大面积．【答案】【考点】平面几何：直线型【解析】过A 做BC 的垂线，垂足为D ，交EF 于K令此时（和一定）当时，最大，最大此时，，24224ABC S a a a =⨯÷=△此时四边形EFGH 的面积最大，21111222224EFGH ABC S EH HG a a a S =⨯=⨯===⨯=△14. 用八个下图所示的 2 1的长方形可以拼成一个 4 4的正方形， 若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：有几种【答案】10【考点】构造与论证【解析】首先构造一个的正方形（如下图）根据一条对角线是其对称轴可知：图中同样的字母小正方形代表它们是同类型的．以中叉的数量分类讨论：中有1个叉：，只有1种．中有2个叉：为时，有3种：为时，有2种：为时，有4种：为时，有4种：中有3个叉时无法构造，不存在．但是上述的种图形中以下四个是两个对角线都是对称轴，不符合题意．综上所述符合题意共有种．。
2020年第十八届“无悔金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组c卷)
正方形 ABCD 的面积为 100，所以它的边长是 10． 因为 AP：PD＝1：3， 所以 AP＝2.5；DP＝7.5． S△ABP＝10×2.5÷2＝12.5． AQ：QC＝4：1， 所以 S△CQB＝ S△ABC＝ S 正方形 ABCD＝ ×100＝10． 同理，S△DCQ＝10． EQ⊥AD，所以 EQ：DC＝AQ：AC＝4：5，
【分析】把原图形进行变形，
则可根据周长的差，求出右上角小正方形的
边长是多少厘米，进而可求出大正方形的边长，再根据面积公式可求出大正方形的面积．
【解答】解：黑豆网 https:// 黑豆网涵盖电影，电视剧，综艺，动漫等
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小数 0. b 化成最简分数后，分子有 660 不同情况．
【分析】由题意，把 0. b 化成分数，是 ，abc 可以从 001 至 998，分解计算 1∽998
中 3 的倍数的个数（除去 81 的倍数的个数），37 的倍数的个数，重复的 3 和 37 的倍数， 然后根据容斥原理可得结果．
【解答】解： ＝0．abcabc…，根据题意 ＝1∽998，但是结果要化为最简分数， 所以化简后会有重复．由 999＝33×37，可得： （1）①998÷3＝332…2，所以 1∽998 中 3 的倍数有 332 个； ②998÷34＝12…26，所以 1∽998 中 34＝81 的倍数有 12 个， 说明 是 3 的倍数但不是 81 的倍数的有 332﹣12＝320 个，这些数的分子全部可以化 简成不是 3 的倍数的数． （2）1∽998 中 37 的倍数有 998÷37＝26…36， 说明 是 37 的倍数有 26 个，这些数的分子全部可以化简成不是 37 的倍数的数． （3）1∽998 中 3 和 37 的倍数有 998÷111＝8…110， 说明 是 111 的倍数有 8 个，这些数的分子全部可以化简成不是 111 的倍数的数． 根据容斥原理，约分后会有重复的数有 320+26﹣8＝338 个，则分子有 998﹣338＝660 种 不同情况． 故答案为：660． 8．（10 分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面） 所有黑点的总数至少是 55 个．
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
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j 14 或 k 14, 不妨设 j 14 . A 组的 30 个盒子分到这不超过 14 个组中去, 必 有一组至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.
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9. 解答：其中的五个算式如下
44(4) 4 5, (4)4(4) 4 5, 4 (4) (4) 5,
4 (4)(4) 4 5,
4 444 5
4
10. 答案： x 25 , 27 , 29 18 18 18
11. 答：144 平方厘米.
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案（初一组）
一、填空（每题 10 分, 共 80 分）
题号
1
2
3
答案
8
129 61
2727
4
5
6
7
8
21
660 9000 85Leabharlann 24437
9
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
12. 答案：13.
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 答案：42 cm2
14. 答案：（1）30 （2) 不妨设 a1 30 , 记这 30 个盒子的组为 A 组. 因为 i j k 30 , 必有
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第18届华杯赛决赛小高组(A)、(B)卷试题及参考答案
8.用“学”和“习”代表两个不同的数字,四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数,且它的个位和 百万位数字与“学”所代表的数字相同,那么“学习”所能代表的两位数共有_______个.
7.设 n 是小于 50 的自然数,那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有 n 的可能值之和为________. 8.由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体,则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至 少是________.
二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分要求写出简要过程） 9.用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号,写出四个分别等于 3,4,5 和 6 的算式.
6.解析：【知识点】立体几何 求出小积木的棱长即可，如图所示：
小积木的棱长是直角三角形的斜边长度，小积木一个面的面积为12 22 5 ，大积木一个面的面积为 32 9 ，立体图形的表面积为： S 9 5 5 5 (9 5) 74 7.解析：【知识点】数论，余数，因数
设 4n 5 和 7n 6 的公约数为 k ，则 (4n 5) k 为整数，(7n 6) k 也为整数，为了作差消去 n ，前者 乘 7，后者乘 4，则[7(4n 5) 4(7n 6)] k 11 k 为整数，因为 k 1，则11 k 为整数时，只能是 k 11， 即 4n 5 和 7n 6 的公约数为 11； 又因为[(7n 6) (4n 5)] 11为整数，则 3n 1 为整数，
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学中年级组解析
第十八届华罗庚金杯少儿数学邀请赛初赛试卷A(小中年级组)试题解析一、选择题1.45与40的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）15【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2.在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由观察可得：A、C、D都可通过旋转得到，而B是通过原图翻转得到。
【难度】☆☆【知识点】图形的旋转、平移3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北【答案】C【解析】小东：不是小西。
小西：是小南。
小南：小东说的不对。
小北：小南说的也不对。
从对话中可看出小南与小北说的话是相互矛盾的，所以两人中一定有一个人说的是正确的，那么小东必然说的不对，既然小东说的不对，也就是小南说对了。
【难度】☆☆【知识点】逻辑推理4.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
（A）16 （B）18 （C）20 （D）22【答案】B【解析】2013÷19=105…18，因为小明哥哥出生的年份是19的倍数，所以小明的哥哥出生年份=2013-18-19n。
当n=0时，小明哥哥出生年份=1995；当n=1时，小明哥哥出生年份=1976，但是显然小明哥哥如果1976年出生，2013绝对不会是他有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份，比如1978就是没有重复数字的年份。
所以小明哥哥出生年份只能是1995，那么小明哥哥2013的年龄=2013-1995=18。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有个．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生名．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有29 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4＝29．【解答】解：5+6×4＝29．故答案为：29．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3 个．【分析】根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能．“学”＝1，“学习”＝17，“数学”＝51；“学”＝2，“学习”＝24，“数学”＝72；“学”＝3，“学习”＝31，“数学”＝93．竖式中的“数学”所表示的两位数共有3个．【解答】解：根据题干分析可得：所以数学表示的两位数是51或72或93，一共有3个．答：竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3个．故答案为：3．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是32 ．【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍．因此，这个立体图形的表面积是大正方体的表面积加上小正方体四个面的面积．据此解答．【解答】解：6×2×2+4×（2×2÷2）＝24+4×2＝24+8＝32．答：这个立体图形的表面积是32．故答案为：32．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生27 名．【分析】女同学的人数是男同学的2倍，所以全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．【解答】解：根据分析知：全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．故答案为：27．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为9 ．【分析】如下图所示：OA×OC＝30，OD×OF＝12，将两个式子的等号的两边分别相乘，得出OA×OC×OD×OF＝30×12，而OC×OD＝10×2＝20，由此得出OA×OF，进而求出阴影三角形的面积．【解答】解：因为OA×OC＝30，OD×OF＝12，所以OA×OC×OD×OF＝30×12＝360．又因为OC×OD＝10×2＝20，所以OA×OF＝360÷20＝18．所以S△AGF＝GF•AG＝OA•OF＝×18＝9；答：阴影三角形的面积为9．故答案为：9．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】根据统计图所提供的信息，可以看出每种车每百千米的耗油量，用50（升）除以每种车的百千米耗油量（升），就是每种车行驶的路程，把四辆车行驶的路程相加即可．【解答】解：（50÷20+50÷25+50÷5+50÷10）×100＝（2.5+2+10+5）×100＝19.5×100＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？【分析】根据题意，“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”这样卖4支钢笔实得利润9×4﹣2＝34元，要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．由此可以求出1922是34的多少倍就是打包卖出多少个4支，进而求出最多卖出多少支钢笔．据此解答．【解答】解析：要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．1922÷（4×9﹣2）＝1922÷34＝56（倍）…18（元）；18÷9＝2（支）；56×4+2＝224+2＝226（支）．答：这次促销最多卖出了226支钢笔．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:49；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组b卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是九的第天．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有个．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有个．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每空3分，第8小题6分，共30分）1．（3分）计算：19×0.125+281×+12.5＝50 ．【分析】根据乘法分配律进行简算．【解答】解：19×0.125+281×+12.5＝19×0.125+281×0.125+100×0.125＝（19+281+100）×0.125＝400×0.125＝50．故答案为：50．2．（6分）农谚‘逢冬数九’讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的2月10日是六九的第7 天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的2月10日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月10日的元旦共有11+31+10＝52天，52÷9＝5…7，说明已经经过了5个9天，还余7天，这一天就是六九的第7天．答：2013年的2月10日是六九的第7天．故答案为：六，7．3．（3分）某些整数分别被，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是，，，，则满足条件且大于1的最小整数是3466 ．【分析】设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，x÷＝x，因此这个数应是分母的最小公倍数+1，据此解答．【解答】解：设这个数为x，则：x÷＝x，x÷＝x，x÷＝xx÷＝x因此这个数应是分母的最小公倍数+1，即5×7×9×11+1＝3465+1＝3466答：满足条件且大于1的最小整数是3466．故答案为：3466．4．（3分）如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线 AC上的点，且PD：AP＝4：1，QC：AQ＝2：3，如果正方形ABCD的面积为25，那么三角形PBQ的面积是 6.5 ．【分析】过Q点作，EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，根据相似比可以求出各线段的长度，再用正方形的面积分别减去其余的部分，可得最后结果．【解答】解：连结QD，作EF∥AB，交AD于F，交BC于E，QG⊥DC于G，因为正方形ABCD的面积为25，所以AD＝EF＝5；因为QC：AQ＝2：3，根据正方形的对称性，所以QE＝QG＝2，QF＝3．因为PD：AP＝4：1，所以AP＝1，PD＝4．S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△CQB﹣S△DQC﹣S△PQD﹣S△PAB＝25﹣2×5÷2﹣2×5÷2﹣4×3÷2﹣1×5÷2＝25﹣5﹣5﹣6﹣2.5＝6.5．答：三角形PBQ的面积是6.5．故答案为：6.5．5．（3分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有67 个．【分析】因为10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，苹果个数除以3余1，除以4少1，除以5余2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，3、4、5的最小公倍数是60，所以这筐苹果至少有：60+7＝67；由此解答即可．【解答】解：10÷3＝3…1，11÷4＝2…3，12÷5＝2…2，满足除以3余1，除以4少1的数最少是7，7除以5余数刚好是2，又因为苹果个数大于12，所以苹果至少：3×4×5+7＝60+7＝67（个）；答：这筐苹果至少有67个．故答案为：67．6．（3分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4，则这个立体图形的表面积为136 ．【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是4，则四周的小直角三角形的直角边分别是3、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个一个面的面积是4×4﹣3×1÷2×4＝10的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是4×4＝16；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：4×4＝16，小正方体一个面的面积是：4×4﹣3×1÷2×4＝16﹣6＝10，所以这个立体图形的表面积是：16×6+10×4＝96+40＝136，答：这个立体图形的表面积为136．故答案为：136．7．（6分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别到达B地和A地后，立即返回．返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变．已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A，B两地的距离为千米．【分析】已知原来甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，则此时两车的速度比是40：60＝2：3，则第一次相遇时，甲行了全程的＝，乙行了全程的＝；甲车加速后，速度是每小时60×（1+）＝60千米，即两车返回时的速度相同．当甲到达B地时，乙速度快，在此之前就返回了，由于此时甲行完全程，则乙所行路程是甲的，即此时乙从A地返回又行了全程的﹣1＝，剩下路程两人速度一样，则各行一半，即在距B地处相遇，所以50千米占全程的﹣＝，则全程是50÷千米．【解答】解：甲乙两车的速度比是：40：60＝2：3，甲车加速后是每小时行：60×（1+）＝60千米，（﹣1）÷2＝50÷（﹣）＝50÷（﹣）＝50＝（千米）答：两地相距千米．故答案为：．8．（3分）用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“”所能代表的两位数共有 3 个．【分析】因为四位数“”与“”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，若习取大于1的数字，则不满足题意，又因为1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，1111×5555＝6171605，不符合题意，据此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1111×2222＝2468642，1111×3333＝3702963，1111×4444＝4937284，它们的积的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么习＝1，所以“”所能代表的两位数有21、31、41，一共有3个．答：“”所能代表的两位数共有 3个．故答案为：3．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图中，不含“*”的长方形有多少个？【分析】如下图：含有A的标记*的长方形有4×15＝60个，含有B的标记*的长方形有4×15＝60个，含有标记A和标记B的长方形有4×4＝16个，所以含有*的三角形有60+60﹣16＝104个，再算出图中一共长方形的个数，据此解答．【解答】解：图中共有长方形：×＝21×10＝210（个），含有A的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有B的标记*的长方形：4×15＝60（个），含有标记A和标记B的长方形：4×4＝16（个），所以含有*的长方形：60+60﹣16＝104（个），不含“*”的长方形：210﹣104＝106．答：不含“*”的长方形有106个．10．（10分）如图，三角形ABC中，AD＝2BD，AD＝EC，BC＝18，三角形AFC 的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB的长度是多少？【分析】此题可以设想通过求得AD、BD的长度，来求AB的长度．因为AD ＝EC，只要求出EC的长度，就可知AD的长度．根据三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，求得＝，即可求出EC＝BC＝×18＝6；再根据AD＝2BD，求得2BD＝6，则BD＝3，因此求出AB的长度，解决问题．【解答】解：设S△AFC＝S四边形DBEF＝1，S△CEF＝x，S△ADF＝y，因为AD＝2BD，所以＝＝，即＝＝，解得y＝2x+1则＝＝＝，所以＝．所以EC＝×BC＝×18＝6，则AD＝EC＝6．又因为AD＝2BD，BD＝AD÷2＝6÷2＝3．综上，AB＝AD+BD＝6+3＝9．答：AB的长度是9．11．（10分）若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同．如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务．问：共有多少人参加了植树？【分析】根据时间知“若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同”，则人数与棵数是2013的因数，可设原来有a人，每人植树b棵，则ab＝2013，因有5人不参加植树，所以，a＞5．“如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务”．则2（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）．据此解答．【解答】解：设原来a人，每人b棵ab＝2013，a＞52（a﹣5）＜5b＜3（a﹣5）2（a﹣5）÷5＜b＜3（a﹣5）÷5b在0.5（a﹣5）附近2013＝33×61符合a＝61，b＝33共有61人参加植树．答：共有61人参加了植树．12．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是59 ．【分析】每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．然后根据相邻边的点数推出个正方体被遮住的面上的点数，解决问题．【解答】解：每个正方体总点数为1+2+3+4+5+6＝21，4个正方体共84个黑点，因为要求黑点的总数至多是多少，因此，遮住的部分的点数应尽量少．根据相邻边的点数推出：最上面正方体底面点数为5；右面正方体的左面的点数为6；中间正方体5的对面是2，因此被遮住部分的总点数为21﹣5﹣2﹣6＝8；左边正方体右面的点数为6．因此立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是84﹣（5+6+8+6）＝84﹣25＝59．故答案为：59．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形．若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形？【分析】用右图代替题目中的2×1小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，所以同一个小长方形在拼成的两条对角线都是其对称轴的正方形图形中，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．【解答】解：如图：答：以拼成4种两条对角线都是其对称轴的正方形图形．14．（15分）对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（ 1）三种分类的类数之和是多少？（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．【分析】根据题意，可得a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k，包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+…+a i+b1+b2+b3+…+b j+c1+c2+c3+…+c k≥1+2+3+…+30＝＝465＝3×155．故三种分类的类数之和是30．进而论证得出答案．【解答】解：（1）因为 a1，a2，a3，…，a i；b1，b2，b3，…，b j；c1，c2，c3，…，c k包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155＝a1+a2+a3+...+a i+b1+b2+b3+...+b j+c1+c2+c3+...+c k≥1+2+3+ (30)＝465＝3×155．所以n＝i+j+k＝30，三种分类的类数之和是30．（2）不妨设a1＝30，记这30个盒子的类为A类．因为i+j+k＝30，必有j≤14或k≤14，不妨设j≤14．A类的30个盒子分到这不超过14个类中去，必有一类至少有三个盒子，这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组b卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）亮亮上学，若每分钟行40米，则8：00准时到校；若每分钟行50米，则7：55到校．亮亮的家与学校的距离是米．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第五次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）“熊大”ד熊二”＝“熊兄弟”．若相同的汉字代表 0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是．6．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．7．（10分）如图所示的手串中，从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1至22依次编号．小明玩数珠子游戏，规则是：从1号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数，但每当数到含数字7或7的倍数的数时就跳过它，直接数下一个数．例如：数到6时下一个数8，数到13时下一个数15，…．那么数到100时应落在第号珠子上．8．（10分）布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出个球．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户．甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩．已知BF＝3CF，那么长方形ABCD的总面积是多少亩？10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）甲、乙、丙、丁四人分2013块糖果，甲分得的糖果比乙的2倍多10块，比丙的3倍多18块，比丁的5倍少55块．那么甲分得糖果多少块？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）亮亮上学，若每分钟行40米，则8：00准时到校；若每分钟行50米，则7：55到校．亮亮的家与学校的距离是1000 米．【分析】由题意，每分钟行40米，刚好够分；若每分钟行50米，则少5×50＝250米，所以250÷（50﹣40）＝25分钟，亮亮的家与学校的距离是25×40＝1000米；据此解答．【解答】解：每分钟行40米，刚好够分；若每分钟行50米，则少5×50＝250米，所以250÷（50﹣40）＝25分钟，亮亮的家与学校的距离是25×40＝1000米；答：亮亮的家与学校的距离是1000米．故答案为：1000．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第五次操作时，得到的图形中共有25 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形，所以可得计算公式：5+n（n﹣1）．【解答】解：当完成第五次操作时，得到的图形中共有：5+4n＝5+4×5＝25（个）答：当完成第五次操作时，得到的图形中共有25个正方形．故答案为：255．（10分）“熊大”ד熊二”＝“熊兄弟”．若相同的汉字代表 0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是686 ．【分析】根据题意，“熊”＝1，若“大”ד二”＜10，则“大”+“二”＜10；若“大”ד二”＞9，则“大”+“二”＜9；然后运用枚举法，解决问题．【解答】解：根据题意，“熊”＝1，若“大”ד二”＜10，则“大”+“二”＜10；若“大”ד二”＞9，则“大”+“二”＜9；枚举：“熊二”＝10，弟为0，“熊大”没有可以取的值．因为不同的汉字代表不同的数字；“熊二”＝12，“熊大”可以为13，14，15，16（舍去，数字重复）；“熊二”＝13，“熊大”可以为14，15（舍去，数字重复）；“熊二”＝14，“熊大”没有可以取的值．所以“熊兄弟”代表的三位数之和是：12×（13+14+15）+13×14＝686．故答案为：686．6．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．7．（10分）如图所示的手串中，从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1至22依次编号．小明玩数珠子游戏，规则是：从1号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数，但每当数到含数字7或7的倍数的数时就跳过它，直接数下一个数．例如：数到6时下一个数8，数到13时下一个数15，…．那么数到100时应落在第 4 号珠子上．【分析】含数字7或7的倍数的数有：个位是：7，17，27，…，97，十位：70，71，72，…，79，7的倍数：100÷7＝14…2，其中7、70、77既是7的倍数又含有7，据此解答即可．【解答】解：含数字7或7的倍数的数有：个位是：7，17，27， (97)十位：70，71，72，…，79，7的倍数：100÷7＝14…2，其中7、70、77既是7的倍数又含有7，因此共有10+10+14﹣4＝30，100﹣30＝70，70÷22＝3 (4)答：数到100时应落在第4号珠子上．故答案为：4．8．（10分）布袋中有60个彩球，每种颜色的球都有6个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出21 个球．【分析】60÷6＝10，有10种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了2个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球，所以答案为2×10+1＝21．【解答】解：60÷6＝10（个），2×10+1＝21（个）；答：至少要取出21个球；故答案为：21．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户．甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩．已知BF＝3CF，那么长方形ABCD的总面积是多少亩？【分析】根据题意，可知BF＝3CF，所以甲户的长方形面积是乙户的长方形面积的3倍，甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩．则说明甲户的长方形面积比乙户的长方形面积多96亩，根据差倍问题，乙户的长方形面积为96÷（3﹣1）＝48亩，所以长方形ABCD的总面积是48×（1+3）＝192亩．【解答】解：因为BF＝3CF，所以长方形ABEF的面积＝长方形EFCD面积×3，甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩．乙户的长方形面积为：96÷（3﹣1）＝48（亩），所以长方形ABCD的总面积是：48×（1+3）＝192（亩）．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】U类型：100千米耗油20升，先用50升除以20升，求出50升能跑多少个100千米，再乘上100千米，就是U型车可以行驶的路程；同理求出V，W，X各可以跑多少千米，然后相加即可．【解答】解：（50÷20）×100+（50÷25）×100+（50÷5）×100+（50÷10）×100＝250+200+1000+500＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）甲、乙、丙、丁四人分2013块糖果，甲分得的糖果比乙的2倍多10块，比丙的3倍多18块，比丁的5倍少55块．那么甲分得糖果多少块？【分析】设甲分得糖果x块，依据题意可得：乙分得糖×（x﹣10）块，丙分得×（x﹣18）块，丁分得糖×（x+55）块，再根据四人共分得2013块可列方程：x+×（x﹣10）+×（x﹣18）+×（x+55）＝2013，依据等式的性质即可求解．【解答】解：设甲分得糖果x块x+×（x﹣10）+×（x﹣18）+×（x+55）＝20132x＝20132x÷2＝2013x＝990答：甲分得糖果990块．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:35；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。
第18华罗庚金杯赛决赛奥数小学中年级组B试卷和答案
总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A(小学中年级组)(时间2013年4月20日10:00-11:30)一、填空题《每小跑10分.共80分)1.计算：(2014×20l∙H2012)-20l3×20l3.解析：(20MX20M+2Q12)-2013X2013=(2013+1)×(2013+1)*2013—1-2013×2013-2013×2013*2013^2013H∙201312013X2013=6039或用平方差公式，(2014×2014+2012)-2013×2013=201Γ-2013^2012=2012+2013÷2011=6039考试中展比接的方法,死算也。
K.2.超长方形的纸片A8C/)按右图的方式折：3后；1」'.使形。
“*在三角形。
EF的位置.JS点E恰落在边AB上.己知N1=20°,加么N2是------- 度.解析：因为翎折,∕CFD=∕EFD=9(V-22"=68°λ-------------- S iZ2=i80o-68o-68o=44°3.亮亮上学，若株分钟行∙10米，则8:00准时到校：若年分钟行50米，则7:55到校.亮亮的家与学校的距国是米.解析：行程里盈亏何虺.每分钟行4。
代刚好膨分：苦行分钟行50米,则少5X50=250米所以25。
+(50-40)=25分钟,亮亮的家与学校的距离是25X40=1000米.法二：六年级可以用.走同样路程.速度比与时间成反比,速度比为4:5,则时间比为5:4.8:007:55=5分钟,则若每分伸行40米.亮亮用时5÷(5-4)X5=25分钟，所以亮亮的家3学校的距点是25X10=1000米.1.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形.见图b;笫二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形.见图c：这样缚续卜2.当完成第八.次操作时.得到的图形中共有个正方形.解析:找规律，图a有S个正方形,以后短次悚作将•个正方形数日变成四个小正方形,鲜次Je加4个正方形。
第十八届华杯赛决赛答案_初二A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（初二组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）解答. 例如 74444=++÷, 74444=++÷,74444=÷-+, 74444=-÷, 74444=÷-⨯.9. 答案：61解答. 设成活a 棵, 没有成活b 棵, 未完成植树c 棵. 则⎩⎨⎧=+--=+)2(27113023)1(27125 c b a b a 由（1）可知, a 是奇数, 且54≤a ; 由（2）可知, 47≥a . 下面对 53,51,49,47=a 进行试算, 求得整数解:9,18,47-===c b a ,(不合要求);5.3,13,49-===c b a ,(不合要求);;612851,2,8,51=++=++===c b a c b a 5.7,3,53===c b a ,(不合要求).可见, 植树任务数是61.10. 答案：83 解答. 作BC 边上的高AD , AD 也是A ∠的平分线. AD 交EF 于P . 于是,9030=∠=∠=∠=∠EHB APE BEH EAP设x AE =, 则x AP x EP x EB 23,21,1==-=. 因此, )1(23)1(212321x x x x S FGC EHB AEF --+⨯=∆+∆+∆ []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=-+=41)21(23)21(23)1(432222x x x x x 由此可见, 当21=x 时, 上述三角形面积和最小, 从而内接矩形EFGH 的面积最大. 此时, 1:=EB AE . 连结ED 和FD , 容易知道,S □EFGH =8323141212121=⨯⨯=⨯⨯⨯=∆AD BC S ABC . 11. 答案：1003解答. 将2013个数分成如下1009组:(2013,35), (2012,36), …, (1025,1023), (1024),(34,30), (33,31), (32), (29,3), (28,4), …, (17,15), (16), (2), (1),其中有1004组中每组都有两个数, 且这两个数之和是2的幂次, 若擦剩下的数的个数大于等于1010, 由抽屉原理知, 必然有一组中两个数都被剩下了, 那么这两数和为2的幂次, 所以擦去1003个数满足题目要求. 如果擦去1004个数, 即剩下1009个数, 我们取这1009组中每一组的较大数, 那么显然这些数的任意两个之和都不是2的幂次, 故不满足题意, 所以最多擦去1003个数．三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）12. 解答. 连接AK. 先证 AM=CK .CK ACK ACN CD ACD ABD ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积ABN AMD AM ABD ABD AB∆∆===∆∆的面积的面积的面积的面积. 因为CD=AB ，所以AM=CK . 连接OM ，OK ，ON . 则 △OMA ≌△OKC. 所以 .MOA KOC ∠=∠ 因此180,MOA AOK KOC AOK ∠+∠=∠+∠=所以M ，O ，K 共线，ON 是 △KNM 的中线，所以△ONM 的面积=△OKN 的面积.但△NMB 的面积=△ONM 的面积，△NKC 的面积=△ONK 的面积.所以△ONM 的面积=△OKC 的面积. 因此，三角形NMB 与NKC 等积.13. 87,841,833,81 解答. 若0≤x , 则0878878281][02>+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥x x x x x , 矛盾. 所以 0>x .由带余除法,)70(,181]8[88]8[≤≤++=+<≤+=r r q x x r q x .所以818++<≤+r q x r q . 对于70≤≤i , 8188+++<+≤++i r q i x i r q . 当r i -≤7时,即 181≤++i r . 有q i x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+8.当18≥+i r 时,即 r i -≥≥87, 有18+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+q i x . 所以 ].8[8)1()8(87888781][x r q q r q r x r x r x x x =+=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++因此 878]8[2+=x x . (*) 因为 ()7}8{]8[7)8(764]8[8222++=+=+=x x x x x ,()8]8[2]8[71]8[]8[87]8[222++=++<≤+x x x x x , 所以 07]8[8]8[2≤+-x x , 08]8[6]8[2<+-x x . 由上面第一个式子得到, 0)7]8)([1]8([≤--x x , 7]8[1≤≤x ;由上面第二个式子得到, 0)3]8)([2]8([>--x x , 2]8[<x 或 4]8[>x . 因此7,6,5,1]8[=x .将]8[x 可以取的四个值分别代入 (*) 式, 解得大于0的x 分别为87,841,833,81.。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组a卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（）A．5 B．6 C．7 D．82．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁．A．16 B．18 C．20 D．223．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A．22 B．20 C．17 D．164．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个．A．5 B．6 C．7 D．85．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（）平方厘米．A．5 B．10 C．15 D．206．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（）立方米的水．A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了张；小华拿了张；小刚拿了张．8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有32人上班，那么该公司至少需要名工作人员．9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E 在圆周上，∠ABE＝45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于平方厘米（取π＝3.14）10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有种不同的选择．2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】把2012.25看作2010.25+2，2015.75看作2013.75+2，原式变为（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），进一步计算为2×2013.75﹣2010.25×2，再运用乘法分配律简算．【解答】解：2012.25×2013.75﹣2010.25×2015.75，＝（2010.25+2）×2013.75﹣2010.25×（2013.75+2），＝2010.25×2013.75+2×2013.75﹣2010.25×2013.75﹣2010.25×2，＝2×2013.75﹣2010.25×2，＝（2013.75﹣2010.25）×2，＝3.5×2，＝7；故选：C．2．（10分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁．A．16 B．18 C．20 D．22【分析】从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95＝1995，然后用2013﹣1995，解答即可．【解答】解：从1990年～2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95＝1995，2013﹣1995＝18（岁）；故选：B．3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A．22 B．20 C．17 D．16【分析】下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的3倍；爬1米和滑1米的时间相同，以爬3米，滑1米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17米，即4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2；解答即可．【解答】解：以爬3米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2＝22分钟；故选：A．4．（10分）一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】我们运用比例进行解答，设白子有x个，黑子是x+1．用黑子的个数与白子的个数减去1个的比是7：5，列方程进行解答即可．【解答】解：设白子有x个，黑子是x+1．（x+1）：（x﹣1）＝7：5，x×5+5＝7x﹣7，6x+5＝7x﹣7，x＝12，x×＝12×，x＝21；黑子的个数：x＝21+1＝28；28﹣21＝7（个）；故选：C．5．（10分）图ABCD是平行四边形，M是DC的中点，E和F分别位于AB和AD上，且EF平行于BD．若三角形MDF的面积等于5平方厘米，则三角形CEB的面积等于（）平方厘米．A．5 B．10 C．15 D．20【分析】连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB和S△FDC等底等高，所以面积相等；在梯形EBCD中，有S△EDB和S△EBC等底等高，所以面积相等；在梯形FEBD中，有S△FDB和S△EDB等底等高，所以面积相等；所以可得S△FDC ＝S△EBC，又因为M是DC的中点，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质，所以S△EBC＝2×5＝10cm2．【解答】解：如图，连接FC，DE，FB，在梯形FBCD中，有S△FDB＝S△FDC，在梯形EBCD中，有S△EDB＝S△EBC，在梯形FEBD中，有S△FDB＝S△EDB，所以S△FDC＝S△EBC，因为M是DC的中点，所以S△EBC＝2×5＝10（平方厘米）．则S△EBC＝10平方厘米，答：三角形EBC的面积是10平方厘米．故选：B．6．（10分）水池A和B同为长3米，宽2米，深1.2米的长方体．1号阀门用来向A池注水，18分钟可将无水的A池注满； 2号阀门用来从A池向B池放水，24分钟可将A池中满池水放入B池．若同时打开1号和2号阀门，那么当A池水深0.4米时，B池有（）立方米的水．A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．7.2【分析】根据题意，设水池A和B的容积为“1”，1号阀门A池每分钟进水效率，2号阀门B池每分钟进水效率，A池每分钟放水效率也是，同时打开1号和2号阀门，则A池每分钟进水效率为，B池每分钟进水效率．A池水深0.4米，则A池进水0.4÷1.2＝，需要时间分钟，B池进水24×＝1，所以B池有水3×2×1.2＝7.2m3．【解答】解：设水池A和B的容积为“1”，同时打开1号和2号阀门，则A池每分钟进水效率为：，A池水深0.4米，则A池进水：0.4÷1.2＝，需要时间：分钟，B池进水：24×＝1，所以B池有水：3×2×1.2＝7.2（立方米）．故选：D．二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）小明、小华、小刚三人分363张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿7张，小华就要拿6张；若小刚拿8张，小明就要拿5张．最后，小明拿了105 张；小华拿了90 张；小刚拿了168 张．【分析】根据题意，可知小明的张数：小华的张数＝7：6，小明的张数：小刚的张数＝5：8，进而把这两个比写成连比，即小明的张数：小华的张数：小刚的张数＝（7×5）：（6×5）：（8×7）＝35：30：56；再根据“小明、小华、小刚三人分363张卡片”，也即要分配的总量为363，是按照35：30：56进行分配的，从而按照比例分配的方法求解．【解答】解：小明的张数：小华的张数：小刚的张数为：（7×5）：（6×5）：（8×7）＝35：30：56，小明拿的张数：363×＝105（张），小华拿的张数：363×＝90（张），小明拿的张数：363×＝168（张）．答：小明拿了105张；小华拿了90张；小刚拿了168张．故答案为：105，90，168．8．（10分）某公司的工作人员每周都工作5天休息2天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有32人上班，那么该公司至少需要45 名工作人员．【分析】根据题意，该公司一周总上班人次至少为32×7＝224（人次），把它看做224个元素，而每人每周上5次，把它看做5个抽屉，考虑最值：224÷5＝44（名）…4名，所以至少需要44+1＝45人．【解答】解：根据题干分析可得：32×7÷5＝44（名）…4名，44+1＝45（名），答：那么该公司至少需要45名工作人员．故答案为：45．9．（10分）图中，AB是圆O的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E 在圆周上，∠ABE＝45°．那么圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE 中非阴影部分面积的差等于10.26 平方厘米（取π＝3.14）【分析】连接EO，圆O中非阴影部分的面积﹣正方形BCDE中非阴影部分面积＝（圆O中非阴影部分的面积+阴影部分面积）﹣（正方形BCDE中非阴影部分面积+阴影部分面积）＝S圆﹣S正．然后，根据，∠ABE＝45°可得正方形的边长等于圆的半径，进而推导出BE2＝r2＝（6÷2）2×2，再根据前面的关系式代入数据解答即可．【解答】解：如图，连接EO，S正＝EB×EB＝EO2+BO2＝（6÷2）2×2＝18cm2所以圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差：π×（6÷2）2﹣18＝10.26（平方厘米）；答：圆O中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于10.26平方厘米．故答案为：10.26．10．（10分）圣诞老人有36个同样的礼物，分别装在8个袋子中．已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有31 种不同的选择．【分析】36个同样的礼物装在8个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为1且各不相同，而1+2+3+…+8＝（1+8）×8÷2＝36，明确8个袋子分别装的礼物数是1～8．根据题意要求选出袋子里装的礼物数为8的倍数，分情况枚举即可．【解答】解：如果每人分1个礼物：8＝＜8＝1+7＝2+6＝3+5＝1+2+5＝1+3+4，6种；如果每人分2个礼物：16＝1+7+8＝2+6+8＝3+5+8＝3+6+7＝4+5+7＝1+2+5+8＝1+2+6+7＝1+3+4+8＝1+3+5+7＝1+4+5+6＝2+3+4+7＝2+3+5+6 ＝1+2+3+4+6，共13种；如果每人分3个礼物，拆分24，与拆分36﹣24＝12是一样的．12＝4+8＝5+7＝1+3+8＝1+4+7＝1+5+6＝2+3+7＝2+4+6＝3+4+5＝1+2+3+6＝1+2+4+5，共10种；如果每人分4个礼物，同理拆分36﹣32＝44＝4＝1+3，共2种；所以，共有6+13+10+2＝31种不同的选择．故答案为：31．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 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2013年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛小高组ABC试卷及详解
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
在考试中，选择恰当的方法很重要。
这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。
2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式 6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛A卷(小学高年级组)
小刚与小明所拿卡片之比为 8: 5 56: 35 ， 于是，小明、小华与小刚所拿卡片之比为 35: 30 : 56
35 105 张卡片 35 30 56 30 于是，小华拿了 363 90 张卡片 35 30 56 56 于是，小刚拿了 363 168 张卡片 35 30 56
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 A（小学高年级组） 1、 2012.25 2013.75 2010.25 2015.75 （A）5（B）6（C）7（D）8 【分析】原式 (2013 0.75) (2013 0.75) (2013 2.75) (2013 2.75)
4
3.14 62 28.26 4
易知，圆 O 中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分的面积之差就是圆 O 与正方形 BCDE 的面积之差，于是所求解为 28.26 18 10.26 平方厘米。
学而思教研部 李唯瑒
10、圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中，已知 8 个袋子中礼物的个数至少 为 1 且各不相同， 现要从中选出一些袋子， 将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友， 恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物） ，那么，共有多少种不同的选择？ 【分析】由题意，8 个袋子中礼物个数至少为 1 且各不相同，则 8 个袋子中至少有： 1 2 3 4 5 6 7 8 36 个礼物，而现礼物恰有 36 个，于是，8 个袋子中礼 物的数量恰为 1、2、3、4、5、6、7、8 现在要挑选一些袋子，使其中所有礼物恰能平均分给 8 个小朋友 于是，挑选出的礼物总和可以为：8、16、24、32 一、挑选出的礼物共有 8 个： 1、挑选 1 袋：有 1 种选法 2、挑选 2 袋：有 71、62、53，共 3 种选法 3、挑选 3 袋：有 521、431，共 2 种选法 而挑选 4 袋及以上，至少会选出 10 个礼物，因此，选出 8 个礼物共有 6 种选法 二、挑选出的礼物共有 16 个： 若选取 2 袋或更少，至多选出 8、7 两袋，共 15 个，少于 16 个，因此至少选出 3 袋 1、挑选 3 袋：有 871、862、853、763、754，共 5 种选法 2、挑选 4 袋：有 8521、8431、7621、7531、7432、6541、6532，共 7 种选法 3、挑选 5 袋：有 64321，共 1 种选法 而挑选 6 袋及以上，至少会选出 21 个礼物，因此，选出 16 个礼物共有 12 种选法 三、挑选出的礼物共有 24 个： 挑选出 24 个礼物，相当于去掉 12 个礼物，因此考虑去掉 12 个礼物有几种方法，显 然，去掉 1 袋肯定不够 12 个，因此，至少去掉 2 袋 1、去掉 2 袋：有 84、75，共 2 种选法 2、去掉 3 袋：有 831、741、732、651、642、543，共 6 种选法 3、去掉 4 袋：有 6321、5421，共 2 种选法 而去掉 5 袋及以上，至少会去掉 15 个礼物，因此，选出 24 个礼物共有 10 种选法 四、挑选出的礼物共有 32 个： 挑选出 32 个礼物，相当于去掉 4 个礼物，因此考虑去掉 4 个礼物有几种方法， 1、去掉 1 袋：有 1 种选法 2、去掉 2 袋：有 31，共 1 种选法 而去掉 3 袋及以上，至少会去掉 6 个礼物，因此，选出 32 个礼物共有 2 种选法 综上，共有 31 种选法。
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题-A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A一、填空题（每小题10 份，共80 分）1.计算：1190.12528112.5____82.2. 农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012 年12 月21 日是冬至，那么2013 年的元旦是________九的第________天．3.某些整数分别被357957911、、、除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是22223579、、、则满足条件大于 1 的最小整数是________．4. 如下图，在边长为12 厘米的正方形ABCD 中，以AB 为底边作腰长为10 厘米的等腰三角形P AB ，则三角形P AC 的面积是________5. 有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩11 个；乙班分，每人 4 个还剩10 个；丙班分，每人 5 个还剩12 个．那么这筐苹果至少________个．6. 两个大小不同的正方体粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为________．7. 设n 是小于50 的自然数，那么使得 4 n 和7n 有大于 1 的公约数的所有n 的可能值之和为________8. 由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________．二、解答下列各题（每题10 分，共40 分，要求写出简要过程）9. 用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5 和 6 的算式．10. 小明与小华同在小六（一）班，该班学生人数介于20 和30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？11. 小虎周末到公园划船，九点从租船出处发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水速度是 1.5 千米/小时；划船时，船在静水中的速度是3千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流，问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？12. 由四个相同的小正方形拼成下图．能否将连续的24 个自然数分别放在图中所示24黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．三、解答下列各题（每题15 分，共30 分，要求写出详细过程）13. 用八个下图所示的2的小长方形可以拼成一个4的正方形．若一个拼成正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？14. 不为零的自然数n 既是2010 个数字和相同的自然数之和，也是2012 个数字和相同的自然数之和，还是2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少。
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A
一、填空题（每小题10 份，共80 分）
1.计算：1
190.12528112.5____
8
2.
2. 农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012 年12 月21 日是冬至，那么2013 年的元旦是________九的第________天．
3.某些整数分别被3579
57911
、、、除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是
2222
3579
、、、则满足条件大于 1 的最小整数是________．
4. 如下图，在边长为12 厘米的正方形ABCD 中，以AB 为底边作腰长为10 厘米的等腰三角形P AB ，则三角形P AC 的面积是________
5. 有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩11 个；乙班分，每人 4 个还剩10 个；丙班分，每人 5 个还剩12 个．那么这筐苹果至少________个．
6. 两个大小不同的正方体粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如
果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为
________．
7. 设n 是小于50 的自然数，那么使得 4 n 和7n 有大于 1 的公约数的所有n 的可能值之和为________
8. 由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________．
二、解答下列各题（每题10 分，共40 分，要求写出简要过程）
9. 用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5 和 6 的算式．
10. 小明与小华同在小六（一）班，该班学生人数介于20 和30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？
11. 小虎周末到公园划船，九点从租船出处发，计划不超过十一点回到租船处．已知，
租船处在河的中游，河道笔直，河水速度是 1.5 千米/小时；划船时，船在静水中的速
度是3千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流，问：小虎的船
最远可以离租船处多少千米？
12. 由四个相同的小正方形拼成下图．能否将连续的24 个自然数分别放在图中所示24黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都
相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．
三、解答下列各题（每题15 分，共30 分，要求写出详细过程）
13. 用八个下图所示的2的小长方形可以拼成一个4的正方形．若一个拼成正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在
所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻
的图形有多少种？
14. 不为零的自然数n 既是2010 个数字和相同的自然数之和，也是2012 个数字和相同的自然数之和，还是2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少。