高一数学培优专题(已修正)

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高一数学培优专题一答案解析

高一数学培优专题一---------二次函数1．【2018豫南九校期末考】已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上是单调增函数，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]，故选B ．2【2018安徽宣城三校联考】函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k取值范围是（）【答案】D【名师点睛】解答本题时注意以下两点：（1）对于函数()()2325f x kx k x =+--，需要通过讨论k 的取值情况来判断函数的类型．（2）对于二次函数的单调性问题，在解决过程中要依据二次函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的位置关系进行分析讨论求解．3【2018河北保定一模】已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-++-+-+-=（）A ．0B ．2018C ．4036D ．4037A ．()0+∞，B ．2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】D【解析】因为函数()f x 既是二次函数又是幂函数，所以()()()2211g x f x x h x x =∴=++，因此()()()()()()220112,0111101g x g x g h x h x h x x -+-=+++==+=+++，因此()()()()()()()()()2018201720161012016201720182018214037h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=⨯+=，故选D ．4．设二次函数()22f x ax bx =+-，如果()()12f x f x = ()12x x ≠，则()12f x x +=_________________ 【答案】－2所以()212222b b b f x x f a b a a a ⎛⎫⎛⎫+=-=⋅+⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（本小题满分12分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =，对任意x R ∈，都有1()x f x -≤，且()(1)f x f x =-．求函数()f x 的解析式；6．【2018安徽宣城三校联考】（本小题满分10分）已知,a b 为常数，且0a ≠，()2f x ax bx =+， ()20f =．（1）若方程()0f x x -=有唯一实数根，求函数()f x 的解析式；（2）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值；【解析】试题分析：（1）由()20f =可得2b a =-，故()()22f x a x x =-，根据方程有唯一实数根，可得判别式为0，求得a 后可得解析式．（2）当1a =时， ()22f x x x =-，结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求最值．试题解析：()2420f a b =+=，∴2b a =-，∴()()2222f x ax ax a x x =-=-．（1）∵方程()0f x x -=有唯一实数根，即方程()2210ax a x -+=有唯一实数根，∴∆=()2210a +=，解得12a =-，∴()212f x x x =-+．（2）当1a =时， ()22f x x x =-， []1,2x ∈-，∴函数()f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增．∴()()min 11f x f ==-，又()()13,20f f -==，∴()()max 13f x f =-=． ∴函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值分别为3， 1-．。

高一年段数学培优教材(5)

高一年段数学培优教材第五讲平面向量（1）一、基础知识：1．向量的运算：加法：;AB BC AC +=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y +=++减法：;AB AC CB -=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y -=--实数与向量的积：向量a λ与a的关系；设(,),a x y =则(,)()a x y R λλλλ=∈||||||||a a a λλ==⋅22||a a a a =⋅=向量的数量积： ||||c o s (a b a b θθ⋅=⋅⋅ 是a 与b 的夹角）；设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212a b x x y y ⋅=+2．向量的关系： ①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ||||||a b a b ⋅≤⋅（注意等号的条件） ②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠则a b ⇔,a b λ=12210a b x y x y ⇔-=12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=3．平面向量的基本定理：如果12,e e是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+。

相关结论：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，且120e e λμ+=，则0λμ==点O 、A 、B 、C 在同一平面内，A 、B 、C 共线的充要条件是：(1)OA xOB yOC x y =++=4．常用公式：22222()2()()a b a a b b a b a b a b ±=±⋅++⋅-=-ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则10;();02AB BC CA AM AB AC GA GB GC ++==+++=二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。

高一年级数学培优辅导专题(必修1)

高一年级数学培优辅导专题（必修1）一、选择题1. 已知集合{}{}260,1,2,3,4M x Z x N =∈-<=，则MN = ( )A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2 2. 设},4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则（）A.Q P ⊆B.Q P ⊆C.Q C P R ⊆D.P C Q R ⊆ 3. 设集合{}1->∈=x Q x A ，则（）A ．A ∅∉B ．2A ∉C ．{2}A ∈D ．{}2A4．已知全集U ＝Z ，{}x x x A ==2，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 ( )A. {－1,2}B. {－1,0}C. {0,1}D. {1,2}5．设全集U 是实数集R ，集合}2|{2x x x M >=，}0)1(log |{2≤-=x x N ，则N M C )(U 为A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤≤x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{<≤x x6．下列式子中，不正确．．．的是 A ．{}34x x ∈≤ B ．{}{}33R -=- C ．{}0∅=∅ D ．{}{}10x x -⊆<7. 若)12(log 1)(5.0+=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 ( )A.),21(+∞-B. ),0(+∞C. )0,21(-D. ]0,21(- 8. 若1)31(-a 31<，则a 的取值范围是 ( ) A ．()1,-+∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞- D ．[)2,+∞9. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，表示同一函数的是（）A.2()1,()1x f x x g x x=-=- B. 2)()(,)(x x g x x f == C.33)(,)(x x g x x f == D. ||x y x =与1,01,0x y x ≥⎧=⎨-<⎩10. 函数y = ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}{}|10x x ≥11．函数())f x x =-的定义域为A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]0,1D ．[]0,1 12．已知a ，b R ∈，若a b >，则下列不等式成立的是A ．lg lg a b >B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D >13. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则)3(f 为（）A.2B.3C.4 D ．5 14. 若函数()f x =3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）A ．),(+∞-∞ B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,43 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,015. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-< B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (2)(1)(3)f f f -<<D. (3)(1)(2)f f f <<-16．下列图形中，不可作为函数)(x f y =图象的是 ( )17.函数12x y +=的图象是（）18．函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 D.C.B.A.O1yx1O1yx1O1yx1O1yx119. 若函数)1,0()(≠>=a a a x f x为增函数，那么11log )(1+=x x g a的图象是（） yxO AyxO ByxO CyxO D20．函数()32xf x x =+-的零点所在的一个区间是A ．()1,2B ．()0,1C ．()2,1--D ．()1,0-21.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范（）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a > 二、填空题1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A = 2.已知集合{}{},2,1,0,,=c b a 且下列三个关系：21≠a ）（；2)2(=b ；0)3(≠c 有且只有一个正确，则c b a ++10100等于 .3．已知函数()f x 的定义域和值域都是{}1,2,3,4,5，其对应关系如下表所示，则((4))f f = ．x1 2 3 4 5()f x5431 24．函数()f x 满足：(1)(3),f x x x x R +=+∈，则()f x = ． 5. 函数y =|x －1|的减区间是．6、函数1322+-+-=x x x x y 的值域为．7．奇函数)(x f 在),0(+∞上的解析式是)1()(-=x x x f ，则在)0,(-∞上)(x f 的函数析式是_______________. 8. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(3)=5，求满足f(-3)＝三、解答题1．（本小题满分8分）已知集合{},71|≤≤=x x U {}52|≤≤=x x A ，{}73|≤≤=x x B ，求:（1）A B ；（2）()U C A B ；（3）)(B C A U2．（本小题满分9分）设集合2{320}A x x x =-+=，22{2(1)(5)0}B x x a x a =+++-= (1)若{2}A B =，求实数a 的值；(2)若A B A =，求实数a 的取值范围．3.已知函数0.5()l g (42)f x o x =-，（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）判断并证明函数)(x f y =在定义域上的单调性；4．（本小题满分10分）已知函数21)(xbx x f ++=为奇函数。

高考数学专题培优20讲(含答案)

培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y x x =+-________．【答案】1【解析】易知函数1y x x =+-[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C 【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =- ()()160f f ==，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为对点增分集训奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=，又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =．从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -= C ．()1e x f x -+= D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-． 11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称，即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =，则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C．2⎡⎣ D．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=，若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2+，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x+->，得220x x ax -+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞，当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x=+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==．（3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数．（2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+．故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．【答案】见解析【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

高中数学培优班专题资料（包含答案）

空间几何体的表面积和体积培优班专题资料考点一几何体的表面积(1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q＝( ) A.8πB.6πC.π6D.π8解析由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6πB. 答案 B(2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．58C ．60D ．63解析由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32＋2×1×3＝60. 答案 C(3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D(4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 答案 B(5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C. 答案 C(6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.答案 B(7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2解析由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2)．答案 D(8)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.(9)(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋3C ．21D ．18解析根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.答案 A(10)(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋（5－2）2]×4＝92.答案 92考点二几何体的体积(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3. 故选D. 答案 D(2)(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C(3)(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π解析这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A (4)(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCDV V --＝1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D(5)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案 C(6)(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3解析如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.答案 D(7)(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113解析圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝⎛⎭⎫L 2π2h ＝L 2h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.答案 B(8)(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国，11)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析如图，H 为△ABC 的外接圆圆心，则∠BHC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，则1＝BC 2＝HC 2＋HB 2－2HC ·HB ·cos 120°＝3r 2， ∴r ＝33. 连接OH ，根据球的截面性质知，OH ⊥平面ABC ，∴OH ＝OC 2－CH 2＝1－13＝63∵O 为SC 的中点，∴S 到平面ABC 的距离为2OH ＝263，∴V S ABC ＝13S △ABC ×263＝13×34×263＝26.答案 A(10)(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案7(11)(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23，故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32答案 32(12)(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED 2AF ·S △ABC＝1∶24.答案 1∶24。

高一数学培优拔高讲义第四讲精编版

高一数学培优拔高讲义第四讲函数的整体性质与函数图像【知识方法导航】1.函数的奇偶性与周期性：奇函数；偶函数；周期函数。

2.判断函数奇偶性的方法：定义法；等价转化法；性质法；图象法。

3.判断函数周期性的方法：定义法；公式法；迭代法；图象法。

4.两个重要函数的性质：线性分式函数的性质；对勾函数的性质。

5.函数的图像：描点法作图；变换法作图(平移、伸缩、对称、翻折)。

6..简单的对称问题：关于直线a x =对称问题；关于点),(b a 对称问题。

【题型策略导航】1. 已知函数y=()f x 是偶函数，y=(2)f x -在[0,2]上是单调减函数，则( )A. (0)f <(1)f -<(2)fB. (1)f -<(0)f <(2)fC. (1)f -<(2)f <(0)fD. (2)f <(1)f -<(0)f变式：1. 定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为：（）A.(3,0)(0,3)-B.(,3)(3,)-∞-+∞C.(3,0)(3,)-+∞D.(,3)(0,3)-∞-2. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是减函数，(2)0f =，则使得()f x <0的x 的取值范围是。

3.若)(x f 在),4(+∞上为减函数，且对任意实数x ，都有)4()4(x f x f -=+，则（）.A )3()2(f f > .B )5()2(f f > .C )5()3(f f > .D )6()3(f f >2. 奇函数()f x 的定义域是R,当x>0时，22)(2++-=x x x f ，求()f x 在R 上的表达式，并作出的图像。

变式：1.设函数()f x 是R 上的奇函数，并且当[0,)x ∈+∞时，()f x =(1x ，当(,0)x ∈-∞时，求()f x 。

高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解

高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解高一上学期数学（必修1+必修4）期末复培优专题卷一．选择题1.已知定义域为实数集的函数f（x）的图像经过点（1，1），且对任意实数x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则不等式的解集为（）。

A。

（-∞，1）∪(1，+∞) B。

（-∞，+∞）C。

（1，+∞） D。

（-∞，1）2.对任意x∈[0，2π]，任意y∈（-∞，+∞），不等式-2cosx≥asinx-x恒成立，则实数a的取值范围是（）。

A。

[-3，3] B。

[-2，3] C。

[-2，2] D。

[-3，2]3.定义在实数集上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx-x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）。

A。

(-∞，-1/2) B。

(-∞，0)C。

(-1，+∞) D。

(0，+∞)4.定义在实数集上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f （x-1）的图像关于点（1，0）对称，若f（x-2x）+f（2b-b）≤0，且-2≤x≤2，则x-b的取值范围是（）。

A。

[-2，0] B。

[-2，2] C。

[0，2] D。

[0，4]5.设函数f（x）=x^2-2x+1，当x∈[-1，1]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）。

A。

(-∞，-1) B。

(-1，+∞)C。

(-∞，1) D。

(-∞，-2)6.定义域为实数集的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=x^2-x，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥-t+2恒成立，则实数t的取值范围是（）。

A。

[2，3] B。

[1，3] C。

[1，4] D。

[2，4]7.已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f （x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4-cosx；③f（x）=|sinx|；④f（x）=|x|+1.其中为“三角形函数”的个数是（）。

高一数学培优卷三

高一数学培优卷三1.已知三个不等式0342<+-x x ①，0862<+-x x ②，0922<+-m x x ③，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是（）A ．9>mB ．9=mC ．m ≤9D ．m <0≤9答案：C2.不等式①x 2－4x+3<0 ②x 2－6x+8<0 ③2x 2－9x+m<0如果同时满足①、②的变量x 也满足③时，则m 范围为（）A ．m>9B ．m<6C ．m ≤6D ．m ≤9答案：D3.已知集合{}{}141,01522+≤≤+=≤--=a x a x B x xx A，且AB ⊆，则a 的取值范围是（）(A) 1≤a (B)≥a (C) 10≤≤a (D)14≤≤-a答案：A4若不等式02>++c bx ax 的解集为},21|{<<-x x 那么不等式axc x b x a 2)1()1(2>+-++的解集为( )（A ）{}30|<<x x （B ）{}30|><x x x 或（C ）{}12|<<-x x (D)}12|{>-<x x x 或答案：A5.若条件p:|x+1|≤4，条件q :x 2＜5x －6，则﹁p 是﹁q 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A6.若不等式02>++c bx ax 的解集为()2,1-，则不等式ax c x b x a 2)1()1(2>+-++的解集为( )（A ）()1,2- （B ）()()+∞∞-,30, （C ）()3,0 (D ) ()()+∞-∞-,12, 答案：C7．已知抛物线方程为b a c bx ax y ,0(2>++=、)R c ∈.则“此抛物线顶点在直线y=x下方”是“关于x 的不等式x c bx ax<++2有实数解”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件答案：A 8.命题p :如果x 2+2x +1－a 2<0,那么－1+a <x <－1－a . 命题q :a <1.那么，q 是p 的（）条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要D.既不充分也不必要答案：A9.若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =A.[1,0]-B.[0,)+∞C. [1,)+∞D.(,1]-∞- 答案：B10.不等式x x >+2的解集是（）A ．（－1，2）B ．[0，2]C ．[2，－2]D ．[0，+∞]答案：A 11.若不等式052>++c x ax的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<R x x x ,2131|，则c a -= 答案-512.若关于x 的方程4x 2-4x +m =0在[-1，1]上至少有一个实根，则m 取值范围是_________.答案：-8≤m ≤1。

高一数学培优辅导专题(数列之等差数列)

A. a1 a101 0
B. a2 a100 0

C. a3 a99 0
）
D. a51 57
20、如果 f (n 1) f (n) 1, n N , 且 f (1) 2, 则 f (100) （
A. 99
B. 100
C. 101
D. 102
)
21、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a17＝10，则 S19＝( A．55 B．95C．100 D．190

__________
1 1 1 1 1、求数列 1 , 2 , 3 ,4 … 的前 n 项和。 2 4 8 16
2、已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性．
3、已知{an}是等差数列，且 a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第 2 项，第 4 项，第 6 项，…，第 2n 项，按原来顺序组成一个新数列{ bn }，试求出 { bn }的通项公式．
高一数学培优辅导专题（数列之等差数列）
1 1 1、已知数列{an}的首项为 a1＝1，且满足 an＋1＝ an＋ n，则此数列第 4 项是( 2 2 1 3 5 A．1 B. C. D. 2 4 8 2、数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 3、数列 2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝n＋2 D．an＝2n 4、数列 2，5，的一个通项公式是（ 2 2，11 ， A. an 3n 3 B. an 3n 1 ） )

高中数学培优专题

高中数学培优专题专题一：数列与数学归纳法一、知识点梳理1、数列的定义、分类及通项公式；2、等差数列与等比数列的判定与性质；3、数列求和的方法：裂项相消法、错位相减法等；4、数学归纳法的原理与应用。

二、难点突破1、数列的综合问题常常涉及到不等式、函数等知识点，需要灵活运用相关知识进行求解；2、数学归纳法在证明一些与自然数有关的命题时非常有用，但使用时需要注意初始条件和递推关系的正确性。

三、典型例题1、已知数列{an}满足an+1=an+log2(3n−1)(n∈N∗)，且a1=2，则a4=，an=．2、已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+log3(1−2n+12)，则a41=____．3、已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n(n∈N∗)，则a4=____．4、用数学归纳法证明：(a−b)∗(a2−b2)∗…∗(an−1−bn−1)=a−ban−bn．5、用数学归纳法证明：1+221+321+…+n21<34−3n1．专题二：解析几何一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系判定；2、圆锥曲线的标准方程与几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系判定；4、最值问题与定点定值问题。

二、难点突破1、解决解析几何问题需要灵活运用几何性质和代数方法；2、对于最值问题和定点定值问题，需要构建适当的代数表达式，并进行合理的转化。

三、典型例题1、圆心在直线x−2y−3=0上的圆C与y轴交于两点A(0,1)、B(0,4)，则圆C的方程为____．2、过点(0,2)且与直线x−y−5=0垂直的直线方程为____．3、已知椭圆C：4x2+y2=1，不与坐标轴垂直的直线l过点(0,1)．(1)求证：直线l与椭圆C有公共点；(2)设直线l与椭圆C交于两点A，B，求OA∗∗OB∗的最大值．4、在平面直角坐标系xOy中，直线l：kx - y + 1 + k = 0(k∈Z)．给出下列四个命题：①当k = 3时，存在实数m，使得直线l₁：y = mx + 2与直线l有公共点；②若直线l和直线x + k(y - 1) = 0互相垂直，则k = 0或k = - 2；③若直线l与x轴正半轴相交，则k < - 1；④若命题“直线l₁：y = k(x - 1)与直线l平行”为真命题，则k的取值范围是R．其中真命题的序号是____（写出所有真命题的序号）．5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，点A(m,0)在抛物线C上，且C与直线y = x - m相切于点D．过点A作抛物线C的切线交抛物线C于点B，并交直线y = -m于点E．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：AD∗∗AE∗=0；(3)设点D的横坐标为x0，求x0∣BE∗∣的取值范围．专题三：函数与导数四、知识点梳理1、函数的定义域与值域；2、函数的单调性与奇偶性；3、导数的概念与运算；4、导数在研究函数中的应用。

高一数学培优(第2讲)

第2讲破解“恒成立”、“能成立”问题（主讲：楚洲）函数与不等式的恒成立、能成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题.为了更好地准确地快速解决这类问题，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.类型一“Δ”法解决恒成立问题【例1】已知不等式kx2＋2kx－(k－2)＞0恒成立，求实数k的取值范围.类型二数形结合法解决恒成立问题【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.类型三分离参数法解决恒成立问题【例3】设函数y＝mx2－2mx＋1，2≤x≤3，若y＞－3m＋7恒成立，求实数m的取值范围.类型四主参换位法解决恒成立问题【例4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围.类型五利用图象解决能成立问题【例5】当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为________.类型六转化为函数的最值解决能成立问题【例6】若存在x∈R，使得4x＋mx2－2x＋3≥2成立，求实数m的取值范围.【一阶训练】1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎨⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎨⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎨⎧ a <0，Δ>0D.⎩⎨⎧a <0，Δ<0 2．若关于x 的不等式－x 2＋mx －1≥0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≤－2或m ≥2}B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}3．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a <－4或a >4}4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}5．(多选)不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <2D ．a <06．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤27.命题“∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≥5C ．a ≤4D ．a ≤5【二阶训练】1.已知a >0，b >0，且2a －b ＝1，若不等式2a －1b ≤m 恒成立，则m 的最小值等于( )A .10B .1C .8D .7 2.若当－1≤a ≤1时，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A .{x |x ＜1或x ＞3}B .{x |x ≤1}C .{x |x ＞3}D .{x |x ≤1或x ≥3}3．已知1≤x ≤2，x 2－ax >0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≤1D ．a <14．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |－1<m <4}B ．{m |m <0或m >3}C ．{m |－4<m <1}D ．{m |m <－1或m >4}5.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤2，若∃x ∈A ，使不等式x 2－ax ＋1＜0成立，则实数a 的取值范围为________.6. 当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________________．7. 若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围【三阶训练】1．设p ：“∀x ∈R ，x 2－mx ＋1>0”，q ：“－2≤m ≤2”，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若不等式(a －3)x 2＋2(a －2)x －4＜0对于一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－22，22)D ．(－∞，2)3．对任意x 满足－1≤x ≤2，不等式x 2－2x ＋a <0成立的必要不充分条件是( )A ．a <－3B ．a <－4C ．a <0D ．a >04．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是_______．5．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________．6．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________．7．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．.。

高一数学培优拔高讲义第三讲

基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的______两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)___f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)___f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右图象是_____的自左向右图象是_____的 (2) 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件.①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 结论M 为最大值 M 为最小值一个防范：函数单调性是对某个区间而言的，所以讲单调性一定要指明区间；．如y ＝1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调减，但在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内不单调，即它的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两条结论; (1)闭区间上的连续函数一定存在最值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最值．三种等价形式： f (x )在[a ，b ]上是增函数121212,[,],,()()x x a b x x f x f x ⇔∀∈>>若则；121212,[,],()(()())0x x a b x x f x f x ⇔∀∈-->有；121212()(),[,],0f x f x x x a b x x -⇔∀∈>-有；四种方法: 判断函数单调性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)复合函数法；(4)导数法；【题型策略导航】1.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是。

高一数学培优班讲义集合

高一数学集合一、集合中元素的互异性例1: 设集合A={2，a 2-a+2,1-a},且4∈A ，求a 的值.针对练习①:1. 已知集合{}21,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件.2. 已知数集}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，}5,1,{+-+=b a b a B .若B A =，求实数b a ,的值.二、注意空集例2、已知集合A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<3m+5}满足B ⊆A,求实数m 的取值范围.针对练习②:1、已知M={x|x 2+2x+1=0}, N={x|ax-1=0},且N ⊆M,求a 的值.2. 若集合}223|{,}5312|{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，求能使B A A ⊆成立的所有a 的集合.三、分类讨论例3、已知集合A={x|x 2+4x=0}, B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}, 若B ⊆A,求实数a 的值.针对练习④:1. 集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，求实数m 的值2. 若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有多少个?四、注意一些等价关系的应用常用等价关系填空：(1)若A ⊆B,则A ∩B=______, A ∪B=_________;(2)若A ∩B=A,则A____B, A ∪B=A,则A______B;(3)若A ∩B=A ∪B,则A_____B;(4)若φA,意味着什么？___________________(5)C U (A ∩B)______(C U A)∪(C U B);(6)C U (A ∪B)______(C U A)∩(C U B).例4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若A∩B=B，求实数a的取值范围.针对练习④:1、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2－3x+2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q的值.2、已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若φA，求实数a的取值范围.3、集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．家庭作业(集合)姓名:1. 已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，求常数a 的取值范围.2. 集合A={x|mx 2-2x+1=0,x ∈R},若集合A 中至多有一个元素，求实数m 的取值范围.3. 已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，求实数m 的取值范围.4.}065|{,}019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，}082|{2=-+=x x x C ，且φ=C A ，（1）若φ≠B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围集合(过关检测)1. 给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________。

高一数学培优练习(3)

高一数学培优练习（8）班级姓名学号得分批改日期 1、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=3、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n nA nB n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是4、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= 5.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为6.在等比数列==+=101810275,5,6,}{a a a a a a a n 则中7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．8、各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于 9、已知等差数列}{n a 的公差，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为．10、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若31=a ，前三项的和为21 ，则=++654a a a 11.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题序号是12．给出下面四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等。

高一数学培优卷二

高一数学培优卷二1.设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁RQ ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)3.已知x ＝ln π，y ＝ log 52，z ＝e21-，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x4．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)5．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 56．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)7．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )8．已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)9.已知定义在R 上的单调函数f (x )满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立．则：(1)f (1)＋f (0)= ________ ；(2)x 0=________．10.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 014)＝________.11．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.12.若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，实数a 的取值范围为________．13.定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．14．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________． 15．设集合A ＝{x |2(21log x )2－21log 8x ＋3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x )＝log 2x 2a ·log 2x 4的最大值为2，求实数a 的值．16．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．参考答案：1.解：∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数． 2.解：选D因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线x ＝a 与函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．3．解：因为ln π＞ln e ＝1，log 52＜log 55＝1，所以x ＞y .故排除A 、B ；又因为log 52＜log 55＝12，e －12＝1e ＞12，所以z ＞y .故排除C. 4.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C5.解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B6.解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.7.解析：由图可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )是单调递减函数，所以0<a <1，又因为f (x )＝log a (x ＋b )的图象与x 轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b <1，根据上述参数a ，b 的特点，函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致如B 项所示．答案：B8.解析：：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t >0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4>0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.9.解： (1)因为对于任意实数x 1，x 2，总有f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立，令x 1＝1，x 2＝0，得f (x 0)＝f (x 0)＋f (0)＋f (1)，所以f (0)＋f (1)＝0.(2)令x 1＝0，x 2＝0，得f (0)＝f (x 0)＋2f (0)，即f (x 0)＝－f (0)．故f (x 0)＝f (1)．又因为f (x )是单调函数，所以x 0＝1.10.解：取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立，得f (n ＋2)＝－f (n －1)，所以f (n ＋3)＝－f (n )，f (n ＋6)＝－f (n ＋3)＝f (n )，所以函数的周期为T ＝6，故f (2 014)＝f (4)＝－f (1)＝－14.11.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|，∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．12.解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．13.解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.14.解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.15.解：∵A ＝{x |2(log 2x )2－7log 2x ＋3≤0}＝{x |12≤log 2x ≤3}＝{x |2≤x ≤8}，而f (x )＝(log 2x －a )(log 2x －2)＝(log 2x )2－(a ＋2)log 2x ＋2a ，令log 2x ＝t ，∵2≤x ≤8，∴12≤t ≤3.∴f (x )可转化为g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋2a ，其对称轴为直线t ＝a ＋22，①当t ＝a ＋22≤74，即a ≤32时，[g (t )]max ＝g (3)＝2⇒a ＝1，符合题意；②当t ＝a ＋22>74，即a >32时，[g (t )]max ＝g (12)＝2⇒a ＝116，符合题意．综上，a ＝1或a ＝116.16.解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x ≥m ，设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0,1)，由题意，知只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．。