12-1函数的傅里叶级数展开
傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
电工技术-第十二章 非正弦交流电
❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下， 电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电 路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为 基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一 系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中 所遇到的各种波形的周期信号， 都可以由许多不同频率的正弦 波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路 中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路 的各电流分量（或电压分量）进行叠加， 即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直 流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次 对称性。
《电工技术》
第十二章 非正弦交流电
12-1 非正弦量的 （傅里叶级数）分解与计算
傅里叶级数展开
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。
傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域中有广泛应用，并且被认为是研究周期现象的基础工具之一。
1. 傅里叶级数展开的基本原理傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解为正弦函数和余弦函数的叠加。
根据傅里叶级数的表达式，一个周期函数可以表示为无限多个正弦和余弦函数的和，即：f(x) = a0 + Σ(An * cos(nωx) + Bn * sin(nωx))其中，a0表示直流分量，An和Bn表示函数f(x)中的谐波系数，ω为频率，n为谐波阶数。
由此可知，通过傅里叶级数展开，一个周期函数可以分解为不同频率的谐波信号的叠加。
2. 傅里叶级数的计算公式根据给定周期函数的表达式，我们可以通过一系列复杂的积分计算，求得傅里叶级数展开的各个系数。
对于奇函数和偶函数，傅里叶级数的计算公式有所不同。
- 对于奇函数f(x)，即满足 f(-x) = -f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (1/π) * ∫[0, π] f(x) * sin(nωx) d x- 对于偶函数f(x)，即满足 f(-x) = f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (2/π) * ∫[0, π] f(x) * cos(nωx) dx在实际计算中，为了减小计算量，通常只考虑有限个谐波分量，而不是无限个。
通过计算傅里叶级数展开的前几个系数，就可以对周期函数进行较好的逼近。
3. 傅里叶级数的应用傅里叶级数展开在信号处理中有重要的应用。
通过傅里叶级数展开，可以将任意信号分解为基本频率的叠加，从而分析信号的频谱特性。
这对于音频信号的处理、图像处理、振动分析等方面非常重要。
此外，傅里叶级数展开还广泛应用于物理学领域，特别是波动现象的研究中。
通过将波动的形态分解为不同频率的谐波信号的叠加，可以更好地理解和描述波动现象。
常用傅里叶级数展开公式
常用傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开是指将一个周期函数表示成一组正弦和余弦函数的和的形式，从而方便研究周期函数的性质。
傅里叶级数理论建立于 1822 年由法国数学家约瑟夫·傅里叶发现。
在数学、物理、工程等领域均有广泛应用。
下面我们来看一下常用的傅里叶级数展开公式。
1. 周期函数的傅里叶级数展开设 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数，则对于$x\in(-l,l)$ 函数 $f(x)$ 可以表示为以下形式：$$ f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}) $$其中，$a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数，具体计算方法如下：$$ a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx $$$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx $$$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx $$2. 正弦级数和余弦级数上面提到的傅里叶级数展开可以分为正弦级数和余弦级数。
当 $f(x)$ 为偶函数时，我们就可以展开成余弦级数形式：$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos \frac{n\pi x}{l} $$其中，$a_0,a_n$ 的计算方法与上述相同。
当 $f(x)$ 为奇函数时，我们就可以展开成正弦级数形式：$$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \sin\frac{n\pi x}{l} $$其中，$b_n$ 的计算方法也与上述相同。
3. 周期不为 $2l$ 的函数的傅里叶级数展开对于周期不为 $2l$ 的函数，我们需要将其转化为一个周期为 $2l$ 的函数，并称其为 $F(x)$，然后再做傅里叶级数展开。
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式
傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数公式的计算公式提供了一种将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和的方法。
这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有重要应用。
在本文中，将详细介绍傅里叶级数展开和收敛性的计算公式。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将周期为T的函数f(t)表示为一组三角函数的和。
傅里叶级数展开的计算公式如下：f(t) = a0 + Σ (an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中a0、an和bn分别为系数，ω为角频率，n为正整数。
根据这个公式，我们可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开的关键是计算系数a0、an和bn，这里不再赘述具体的推导过程。
二、傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数的收敛性是指在何种条件下，傅里叶级数能够无限接近原函数f(t)。
傅里叶级数的收敛性可以通过计算系数a0、an和bn来确定。
1. 正弦级数的收敛性对于奇函数，即满足f(-t)=-f(t)的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数。
对于奇函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = Σ (bn*sin(nωt))，其中bn的计算公式为：bn = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*sin(nωt)} dt。
当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对奇函数收敛。
这些条件包括函数f(t)在一个周期内有有限个有界不连续点，并且在这些点上的左右极限存在。
2. 余弦级数的收敛性对于偶函数，即满足f(-t)=f(t)的函数，其傅里叶级数只包含余弦函数。
对于偶函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = a0/2 + Σ (an*cos(nωt))，其中a0和an的计算公式为：a0 = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)} dt，an = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*cos(nωt)} dt。
同样地，当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对偶函数收敛。
傅里叶级数展开系数公式
傅里叶级数展开系数公式简介傅里叶级数展开是一种重要的数学工具，用于将周期函数表示为无穷三角级数的形式。
傅里叶级数展开的关键在于求解各个三角函数的展开系数。
本文将介绍傅里叶级数展开系数的计算公式及其应用。
基础概念傅里叶级数展开是将周期函数表示为基本频率及其倍数的正弦和余弦函数的线性组合。
周期函数可表示为以下形式：$$f(x)=a_0+\su m_{n=1}^{\in ft y}(a_n\c os(n x)+b_n\s in(n x))$$其中$a_0$为直流分量，$a_n$和$b_n$为展开系数，$n$为频率。
傅里叶级数展开系数计算公式直流分量$a_0$直流分量$a_0$表示周期函数在一个周期内的平均值，通过以下公式计算：$$a_0=\f ra c{1}{2\pi}\i nt_{-\pi}^{\p i}f(x)d x$$余弦展开系数$a_n$余弦展开系数$a_n$表示周期函数中余弦函数的展开系数，通过以下公式计算：$$a_n=\f ra c{1}{\pi}\in t_{-\p i}^{\pi}f(x)\c os(n x)dx$$正弦展开系数$b_n$正弦展开系数$b_n$表示周期函数中正弦函数的展开系数，通过以下公式计算：$$b_n=\f ra c{1}{\pi}\in t_{-\p i}^{\pi}f(x)\s in(n x)dx$$傅里叶级数展开的应用傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
信号处理在信号处理中，傅里叶级数展开被用于将周期信号分解为不同频率的分量，从而进行滤波、频谱分析等操作。
图像处理在图像处理中，傅里叶级数展开可用于图像压缩、滤波以及图像复原等操作。
通过将图像转换到频域，可以对图像进行频率域的处理。
物理学在物理学中，傅里叶级数展开可以用于描述周期性现象，如声音、光线等。
将物理现象表示为傅里叶级数的形式，可以方便地进行分析和计算。
总结傅里叶级数展开是一种重要的数学工具，用于将周期函数表示为无穷三角级数的形式。
周期信号的傅里叶级数表
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数， 称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐 波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
常见傅里叶公式展开式
常见傅里叶公式展开式傅里叶级数是一种用三角函数序列表示周期函数的方法。
其中，常见的傅里叶公式展开式有以下几种：正弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的正弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。
余弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的余弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。
奇函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个奇函数，即满足f(-t) = -f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为正弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，bn是奇函数f(t)展开式中的系数。
偶函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个偶函数，即满足f(-t) = f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为余弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0和an是偶函数f(t)展开式中的系数。
通过使用傅里叶公式展开式，我们可以将一个周期函数表示为一系列三角函数的线性组合，从而简化对周期函数的分析和计算。
请注意，以上展开式中的系数a0、an和bn需要根据具体函数的性质进行计算，并且展开式的收敛性需要进一步分析。
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。
2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。
正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。
除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。
这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。
总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。
在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。
傅里叶级数复指数展开公式
傅里叶级数复指数展开公式傅里叶级数复指数展开公式是一种将任意周期函数展开为一系列正弦和余弦函数的方法。
它被广泛应用于信号处理、电子工程和物理学等领域。
在这篇文章中，我们将详细介绍傅里叶级数复指数展开公式，包括其基本原理、数学推导和应用示例。
首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为正弦和余弦波的和的方法。
考虑一个周期为T的函数f(t)，它可以表示为如下形式的级数：f(t) = a0 + a1*cos(ωt) + a2*cos(2ωt) + a3*cos(3ωt) + ...其中，ω是频率，a0、a1、a2等是系数。
这个级数称为傅里叶级数展开。
现在，我们介绍傅里叶级数复指数展开公式。
傅里叶级数复指数展开公式将傅里叶级数中的余弦函数用复指数函数表示。
它的形式如下：f(t) = ∑(c_n*exp(inωt))其中，c_n是系数，n是一个整数，ω是角频率。
这个公式的好处是简化了计算，因为复指数函数具有较简单的性质。
为了推导傅里叶级数复指数展开公式，我们需要介绍欧拉公式。
欧拉公式是一个重要的数学公式，它将复指数函数表示为正弦和余弦函数的和：exp(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)将欧拉公式应用于傅里叶级数中的复指数项，可以得到：f(t) = ∑(c_n*cos(nωt) + i*c_n*sin(nωt))再将正弦函数用e^ix和e^-ix的形式表示，可以得到：f(t) = ∑(c_n/2*(e^(inωt) + e^(-inωt))) +∑(i*c_n/2*(e^(inωt) - e^(-inωt)))将上述两个级数合并，可以得到傅里叶级数复指数展开公式。
在展开公式中，每一项都是一个复指数函数的和，其中包含傅里叶级数的系数c_n和相应的频率nω。
傅里叶级数复指数展开公式具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，它可以用于将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的和，以便分析和处理。
函数的傅里叶级数展开
a 2 0 n 1 (a n cn o s x b n sn in )x 三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 , c x , s x , c o 2 x , s i 2 x , o n c s n i , s n n , o s i
正交 :
任意两个不度 同2为 函 （数 通在 常 [ 长 取 ,]为 或 [0,2]上 ) 的积分 . 等于零
则以下极限式成立：
limb(u)sinpudu=0,
p a
limb(u)cospudu=0
p a
利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质
或 b an n 1 10 0 2 2 ff((x x))scio n n nsx x,,d d((n n x x 1 0 ,,2 1,, 2, ))
傅里叶级数
a 2 0 n 1 (a ncn o s x b nsinn )x
问题:
f( x )条 ? a 2 0 件 n 1 ( a n cn o b n x s sn i)n x
consx d0x , sin nx d0x ,
sm in sn ixn x 0 d ,, m m x n n , cm oc sx n os x 0 d ,, m m x n n , sim ncxo nsxd 0.x( 其 m ,n 1 中 ,2 , )
( t ; t 0 , , 2 , )
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
12
2
b n
xsin n x d x
0
傅里叶级数的定理
傅里叶级数的定理傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式的数学工具。
它是由法国数学家傅里叶在18世纪提出的，被广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。
傅里叶级数的定理提供了一种将任意周期函数分解为正弦和余弦函数的方法，使得我们可以更好地理解和分析周期性的现象。
傅里叶级数的定理可以简单地表述为：任意一个周期为T的函数f(x)可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，即f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中an和bn是傅里叶系数，表示了函数f(x)中各个频率分量的振幅，ω=2π/T是角频率。
a0是直流分量，对应于频率为0的分量。
傅里叶级数的定理是基于正交函数的思想而来。
正交函数是指在某个区间上两两内积为0的函数。
在傅里叶级数中，正弦和余弦函数是互相正交的，因此可以通过内积运算来确定各个傅里叶系数的值。
傅里叶级数的定理在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，使得我们能够更好地理解函数的频域特性。
其次，傅里叶级数的定理为信号处理提供了一种便捷的方法，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
此外，傅里叶级数还被广泛应用于图像处理、音频处理和通信系统等领域。
傅里叶级数的定理具有一些重要的性质。
首先，对于一个具有奇对称性或偶对称性的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数或余弦函数。
其次，傅里叶级数的收敛性得到了严格的数学证明，即对于一个光滑的函数，其傅里叶级数可以收敛到原函数。
此外，傅里叶级数还满足线性性质，即两个函数的傅里叶级数之和等于它们的傅里叶级数之和。
傅里叶级数的定理虽然强大，但也有一些限制。
首先，傅里叶级数只适用于周期函数，对于非周期函数需要进行适当的处理才能使用傅里叶级数展开。
其次，傅里叶级数的展开系数需要通过积分计算，对于一些复杂的函数可能无法得到解析解，需要使用数值方法进行近似计算。
傅里叶级数的定理为我们理解和分析周期函数提供了一种有效的工具。
傅里叶级数展开计算
傅里叶级数展开计算傅里叶级数展开（Fourier series expansion）是一种将周期函数分解为一组简单正弦和余弦函数的方法。
在这个分解中，每个正弦和余弦的振幅和相位在某种意义上是唯一确定的。
傅里叶级数由以下公式表示：f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n{\omega}x)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n{\omega}x)其中，a_0是常数项，a_n和b_n是对应于余弦和正弦项的系数。
系数a_n和b_n是由f(x)的傅里叶系数公式确定的：a_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos(n{\omega}x)dxb_n= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin(n{\omega}x)dx其中，T是函数的周期，{\omega}=\frac{2\pi}{T}是角频率。
要计算傅里叶级数展开，我们需要知道周期函数的周期T、傅里叶系数a_n和b_n以及常数项a_0。
首先，确定周期T非常重要，因为它决定了正弦和余弦的频率。
如果我们选择了错误的周期，那么结果可能是意外的。
其次，我们需要计算傅里叶系数a_n和b_n。
傅里叶系数表示了函数在振动频率为n{\omega}时的幅度。
要计算a_n和b_n，需要对函数f(x)进行积分。
积分的区间是周期的一半，即从-\frac{T}{2}到\frac{T}{2}。
要计算积分，我们需要知道函数f(x)。
最后，我们需要计算常数项a_0。
由于傅里叶级数包含正弦和余弦项，没有确定的常数项可以产生等于常数项的函数值。
为了解决这个问题，我们需要计算平均函数值。
平均函数值可以通过求解傅里叶系数a_0的公式来计算：a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx在实际应用中，使用傅里叶级数展开来解决各种问题。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1
(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A
sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A
(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T
k
cke
jk 1 t
T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P
k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k
傅里叶级数表达式
傅里叶级数表达式
傅里叶级数展开可以写出如下形
式: f(x)=+∞∑n=∞cneinωx=+∞∑n=∞cneiωnx,n∈Z
傅里叶展开式(Fourierexpansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。
若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。
最简单的周期函数随时变化的正弦信号
f ( t ) = A sin ( ω t + ψ ) f(t)
=A\sin(\omega t+\psi)
f(t)
=Asin(ωt+ψ)
傅里叶级数
三角函数系的正交性
三角函数系：{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}，它由无数个sinnx和cosnx组成，其中n=0,1,2,…。
傅里叶就试图将周期为T 的函数f(x) 展开为sinx 和cosx 函数和的形式。
那怎么保证组合出来的函数周期依然为T 呢？
函数f=sinωt 的周期为T′=2πω，要使得原函数能够被三角函数表示，那么三角函数的粒度必然要小于原函数，即三角函数的最小周期T′ 必须小于原函数f(x) 的最小周期T，即
2πω≤T2πnω=T,n>0。
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
一般周期的傅里叶级数
FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx)]\]其中，\(f(x)\)是一个周期为\(2L\)的函数，展开式中的系数\(a_0\)、\(a_n\)和\(b_n\)是通过积分计算得到的。
系数的计算公式如下：\[a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) dx\]\[a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]\[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]这些公式将周期为\(2L\)的函数\(f(x)\)展开为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
下面是一些常见周期函数的傅里叶级数展开式的例子：1.方波函数:方波函数是一个在一些时间段内为常数，然后在另一个时间段内为负常数的函数。
其展开式如下：\[\text{sawtooth}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}\]2.矩形脉冲函数:矩形脉冲函数是一个在一些时间段内为常数，然后在另一个时间段内为零的函数。
其展开式如下：\[\text{rect}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}\]3.三角波函数:三角波函数是一个在一些时间段内线性地增加，然后在另一个时间段内线性地减小的函数。
其展开式如下：\[f(x) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1,3,5,...}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^2}\]4.锯齿波函数:锯齿波函数是一个在一些时间段内线性地增加，然后在另一个时间段内线性地减小的函数。
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导傅里叶级数的推导2016年12月14日09:27:47傅里叶级数的数学推导首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。
但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。
一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。
单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。
能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：１、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。
傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。
于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）这里，t是变量，其他都是常数。
傅里叶级数复指数展开公式
傅里叶级数复指数展开公式
傅里叶级数复指数展开公式是一种将任意周期函数展开为一组复指数的线性组合的公式。
该公式由法国数学家傅里叶在19世纪初提出，可以用来描述周期信号在频域内的频率分布特性。
具体而言，设$f(x)$为周期为$T$的函数，其傅里叶级数复指数展开式为：
$f(x)=sum_{n=-infty}^{infty}c_n e^{frac{2pi i}{T}nx}$ 其中$c_n$为常数系数，满足：
$c_n=frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(x)e^{-frac{2 pi i}{T}nx}dx$
这个公式说明了，任何周期函数都可以表示为一组正弦和余弦函数的和，而这些正弦和余弦函数的频率是整数倍的基频率，即$frac{1}{T}$。
通过计算这些频率成分的系数，我们可以得到该周期函数在频域内的频率分布情况。
傅里叶级数复指数展开公式是信号处理和通信领域中最为基础的公式之一，被广泛应用于信号分析、滤波、调制解调等方面。
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f
( x)dx
a0 2
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
1
a0
f ( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[ak
cos kx cos nxdx
bk
sin kx cos nxdx]
n1
an cos2 nxdx an,
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
sin t, 1 sin 3t, 1 sin 5t, 1 sin 7t,
4
43
45
47
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
(1)找出f(x)的间断点,求出收敛于?
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
在声学、光学、热力学中有非常重要的作用
在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用
物理学中最简单的波__谐波 A sin(t ) A __ 振幅, __ 角频率, __ 初相位.
在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角 波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
nxdx
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cos nxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
三、傅里叶级数系数
1.傅里叶系数
若有
f (x)
a0 2
(ak cos kx bk sin kx),
k 1
且右端级数一致收敛于f(x)
(1) 求a0 .
an
1
f
( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin
kx
sin
nxdx]
bn,
n1
bn
1
f
( x)sin nxdx
(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an
1
问题:
f
(x)
条件 ?
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
四.傅里叶级数的收敛判别法
设 f ( x)在[ , ]上可积和绝对可积，若 f(x)在 x 点的
左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：
lim f ( x x) f ( x 0) , lim f ( x x) f ( x 0) 都存在
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
x 0
x
x 0
x
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当 x是 f ( x)的间断点时, 收敛于 f ( x 0) f ( x 0); 2
注: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
1.把周期函数展为Fourier级数步骤:
0 t t 0
将其展开为傅立叶级数.
an
1
u(t)cos ntdt
0
(n 0,1,2,)
bn
1
u(t)sin ntdt
4Em (2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所求函数的傅氏展开式为
u(t
)
n1
4Em (2n 1)
sin(2n
1)t
( t ; t 0, , 2,)
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.源自解：bn1
2 x sin nxdx 2
0
n
a0
1
2
xdx 2 ,
0
an
1
2
x cos xdx 0
0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f (t ) A0 An sin(nt n )
n1
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sin n ,
bn An cos n ,
t x,
a0 2
(an
n1
cos nx
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
•第一节函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒 建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重 要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能 作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传 导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其 要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可 积，并且它可以整体逼近函数。
bn
sin nx)
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交 :
任意两个不同函数在长 度为2（通常取为[ , ] 或[0,2 ])上的积分等于零 .
cos
nxdx
0,
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
3
5
7
( t ,t 0)
一般地，
若有 f ( x) A0 An sin(n x n ) n1 A0 (an cos n x bn sin n x) n1
称右端级数为f ( x)所确定的傅里叶(Fourier)级数
问题：
(1)什么条件下可以把一个周期函数展开为傅里叶级数？
(2)如何展开？