中考数学押轴题型-费马点相关问题

费马点及其在中考中的应用

一、费马点的由来

费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1

7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．

二、探索费马点

1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A

C′=AC，

作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′= AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6 0°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P

P′，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′= AB+AC．所以A是费马点．

2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B

P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三

角形．因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC =P′A′+P′P+PC为最小．

当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠

BPP′=60°，∴∠BPC=120°．

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．

费马点相关问题

等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6 +√2，求直角边的长度？

解答：如图

将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，

三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，

所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+P B最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。

下证这时的点P就在角ACB的平分线上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，

得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。

所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。

延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，

设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x，

有2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。

所以AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

向左转|向右转

求角CBN 90度的方法：1.四边形内角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度

“费马点”与中考试题

费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

下面简单说明如何找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．

解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= P P′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=3 60°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作1 20°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法:是运用旋转变换．

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．

例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E 到A、B、C三点的距离之和的最小值为26

，求此正方形的边长

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