全等三角形压轴题及其分类解析.docx

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七年级下三角形综合题归类

一、双等边三角形模型

1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形

OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小；

（ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 .

B

C B C

E

E

D

O A O

A D

图 7图 8

2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O.

①求证： AN=BM

②求∠ AOB 的度数。

③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。

（湘潭·中考题）

N

M

O

P Q

A C B

同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点

连接 AF 和 BE.

C，

(1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论；

(2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判

断并说明理由；

(3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 .

图 c

3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证：

CD BE ，△ AMN 是等边三角形．

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（ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

图 9图10图11

同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD

的中点．

（ 1）求证：①BE CD；②AM AN ；

（ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到

图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 .

C

C N

N E D

A

M B

B D M

A E

图①图②

4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H．

（1）证明：△ABG≌△ADE；

（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；

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（ 3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（ 0°＜BAE＜180°），设△ ABE的面积为 S1，△ADG的面积为 S2，判断 S1与 S2的大小关系，并给予证明．

D

G

A

C

H

F E

B

5.已知：如图，△ ABC 是等边三角形，过AB边上的点 D 作DG∥BC，交AC 于点 G ，在 GD 的延长线上取点 E ，使DE DB，连接AE，CD ．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角

形，试证明你的结论．

A

E

D

G

B F C

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AC＝BC ，AE 是BC边上的中线，过 C 作 CF ⊥ AE，垂

足为 F ，过B 作BD⊥ BC交CF的延长线于D．

求证：（1） AE＝ CD ；（ 2）若AC＝ 12 cm，求BD的长．

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2. （西安中考）如图 (1), 已知△的一条直线 ,

且 B、 C在 A、 E 的异侧 , BD ⊥ AE 于0

ABC中 , ∠ BAC=90, AB=AC, AE是过 A

D, CE ⊥ AE于 E 。

图(1)图(2)图(3)

(1)试说明 : BD=DE+CE.

(2)若直线 AE绕 A 点旋转到图 (2) 位置时 (BD

何 ?写结论 , 并说明理由。

(3)若直线 AE绕 A 点旋转到图 (3) 位置时 (BD>CE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE、 CE的关系如

何 ? 写出结论 , 可不说明理由。

3.直线 CD 经过BCA的顶点 C ， CA=CB． E 、 F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA．

（1）若直线CD经过BCA 的内部，且E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若BCA 90o ,90o，则EF BE AF （填“”，“”或“”号）；

②如图 2，若0o BCA 180o，若使①中的结论仍然成立，则与BCA 应满足的关系是；

（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，线

段的数量关系，并给予证明．

BCA ，请探究EF、与BE、AF三条

B

E F D

B

B

F

E A

E D

C

C

F

C A 图 1

A D 图 2图3