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全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。

苏科版八年级数学上册 全等三角形(篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级数学上册 全等三角形(篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF =FG ，∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF ；（3）解：如图3，延长DC 到点G ，截取CG =AE ，连接BG ，在△AEB 与△CGB 中，∵AE CG A BOG AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△CGB （SAS ），∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ．∵∠EBF =45°，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =45°，∴∠CBF +∠CBG =45°．在△EBF 与△GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△GBF （SAS ），∴EF =GF ，∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.【解析】【分析】()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．()2延长ED 交AC 于F ，求出12DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．【详解】()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===点M 为EC 的中点，12BM EC ∴=，12DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，同理2DME ACM ∠∠=，22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD ∴是等腰直角三角形．()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC 于F，ADE和ABC△是等腰直角三角形，45BAC EAD∠∠∴==，AD ED⊥，ED DF∴=，M为EC中点，EM MC∴=，12DM FC∴=，//DM FC，45BDN BND BAC∠∠∠∴===，ED AB⊥，BC AB⊥，//ED BC∴，DEM NCM∠∴=，在EDM和CNM中DEM NCMEM CMEMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩EDM∴≌()CNM ASA，DM MN∴=，BM DN∴⊥，BMD∴是等腰直角三角形．()3BDM是等腰直角三角形，理由是：过点C作//CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDE≌MFC，DM FM∴=，DE FC=，AD ED FC∴==，作AN EC ⊥于点N ，由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=， //CF ED ，DEN FCM ∠∠∴=，BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，DBF ∴是等腰直角三角形，点M 是DF 的中点，则BMD 是等腰直角三角形，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．3．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，(1) 求证：点A 为BE 的中点(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,)7F；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，根据B、E点的坐标，可证明△AEG≌△ABO，从而根据全等三角形的性质得证；（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，然后根据全等三角形的判定得到△AEG≌△DAK，进而求出D点的坐标，然后设F坐标为（0，y），根据S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD可求出F的坐标；（3）连接MI、NI，根据全等三角形的判定SAS证得△MIN≌△MIA，从而得到∠MIN=∠MIA和∠MIN=∠NIB，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI，作IS⊥OM于S, 再次证明△HIP≌△SIC和△QIP≌△QIC，得到C△POQ周长.试题解析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，∵B（0，-4），E（-6,4），∴OB=EG=4，在△AEG和△ABO中，∵90EGA BOAEAG BAOEG BO∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB∴A为BE中点（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，∵∠FEA=45°，∴AE=AD，∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），设F（0，y），∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，∴()()()111347463222y y+⨯=+⨯++∴227y=∴220,7F⎛⎫⎪⎝⎭（3）连接MI、NI∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，∵MN MANMI AMIMI MI=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MIN≌△MIA（SAS），∴∠MIN=∠MIA，同理可得∠MIN=∠NIB，∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，∴∠AIB=135°×3-360°=45°，连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，可证△QIP≌△QIC，∴PQ=QC=QS+HP，∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.4．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，则△ADF为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，在△DEB和△CDF中，120EBD DFCEDB DCFDE CD，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD .(2). EB=AD 成立；理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB=DF ，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.5．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF .（1）试说明：△AED ≌△AFD ；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌得到ED FD =，再证明90DCF ∠=︒，利用勾股定理即可得出结论.()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .试题解析：()1ABE AFC ≌，AE AF =，BAE CAF ∠=∠，45,EAD ∠=90,BAC ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=在AED 和AFD 中，{AF AEEAF DAE AD AD ，=∠=∠=.AED AFD ∴≌()2AED AFD ≌，ED FD ∴=，,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒，45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.6．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12BC +CD .【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG是等边三角形，（2）∵△EFG是等边三角形，∴GF=EF=BE=12 BC，∵AD=AF+FG+GD，∴AD=AB+CD+12 BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．8．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82，BC=16．（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．【答案】（1）4；（2）8【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD ≌△QCD 则有CD=12CF ，即可得出BE +CD =8． 【详解】 解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP=CQ ，∵PF ∥AQ ，∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，又∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，∴∠B=∠PFB ，∴BP=PF ，∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，∴△PFD ≌△QCD ，∴DF=CD=12CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=8， ∴CD=12CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，∵PE ⊥BF ∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．9．已知：在ABC ∆中，,90AB AC BAC =∠=︒，PQ 为过点A 的一条直线，分别过B C 、两点作,BM PQ CN PQ ⊥⊥，垂足分别为M N 、.（1）如图①所示，当PQ 与BC 边有交点时，求证：MN CN BM =-；（2）如图②所示，当PQ 与BC 边不相交时，请写出线段BM CN 、和MN 之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-），理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件先证AMB CNA ≌∆∆，得到,AM CN BM AN ==，即可证得MN CN BM =-；（2）由（1）知AMB CNA ≌∆∆，得到,AM CN BM AN ==，即可确定MN BM CN =+.【详解】证明：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥，∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒，∴∠CAN+∠ACN=90︒，∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）∴BAM ACN ∠=∠，在AMB ∆和CNA ∆中，∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB CNA AAS ≌∆∆，∴,AM CN BM AN ==，∵MN AM AN =-，∴MN CN BM =-.（2）MN BM CN =+（或BM MN CN =-或CN MN BM =-）.理由：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥，∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒，∴∠CAN+∠ACN=90︒，∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）,∴BAM ACN ∠=∠，在AMB ∆和CNA ∆中，∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB CNA AAS ≌∆∆，∴,AM CN BM AN ==，∴MN AN AM BM CN =+=+.【点睛】此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.10．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE ⊥AC ，连结 DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF ⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．4. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-A B C DE P D A CB M N P DAC BO∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

7、如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ．1 已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：E D CB A A DBCEAE=AD+BEABDCE 12二、中点型由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线已知：如图2，在∆A B C 中，A B A C >，AD 是BC 边的中线。

“全等三角形”压轴题精选11道，含详细解答

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八上全等三角形常考压轴题汇总一、如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。

解：∵△ABC≌△AED∴∠D=∠B=50°∵∠ACB=105°∴∠ACE=75°∵∠CAD=10° ∠ACE= 75°∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°二、如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？解：∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，∴∠B′=∠B=30°，（关注公众号：初一数学语文英语）∵△AOB绕点O 顺时针旋转52°，∴∠BOB′=52°，∵∠A′CO是△B′OC的外角，∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．三、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，=180°-90°-60°=30°．四、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A等于多少？解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，（关注公众号：初一数学语文英语）得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°；故答案为：55°．五、已知，如图所示，AB=AC，（关注公众号：初一数学语文英语）AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD 是多少？因为AB=AC 三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)（关注公众号：初一数学语文英语）又因为AD垂直于BC于D，所以BC=2BD，BD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm（关注公众号：初一数学语文英语）六、如图，Rt△ABC中，（关注公众号：初一数学语文英语）∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则D是多少？解：∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠D=∠E∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE（关注公众号：初一数学语文英语）∵在△ABD与△CAE中∠ABD=∠CAE，∠D=∠E，AB=AC∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE∵DE=AD+AE∴DE=BD+CE∵BD=3，CE=2 ∴DE=5七、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

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专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题（解析版）题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△F AB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四，其中正确的结论个数为（）边形ABDEA．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠F AD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC ﹣CE）＝AF+AC＝2AC，∴AC＝（AB+AE），故③正确；∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD，∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确；故选：A．3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD 与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD ＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．考向2：动点问题4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝1或．【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1；综上所述，x的值为1或．故答案为1或．5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为1或1.5．【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1；②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，所以x的值是1或1.5.题型二：全等三角形的大压轴题6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝5，∠B1＝90°，∠A1+∠C1＝210°．（直接写出答案）；（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°，故答案为5，90°，210°．（2）如图1中，∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF．（3）如图2中，连接AC，A1C1．∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠B A A1D1，∠BCD ＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC＝OA+OB．【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG ＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA 证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM 平分∠COF，由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN 得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT ⊥y轴于T点，∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4，求DE+DF的值．【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB ＝AC，∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝＝12x．在Rt△BGC中，∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求点D坐标；（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°．∴∠ABO＝∠CAD．（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点D的坐标为（3，﹣2）；（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS），∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°，∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．（1）已知BD＝CE．①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE，∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，，∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG，∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE ＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：OC＝BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【解答】证明：（1）∵+（a﹣2b）2＝0，≥0，（a﹣2b）2≥0，∴＝0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝＝，AB＝＝，∴OA＝AB；（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC 和△BAD中，，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB ＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1）（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE．（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF，同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AE．14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC ＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．。

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。

专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)

专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．【分析】（1）如图①，连接ED，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠BCE，ED＝CE，于是得到结论；（2）如图②，连接DE，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠BCE，ED＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD，推出AF平分∠DAE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①连接ED，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠AED＝∠BCE，ED＝CE，∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC；∴∠AED+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝45°；（2）如图②，连接DE，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠ADE＝∠BEC，ED＝CE，∵ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，即∠ADE+∠ADC＝∠ECD，∴∠BEC+∠DAF＝∠AFC，∵∠BEC+∠EAF＝∠AFC，∴∠DAF＝∠EAF，∴AF平分∠DAE，∵∠DAE＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠EAF＝∠BAG，∴∠BAG＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．【分析】（1）由△BCD和△BEA为等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，进而得出∠DCE＝∠DAE，即可证明AE＝EC；（2）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，从而得出BF＝BG，FA＝CG，再通过等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD与△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD，BD=BC∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA为等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝EC＝AE；（2）证明：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE与Rt△BGE中，EF=EGBE=BE，∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE与Rt△CGE中，EF=EGEA=EC，∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，根据角平分线的性质得到CE＝EH＝BH，根据全等三角形的性质得到AH＝AC，于是得到结论；（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF＝BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF＝BG，进而得到BG＝BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，∴CE＝EH＝BH，在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EH AE=AE，∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），∴AH＝AC，∴AH＝BC，∵△EHB的周长为10m，∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；（2）如图所示，连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，∵AC⊥BD，DC＝BC，∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，∴∠BAD＝90°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，∴∠FDC＝90°，∵BG⊥BC，∴∠CBG＝∠CDF＝90°，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴DF＝BG，∴BG＝BE．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【分析】（1）利用SAS即可证明△BMD≌△AMC．（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】（1）证明：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMC BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS）；（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC FG=FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE ＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE∠ABE=∠AFE，AE=AE∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB=12（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH ＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．【解答】（1）解：EF＝DF+CF；在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等边三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，在△ECG和△CDF中，CG=CF∠ECG=∠ACD，CE=CD∴△ECG≌△CDF，（SAS）∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；（2）证明：在FQ上找到H点，使得FH＝FG，如图3，∵FQ平分∠DFG，∴∠QFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等边三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，在△DFG和△QHG中，∠DFG=∠QHG=120°FG=HG，∠FGD=∠QGH∴△DFG≌△QHG，（ASA）∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∵AJ ⊥CE ，AH ⊥BD ．∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°−12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°−12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF ≌△DMF （SAS ），可得GF ＝MF ，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝100°，∵BE 平分∠ABC 、CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB ＝50°，∴∠EDC ＝∠DBC +∠DCB ＝50°；方法二：如图，在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°−12∠ABC﹣∠DMB＝180°−12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．【分析】（1）证△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）设∠DAC＝∠DAE＝α，在AB上截取AM＝AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得∠DME＝∠B，然后证∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，即可得出结论；（3）求出MB＝AB﹣AM＝8，由全等三角形的性质得ME＝BE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，∠C=∠DEA∠DAC=∠DAE，AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：在△FAD和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAM，AD=AD∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴BE=12BM=4，即BM的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质求解即可；②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF ⊥BD．【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；②①中的结论成立，理由如下：如图②：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图③，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE∠CAF=∠EAD，AF=AD∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出合理的辅助线根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°，由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED＝45°，即可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，由“AAS”可证△ACD≌△ACG，可得CD＝CG，可得结论．【解答】证明：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠EAD＝∠CAB，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∵AF⊥CB，∴∠FAC＝45°，∴∠FAE＝135°；（3）∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴∠ADC＝∠ABG，∵AF⊥BF，BF＝FG，∴AB＝AG，∴AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，又∵∠ACG＝∠ACD＝45°，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴CD＝CG，∴CD＝BG+CB＝2BF+DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明△ACD≌△ACG是解题的关键．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠A＝90°，等量代换得出∠ADE+∠A＝90°，进而得出∠AED＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）过点G作GN∥FB交CD于点N，根据平行线的性质及垂直的定义推出∠AEG＝∠ANG＝90°，根据角平分线定义得出∠EAG＝∠NAG，利用AAS证明△EAG≌△NAG，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；（3）根据直角三角形的性质及对顶角相等得出∠DGH＝90°−13∠AGB，根据等腰三角形的性质推出∠DGH＝90°−12∠D，则90°−13∠AGB＝90°−12∠D，进而推出∠AGB=32∠D，则∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，结合（2）求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AB；（2）证明：如图2，过点G作GN∥FB交CD于点N，则∠GNC＝∠ACB＝90°，∴GN⊥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DEA＝90°，∴BE⊥DF，∴∠AEG＝∠ANG＝90°，∵AG平分∠EAC，∴∠EAG＝∠NAG，在△EAG和△NAG中，∠AEG=∠ANG∠EAG=∠NAGAG=AG，∴△EAG≌△NAG（AAS），∴∠DGA＝∠NGA，∴∠DGN＝2∠DGA，∵∠D+∠DGN＝90°，∴∠D+2∠DGA＝90°；（3）解：∵∠AGB＝3∠CBH，∴∠CBH=13∠AGB，∵∠DHG＝∠CHB＝90°﹣∠CBH，∴∠DGH＝90°−13∠AGB，∵∠DGH＝∠DHG，∴∠DGH=12（180°﹣∠D）＝90°−12∠D，∴90°−13∠AGB＝90°−12∠D，∴∠AGB=32∠D，∵∠DGH＝∠DGA+∠AGB，∴∠DGA+∠AGB＝90°−12∠D，∴∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，∴2∠D+∠DGA＝90°，由（2）知，∠D+2∠DGA＝90°，∴∠D＝∠DGA，∴3∠DGA＝90°，∴∠DGA＝30°．【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE＝EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF＝AB，同理CF＝CD，等量代换得到结论；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE＝180°，求得∠CFE＝∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAC，∴EF＝BE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∴EF＝DE，∵∠D＝90°，∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，在Rt△AEF与Rt△ABE中，BE=EF AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△ABE，∴AF＝AB，同理CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE与△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，∵AM∥CN，∴∠ABE+∠CDE＝180°，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，∵CE平分∠ACD，∴∠FCE＝∠DCE，在△CEF与△CDE中，∠CFE=∠CDE ∠FCE=∠DCE CE=CE，∴△CEF≌△CDE，∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．。

浙教版八年级数学上册 全等三角形压轴题及分类

浙教版八年级数学上册 全等三角形压轴题及分类

图8浙教版八年级数学上册 全等三角形压轴题及分类一、 双等边三角形模型1.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图cD图7BC3. 如图9，若△和△为等边三角形，分别为的中点，易证：ABC ADE ,M N ,EB CD ，△是等边三角形．CD BE =AMN （1）当把△绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请ADE A CD BE =证明；若不成立，请说明理由；（2）当△绕点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，ADE A AMN 请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②；AN AM =（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.图9 图10 图11图①图②4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG △ADE ；≌（2）试猜想BHD 的度数，并说明理由；∠（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE 的面积∠为，△ADG 的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．1S 2S 1S 2S 5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，ABC △AB D DG BC ∥AC G 在的延长线上取点，使，连接．GD E DE DB =AE CD ，（1）求证：；AGE DAC △≌△（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角E EF DC ∥BC F AF AEF △形，试证明你的结论．CGAEDBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．CF GEDBAH2、（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略(解析版)

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略(解析版)

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】【解题模型二一线三等角模型】【解题模型三三垂直模型】【解题模型四倍长中线模型】【解题模型五旋转模型】【典型例题】【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】1(2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试)已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．【答案】见解析【分析】连接BD，已知两边对应相等，加之一个公共边BD，则可利用SSS判定△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD，∵AB=CB，BD=BD，AD=CD，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠A=∠C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，HL等．【变式训练】1(2023秋·云南昆明·八年级统考期末)放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB=AC，DB=DC，他发现AD不仅平分你觉得他的发现正确吗？请说明理由．∠BAC，且平分∠BDC，【答案】他的发现正确，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可．【详解】解：他的发现正确，理由如下：在△ABD与△ACD中，AB=AC，BD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2(2023秋·湖南常德·八年级统考期末)中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气必须相等．动力的要求，两个翼角∠A,∠B(1)实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由；(2)若∠A=30°,∠P=40°，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】(1)连接PC，证明△APC≌△BPC，即可解答．(2)由三角形的外角的性质即可解答．【详解】(1)证明：如图，连接PC，在△APC 和△BPC 中，PA =PBCA =CB PC =PC，∴△APC ≌△BPC (SSS ),∴∠A =∠B ．(2)∵△APC ≌△BPC ，∠A =30°,∠P =40°，∴∠A =∠B =30°，∵∠ACB =∠ACE +∠BCE ，∠ACE =∠APC +∠A ,∠BCE =∠BPC +∠B ,∴∠ACB =∠APC +∠A +∠BPC +∠B =∠A +∠BPA +∠B =2×30°+40°=100°．【点睛】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．3如图，在四边形ABCD 中，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE =AF ，CE =CF．(1)若AE =8，CD =6，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE =S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE 求解即可；(2)由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC =∠DAB +∠ECF ．可得∠DAB +∠ECF =2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AFCE =CFAC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS )．∴S △ACE =S △ACF ，∠FAC =∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD =CB =6．∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24．∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48．(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC =∠BEC ．∵∠DFC =∠FCA +∠FAC ，∠BEC =∠ECA +∠EAC ，∴∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC=∠DAB +∠ECF ．∴∠DAB +∠ECF =2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．(1)试说明：DE =DF ：(2)在图中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE ，EG ，BG 之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB =60°，∠CDB =120°改为∠CAB =α，∠CDB =180°-α，G 在AB 上，∠EDG 满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE +BG =EG ，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，(2)中结论仍然成立．【解析】【分析】(1)首先判断出∠C =∠DBF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔCDE ≅ΔBDF ，即可判断出DE =DF ．(2)猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ΔABD ≅ΔACD ，即可判断出∠BDA =∠CDA =60°；然后根据∠EDG =60°，可得∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，再根据∠CDE =∠BDF ，判断出∠EDG =∠FDG ，据此推得ΔDEG ≅ΔDFG ，所以EG =FG ，最后根据CE =BF ，判断出CE +BG =EG 即可．(3)根据(2)的证明过程，要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，据此解答即可．(1)证明：∵∠CAB +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠CAB =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF +∠ABD =180°，∴∠C=∠DBF ，在ΔCDE 和ΔBDF 中，CD =BD∠C =∠DBFCE =BF∴ΔCDE ≅ΔBDF (SAS )，∴DE =DF ．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．证明：在ΔABD 和ΔACD 中，AB =ACBD =CD AD =AD，∴ΔABD ≅ΔACD (SSS )，∴∠BDA =∠CDA =12∠CDB =12×120°=60°，又∵∠EDG =60°，∴∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，由(1)，可得ΔCDE ≅ΔBDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠BDG +∠BDF =60°，即∠FDG =60°，∴∠EDG =∠FDG ，在ΔDEG 和ΔDFG 中，DE =DF∠EDG =∠FDGDG =DG∴ΔDEG ≅ΔDFG (SAS )，∴EG =FG ，又∵CE =BF ，FG =BF +BG ，∴CE +BG =EG ；(3)解：要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，∴当∠EDG =90°-12α时，CE +BG =EG 仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【解题模型二一线三等角模型】1(2023春·七年级课时练习)【探究】如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．若AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ．【应用】如图②，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC ，若△ABC 的面积为9，则△ABE 与△CDF 的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据∠A =∠BAE +∠ABE ，∠BAC =∠CAF +∠BAE ，得出∠ABE =∠CAF ，根据∠1=∠2，得出∠AEB =∠CFA ，再根据AAS 证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：S△ABE=S△CAF，进而得出S△CDF+S△CAF=S△ACD，根据CD=2BD，△ABC的面积为9，得出S△ACD=23S△ABC=6，即可得出答案．【详解】探究证明：∵∠A=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，又∵∠BAC=∠1，∴∠ABE=∠CAF，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠CFA ∠ABE=∠CAF AB=AC∴△ABE≌△CAF AAS；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴S△ABE=S△CAF，∴S△CDF+S△CAF=S△ACD，∵CD=2BD ，△ABC的面积为9，∴S△ACD=23S△ABC=6，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末)(1)问题发现：如图1，射线AE在∠MAN 的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，若∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，求证：△ABF≌△CAD；(2)类比探究：如图2，AB=AC，且∠BAC=∠BFE=∠CDE．(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点E在BC边上，CE=2BE，点D、F在线段AE上，∠BAC=∠BFE=∠CDE．若△ABC的面积为15，DE=2AD，求△BEF与△CDE的面积之比．【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4【分析】(1)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°即可得到∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，从而得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(2)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE得到∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，即可得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(3)根据△ABC的面积为15，CE=2BE，即可得到S△ABE=5，S△AEC=10，结合DE=2AD可得S△ADC=103，S△EDC =203，根据AB=AC，∠BAC=∠BFE=∠CDE得到△ABF≌△CAD，即可得到S△BEF，即可得到答案；【详解】(1)证明：∵∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，∴∠BFA=∠CDA=90°，∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(2)解：成立，理由如下，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(3)解：∵△ABC的面积为15，CE=2BE，∴S△ABE=5，S△AEC=10，∵DE=2AD，∴S△ADC=103，S△EDC =203，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)∴S△BEF=5-103=53，∴S△BEF:S△CDE=53:203=1:4；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．2(2023春·广东佛山·七年级校考期中)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F 分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，试判断BE和CF的数量关系，并说明理由．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立；(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．【答案】(1)①BE=CF；②α+∠BCA=180°(2)EF=BE+AF【分析】(1)①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠BCE=∠CAF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，可证明∠BCA=∠BEF，则∠ACF=∠CBE，根据AAS可证明△BCE≌△CAF，即可得证①中的结论仍然成立；(2)题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．【详解】(1)解：①BE=CF，理由如下：∵∠BCA=90°，∴∠ACF+∠BCE=90°，∵∠BEC=∠AFC=α=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∴∠BCE=∠CAF，∵AC=BC，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，使①中的结论仍然成立，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α，∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α，∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α，∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α，∴∠EBC=∠ACF，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；故答案为：α+∠BCA=180°；(2)EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠FCA=180°-∠BCA=180°-α，∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α，∴∠EBC=∠FCA，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BEC≌△CFA AAS，∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC =∠BAC=α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE=BD+CE(2)DE=BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】(1)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(2)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(3)由∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ，故答案为：DE =BD +CE ．(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴BD =AE ，AD =CE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ；(3)解：∵∠BAD <∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴S △ABD =S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC =12BC •h =12，S △ABF =12BF •h ，∵BC =3BF ，∴S △ABF =4，∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【解题模型三三垂直模型】1(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，AD =2.7cm ,DE =1.8cm．(1)求证：△ACD ≌△CBE ．(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)BE =0.9cm ．【分析】(1)由垂直得∠ADC =∠CEB =90°，求出∠ACD =∠CBE ，然后利用AAS 即可证明△ACD ≌△CBE ；(2)根据全等三角形的性质可得CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，根据CD =CE -DE 求出CD 即可得到BE 的长．【详解】(1)证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCE =90°-∠BCE ，∵∠CBE =90°-∠BCE ，∴∠ACD =∠CBE ，在△ACD 与△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC，∴△ACD ≌△CBE AAS ；(2)解：由(1)知，△ACD ≌△CBE ，∴CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，∵CD =CE -DE =2.7-1.8=0.9cm ，∴BE =0.9cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习)已知：∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为D ，E ．(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD=BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=( )在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，( )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①∠CBE；同角的余角相等；∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC；AAS；②AD=CE (2)不成立，DE-BE=AD，见解析【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；(2)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；【详解】(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE(同角的余角相等 )在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC，∴△ACD≌△CBE，(AAS )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)不成立，结论：DE -BE =AD．理由：∵AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，∴∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠BCE +∠CBE =90°，∴∠ACD =∠CBE在△ACD 和△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =CB，∴△ACD ≌△CBE ，(AAS )∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE -BE =DE -DC =CE =AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．2在△ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，∠EAB +∠DAC =度；(2)求证：DE =CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD =BE +DE ，证明见解析【解析】【分析】(1)由∠BAC =90°可直接得到∠EAB +∠DAC =90°；(2)由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE =EA +AD =DC +BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC≅△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-AD【分析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；(2)结论：DE=AD-BE．与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD= CE，CD=BE，即可得到答案．(3)结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：(1)证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．(3)DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【解题模型四倍长中线模型】1(2023春·山东临沂·八年级统考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，(1)求BC边的长的取值范围？(2)若AD是△ABC的中线，求AD取值范围？【答案】(1)1<BC<7(2)12<AD<72【分析】(1)根据三角形三边的关系求解即可；(2)延长AD至E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC=BE，由三角形三边关系得到1<AE<7，则12<AD<72．【详解】(1)解：由三角形的三边关系可知：AC-AB<BC<AC+AB，∵AB=3，AC=4，∴1<BC<7；(2)解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE ，在△ABE中，∵BD=DC，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB SAS，∴AC=BE，由三角形的三边关系：BE-AB<AE<BE+AB，∴1<AE<7，∴1 2<AD<72．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】1如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．(1)求证：△ACD≌△EBD；(2)AC与BE的数量关系是：，位置关系是：；(3)若∠BAC=90°，猜想AD与BC的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC=BE，AC∥BE(3)2AD=BC，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS，即可证得；(2)由△ACD≌△EBD，可得AC=BE，∠C=∠EBC，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS，可证得△BAC≌△ABE，据此即可解答．【详解】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ACD与△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB BD=CD，∴△ACD≌△EBD SAS；(2)解：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，故答案为：AC=BE，AC∥BE；(3)解：2AD=BC证明：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，∵∠BAC=90°∴∠BAC=∠ABE=90°在△BAC和△ABE中，AB=BA∠BAC=∠ABE=90°AC=BE∴△BAC≌△ABE SAS，∴BC=AE=2AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2(2023·全国·八年级假期作业)如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD．(1)试证明：△ACD≌△EBD；(2)用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM=GM，求证：BG =AC．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．【分析】(1)根据中线的定义，即可得到BD =CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．(2)延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，根据SAS 证△ADC ≌△FDB ，推出BF =AC ，∠CAD =∠F ，根据AM =GM ，推出∠CAD =∠AGM =∠BGF ，求出∠BGF =∠F ，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ACD 和△EBD 中，CD =BD∠ADC =∠EDB AD =ED，∴△ACD ≌△EBD (SAS )．(2)证明：延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，∵AD 是△ABC 中线，∴BD =DC ，∵在△ADC 和△FDB 中，BD =DC∠ADC =∠BDF AD =DF，∴△ADC ≌△FDB (SAS )，∴BF =AC ，∠CAD =∠F ，∵AM =GM ，∴∠CAD =∠AGM ，∵∠AGM =∠BGF ，∴∠BGF =∠CAD =∠F ，∴BG =BF =AC ，即BG =AC ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.3(2023春·上海·七年级专题练习)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接BE ，证明：△ACD ≌△EBD ．【理解与应用】(2)如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF =5，DE =3，设EP =x ，则x 的取值范围是．(3)如图3，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF >EF ．【答案】(1)见解析；(2)1<x <4；(3)见解析【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到FQ =DE =3，根据三角形的三边关系即可得到结论；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】(1)证明：CD =BD ，∠ADC =∠EDB ，AD =ED ，∴△ACD ≌△EBD ，(2)1<x <4；如图，延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，在ΔPDE 与ΔPQF 中，PE =PQ∠EPD =∠QPF PD =PF，∴ΔPEP ≅ΔQFP ，∴FQ =DE =3，在ΔEFQ 中，EF -FQ <QE <EF +FQ ，即5-3<2x <5+3，∴x 的取值范围是1<x <4；故答案为：1<x <4；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，在△DFC 和△DGB 中，DF =DG ，∠CDF =∠BDG ，DC =DB ，∴△DFC ≌△DGB (SAS )，∴BG =CF ，∵在△EDF 和△EDG 中，DF =DG ，∠FDE =∠GDE =90°，DE =DE ，∴△EDF ≌△EDG (SAS )，∴EF =EG ，在△BEG 中，两边之和大于第三边，∴BG +BE >EG ，又∵EF =EG ，BG =CF，∴BE +CF >EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．【解题模型五旋转模型】1如图，AB =AC ，AE =AD ，∠CAB =∠EAD =α．(1)求证：△AEC≅△ADB；(2)若α=90°，试判断BD与CE的数量及位置关系并证明；(3)若∠CAB=∠EAD=α，求∠CFA的度数．【答案】(1)见详解；(2)BD=CE，BD⊥CE；(3)90°-α2【分析】(1)根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；(2)由(1)△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】(1)∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中，AB=AC∠CAE=∠BAD AE=AD∴△AEC≌△ADB(SAS)(2)CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由(1)可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴CE⊥BD．(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由(1)知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由(2)可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=90°-α2【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】1如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．(1)求证：AE=CD；(2)若∠DBC=45°，求∠BFE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BFE=105°．【分析】(1)根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD(SAS)，进而得证；(2)由(1)得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】(1)证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD=BE，∠EBD=120°，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABE=120°，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD；(2)解：由(1)知∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，(180°-120°)=30°，∴∠BED=∠BDE=12∴∠BFE=180°-∠BED-∠ABE=180°-30°-45°=105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证ΔACE≅ΔDCB，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCB=90°，又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90°，∴∠CAE+∠CBD=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠AEC+∠EGF=90°，∴∠AFB=90°，∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【分析】(1)由∠BAC=90°可直接得到∠EAB+∠DAC=90°；(2)由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+ BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．【详解】(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．4(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处．将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：DN=DM；小明给出的思路：若要证明DN=DM，只需证明△BDN≌△ADM即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE，BF，如图所示，求证：AE=BF；(3)【迁移应用】延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE⊥BF，见解析【分析】(1)在△ABC中，根据点D是BC的中点，得出AD=BD=BC2，由AD⊥BC，△DEF是直角三角尺，得出∠EDF=90°，从而得到∠BDN=∠ADM，在△BDN和△ADM中，立即证明全等，由性质即可解答DN=DM；(2)根据△BDN≌△ADM，得出BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM，从而得到∠BNF=∠AME，由于△DEF是含45°直角三角尺，推出FN=EM，利用SAS即可证明△BNF和△AME全等，从而求解；(3)猜想：AE⊥BF，理由：根据△BNF≌△AME和∠FDE=90°，得出∠AEM+∠APD=90°，又根据∠APD=∠FPQ，等量代换得到∠FQP=90°从而证明．【详解】(1)证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，又∵点D是BC的中点，∴AD=BD=BC2，且AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°∴∠ADN+∠BDN=90°，又∵△DEF是直角三角尺，∴∠EDF=90°，即∠ADN+∠ADM=90°，∴∠BDN=∠ADM在△BDN和△ADM中，∠B=∠DAM=45°BD=AD∠BDN=∠ADM∴△BDN≌△ADM，∴DN=DM；(2)证明：∵△BDN≌△ADM∴BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM∴∠BNF=∠AME，且由于△DEF是含45°直角三角尺，∴DF=DE，∴DF-DN=DE-DM即FN=EM在△BNF和△AME中，BN=AM∠BNF=∠AME FN=EM∴△BNF≌△AME，∴AE=BF；(3)解：作图正确(如图所示)猜想：AE⊥BF，理由如下：∵△BNF≌△AME，∴∠BFN=∠AEM，∵∠FDE=90°，∴∠AEM+∠APD=90°又∵∠APD=∠FPQ，∴∠FPQ+∠BFN=90°，∴∠FQP=90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．。

中考压轴全等三角形问题综合(解析版)

中考压轴全等三角形问题综合(解析版)

中考压轴：全等三角形问题综合（解析版）一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，D90，AD8，BC6，分别以点A，C1为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若2点O是AC的中点，则CD的长为（）A．4 2 B．6 C．210 D．8【标准答案】A【思路点拨】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．【详解详析】解：如图，连接FC，∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，∴AF=FC．∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．在△FOA与△BOC中，FAO＝BCOO A＝OC ，AOF＝COB∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=6，∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+22=62，∴CD=42．故选：A．【名师指导】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．2．如图，如图正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①AFC105；AE EH 2②GH2EF；③2CE EF EH；④，其中正确的有（）3A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质求出CDE，然后求出ADE30，再根据等腰三角形的性质求出DAE75，然后求出BAF15，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AFC105，判断出①正确，过点H作HK AB，可得HK=AD，根据等角的余角相等求出ÐBAF=ÐKHG，再利用“角角边”证明ABF和DHKG，然后根据全等三角形对应边相等可得AF=GH，再根据等边三角形的性质，点E是AF的中点，从而得到GH2EF，判断出②正确；再求出ÐCEF=ÐCEH=45°，过点F作FM CE于M，过点H作HN^CE于N，解直角三角形分别用MF、CN表示出CE，可以得到MF=CN，再表示出CE，即可判AE定③正确；设MF=CN=x，表示出EF、EH，然后求出的值，判断出④错误．EH【详解详析】解：CDE为正三角形，CDE60，\ÐADE=90°-60°=30°，Q AD=DE=CD，1\ÐDAE=ÐDEA=(180°-30°)=75°，2\ÐBAF=90°-75°=15°，\ÐAFC=90°+15°=105°，故①正确；过点H作HK AB，则HK=AD，Q GH^AF，\ÐBAF+ÐAGE=90°，又QÐAGE+ÐKHG=90°，\ÐBAF=ÐKHG，在ABF和DHKG中，ìïÐBAF=ÐKHGïïïíÐB=ÐHKG=90°，ïïïHK=ABïî\DABF@DHKG(AAS)，\AF=GH，CDE为正三角形，点E在CD的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理，点E是AF的中点，AF2EF，\GH=2EF，故②正确；Q GH^AF，ÐDEA=75°，\ÐDEH=90°-75°=15°，\ÐCEH=60°-15°=45°，\ÐCEF=90°-45°=45°，过点F作FM CE于M，过点H作HN^CE于N，则MF=EM，NH=EN，CDE是等边三角形，DCE60，\ÐECF=90°-60°=30°，\CM=3MF，NH=3CN，\CE=3MF+MF=3CN+CN，\MF=CN，2 2\CE=EF+EH，2 2，故③正确；2CE EF EHAE EFEH2MF3CN×3===，故④错误．EH 2 3综上所述，正确的结论是①②③．故选：A．【名师指导】本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．3．（2021·广东福田·一模）如图，在矩形ABCD中，AD2AB，BAD的平分线交BC于点E．DH AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD AE；②AED CED；③OE OD；④BH HF；⑤BC CF2HE，其中正确=的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【标准答案】D【思路点拨】（1）由角的平分线的性质和平行线的性质可证AB BE，再结合勾股定理加以判断；（2）在（1）的基础上，结合等腰三角形的性质，通过计算加以判断；（3）可通过在△DOH和△EOH 中计算有关角度加以判断；（4）通过证明△BEH 与HDF能否全等加以判断；（5）在上述判断的基础上，结合线段的和或差加以判断．【详解详析】解：（1）∵AE 平分BAD，1∴BAE DAE BAD45． 2∵AD//BC，∴DAE AEB45．∴AEB BAE45．∴AE 2AB．AB BE．∵AD 2AB，∴AD AE．故①正确；（2）∵AD=AE,∠EAD=45°，1∴ADE AED 1804567.5． 2∴CED 1804567.567.5．∴AED CED．故②正确；BAEDAE（3）在△ABE 和AHD中，ABE AHD，AE ADAAS∴△ABE≌△AHD．∴BE DH．∴AB BE AH HD．∵AB AH，1∵AHB1804567.5，OHE AHB（对顶角相2等），∴∠OHE67.5∠AED．∴OE OH．∵DHO9067.522.5，ODH67.54522.5，∴DHO ODH．∴OH OD．∴OE OD OH．故③正确；（4）∵∠EBH9067.522.5，∴∠EBH∠OHD．EBH OHD22.5在△BEH和HDF中，BE DH ，AEB HDF45∴△BEH≌△HDF ASA．∴BH HF，HE DF．故④正确；（5）∵HE AE AH BC CD，BC CF BC CD∴DFBC CDHEBC CDHE HE HE2HE．故⑤正确．故选：D．【名师指导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．对第一个结论的判断很重要，它是判断后续结论的基础；同时，紧紧围绕“由未知看需知，最后靠拢已知”的分析思路，寻找到解决问题的方法，应成为一种必备的能力．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）10①AP FP；②AE AO；③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为236；④CE EF EQDE．A．4个B．3个C．2个D．1个【标准答案】B【思路点拨】连接OE、AF，①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD的面积为48；④利用相似三角形的性质证明即可．【详解详析】解：如图，连接OE、AF∵四边形ABCD是正方形，∴AC BD，OA=OC=OB=OD，∴BOC=90，∵PF AE，∴APF=ABF=90，∴A，P，B，F四点共圆，∴AFP=ABP=45，∴PAF=PFA=45，∴PA=PF，故①正确，设BE=EC=a，则由勾股定理可得：AE5a，OA OC OB OD2a，AE AO 5a 2a 10 2 102∴ ，即 AEAO ，故②正确， 根据对称性可知， OPE ≌OQE ，1 ∴ SOEQS2，四边形OPEQ2 ∵OB OD ，BEEC ，∴CD2OE ，OE / /CD ，∴ OEQ ∽CDQEQ OE 12， DQ 2EQ∴DQ CD ∴ S ODQ 2SOEQ4，S CDQ4SOEQ8 ，∴ S CDO 12， ∴ S 正方形ABCD 4S CDO48，故③错误，∵EPF =DCE 90，PEFDEC ，∴EPF ∽ECD ， EF PE ∴ ， ED EC∵ EQPE ，∴CE • EF ＝EQ • DE ，故④正确， 故选 B 【名师指导】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的 性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 从点 A 出发沿着线段 AD 向点 D 运动(不与点 A ， D 重合)，同时点 F 从点 D 出发沿着线段 DC 向点C 运动(不与点 D ，C 重合)，点 E 与点 F 的 运动速度相同． BE 与 AF 相交于点G ， H 为 BF 中点、则有下列结论：①BGF 是定值；② FB 平分AFC ；5 ③当 E 运动到 AD 中点时，GH ； 212④当 AG BG 6 时，四边形GEDF 的面积是 其中正确的是（ A ．①②④ ）B ．①②③ D ．②③④C ．①③④ 【标准答案】C 【思路点拨】根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF=BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥BE ， 即可判断①；②假设 BF 平分∠AFC ，则角平分线的性质得到 BG=BC ，则 BG=AB ，又由 ∠BGA =90°，得到 AB ＞BG ，由此即可判断②；③先利用勾股定理求出 BF 的长，然后根据 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解；④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到 S 四边形2S VABG ，然后根据 时，得到AG GBAG22 AG GB GB 6，再2 AGGB 6GEDF1 2 1 AG GB ． 2由 AG2BG 2 AB24 即可得到2AG GB 2 ，则 S VABG 【详解详析】证明：∵E 在 AD 边上(不与 A ，D 重合)，点 F 在 DC 边上(不与 D ，C 重合)， 又∵点 E ，F 分别同时从 A ，D 出发以相同的速度运动， ∴AE=DF ，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB DA ，BAE D 90o 在△BAE 和△ADF 中，AE DFBAE ADF 90 ， AB DA∴△BAE ≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2， ∵23 90 ∴13 90∴BGF 90，即AGB 90 ，o即∠BGF 是定值，故①正确；假设 BF 平分∠AFC ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC ⊥FC ，BC=AB ∵BG ⊥AF ， ∴BG=BC ， ∴BG=AB ， 又∵∠BGA =90°， ∴AB ＞BG ， ∴假设不成立， ∴②不正确；③当 E 运动到 AD 中点时，则 F 运动到 CD 中点， 1∴CFCD 1，2∴ 2 2 ， BF BC CF5∵∠BGF =90°，H 为 BF 的中点1 5∴GHBF ，故③正确； 2 2④∵△BAE ≌△ADF ， ∴ S △BAE =S △ADF ∴S SABG,GEDF 四边形 2∴当 AG GB 6 时，AG GB AG22 AGGB GB6，2 ∵ AG 2 BG 2 AB 24 ， 2AG GB2 ，11 ∵ S VABG AGGB ，221∴S = 故④正确； GEDF 四边形 2 故选 C ． 【名师指导】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO5＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（）5A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【标准答案】D【思路点拨】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；AH HN③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2＝NH•OH；HO AHOG AG 5④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝＝．5 【详解详析】∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，DE DF 1 ∵tan∠DAE＝∴AF＝3DF，，AD AF 3∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝2DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，1∴OK＝KN＝KF＝FN，2∴DF＝OK，又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO＝DG，故②正确；∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，∴△AOH≌△DOP（ASA），∴AH＝DP，∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，∴△AHN∽△OHA，AH HN∴，HO AH∴AH2＝HO•HN，∴DP2＝NH•OH，故③正确；∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，∵OG＝GD，∴AO＝2OG，∴AG＝ 2 2 ＝5OG，AO OGOG 5∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝，故④正确，AG 5故选：D．【名师指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键．7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE ＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（）12x 2x 3x 8xA．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣x 4 x 1 x 1 x 4【标准答案】A【思路点拨】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB ＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解详析】作点F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE与△EGF中，BFGEBDE FEG，DE EF∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG ＝DB ＝2BE ＝2x ， ∴GC ＝y ﹣3x ， ∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FG ∥AB ， ∴△FGC ∽△ABC ， ∴CG ：BC ＝FG ：AB ，x y 3x 即 ＝ ，． 4 y 12x ∴y ＝﹣x 4故选 A ． 【名师指导】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问 题的关键．8．如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，CAD EAB 90 ．四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有（）①ACE 以点 A 为旋转中心，逆时针方向旋转90后与△ADB 重合， ②ACE 以点 A 为旋转中心，顺时针方向旋转 270后与△DAC 重合，③沿 AB 所在直线折叠后，ACE 与ADE 重合， ④沿 AD 所在直线折叠后，△ADB 与ADE 重合，⑤ACE 的面积等于△ABE 的面积．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【标准答案】B 【思路点拨】由△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠CAD ＝∠EAB ＝90°，易证得△ACE ≌△ADB ， 即可得①正确；又由四边形 ABCD 是平行四边形，易证得△EAC ≌△EAD ，即可得 △ACE ≌△ADB ≌△ADE ，即可判定③④正确；由平行四边形的中心对称性，可得②错误，1 1 1 1 1又由S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，即22 2 2 2可判定②错误．继而求得答案．【详解详析】解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，AE AB∵EACBAD，AC AD∴△ACE≌△ADB（SAS），∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB＝90°）后与△ADB重合；故①正确；②∵平行四边形是中心对称图形，∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，故②错误；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠EAC＝∠BAC+∠CAD＝135°，∴∠EAD＝360°﹣∠EAC﹣∠CAD＝135°，∴∠EAC＝∠EAD，在△EAC和△EAD中，AE AB∵EACEAD，AC AD∴△EAC≌△EAD（SAS），∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；故③正确；④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，故④正确；⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BH＝AC，∵△ACE≌△ADB，1 1 1∵S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，2 2 21 1∴S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，2 2∴S△ABE＞S△ACE；故⑤错误．故选：B．【名师指导】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠的性质以及旋转的性质．注意数形结合思想的应用，证得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则线段AE的长为（）A．2 B．1 C． 3 D． 5【标准答案】D【思路点拨】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE x，首先证明DQ DE x2，利用勾股定理构建方程即可求解．【详解详析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE x，四边形 ABCD 是平行四边形，DQ / /BC ，Q BEF ,AFEB,AFQBFE ，QFA ≌EFB(AAS) ， AQBEx,QF EF ， EFD 90, DF QE ，DQ DEx 2 ，AEBC, BC / / AD ，AE AD,AEB EAD 90，AE 2 DE 2 AD 2 AB 2 BE 2 ， (x 2) 24 6x ，2 解得： x 1, x 3（舍去）1 2 BE1，AE AB 2 BE 2 615故选：D ． ， 【名师指导】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与 性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题． 10．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE =90°，AB=AC ，AD=AE ，点 C ，D ，E 在同一条直线上，连接 B ，D 和 B ，E ．下列四个结论：①BD=CE ， ②BD ⊥CE ，③∠ACE+∠DBC=30°，2 AB 2 ．2 2AD④BE其中，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【标准答案】B【思路点拨】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解详析】解：如图，①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB＝ACBAD＝CAEA D＝AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，故①正确；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BDC=90°，∴BD⊥CE，故②正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，∵△ADE为等腰直角三角形，∴AE=AD，∴DE2=2AD2，∴BE 2=BD2+DE2=BD2+2AD2，在Rt△BDC中，BD BC，而BC2=2AB2，∴BD2<2AB2，2 AB2∴BE 2 2AD故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B．【名师指导】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题111．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数y x4的图象上一动点，将Q绕点2C2,0顺时针旋转90到点P，连接PO，则PO PC的最小值_________．【标准答案】213．【思路点拨】1取D(2，-2)，连接CD、DQ，作C′点与点C关于直线y x4对称，连接QC′，则由题2意可得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以当且仅当C′、Q、D共线时PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q=DC′为最小．【详解详析】解：如图，取D(2，-2)，则CD⊥x轴，即CD⊥OC且CD=OC=2，连结DQ，依题CQ顺时针旋转90得到CP，∴∠QCP=90°且CQ=CP，OC DC 2在△OCP 和△DCQ 中， OCP 90 DCP DCQCP CQ∴△OCP ≌△DCQ(SAS)，∴OP=DQ ，1 作 C ′点与点 C 关于直线 y x 4对称，则有 CQ=C ′Q ， 2∴CP=CQ=C′Q ， 故 PO+PC=DQ+CQ=DQ+C ′Q ≥DC ′，当且仅当 C ′、Q 、D 共线时取等，由题意可以得到 A 、B 坐标分别为（0，4）、（8，0）设 C ′坐标为（x ，y ），则由 AC ′=AC ，BC ′=BC 可得： 2 y 4 20 2 x 2 x 8 y 2 36 22 24 解之可得 C ′为（2，0）（ 与 C 同，舍去）或（ ， ）， 5 52 2 22 24 2 ∴DC ′=2 5 5 2 2 12 34 2325 = = 2 13 5 5 5 ∴ PO PC 的最小值为 2 13 ．故答案为 2 13 ．【名师指导】本题考查一次函数的综合应用，方程组思想，一元二次方程的解法，构造全等三角形与轴对 称把 PO+PC 转化成 DQ+C ′Q 是解题关键．12．如图，平行四边形OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D(3, 2) 在对角线OB 上，反比k 15 例函数 y (k 0,x 0) 的图像经过 C 、D 两点，已知平行四边形OABC 的面积是 ，则点 B x 2的坐标为___．9【标准答案】2,3【思路点拨】过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足15为G，则BE∥DF∥CG，根据平行四边形的性质，证明△COG≌△BAE，S△OAB= ，根据427反比例函数的性质，证明S△OCG=S△BAE=S△DOF=3，确定S△OEB= ，证明△ODF∽△OBE，根4据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解详析】过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，BC∥OA，∴CG=BE，∴△COG≌△BAE，∴S△OCG=S△BAE15∵平行四边形OABC的面积是，215∴S△OAB=，4k∵点D(3,2)在对角线OB上，反比例函数y(k0,x0)的图像经过C、D两点，x∴S△OCG=S△BAE=S△DOF=3，DF=2,OF=3，27∴S△OEB=，4∵BE∥DF，∴△ODF∽△OBE，DF BE 2742∴=3，32 2 3∴ ， BE 即 BE=3，OF OE 2 3∴ ∴ ， ， 3 2 3OE 9 即 OE= ， 29 ∴点 B 的坐标为（ ，3）． 29 故答案为：（ ，3）． 2【名师指导】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，坐标与线段 的关系，三角形的全等，灵活构造辅助线，活用性质，证明三角形的相似是解题的关键．13．如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90°，分别以 A ，B 为旋转中心，把边 AC ，BA 逆时针 旋转 60°，得到线段 AE ，BD ，连 接 BE ，CD 相交于点 P ，已 知 AB=3，AC=2 3 ，∠APB =120°， 则 PA+PB+PC 的大小为________．【标准答案】 39【思路点拨】连接 AD=CE ，利用旋转的性质得到△ABD 和△ACE 是等边三角形，可推出∠DAC=∠EAB ， 利用 SAS 证明△ADC ≌△ABE ，利用全等三角形的性质可证得∠AEB=∠ACD ，可得到 ∠APF =60°，在 PE 上截取 PF=PA ，可推出△APF 是等边三角形，利用等边三角形的性质可 得到∠PAF =60°；再证明∠EAF=∠PAC ，可推出△AFE ≌△APC ，由此可证得 AP+BP+CP=BE ； 过点 E 作 EG ⊥BA ，交 BA 的延长线于点 G ，利用勾股定理求出 GE ，AG 的长，从而可求出 BG 的长，然后利用勾股定理求出 BE 的长，进而即可求解．【详解详析】连接 AD ，CE ，∵分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，∴△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，在△ADC和△ABE中AB BD∵DACEAB，AE AC∴△ADC≌△ABE（SAS）∴∠AEB=∠ACD，∵∠APB=120°，∴∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴∠PAF=60°，∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠PAC，∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，∴△AFE≌△APC，∴PC=FE∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，∵∠GAE=180°-150°=30°，∵AE=AC=23，2 2∴GE=3，AG2333，∴BG=AB+AG=3+3=6，2∴BE 6 2 339，∴AP+BP+CP= 39 ．故答案为： 39 ．【名师指导】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质， 添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．14．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与 5 1 原线段的比，其比值等于 ．如图，在正方形 ABCD 中，点 G 为边 BC 延长线上一动 2点，连接 AG 交对角线 BD 于点 H ，△ADH 的面积记为 S ，四边形 DHCG 的面积记为 S ．如 1 2S 1 S 2果点 C 是线段 BG 的黄金分割点，则 的值为___． 3- 5 7 3 5 【标准答案】 【思路点拨】或 ． 22 由 AD ∥BC ，得△DHG 的面积＝△AHB 的面积，再由△AHB ≌△CHB （SAS ），得出 S ＝ 2S 1 S 2 AD GB△GBH 的面积，然后证△ADH ∽△GBH ，得 ＝( ) 2 ，分两种情况：①点 C 是线段 BG 5 1 的黄金分割点，BC ＞CG ，则 BC ＝ 3 5 BG ；②点 C 是线段 BG 的黄金分割点，BC ＜CG ， 2则 BC ＝ BG ；分别求解即可． 2【详解详析】解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，AD ∥BC ，∠ABH ＝∠CBH ＝45°，∴△ABD 的面积＝△AGD 的面积，又∵BH ＝BH ，∴△AHB ≌△CHB （SAS ），∴△AHB 的面积＝△DHG 的面积，∴S ＝△GBH 的面积，2 ∵AD ∥BC ，∴△ADH ∽△GBH ，S1 S2AD GB∴＝（）2，分两种情况：①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，5 1则AD＝BC＝BG，2S1 ADGB 5 1 3-5∴＝（）2＝（）2＝；S2 2 2②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，3- 5则AD＝BC＝BG，2S1 ADGB 3- 5 73 5∴＝（）2＝（）2＝；S2 2 2综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，S1 3- 5 73 5则的值为或；S2 2 23- 5 73 5故答案为：或．2 2【名师指导】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握黄金分割的定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，在Rt ABC中，ABC90，AB5，BC8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将ABP沿AP折叠，当点B的对应点B落在线段BC的垂直平分线上时，BP的长等于__________．5【标准答案】或10．2【思路点拨】①如图1，当点P在线段BC上时，②如图2，当点P在BC的延长线上时，过A，C分别作AD∥BC，CD∥AB两线交于D，得到四边形ABCD是矩形，求得AD=BC=8，过B′作B′F⊥BC于F，反向延长FB′交AD于E，根据勾股定理即可得到结论．【详解详析】解：①如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，过 A ，C 分别作 AD ∥BC ，CD ∥AB 两线交于 D ， 则四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC=8， 过 B′作 B′F ⊥BC 于 F ，反向延长 FB′交 AD 于 E ， 则 AD ⊥EF ，∵点 B'落在线段 BC 的垂直平分线上，1∴AE=BF= BC=4，2 ∵将△ABP 沿 AP 折叠得到△AB′P ，∴AB′=AB=5，PB=PB′，∴EB′=3， ∴B′F=2，∴PF=4-PB ，∵ PB '2PF 2 B ' F 2 ， ∴ BP 2 (4 BP) 2 2 ， 2 5 解得： BP . 2②如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时， 过 A ，C 分别作 AD ∥BC ，CD ∥AB 两线交于 D ， 则四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC=8， 过 B′作 B′F ⊥BC 于 F ，反向延长 FB′交 AD 于 E ， 则 AD ⊥EF ，∵点 B'落在线段 BC 的垂直平分线上，1 ∴AE=BF= BC=4，2 ∵将△ABP 沿 AP 折叠得到△AB′P ，∴AB′=AB=5，PB=PB′，∴EB′=3， ∴B′F=8，∴PF=PB-4，∵ PB '2PF 2 B ' F 2 ， ∴ BP (BP 4) 2 2 8 2 .解得：BP=10；5 综上所述，BP 的长等于 或 10， 25故答案为：或10．2【名师指导】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质、勾股定理，线段的垂直平分线的性质，作出恰当的辅助线是解题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交8于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF DE；②DG；③HD//BG；5④ABG DHF．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）【标准答案】①④【思路点拨】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定ABG DHF，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB 不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③.【详解详析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF=EC=2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；1∵AD=4，DF=CD=2，2∴AF= 2 2 ，422 54 5∴DG=AD×DF÷AF=，故②错误；5∵H为AF中点，1∴HD=HF=AF=5，2∴∠HDF=∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，8 5∵AG= 2 2 ，AB=4，AD DG5AB AB45AG∴，DH HF 5 DF∴ABG DHF，故④正确；∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④.【名师指导】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长.17．如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若7tan AGE，BF8，P为DG上一个动点，则PF PC的最小值为________ 3【标准答案】10【思路点拨】先根据折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质可得EF BD,BG DG,DE BF，EG FG，从而可得点E与点F关于BD对称，再根据两点之间线段最短得出PF PC的最小值为CE的长，过点A作AH BD于点H，根据平行线的性质、正切三角函数可得GH AH 7tan GAH，从而设GH7a,AH3a，再根据平行线分线段成比例定理分别3可求出AE的长，然后利用正切三角函数值可求出AB的长，从而可得CD的长，由此即可得出答案．【详解详析】如图，连接PE、CE，过点A作AH BD于点H由折叠的性质可知，BG DG,BGE DGE90四边形ABCD是矩形AD BC,AB CD,AD//BC,BAD ADC90EDG FBGEDGFBG在△DEG和BFG中，DG BGDGE BGFDEGBFG(ASA)DE BF8，EGFG点E与点F关于BD对称，即BD垂直平分EFPE PFPF PC PEPC由两点之间线段最短可知，当C,P,E三点共线时，PE PC取得最小值，最小值为CEAH BD，即AHG90AH//EGGAH AGE7tan AGE3GH AH 7在Rt AHG中，tan GAH3设 AH 3a(a 0) ，则GH7aAG AH BGDG2 GH4a2点 G 是矩形 ABCD 对角线的交点BG DG AG 4a ， DHDG HG (47)aAH//EGDG DE4a 8 ，即HG AE7a AE 解得 AE2 7AD DE AE 82 7tan ADH AH 3a 3在 RtADH 中，DH (4 7)a 4 7AB AB AD 8 2 7在 Rt △ABD 中， tanADBAB 382 7 4 7解得 AB6CDAB6在 Rt △CDE 中， 2 2 22 CE DECD8 610则 PF PC 的最小值为 10故答案为：10．【名师指导】本题是一道较难的综合题，考查了矩形的性质、正切三角函数、平行线分线段成比例定理、 折叠的性质等知识点，利用折叠的性质、两点之间线段最短得出 PF PC 取得最小值时，点P 的位置是解题关键．18．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E ，F 分别为 BC ，CD 边的中点，连接 AE ，BF 1交于点 P ，连接 PD ，则下述结论：①AE ⊥BF ；②tan ∠DAP ＝ ；③DA ＝DP ；④FD ＝FP 2 中，一定成立的有_____．【标准答案】①③【思路点拨】连接AF，根据正方形的性质和已知条件证明Rt ABE Rt BCF，进而可以判断①；结合①证明A、P、F、D四点共圆，根据圆周角定理可以判断③，根据锐角三角函数可以判断②，根据DA DP，只有当DA AP时，FD FP，进而可以判断④．【详解详析】解：连接AF，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，ADCF BE，2，DF在ABE和BCF中，AB BCABE C，BE CFRt ABE Rt BCF(SAS)，BAE CBF，又BAE BEA90，CBF BEA90，BPE APF90，AE BF，故①正确；APF90，ADF APF180，A、P、F、D四点共圆，AFD DPA，DAF DPF，DAB APF90，BAEDAF，DAP DPA ，DA DP，故③正确；DAP DPA AFD，ADtan DAP tan AFD2，故②错误；DFDA DP，只有当DA AP时，FD FP，故④不一定正确．故①③．故答案为：①③．【名师指导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．19．如图，在四边形ABCD中，B C45，P是BC上一点，PA PD，APD90，AB CD______．BC2【标准答案】2【思路点拨】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解详析】解：如图所示，分别过A、D作AE BC于E，DF BC于F∴AEP DFP90∴APE PAE 90,DPF PDF 90∵APD 90∴∠APE ∠DPF90∴APE DPF ,PAEDPF在△AEP与△DFP中APEDPFPA PDPAE DPF∴△AEP △DPFASA∴AE PF，PE DFC 45,FDC C45,DF FC PE,在Rt△ABE 中，B45∴ 2 2AB BE AE 2BE2AE同理可得：CD 2CF 2DFAB CD 2BE 2CF 2BECF2BECF 2∴BC BE PE PFCF22故答案为：．2【名师指导】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．20．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）PQ MN,NE平分MNP，交PM于点E，交PQ于点F．PF PE___________________．(1)PQ PMMQ(2)若PN 2 PM MN，则___________________．NQ5 1【标准答案】12【思路点拨】(1)过E作GE MN于G，可得NGE90，根据圆周角的性质可得MPN90，又NE平分MNP，根据角平分线的性质可得PE GE；由PNE MNE，PNE PEN90，MNE QFN90，且QFN PFE，根据“等角的余角相等”可得PEN PFE，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得PE PF，即有GE PF；由PQ MN，GE MN，EM GE可得GE//PQ，从而可得在PMQ中有，将EM PM PE、PE GE、GE PFPM PQPM PF PF PF PE代入可得，，既而可求得的值．PM PQ PQ PM【详解详析】(1)如图所示，过E作GE MN于G，则NGE90，∵MN为半圆的直径，∴MPN90，又∵NE平分MNP，NGE90,∴PE GE．∵NE平分MNP，∴PNE MNE，∵EPN FQN90，∴PNE PEN90,MNE QFN90,又QFN PFE，∴PNE PEN90,MNE PFE90，又∵PNE MNE，∴PEN PFE，∴PE PF,又∵PE GE，∴GE PF．∵PQ MN，GE MN，∴GE//PQ，EMGE ∴在 PMQ中， , PMPQ又∵ EMPMPE ,PM PE GE∴， PM PQPM PE GE PM PF PF∴将GEPF ， PEPF ，代入PF PEPM PF PF ∴得， , PM PQ PM PQ1， PQ PM PM PMPF PE即1．PQ PM（2）∵PNQ MNP ， NQPNPM ，∴NPQ ∽NMP ，PNQN ∴ ， MNPN∴ PN ∵ PN2QN MN ，PM MN ，2∴ PM QN ，MQ MQ∴， NQ PMMQ PM ∵cosM， PMMNMQ PM ∴ ∴ ， NQ MN MQ NQ NQMQ NQMQNQ 2 MQNQ∴ NQ2MQ 2MQ NQ ，即1 ， 2MQ NQ设 x ，则 x 5 12 x 10，5 1 解得： x，或 x 0（舍去）， 22MQ 5 1∴， NQ故答案为：【名师指导】25 1． 2本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得GE PF，EM GEPE PF，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可PM PQ得解．三、解答题21．如图，在ABC中，AC BC12,ACB120，点D是AB边上一点，连接CD，以CD 为边作等边△CDE．（1）如图1，若CDB45，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF,DF，过点D作DG AC于点G．①求证：CF^DF．②如图3，将CFD沿CF翻折得CFD，连接BD，求出BD的最小值．【标准答案】（1）62；（2）①见详解；②BD的最小值为6【思路点拨】（1）过点C作CH⊥AB于点H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝63，CH=6，由∠CDB＝45°，可得CD＝2CH，进而即可求解；（2）①延长BC到N，使CN=BC，由“SAS”可证△CEN≌△CDA，可得EN=AD，∠N=∠A1＝30°，由三角形中位线定理可得CF∥EN，CF=EN，可得∠BCF＝∠N＝30°，可证DG=CF，2DG∥CF，即可证四边形CFDG是矩形，可得结论；②由“SAS”可证△EFD≌∠BFD'，可得BD'=DE=CD，则当CD取最小值时，BD有最小值，即可求解．【详解详析】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，。

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)

三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。

全等三角形压轴题和分类解析汇报

全等三角形压轴题和分类解析汇报

BODCE图88年级三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图7.点O 是线段AD 的中点.分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD.连结AC 和BD.相交于点E.连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8.ΔOAB 固定不动.保持ΔOCD 的形状和大小不变.将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠）.求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点.△ACM,△CBN 都是等边三角形.且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P.BM 、NC 交于点Q.求证：PQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）同类变式： 如图a.△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形.且有一个公共顶点C.连接AF 和BE.(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度.得到图b.(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度.请你画出一个变换后的图形c(草图即可).(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9.若△ABC 和△ADE 为等边三角形.,M N 分别为,EB CD 的中点.易证：CD BE .△AMN 是等边三角形．CBOD图7 AEA BCMNO PQ（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时.CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时.△AMN 是否还是等边三角形？若是.请给出证明.若不是.请说明理由． 同类变式：已知.如图①所示.在ABC △和ADE△中.AB AC =.AD AE =.BAC DAE ∠=∠.且点B A D ，，在一条直线上.连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上.将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180.其他条件不变.得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图.四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形.连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；图9 图10 图11（2）试猜想∠BHD 的度数.并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°）.设△ABE 的面积 为1S .△ADG 的面积为2S .判断1S 与2S 的大小关系.并给予证明．5.已知：如图.ABC △是等边三角形.过AB 边上的点D 作DG BC ∥.交AC 于点G .在GD 的延长线上取点E .使DE DB =.连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥.交BC 于点F .请你连接AF .并判断AEF △是怎样的三角形.试证明你的结论．CGAEDBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图.△ABC 中.∠ACB ＝90°.AC ＝BC .AE 是BC 边上的中线.过C 作CF ⊥AE .垂足为F .过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm.求BD 的长．C FGEDBAH2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。

数学全等三角形压轴几何题(讲义及答案)附解析

数学全等三角形压轴几何题(讲义及答案)附解析

数学全等三角形压轴几何题(讲义及答案)附解析一、全等三角形旋转模型1．如图1，四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，E 为BD 上一点，AE ＝BC ，CE ⊥BD ，CE ＝ED（1）已知AB ＝10，AD ＝6，求CD ；（2）如图2，F 为AD 上一点，AF ＝DE ，连接BF ，交BF 交AE 于G ，过G 作GH ⊥AB 于H ，∠BGH ＝75°．求证：BF ＝22EG ．答案：B解析：（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定理得出BD 22-AB AD 8，由HL 证得Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出BE ＝AD ，则CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果； （2）连接CF ，易证AF ＝CE ，AD ∥CE ，得出四边形AECF 是平行四边形，则AE ＝CF ，AE ∥CF ，得出∠CFD ＝∠EAD ，∠CFB ＝∠AGF ，由Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出∠CBE ＝∠EAD ，推出∠CBE ＝∠CFD ，证得△BCF 是等腰直角三角形，则BF 2BC 2CF ＝2AE ，∠FBC ＝∠BFC ＝45°，推出∠AGF ＝45°，∠AGH ＝60°，∠GAH ＝30°，则AG ＝2GH ，得出BF 2AE 2（AG+EG ），即可得出结论．【详解】（1）解：∵BD ⊥AD ，∴BD 22-AB AD 22106-＝8，∵CE ⊥BD ，∴∠CEB ＝∠EDA ＝90°，在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，AE BC ED CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ），∴BE ＝AD ，∴CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝8﹣6＝2，∴2＝CE ＝2；（2）解：连接CF ，如图2所示：∵AF＝DE，DE＝CE，∴AF＝CE，∵BD⊥AD，CE⊥BD，∴AD∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF，∴∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠CBE＝∠EAD，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠BCF＝90°，∵AE＝BC，∴BC＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF2BC2CF2AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，∴∠AGF＝45°，∵∠BGH＝75°，∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵GH⊥AB，∴∠GAH＝30°，∴AG＝2GH，∴BF2AE2（AG+EG），∴BF＝22EG．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键．2．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．3．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 为对直角四边形，∠B=90°，若AB 2-AD 2=4，求CD 2-BC 2的值； （2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC ，若BD 平分∠ADC ，求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC ，若35ACDABC S S =，求tan ∠ACD 的值． 答案：A解析：⑴ 4；⑵见解析 ；⑶tan ∠ACD 的值为3或13． 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②中，作BE ⊥CD 于E ，BF ⊥DA 交DA 的延长线于F ．只要证明∠EBF=90°即可解决问题； （3）如图③中，设AD=x ，BD=y ．根据35ACD ABC S S=，构建方程即可解决问题. 【详解】解：如图①中，∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，∴BE=BF，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），∴∠ABF=∠CBE，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD为对直角四边形．（3）解：如图③中，设AD=x，BD=y．∵∠ADC=90°，∴tan∠ACD=xy，22x y∵AB=AC ，∠ABC=90°，∴AB=BC=22•22x y +， ∵35ACDABC S S =， ∴()22132154xy x y =+， 整理得：3x 2-10xy+3y 2，∴3（x y ）2-10•x y+3=0， ∴x y =3或13． ∴tan ∠ACD 的值为3或13． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．5．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=，()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．6．问题发现：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系为____；问题探究：（2）如图2，在等腰三角形ABC 中，120C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转60︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系是否改变，请说明理由；问题解决：（3）如图3，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，点P 为DO 的中点，点M 为直线BC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交直线AB 于点N ，若4AB =，当PMN 面积为252时，直接写出线段BN 的长．答案：B解析：（1）OM =ON ；（2）不改变；证明见解析；（3）线段BN 172或172【分析】（1）连接，OC ，证明△AOM ≌△CON （ASA ）可得结论．（2）数量关系不变．如图2中，过点O 作OK ⊥AC 于K ，OJ ⊥BC 于J ，连接OC ．证明△OKM≌△OJN（AAS）可得结论．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．证明△MOC≌△NOB（SAS），推出CM=BN，设CM=BN=m，根据S△PMN=252=S△PBM+S△BMN-S△PBN，构建方程求解即可．当点M在CB的延长线上时，同法可求．【详解】解：（1）如图1中，结论：OM=ON．理由：连接OC．∵CA=CB，∠ACB=90°，AO=OB，CO=OA=OB，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，∠BCO=∠ACO=45°∴∠AOC=∠MON=90°，∴∠AOM=∠CON，∵∠A=∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴OM=ON．故答案为：OM=ON．（2）理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．∵∠ACB=120°，∠OKC=∠OJC=90°，∠KOJ=60°=∠MON，∴∠MKO=∠NOJ，∵CA=CB，OA=OB，∴OC平分∠ACB，∵OK⊥CA，OJ⊥CB，∴OK=OJ，∵∠OKM=∠OJN=90°，∴△OKM≌△OJN（AAS），∴OM=ON．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是正方形，AB=AD=4，∠BAD=90°，∴22，∴2，2，∴3，∵四边形PGBH是正方形，∴PG=PH=3，∵∠MON=∠COB=90°，∴∠MOC=∠NOB，∵OM=ON，OC=OB，∴△MOC≌△NOB（SAS），∴CM=BN，设CM=BN=m，∵S△PMN=252=S△PBM+S△BMN-S△PBN，∴12•（4+m）•3+12•m•（4+m）12-•m•3=252，∴整理得：m2+4m-13=0，解得172或172-（舍去），∴172．当点M在CB的延长线上时，同法可得172．综上所述，满足条件的BN172172．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．答案：E解析：（1）见解析；（2）依然成立，见解析；（3）依然成立，EG⊥CG【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG；（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG；（3）结论依然成立，证明方法类似（2）．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝12FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝12 FD，∴CG＝EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．证法：如图，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，∵G为FD中点，∴FG=GD，∵MF∥CD，∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM，∴△CDG≌△MFG，∴CD＝FM，∵NF∥BC，∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH，又∵∠NHF=∠EBH，∴∠NFH=∠EBH，∴∠EFM＝∠EBC，又∵BE =EF ，则△EFM ≌△EBC ，∠FEM ＝∠BEC ，EM ＝EC∵∠FEC +∠BEC ＝90°，∴∠FEC +∠FEM ＝90°，即∠MEC ＝90°，∴△MEC 是等腰直角三角形，∵G 为CM 中点，∴EG ＝CG ，EG ⊥CG ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关性质．8．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4， 综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．9．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）2．【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【详解】解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC=∠AEM ，∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC ，在△ABG 和△CEB 中， AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEB （SAS ）， ∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ， ∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ， ∴∠BCE+∠COM=90°， ∴∠OMC=90°，∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ， ∵△ABG ≌△CEB ， ∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ，∴MB 平分∠AME ；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ，∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ，∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN ， 在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM=BQ ，则CM=2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．10．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．11．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

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,.七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小；（ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 .BC B CEEDO A OA D图 7图 82. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O.①求证： AN=BM②求∠ AOB 的度数。

③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。

（湘潭·中考题）NMOP QA C B同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点连接 AF 和 BE.C，(1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论；(2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断并说明理由；(3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 .图 c3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证：CD BE ，△ AMN 是等边三角形．,.（ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．图 9图10图11同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD的中点．（ 1）求证：①BE CD；②AM AN ；（ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 .CC NN E DAM BB D MA E图①图②4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H．（1）证明：△ABG≌△ADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；,.（ 3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（ 0°＜BAE＜180°），设△ ABE的面积为 S1，△ADG的面积为 S2，判断 S1与 S2的大小关系，并给予证明．DGACHF EB5.已知：如图，△ ABC 是等边三角形，过AB边上的点 D 作DG∥BC，交AC 于点 G ，在 GD 的延长线上取点 E ，使DE DB，连接AE，CD ．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．AEDGB F C二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AC＝BC ，AE 是BC边上的中线，过 C 作 CF ⊥ AE，垂足为 F ，过B 作BD⊥ BC交CF的延长线于D．求证：（1） AE＝ CD ；（ 2）若AC＝ 12 cm，求BD的长．,.2. （西安中考）如图 (1), 已知△的一条直线 ,且 B、 C在 A、 E 的异侧 , BD ⊥ AE 于0ABC中 , ∠ BAC=90, AB=AC, AE是过 AD, CE ⊥ AE于 E 。

图(1)图(2)图(3)(1)试说明 : BD=DE+CE.(2)若直线 AE绕 A 点旋转到图 (2) 位置时 (BD<CE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE、 CE的关系如何 ?写结论 , 并说明理由。

(3)若直线 AE绕 A 点旋转到图 (3) 位置时 (BD>CE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE、 CE的关系如何 ? 写出结论 , 可不说明理由。

3.直线 CD 经过BCA的顶点 C ， CA=CB． E 、 F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA．（1）若直线CD经过BCA 的内部，且E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若BCA 90o ,90o，则EF BE AF （填“”，“”或“”号）；②如图 2，若0o BCA 180o，若使①中的结论仍然成立，则与BCA 应满足的关系是；（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，线段的数量关系，并给予证明．BCA ，请探究EF、与BE、AF三条BE F DBBFE AE DCCFC A 图 1A D 图 2图3,.考点 2：利用角相等证明垂直1.已知 BE， CF是△ ABC的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系Q AFEDPB C2.如图，在等腰 Rt △ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥ AC交 DE的延长线于点F，连接 CF．(1)求证： CD=BF；(2)求证： AD⊥ CF；(3)连接 AF，试判断△ ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示，△ ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：∠ ADC＝∠ BDE．CF DBAE图 9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）,.3.如图 1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC . （1）试猜想AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（ 2）将正方形DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连接 AE 和 GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4. 如图 1，ABC的边 BC在直线l上，AC BC, 且 AC BC , EFP的边FP也在直线 l 上，边EF与边 AC 重合，且EF FP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将 EFP 沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q , 连接AP, BQ .猜想并写出 BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q,连结AP , BQ , 你认为（ 2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A(E)E AQB C(F)Pl BFC Pl(1)(2)EAlF P B C(3)Q,.三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图， ABC 中， AB AC ，BAC90 ， D 是 BC 中点， ED FD ， ED 与 AB 交于E ， FD 与 AC 交于F ．求证： BEAF ， AE CF ．AFEBDCo o2. 两个全等的含30， 60 角的三角板 ADE 和三角板ABC，如图所示放置， E, A,C 三点在一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 EMC的形状，并说明理由．MBDECA压轴题拓展：（三线合一性质的应用） 已知 Rt ABC 中， AC 的中点， EDF 90 ， EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 于 E 、 F ．当 EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1），易证 S DEFBC ，C 90 ，D 为 AB 边 AC 、 CB （或它们的延长线）S CEF1 S ABC ．当 EDF 绕2D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， S DEF ， S CEF ， S ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAADDEDECBFCF BCFBE图 1图 2图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。

,.3.已知：如图，△ ABC中，∠ ABC=45°， CD⊥ AB 于 D，BE 平分∠ ABC，且 BE⊥ AC于 E，与 CD相交于点F，H 是 BC 边的中点，连结DH 与 BE 相交于点 G。

(1) BF=AC (2) CE= 1 BF 2(3)CE与 BC的大小关系如何。

考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与∠ CBM 的平分线 BF 相交于点 F.⑴如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：①通过测量DE， EF 的长度，猜想DE 与 EF 满足的数量关系是②连接点 E 与 AD 边的中点N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是③请证明你的上述两猜想.⑵如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点；；N,使得 NE=BF ，进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 Rt△ABC中， AC＝ BC，∠ ACB＝90°，D 是 AC的中点， DG⊥ AC 交 AB 于点 G.（1）如图 1， E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FH⊥ FC，交直线 AB 于点 H．①求证： DG=DC②判断 FH 与 FC的数量关系并加以证明．（ 2）若 E为线段 DC 的延长线上任意一点，点F 在射线 DG 上， (1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1) 中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）BBHG GFAD E C A D C E图 1图 2同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ ABC为等边三角形， M 是 BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且 60o 角的顶点 E 在 BC上滑动，（点 E 不与点 B、 C 重合），斜边与∠ ACM 的平分线 CF 交于点 F（ 1）如图（ 1）当点 E 在 BC 边得中点位置时○猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是.1○连结点 E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是.2○3请证明你的上述猜想；（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？A AFNFB C M BEC M图（ 2）图（1）四、 角平分线问题1. 如图： E 在线段 CD 上， EA 、EB 分别平分∠ DAB 和∠ CBA, ∠ AEB=90° , 设 AD ＝ x ,BC ＝ y ，且 x, y 满足 x 2y 2 6x 8y 25 0（ 1）求 AD 和 BC 的长；（ 2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（ 3）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.ECDAB2. 如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

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