第1课时实数的有关概念

合集下载

实数的有关概念[下学期]--北师大版

2
７．如果 x
3
a
a
a
，那么x 称为 a 的立方根；一个数 a 的立方根记为
3
a
．
８．一个近似数的有效数字，是指从这个数的左边第一个非零数字起，到右边最后一位数字止的所有数字．９．科学记数法是把一个大于10或小于l的正数记成 a 10 n 的形式，其中１≤a＜10 ( n是正整数)，这种记数的方法叫科学记数法． 10．实数的分类实数有理数整数 (有限小数或无限循环小数 )
(3)下列说法中j正确的是( )． (A)一个数的相反数—定是负数 (B)—个数的绝对值一定是正数 (Ｃ)一个数的绝对值一定不是负数 (D)一个数的绝对值的相反数一定是负数 (4)下列命题中错误的是( )． (Ａ）每一个整数都对应着数轴上的一个点 (Ｂ）每一个无理数都对应着数轴上的一个点 (Ｃ)数轴上每个点都对应着一个实数 (Ｄ）有理数和数轴上的点一．一对应 (5)一个实数的偶数幂是正数，这个实数是( )． (A)正实数 (Ｂ)任何实数 (Ｃ)负实数 (D)正实数或负实数 (6)下列说法正确的是( )． (A)49的算术平方根是±7 (B)一6４的平方根是4
4.在数轴上。两点所表示的两个数．右边的数总比左边的数大；正数都大于零。负数都小于零。正数大于一切负教；两个负数．绝对值大的反而小。 5．求n个 a的连乘积的运算叫做乘方，记作“a n”．乘方的结果叫做幂．在“ a n ”中，a 叫做底数，n叫做指数。正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；零的非零次幂等于零。 6．如果 x a ，那么 x 称为 a的平方根；正数 a有２个平方根，其中正的平方根称为 a 的算术平方根；０的平方根是０；负数没有平方根；一个非负数的平方根记；—个非负数的算术平方根记为．

第一课时实数的有关概念

）
3 ），－8
的相反数是（）
）；
－л 的绝对值是（），0 的绝对值是（）， 2 － 3 的倒数是（（2）．数轴上表示－3．2 的点它离开原点的距离是。 1 1 A 表示的数是－，且 AB＝，则点 B 表示的数是 2 3 。
（3）．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小： c-b 和 d-a bc 和 ad 4、计算
5 [4 (1 0.2 ) ( 2)] （1）
2
1 5
(5) (3 ) (7) (3 ) 12 (3 ) （2）
6 7
6 7
6 7
（3） ( ) (4) 0.25 (5) (4)
2
5 8
3
பைடு நூலகம்
（4）
1 2 2 (3)2 (1 )3 6 2 9 3
6
②-81÷
4 9 × ÷（-16） 9 4
（3）实数的运算律 (1)加法交换律 a+b＝b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab＝ba． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 三、实数的比较（1）正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数（2）两个负数比较，绝对值大的反而小
考查题型：以填空和选择题为主。一、典型例题
1．把下列各数分别填入相应的集合里 3 －1 22 Л －|－3|，21．3，－1．234，－ ,0，sin60°,－ 9 ,－ , － , 8 , 7 8 2 ( 2 － 3 )，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛整数集合｛｝非负数集合｛ 2、已知｜a+3|+ b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数（ 3、-[-(-9)]的相反数是（） 4、数－3．14 与－Л 的大小关系是（） 5、已知（1-a）²+(b-2)²=0,则 a+b=（） 6、已知 1<x<2，则|x－3|+ (1-x)2 等于（） 7、在数轴上与原点距离是 3 的点表示的数是（） 8、已知 a=-10，|a|=|b|,则 b 的值是（））｝｝

第一课时实数的有关概念

［2010²巴中］下列各数：
1A. 2
,0，
，0.303003„„，
中无理数的个数为（ B. 3 ，1-
B
C .Байду номын сангаас4
【解析】属于无理数的是：
,0.303 003„„, ∴选B.
【点悟】实数可分为有理数（整数、分数）和无理数，只要是整数、分数,就一定不是无理数.
类型之二
倒数、相反数和绝对值
（1）［2011²扬州］A. 2 B. 12
18，19，20，21，22，23，24题中的预测变形3，4题.
［学生用书P1］ 1.［2011²湖州］-5的相反数是（ A. 5 B. -5 C.
A A
）
） D. -1 ） D.
2.［2011²义乌］-3的绝对值是（ A. 3 B. -3 C.
3.［2011²广东］-2的倒数是（
A. 2 B. - 2 C.
若实数x,y满足|x-2|+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为 2 【解析】由非负数的意义确定x,y的值，再求代数式xy-x2的值. 由题意得解得【点悟】（1）常见的非负数有|a|,a2, （a≥0）；
.
（2）若几个非负数（式）的和为零，那么这几个数（式）都为零.
精确度：一个近似数，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
8.平方根与立方根平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（也叫二次方根），记为x=± （a≥0 ) .
［学生用书P1］类型之一实数的概念、sin30°中，无理数的个数为( D.4 B )

1.1实数的有关概念及运算2

1.1 实数 (2)
——实数的相关概念及运算
1.1实数 (2) ——实数的相关概念及运算
复习目标：
1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念； 2、会求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 3、会比较实数的大小，并能进行实数的运算。
剖析关键词（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念（2）会用实数的运算法则进行实数的简单运算（一）“了解”： “关键词”：概念
2 8 的立方根是___________;
3、填空并举例计算： (1) a ____; ( a ) _____( a 0);
2 2
(2) a ____; ( a ) _____;
3 3 3 3
反思： 1、求一个数的平方根、算数平方根、立方根的方法及应该注意的问题； 2、练习3的化简公式中对字母a的取值范围有什么要求？
（ 4 ） 3 ， ,10 ；
复习指导三: 看试题研究第3页考点4、5，完成填空。计算下列各题。
1 1 (1) 9 (2) (1) ( ) 3
0
(2)(1)
2011
1 3 0 ( ) (sin 58 - ) 3 - 4 cos60 2 2
反思：上述计算中容易出错的地方是什么？
算术平方根记作____ ____; 2 、立方根记作3 2
2 9 ___; 2 3 27 ___; 3 (3)3 8 ___; 3 (2) 4 ___;
巩固练习：2、填空： 3 (1) 9 的平方根是_______; (2) (3)
3
2 的算术平方根是 ________; 16
巩固练习：计算下列各题。 1 3 (1) 32 3 2 12
6 3

中考数学知识点总结完整版

第一讲数与式第1课时实数的有关概念考点一、实数的概念及分类〔3分〕正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数〔π〕、开方开不尽的数负无理数凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；考点二、实数的倒数、相反数和绝对值〔3分〕2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3、相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4、绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 绝对值的问题经常分类讨论；5、倒数假设ab =1⇔ a 、b 互为倒数；假设ab =-1⇔a 、b 互为负倒数。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

11a a-=考点三、平方根、算数平方根和立方根〔3—10分〕 6、平方根①如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根〔或二次方跟〕。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±〞。

②算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a 〞。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平a ，2a =；注意a 的双重非负性：0≥a a ≥07、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根〔或a 的三次方根〕。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

中考数学课后强化训练：第1课《实数的有关概念》ppt-课件

移动 5 次后该点对应的数为－5＋12＝7，到原点的距离为 7； …… ∴移动(2n－1)次后该点到原点的距离为 3n－2，移动 2n 次后该点到原点的距离为 3n－1. ①当 3n－2≥41 时，n≥433. ∵n 是正整数，∴n 的最小值为 15，此时移动了 29 次． ②当 3n－1≥41 时，n≥14. ∵n 是正整数，∴n 的最小值为 14，此时移动了 28 次．综上所述，至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于 41.
(第 7 题图) B. 点 A 与点 C D. 点 B 与点 C
8．有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，有：①a－b＞0；②a＋b＞0； ③1a>1b；④b－a＞0.其中正确的个数是( B )
(第 8 题图)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
9．把下列各数填入相应的括号里：
0， 8， 4，3.1415926，sin 60°，－2， 3， 3－1，272，0.1010010001…
(第 14 题图) 解：墨迹盖住的整数共有(238－23)＋[(－52)－(－188)]＝215＋136＝ 351(个)，相反数有－(52)－(－188)＝136(对)．
15．若|x|＝3，|y|＝2，且 x>y，求 x＋y 的值．
解：由题意，得 x＝3，y＝2 或－2，∴x＋y＝5 或 1.
16．如图，点 A 的初始位置位于数轴上的原点，现对点 A 做如下移动：第 1 次从原点向右移动 1 个单位长度至点 B，第 2 次从点 B 向左移动 3 个单位长度至点 C，第 3 次从点 C 向右移动 6 个单位长度至点 D，第 4 次从点 D 向左移动 9 个单位长度至点 E……依此类推，这样至少移动___2_8____次后该点到原点的距离不小于 41.

2020中考复习第01课时实数及其运算

用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向和⑤ 单位长度的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac

人教版七年级下册《6.3第1课时实数的概念》同步练习(含答案)

6.3实数第1课时实数的有关概念关键问答①无理数有几种常见的表现形式？②数轴上的每一点都可以表示一个什么样的数？1．①2017·滨州下列各数中是无理数的是()A. 2B．0 C.12017D．－12．②如图6－3－1，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合(提示：圆的周长C＝2πr)，把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是________，属于__________(填“有理数”或“无理数”)．图6－3－1命题点1无理数[热度：90%]3．③下列说法正确的是()A．无理数就是无限小数B．无理数就是带根号的数C．无理数都是无限不循环小数D．无理数包括正无理数、0和负无理数易错警示③(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限且不循环，不能表示成分数的形式．(2)常见的无理数有三种表现形式：化简后含π的数；有规律的无限不循环小数，如：1.3131131113…；含有根号且开方开不尽的数，如5，36.4．④在下列各数：0.51525354…，0，0.2，3π，227，9，39，13111，27中，是无理数的有________________________．方法点拨④一个数不是有理数就是无理数，识别一个数是不是有理数，只需看其是不是整数或分数即可．5．有一个数值转换器，原理如图6－3－2所示：当输入的x 为256时，输出的y 是________．图6－3－26．⑤在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有多少个？方法点拨⑤分别找出1～100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，即可得出无理数的个数．命题点 2 实数的概念与分类 [热度：95%] 7．⑥下列说法中，正确的是( ) A ．正整数、负整数统称整数 B ．正数、0、负数统称有理数C ．实数包括无限小数与无限不循环小数D ．实数包括有理数与无理数易错警示⑥实数包括有理数和无理数，即有限小数、无限循环小数、无限不循环小数． 8．⑦有下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无理数与有理数的积是无理数；③有理数与有理数的和不可能是无理数；④无限小数是无理数；⑤不是有限小数的数不是有理数．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解题突破⑦两个无理数的和或差不一定是无理数．9.⑧实数13，24，π6中，分数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个方法点拨⑧分数是两个整数作商，不能整除的数. 10．下列说法错误的是( ) A.14是有理数 B.2是无理数 C ．－3－27是正实数 D.22是分数11．在数轴上，表示实数2与10的点之间的整数点有________个；表示实数2与10之间的实数点有________个．12．将下列各数填在相应的集合里： 3512，π，3.1415926，－0.456，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，0，511，－321，（－13）2，0.1.有理数集合：{_____________________________________________…}；无理数集合：{_____________________________________________…}；正实数集合：{_____________________________________________…}；整数集合：{_______________________________________________…}．命题点3实数与数轴[热度：98%]13．下列说法中正确的是()A．每一个整数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个整数B．每一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数C．每一个无理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个无理数D．每一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数14．⑨如图6－3－3，数轴上的A，B，C，D四个点表示的数中，与－3最接近的是()图6－3－3A．点A B．点B C．点C D．点D解题突破⑨－3介于哪两个连续的整数之间？这两个连续的整数中哪个整数的平方与3的差的绝对值小？15．2018·宁晋县期中如图6－3－4，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是()图6－3－4A．π－1 B．－π－1C．－π－1或π－1 D．－π－1或π＋116.⑩在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是________．方法点拨⑩数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数.17.⑪如图6－3－5所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2)上．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将数轴的正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样数轴的正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．图6－3－5(1)圆周上数字a与数轴上的数字5对应，则a＝__________；(2)数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是________．模型建立⑪数轴绕过圆周n圈(n为正整数)后，一个整数落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3n＋2.18．阅读下面的文字，解答问题．大家都知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，所以将2减去其整数部分，差就是其小数部分．(1)你能求出5＋2的整数部分和小数部分吗？(2)已知10＋3＝x ＋y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，请求出x －y 的相反数．19.⑫定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．可以这样证明：设2＝a b ，a 与b 是互质的两个整数，且b ≠0，则2＝a 2b 2，a 2＝2b 2.因为b 是整数且不为0，所以a 是不为0的偶数．设a ＝2n (n 是整数)，所以b 2＝2n 2，所以b 也是偶数，这与a ，b 是互质的两个整数矛盾，所以2是无理数．仔细阅读上文，求证：5是无理数．方法点拨⑫从结论的反向出发，经推理，推得与基本事实、定义、定理或已知条件相矛盾的结果，这样的方法称为反证法.典题讲评与答案详析1．A 2.－2π无理数 3.C4．0.51525354…，3π，39，27[解析] 因为0是整数，0.2可化成分数，9＝3，是整数，13111，227是分数，所以这五个数都是有理数.0.51525354…，3π，39，27都是无理数．5.2[解析] 由题图中所给的程序可知，把256取算术平方根，结果为16，因为16是有理数，所以再取算术平方根，结果为4，是有理数．再取4的算术平方根，结果为2，是有理数．再取算术平方根，结果为2，2是无理数，所以y＝ 2.6．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，∴无理数有90个．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，且64<100，125>100，∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，∴无理数有96个，∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90＋96＝186(个)．7．D[解析] 正整数、负整数、0统称为整数；有理数分为正有理数、0和负有理数；有理数包括无限循环小数和有限小数；实数包括有理数和无理数．8．B[解析] 两个无理数的和不一定是无理数，如2和－2；无理数与有理数的积也不一定是无理数，如2和0；有理数与有理数的和一定是有理数；无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数是有理数．9．B [解析] 分数是两个整数作商，不能整除的数，因此只有13是分数．10．D [解析]A 项，14＝12是有理数，故选项正确；B 项，2是无理数，故选项正确；C 项，－3－27＝3是正实数，故选项正确；D 项，22是无理数，故选项错误．故选D.11．2 无数12．有理数集合：{3512，3.1415926，－0.456，0，511，（－13）2，…}；无理数集合：{π，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，－321，0.1，…}；正实数集合：{3512，π，3.1415926，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，511，（－13）2，0.1，…}；整数集合：{3512，0，（－13）2，…}．13．D [解析] 实数与数轴上的点具有一一对应的关系． 14．B15．C [解析]∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A ′表示的数是－1－π；当圆向右滚动时点A ′表示的数是π－1.16．2＋3 [解析] 在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是2＋||－3＝2＋ 3.17．(1)2 (2)302 [解析] (1)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字a 与数轴上的数字5对应时，a ＝2.(2)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与数轴的正半轴上的整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，…每3个一组分别对应，∴数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302.18．解：(1)∵4＜5<9，∴2＜5<3，∴5的整数部分是2，小数部分是5－2，∴5＋2的整数部分是2＋2＝4，小数部分是5－2.(2)∵3的整数部分是1，小数部分是3－1，∴10＋3的整数部分是10＋1＝11，小数部分是3－1，∴x＝11，y＝3－1，∴x－y的相反数是y－x＝3－12.19．证明：设5＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a2b2，a2＝5b2.因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以5是无理数．【关键问答】①无理数有三种常见的表现形式：一是含有根号且开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是人为创造的一些无限不循环小数．②数轴上的每一点都可以表示一个实数．。

(中考复习)第1讲实数的有关概念公开课获奖课件

对接点一：有理数与无理数
常考角度：1.实数的分类，无理数的定义； 2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算； 3．特殊角的三角函数值．
【例题 1】 (2013·湖州)实数π ，15，0，－1 中，无理数
是
()
A．π
1 B.5
Hale Waihona Puke C．0D．－1解析根据常见的无理数的三种形式判断，只有π
是无理数．
－1，∴a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案 B
对接点三：科学记数法、近似数与有效数字
常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；
2．根据要求取近似数和保留有效数字；
3．近似数精确到的位数．
【例题3】 (2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成
立以来，约有2 500万人次参观了南湖红船(中共一大会
－1 在 3 和 4 之间．
答案 C
【名师课堂】
1．两边逼近法：用能开的尽方的两个正数的算术平方根逼近：如(1) 9＜ 13＜ 16，即 3＜ 13＜4；(2) 2.42＜ 6＜
2.52，2.4＜ 6＜2.5. 2．要特别注意算术平方根和平方根的区别和联系．
【预测4】实数－27的立方根是____________．解析 ∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3. 答案－3
第一板块基础知识梳理
第一部分数与式第一讲实数的有关概念
考纲要求
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数； b 2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、 b
倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的 a
一一对应关系； 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方 a

实数的有关概念

第一讲实数的有关概念➢ 课前考点突破【考点1】实数的有关概念1.大于0的数叫做，例如：5，1.2，32，0.5，2，32 ，2.123，π，… 2.小于0的数叫做，例如：－5，－1.2，－2 ，－32，－2.123 ，－π，…3.像-2，-1，0，1，2这样的数称为，整数包括、和 .4.把单位“1”或1个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，例如：1.2，－0. 5，32，0..261.6，－2.123，… 5.无限循环的小数是，例如:－31 ， 71 ，0.616，－2..12.3，… 6.无限不循环的小数是，例如：π，2，32，－π，…7.若数a 0时，称a 为非负数，即a ≥0，n a2≥0，n a 2≥0.【考点2】有理数的意义和统称有理数.【考点3】数轴、相反数、绝对值、倒数和负倒数1.规定了、和的直线叫做数轴，实数与数轴上的点成对应的关系.2. 只有不同的两个数叫做互为相反数. 0的相反数是 . 两个相反数之和是 .3.绝对值实数a 在数轴上所对应的点到的距离叫做这个数a 的绝对值，记作 .4.倒数和负倒数乘积为的两个数互为倒数. 乘积为的两个数互为负倒数.只有没有倒数.【考点4】科学记数法把一个整数或有限小数记成的形式，其中1≤a ＜10，n 为整数，这种记数法叫科学记数法.【考点5】近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是的数字起，到为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.➢ 课中方法突破【重点1】相反数的意义[例1] （2010广东中山）－3的相反数是A ．3B ．31C ．-3D ．-31 (a > 0) (a = 0) (a < 0) ⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a 0解析：两个数互为相反数，只有符号不同.答案：A点拨：a 的相反数是-a.△高○分◇秘□笈→要理解数轴、相反数、绝对值、倒数和负倒数等概念的意义. <<< 迁移拓展 <<<1. （2010江苏扬州）—5的倒数是（）A ．－5B ．5C ．－51D ．51 【重点2】用科学记数法表示数[例2] （2010广东广州）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为_______．解析：因为一个数要表达为a ×10n （其中1≤a ≤10，n 是整数）的形式叫科学记数法.所以本题的a 为3.58， n 为5，科学记数法表示为3.58×105.答案：3.58×105点拨：用科学记数法表示较大的数，只要掌握指数n 与原数的整数位数的关系就很简单了.△高○分◇秘□笈→用科学记数法表示较大的数或较小的数的方法：（1）将较大的正数N （N ＞1）写成a ×10n 的形式，其中1≤a ≤10，指数n 为原数的整数位数减去1的差；（2）将小于1的正数N 表示为a ×10n 的形式，其中1≤a ≤10，指数n 为第一个有效数字前零的个数的相反数.<<< 迁移拓展 <<<2. （2010山东潍坊）将5.62×10－8用小数表述为（）．A ．0．000 000 005 62B ．0．000 000 056 2C ．0．000 000 562D ．0．000 000 000 562 ➢ 易错误区警示【易错点1】相反数、绝对值的运算[例3] （2009广东广州）绝对值是6的数是________答案：±6误区警示：误以为绝对值是6的数就是6.其实正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，这是漏掉了﹣6.<<< 迁移拓展 <<<3.（2010山东烟台）-8的立方根是A 、2B 、 -2C 、21D 、21- 【易错点2】实数的有关性质[例4] （2010 湖南湘潭）下列判断中，你认为正确的是A ．0的绝对值是0B ．31是无理数 C ．4的平方根是2 D ．1的倒数是1- 答案：A误区警示：①a 与b 互为相反数0=+⇔b a ；②a 与b 互为倒数1=⋅⇔b a ；③任何实数的绝对值都是非负数，即|a |≥0；④互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a |= |-a |；⑤正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；零没有倒数.4. （2008广东梅州）下列各组数中，互为相反数的是（）A ．2和21B ．-2和－21C ． -2和|-2|D ．2和21➢ 中考实战演练1.（2010 广东珠海）-5的相反数是( )A.5B.-5C.51D.51- 2.（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2%D ．＋8% 3.（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）A B C D4. （2010广东佛山）如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a等于（）A. 12- B.12 C.-2 D.2 5. （2010广西梧州）据统计，上海世博园入园的人数高峰时每天约有400 000人，那么400 000用科学记数法表示是（）A ．04×106B ．4×105C ．4×104D ．40×1046.（2010山东泰安）｜－５｜的倒数是（）Ａ．－５Ｂ．－15 Ｃ．５Ｄ．157.（2010 浙江义乌）28 cm 接近于（）A ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度8. （2010山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）A ．精确到十分位，有2个有效数字B ．精确到个位，有2个有效数字C ．精确到百位，有2个有效数字D ．精确到千位，有4个有效数字9.（2010江苏淮安）-(-2)的相反数是a 0b A ．2 B ．12 C ．-12D ．-2 10.（2008广东广州）3的倒数是_________.11.（2010江苏盐城）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a b (填“<”、“>”或“=”) ．12.（2010 江苏连云港）在数轴上表示－6的点到原点的距离为___________．13.（2010 山东滨州）地球距离月球表面约为384000千米,这个距离用科学记数法(保留两位有效数字)表示为千米.14. （2008广东湛江）湛江市某天的最高气温是27℃，最低气温是17℃，那么当天的温差是 ℃．15.（2010河南）若将三个数3-，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 .16．（2010黑龙江哈尔滨）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★。

中考数学专题01 实数的有关概念及运算(原卷版)

归纳 4：科学记数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．基本方法归纳：利用科学记数法表示一个数，在确定 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1．当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小
中考数学复习资料
的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（）A．B．Fra bibliotek C．D．
3．（2019 内蒙古通辽市，第 1 题，3 分） 1 的相反数是（） 2019
A．2019 B． 1 C．﹣2019 D． 1
（）
A．5×106 B．107 C．5×107 D．108 14．（2019 重庆 A，第 8 题，4 分）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的是（）
A．m=1，n=1 B．m=1，n=0 C．m=1，n=2 D．m=2，n=1
归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算．同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．

实数概念及习题A、B

专题一实数（一）实数的有关概念1. 概念：(1)有理数: 和统称为有理数。

（2）相反数：只有不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则。

（3）数轴：规定了、和的直线叫做数轴。

（4）倒数：乘积的两个数互为倒数。

若a （a≠0）的倒数为1a.则。

（5）绝对值：代数定义：a （a ＞0 ）∣a ∣＝ 0 （a ＝0 ）-a （a ＜0）几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

（6）无理数：小数叫做无理数。

（7）实数：和统称为实数。

（8）实数和的点一一对应。

2.实数的分类:说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准实数无理数(无限不循环小数)正分数负分数正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。

（二）实数的运算：1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则：①同号两数相加，取__ __的符号，并把__ __②绝对值不相等的异号两数相加，取___ __的符号，并用 ___ ___。

互为相反数的两个数相加得_ _。

③一个数同0相加，__ __。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上__ _。

(3)有理数乘法法则：①两数相乘，同号_ _，异号__ __，并把__ 。

任何数同0相乘，都得__ __。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由__ __决定。

当__ ___，积为负，当___ __，积为正。

七年级数学下册第6章实数6.2实数第1课时实数的概念及分类教案新版沪科版20210427156

6.2 实数第1课时实数的概念及分类【知识与技能】1.了解无理数和实数的概念.2.会对实数进行分类.3.会用“夹逼法”估计一个无理数的大小，会将循环小数化为分数.【过程与方法】从实际问题引出无理数，会用“夹逼法”估计无理数的大小，能用两种方法对实数进行分类，增强学生的参与意识，发挥学生的积极主动性.【情感态度】让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识，激发学生的学习兴趣.【教学重点】掌握无理数的三种形式，能够识别有理数和无理数，能对实数进行分类.【教学难点】循环小数化为分数的规律与方法.一、情境导入，初步认识问题如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距，列距都是1，从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？（1）有面积分别是1，4，9的格点是正方形吗？（2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来.（3）还有与这些面积不相同的格点正方形吗？【教学说明】教师提出问题，学生自主探究然后相互交流，第（1）问学生很容易得到答案，第（2）问教师可适当加入引导启发.二、思考探究，获取新知1.问：我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形这种正方形的边长应是多少？【教学说明】学生自然联想到平方根这一节所学知识，很容易得出这种正方形的边长为2 .探究2是一个怎样的数呢？因为12=1<2,22=4>2.所以1<2<2，这说明2不可能是整数.因为1.42=1.96<2,1.52=2.25>2.所以1.4<2<1.5.类似地，可得1.414<2<1.415.像上面这样一直做下法，可以得到：2=1.41412135…这说明2是一个无限不循环小数.【归纳结论】无限不循环小数叫做无理数.任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是有限小数或无限循环小数；而无理数是无限不循环小数.2.实数的分类.问：有理数和无理数统称为实数，这样，我们认识的数的范围又一次扩大了，我们该怎样对实数进行分类呢？【教学说明】教师提出问题，学生思考尝试，然后相互交流，掌握实数的两种分类方法.【归纳结论】我们可以将实数按如下方式分类：有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：三、典例精析，掌握新知【教学说明】教师给出例题后，让学生独立完成，然后让部分学生上台展示自己的答案，加深对所学新知识的理解.四、运用新知，深化理解1.把下列各数分类填入图中:2.把下列各数写成分数形式：3.判断是非：（1）无限小数都是无理数.( )(2)无限不循环小数是无理数.( )(3)无理数是带根号的数.( )(4)分数是无理数.( )4.下列各组数都是无理数的是（）【教学说明】教师展示习题，学生独立完成，教师巡视，对学生的疑惑及时给予指导.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流，回顾无理数、实数的概念以及实数的分类，加深对所学知识的理解.完成练习册中本课时练习.从实际问题中引出无理数，进而引出实数并对实数进行分类，学生积极主动探索，教师引导启发，学生合作交流，培养学生继续探索的兴趣.。

第1课时实数的有关概念

第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝，q ＝．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。

第1课时实数的有关概念(含答案)

c a 第1课时《实数的有关概念》◆知识讲解 1．实数的分类实数⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数还可分为⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 2．数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（2）数轴上的点与实数一一对应．3．相反数实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零．（1）a 、b 互为相反数⇔a+b=0．（2）在数轴上表示相交数的两点关于原点对称．4．倒数乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数． a 、b 互为倒数⇔ab=1．5．绝对值 │a│=(1)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩6．非负数像│a│、a 2a≥0）形式的数都表示非负数．7．科学记数法把一个数写成a×10n的形式（其中1≤│a│<10，n 为整数），•这种记数法叫做科学记数法．（1）当原数大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1．（2）当原数小于1时，n 是负整数，•它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含小数点前的零）． 8．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字． ◆经典例题例1在实数－23，03.14，2π0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例2 （1）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值；（2）实数a，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b││b －c│．例3 （2007，枣庄）2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，•提速后的线路速度达200km/h ，共改造约6000km 的提速线路，总投资约296亿元人民币．那么，平均每千米提速线路的投资约为________亿元人民币（用科学记数法表示，保留两个有效数字）．例4 已知x 、y （y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（） A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74◆强化训练一、选择题 1..0.31，3π，17，0.80108中，无理数的个数为（） A ．1个 B ．2个 D ．3个 D ．4个2．据2005年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：•由于人类对自然资源的不合理开发与利用，严重破坏了大自然的生态平衡，目前地球上大约每45min •就有一个物种灭绝．照此速度，请你预测，再过10年（每年以365天计算）将有大约多少个物种灭绝（） A ．5.256×106 B ．1.168×105 C ．5.256×105 D ．1.168×1043．近似数0.03020的有效数字的个数和精确度分别是（）A ．四个，精确到万分位 B ．三个，精确到十万分位 C ．四个，精确到十万分位 D ．三个，精确到万分位4．（2006，哈尔滨）下列命题正确的是（）A ．4的平方根是2B ．a 的相反数是－aC ．任何数都有倒数D ．若│x│=2，则x=2 5．若│a│=－a ，则a 的取值范围是（）A ．a>0 B ．a<0 C ．a≥0 D ．a ≤06．（2007，乐山）如下左图所示，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若C 表示的数为1，则点A 表示的数为（） A ．7 B ．3 C ．－3 D ．－27．已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如上右图所示，且│a│>│b│，则│a│－│a+b│－│b －a│化简后得（） A ．2b+a B ．2b －a C ．a D ．b8．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（）A ．112B ．1.4 CD二、填空题9．已知实数a ，b 在数轴上对应的点在原点两旁，且│a│=│b│，那么a a+b =_____． 10．已知│x│=3，│y│=2，且xy<0，则x+y 的值等于______．11．（2008，山东）在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿Pa 的钢材．4.581亿Pa 用科学记数法表示为______Pa （保留两位有效数字）12．（2007，烟台）如图所示，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有_____个． 13．若│a －b+1│a －b ）2008=_______． 14．（2006，四川乐山）若2x －3与－13互为倒数，则x=______． 15．（2007，陕西）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…，•则这列数的第8个数是_______．16．如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1，2，3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，按虚线折成正方形，相对而上的两数互为相反数，则A 处应填_________． 17．有若干个数，第一个数记为a 1，第2个数记为a 2，第3个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，若a 1=－12，从第2个数起，每个数都等于“1与前面的那个数的差的倒数”．（1）试计算：a 2=_______，a 3=________，a 4=______．（2）根据以上计算结果，请你写出：a 2008=_______，a 2010=________．三、解答题18．已知a ，b 互为相反数，c ，d互为倒数，求2222a b a b-+19和│8b －3│互为相反数，求（ab ）－2－27的值．20．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2.试求：x 2－（a+b+cd ）x+（a+b ）2003+（－cd ）2003的值．c a第1课时《实数的有关概念》（答案）◆例题解析例1在实数－23，03.14，2π0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D．4个【分析】 2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数．【解答】C【点拨】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，而不是分数．例2 （1）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值；（2）实数a，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b││b －c│．【解答】（1）依题意，有a+b=0，cd=1，e≠0a+b ）+12cd －2e 0=0+12－2=－32．（2）由图知a>0，b<c<0，且│b│>│a│，∴a+b<0，b －c<0，∴a+│a+b││b －c│=a －a －b －│c│－（c －b ）=a －a －b+c －c+b=0．【点评】相反数、倒数、绝对值都是主要的概念，解答时应从概念蕴含着的数学关系式入手．含有绝对值的代数式的化简，首先要确定绝对值符号内的数或式的值是正、负还是零，然后再根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉，第（2）•题是数形结合的题目，解题的关键在于通过观察数轴，弄清数轴上各点所表示的正负性及各实数之间的大小关系，从而才能正确地去掉绝对值符号，达到化简的目的．例3 （2007，枣庄）2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，•提速后的线路速度达200km/h ，共改造约6000km 的提速线路，总投资约296亿元人民币．那么，平均每千米提速线路的投资约为________亿元人民币（用科学记数法表示，保留两个有效数字）．【分析】本题既考查有理数的除法运算，又考查近似数和科学记数法以及分析问题的能力．【解答】 296÷6000≈4.9×10－2例4 已知x 、y （y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（） A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74【分析】 y －3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y －3=0，由此可求得x ，y 的值，将其代入axy －3x=y 中，即求得a 的值．【解答】（y －3）2=0∴3x+4=0，y －3=0 ∴x=－43，y=3． ∵axy －3x=y ， ∴－43×3a －3×（－43）=3 ∴a=14∴选A 【点拨】若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个重要性质． ◆◆强化训练答案:1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．C 9．1 10．1或－1 11．4.6•×108 •12．4 13．1 14．0 15．21 16．－2 17．（1）23 3 －12 （2）－123 18．－1 19．•由已知得a=13，b=38，原式的值为37 20．1或5。

实数的有关概念(含答案)

⎧⎨⎩第1章数与式第1课实数的有关概念目的：复习实数有关概念，相反数、绝对值、倒数、数轴、非负数性质、•科学记数法、近似数与有效数字．中考基础知识1．实数的分类2．相反数：只有_______不同的两个数，叫做互为相反数，a 的相反数为______，a-b 的相反数是_______，x+y 的相反数是________，0的相反数为_______，若a ，b 互为相反数，则a+b=________．3．绝对值：几何意义：数a 的绝对值是数a 在数轴上表示的点到_______的距离．正数的绝对值等于它________．代数意义零的绝对值等于________．负数的绝对值等于它的________．│a │=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 4．数轴：0________与数轴上的点是一一对应的，•数轴上的点表示的数左边的总比右边的_________，数轴是沟通几何与代数的桥梁．5．倒数：a （a ≠0）的倒数为________，0_______•倒数，•若a ，•b •互为倒数，•则ab=_____，若a ，b 互为负倒数，则ab=________．6．非负数：│a│≥0，a2≥00．若│a+1│+（c+3）2=0，则a=_______，b=_______，c=________．7．科学记数法：把一个数记作a×10n形式（其中a是具有一位整数的小数，n为自然数）．8．近似数与有效数字：一个经过________而得到的近似数，最后一个数在哪一位，就说这个近似数是精确到哪一位的近似数，对于一个近似数，•从左边第一个______数字开始，到最末一位数字止，都是这个近似数的有效数字．备考例题指导例1．填空题（1的倒数为_______，绝对值为________，相反数为_______．（2）若│x-1│=1-x，则x的取值范围是_______，若3x+1有倒数，则x的取值范围是_________．（3）在实数18，π，3，0+1，0.303003……中，无理数有________个．（4）绝对值不大于3的非负整数有________．（5=0，则3x-2y=________．（6）用科学记数法表示-168000=_______，0.000=_________．（7）0.0304精确到千分位等于_______，有_______个有效数字，它们是_______．（8）000保留两个有效数字得到的近似数为________．答案：（1）．-2，，（2）x≤1，x≠-13．（3）5．（4）0，1，2，3．（5）7．（6）-1.68×105，2.004×10-4．（7）0.030；2；3，0 （8）2.1×106．例2．已知1<x<4，化简│x-4│解：∵1<x<4，∴x-4<0，1-x<0．原式=│x-4│-│1-x│=4-x+1-x=5-2x．例3．化简│x-2│+│x+3│．解：令x-2=0得x=2，令x+3=0得x=-3．（1）当x<-3时，原式=2-x-x-3=-2x-1；（2）当-3≤x<2时，原式=2-x+x+3=5；（3）当x≥2时，原式=x-2x+x+3=2x+1．分类讨论思想，零点分段法，一般等号取在大于符号中．备考巩固练习1．（，北京）一个数的相反数是3，则这个数是________．2．气温比a℃低3℃记作________．3-a）2与│b-1│互为相反数，则2a b-的值为_______．4．若a2│c-│=0，则a b+c=________．5．计算|47-25|+|35-79|-|29-37|=______________．（注意方法）6．计算│1-a│+│2a+1│+│a│，其中a<-2．7．如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图，那么化简│a+b│+果是多少？b a8．按要求取下列各数的近似数：（1）6.286（精确到0.1）；（2）1764000（保留三个有效数字）；（3）278160（•精确到万位）．9．近似数7.60×105精确到_______位，有______个有效数字，近似数7.6×105精确到_______位，有________个有效数字．10．已知a、b、c为实数，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c．答案:1．-3 2．（a-3）℃ 3+1 4．5．原式=47-25+79-35+29-37=17-1+1=17（先去绝对值符号）6．∵a<-2，∴1-a>0，2a+1<0，a<0∴原式=1-a-2a-1-a=-4a7．-2a8．（1）6.286≈6.3 （2）1764000≈1.76×106（3）278160≈28万9．∵7.60×105=760000 ∴近似数7.60×105精确到千位，有三个有效数字7，6，•0；7.6×105精确到万位，有两个有效数字7，610．用配方法和非负数性质，将一个方程转化为三个方程，a2+b2+c2-ab-bc+ac=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 （a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b=c。

2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)

2019年中考数学精品专题复习第一章数与式第一讲实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1．按实数的定义分类：⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数：无限不循环小数 2．按实数的正负分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1．数轴：规定了、、的直线叫做数轴，实数和数轴上的点是一一对应的。

2．相反数：（1）只有不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是，0的相反数是；（2）a+b=0⇔a 、b 互为；（3）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离。

3．倒数：（1）乘积为的两个数互为倒数，用数学语言表述为：1ab =，则a ，b 互为；（2）1和的倒数还是它本身，没有倒数。

4．绝对值：（1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值。

（2）(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（3）因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是数，我们学过的非负数有三个：、和。

知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1．平方根：（1）一般地，如果一个数的等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根，记作；（2）正数的平方根有两个，它们互为，0的平方根为，没有平方根。

2．算术平方根：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作；（2）正数的算术平方根为，0的算术平方根为。

3．立方根：（1）一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根，记作；（2）正数的立方根为， 0的立方根为，负数立方根为；每个实数有且只有一个立方根。

知识点四、科学记数法科学记数法：把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法。

1.1实数的概念及运算

(8)、下列说法中，错误的个数是
（C ）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
9观察下列等式
，
1 1 1 1 2 2
1 1 1 23 2 3
1 1 1 3 4 3 4
．
1 n(n， 1)
．
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ． n( n 1)
（3）探究并计算：
1 1 1 1 2 4 4 6 68 2006 2008
• 搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的三种常见形式：① ；②无限不循环小数，如0.1010010001……；③开方开不尽的数，如等。 2 ; tg 60 0 • 绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数。 • 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，才能更好地有的放矢。
将以上三个等式两边分别相加得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4
，
（1）猜想并写出：
1 1 1 1 （2）直接写出下列各式的计算结果： 1 2 2 3 3 4 2006 2007
无理数集合：{
8
;-π；0.100110001…
1
3.2
}。
中考时刻
（10上海）1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14
1 B. 3
C.
3
D. 9
数轴、相反数、绝对值、倒数例2 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点 A对应的数为-1，则点B所对应的数为 5 ．

实数的相关概念.PPT

1 倒数，倒数等于本身的数是 1 或－1。a(a≠0)的倒数是。 a
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
距离， 4．绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的________ 记作|a|， a（a>0）， |a|＝0（a＝0），－a（a<0）. 5．科学记数法：把一个数写成 a× 10n(其中 1≤|a|＜10，n 为整数)的形式．设这个数为 m，①当|m|≥10 时，n 等于原数的整数位数减 1.②当|m|≤1 时，|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个数． 6．近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位．有计数单位的近似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定．如 3.618 万，数字 8 实际上是十位上的数字，即精确到十位．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
解
析
无理数就是无限不循环小数。理解无理数的概念，
一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，
即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数
是无理数．无理数有：－π，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),共有2个。
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第1讲┃实数的有关概念
探究三科学记数法
命题角度：用科学记数法表示数．例3 [2013²邵阳] 据邵阳市住房公积金管理会议透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中 11.2亿元可用科学记数法表示为( B ) A．11.2³108元 B．1.12³109元 C．0.112³1010元 D．112³107元

第1课时 实数的有关概念

实数的有关概念[下学期]--北师大版

第一课时实数的有关概念

第一课时 实数的有关概念

1.1实数的有关概念及运算2

中考数学知识点总结完整版

中考数学课后强化训练：第1课《实数的有关概念》ppt-课件

2020中考复习第01课时实数及其运算

人教版七年级下册《6.3第1课时实数的概念》同步练习(含答案)

(中考复习)第1讲 实数的有关概念 公开课获奖课件

实数的有关概念

中考数学 专题01 实数的有关概念及运算(原卷版)

实数概念及习题A、B

七年级数学下册第6章实数6.2实数第1课时实数的概念及分类教案新版沪科版20210427156

第1课时实数的有关概念

第1课时 实数的有关概念(含答案)

实数的有关概念(含答案)

2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)

1.1实数的概念及运算

实数的相关概念.PPT

第1课时实数的有关概念

第一课时实数的有关概念

(中考复习)第1讲实数的有关概念公开课获奖课件

中考数学专题01 实数的有关概念及运算(原卷版)

第1课时实数的有关概念(含答案)