山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(文科) (含解析)

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【解析】山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

2019~2020学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（） A.13B. 13-C. 3D. 3-【答案】D 【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得212121312y y k x x -+===---，故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（） A 2【答案】B 【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得l ==故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题 3.过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（） A 21y x =--B. 21y x =-C. 22y x =-+D.21y x =+【答案】A由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =--故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解+析式，属于基础题 4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题 5.与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（） A. ()()22121x y -+-= B. ()()22121x y +++= C. ()()22121x y ++-= D. ()()22211x y -++=【答案】C可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆()()22121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-= 故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（） A. 若m αP ，n ⊂α，则m n P B. 若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C. 若m αP ，αβ⊥，则m β⊥ D. 若m αP ，n αP ，则m n P【答案】B 【分析】由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n P【详解】对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C ，可随机举一反例，如图：直线与β斜交；对D ，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题 7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（） A. 2 B. 42D. 2【答案】C 【分析】根据两直线一般式对应系数关系111222A B C A B C =≠求解即可【详解】由题可知，应满足13111m m m -=≠⇒=---，则两直线可化为3010x y x y ⎧⎨⎩-+=-+=，由平行直线间距离公式122222C C d A B-===+故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A. 6B. 9C. 18D. 27【答案】A 【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：11343632V =⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（）A. 6B.103C. 92-D. 103-【答案】C 【分析】可将目标函数转化为33x zy =-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33x zy =-，要使z 取到最小值，则截距3z-取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入3z x y=-得92z =-故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得21122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知()3,0A -，()0,1B ，点C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（） A.32B.332C.53D.73【答案】C 【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2223x y ++=，圆心为()0,2-，33AB k ==，则直线方程为31y x =+，圆心到直线的距离33113d ==+max 33533h d r =+=，312AB =+=，则15353=22ABC S ∆⨯=故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题 12.将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使120BDC ∠=o ，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A. 72π B. 7π C.132π D.133π 【答案】B 【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到32 1.sin120r r =⇒= 见图示：AD 是球的弦，3M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=32，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径371+4 该球的表面积为：4π×OD 2=7π；故选：B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆22220x y x y +++=的半径为______________.【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题 14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为．试题分析：由2r l πθ=，得2233r ππ=，即1r =，∴2211133V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 【答案】()2220x y a a +=>【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>故答案为：()2220x y a a +=>【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.【答案】325⎣⎦，【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =I ，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，2221111151()22A M A B B M =+=+=，同理，在直角11A B N ∆中，求得15A N =以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点.（1）求直线AC 的方程；（2）求AC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.【分析】（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C . ∴直线AC 的方程为3110x y +-=；（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-，∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.（1）求证：EF P 平面11ADD A ；（2）求证：EF ⊥平面11A B CD .【答案】（1）证明见解+析；（2）证明见解+析.【分析】（1）要证直线EF P 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可；【详解】（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴P ，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =. ∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥， ∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， ∴EF P 平面11ADD A ；（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，∴EF ⊥平面11A B CD .【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=.（1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=与圆2C 的相交弦长为23n 的值.【答案】（1）5；（2）35n =-+35n =-分析】（1）先将圆2C 化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即1212C C r r =+，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵221x y +=，∴()10,0C ，11r =， ∵2260x y x m +-+=，∴()2239x y m -+=-，∴()23,0C ，29r m =- ∵圆1C 与圆2C 外切，∴1212C C r r =+，∴319m =+-5m =；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为()2234x y -+=，()23,0C ，22r =，由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离223315n d r +==-=，∴35n =-+或35n =--. 【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,25PC =,PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解+析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，23AE =，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，∵AD CD ⊥，∴2225AC AD CD =+=, ∴15sin 5AE ACE AC ∠==. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,25PC =，PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.【答案】（1）证明见解+析；（2）60o .【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，23PE =∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥， ∴tan 3PE PBE BE∠==，∴60PBE ∠=︒. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当23PA =时，求点P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有22OP r PA =+P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =时，求点P 的坐标；（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，∵00280x y --=，∴0028x y =+，∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。

山西省太原市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

2019～2020学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.设集合{}0,12A =，，{}1B x y x ==-，则下列图中阴影部分所表示的集合为（）A. {}1B. {}0C. {}1,2D. {}0,1 【答案】B【解析】集合B 表示函数1y x =-{}{}11B x y x x x ==-=≥. 故图中阴影部分所表示的集合为{}{}0,1,2{|1}0R A C B x x ⋂=⋂<=，故选B. 2.若复数13z i =+，则z =（）A. 12B. 32C. 1D. 2【答案】C【解析】试题分析：因为()()213132131313i z i i i ===++- 所以，2213122z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C. 考点：复数的概念与运算.3.命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（）A. 若a c b c +≤+，则a b ≤B. 若a b ≤，则a c b c +≤+C. 若a c b c +>+，则a b >D. 若a b >，则a c b c +≤+【答案】B【解析】【分析】根据命题“若p ，则q ”的否命题是“若￢p ，则￢q ”．【详解】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是“若a b ≤，则a c b c +≤+” 故选B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．4.tan105︒=（）A. 2B. 2-C. 2D. 2-【答案】D【解析】【分析】根据4505610︒=+，然后利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果.【详解】由4505610︒=+，所以 ()45tan tan1tan 60456045tan 6005tan 1tan ︒-+==+则11tan105︒==所以tan1052︒=--故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，关键在于将非特殊角转化为特殊角，识记公式，细心计算，属基础题.5.已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A. 1B. 1或2C. 2或-1D. -1【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由题设得：2111242a q a a q =+因为10a ≠，所以，220q q --=解得：2q 或1q =-故选C.考点：等差数列与等比数列.6.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）3B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】根据三视图的还原以及直观想象，可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，然后根据长对正，高平齐，宽相等，可知四棱锥的底面边长以及高度结合锥体体积公式，可得结果.【详解】由图可知：几何体是底面为正方形的四棱锥且底面边长为3，四棱锥的高为1 所以该四棱锥的体积为：213133V =⨯⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查三视图的还原，考验空间想象能力以及对常见几何体的三视图的认识，属基础题.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x 的值为2，则输出v 的值为（）A. 721-B. 72C. 621-D. 62【答案】A【解析】【分析】采用依次计算，第一次：1,121k v ==⨯+，第二次：22,22+1k v ==+，…依次类推，直到6k >，简单计算，可得结果.【详解】当输入x 的值为2时第一次：1,121k v ==⨯+第二次：22,22+1k v ==+第三次：323,22+2+1k v ==+第四次：4324,22+2+2+1k v ==+第五次：54325,22+2+2+2+1k v ==+第六次：654326,2+22+2+2+2+1k v ==+则当7k =时，7>6，输出结果.所以()7654321122+22+2+2+2+1=12v ⨯-=+-即721v =-故选：A【点睛】本题考查程序框图，对这种问题按部就班，依次计算，掌握该算法的功能，细心计算，属基础题.8.函数()cos(2)2sin sin()f x x x θθθ=+++的最大值是（）A. 2 C. 1 【答案】C【解析】【分析】根据()2x x θθθ+=++，利用两角和的余弦公式展开化简，可得()cos f x x =，根据余弦函数的性质，可得结果.【详解】()cos(2)cos x x θθθ+=++⎡⎤⎣⎦所以()()cos(2)cos cos sin sin x x x θθθθθ+=+-+所以()()()cos cos sin sin f x x x θθθθ=+++即()()cos cos f x x x θθ=+-=⎡⎤⎣⎦由1cos 1x -≤≤所以可知max ()1f x =故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，重在于对公式的识记，属基础题.9.已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（）B. 12πD. 1212π- 【答案】D【解析】【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：222AB BC AC +=所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又三角形内角和为π，所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P 所以242122412ABC S P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.10.若对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. (,1]-∞-B. (,1]-∞C. [1,)-+∞D. [1,)+∞【答案】A【解析】【分析】构造函数()ln f x x x x a =--，利用导数研究函数()f x 在()0,∞+单调性，并计算()min 0f x ≥，可得结果.【详解】令()ln f x x x x a =--，()0,x ∈+∞则()'ln f x x =，令()'01f x x =⇒= 若01x <<时，()'0fx < 若1x >时，()'0f x >所以可知函数()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增所以()()min 11f x f a ==--由对任意的实数0,ln 0x x x x a >--≥恒成立所以()min 101f x a a =--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.11.在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，QA //,60PC PBC AQB ︒∠=∠=，己四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球的半径分别为12,R R ，则12R R =（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】假设正方形的边长，然后利用勾股定理计算,PA CQ ，根据墙角模型以及直观想象，可知,PA CQ 分别为四棱锥P ABCD -与四棱锥Q ABCD -的外接球直径，最后计算可得结果.【详解】设正方形的边长为2如图由PC ⊥底面ABCD ，QA //PC所以QA ⊥底面ABCD又60PBC AQB ︒∠=∠= 所以可知2323,PC QA == 根据墙角模型，将四棱锥P ABCD -补全是长方体PA 为该长方体的一条体对角线所以四棱锥P ABCD -的外接球的直径为PA同理四棱锥Q ABCD -的外接球的直径为QC22225PA PC BC CD ++=222221QC QA AB AD =++=所以12215223,R R PA QC ==== 所以12105R R = 故选：B【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，熟悉墙角模型，可快速找到外接球的球心，属基础题.12.已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是（）A. (0,]eB. 21,ee e -⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 11,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果.【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点且直线y kx e =+过定点()0,e如图根据图形可知：k 0<当直线y kx e =+与()11g x e x =+-相切时设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x =-，所以()'0201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x =所以()'124k g ==- 当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e e e e k e e+---==- 所以可知2114e k e--<≤ 故选：D【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数2()log f x a x x =+的图象过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则实数a =_________. 【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算，直接代值计算即可.. 【详解】由题可知：21111()log 2222f a =+=- 则11122a a -+=-⇒= 故答案为：1【点睛】本题考查对数式的运算，属基础题.14.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.【答案】8-【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2y x =在可行域中平移，根据z 或含z 式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果.【详解】如图令0z =，可得目标函数2z y x =-的一条等值线2y x =则将2y x =移至点()4,0A 处，目标函数取最小值所以最优解为点()4,0A则min 0248z =-⨯=-故答案为：8-【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.15.若01,,,log b a b a b x a y b z a <<<===，则,,x y z 由小到大排列为_______________.【答案】x y z <<【解析】【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性以及借助特殊值1进行比较大小，可得结果.【详解】由01a b <<<，且xy a =单调递减所以b a a a <又a y x =在()0,x ∈+∞递增，所以1a a a b <<所以01b a a b <<<由log b y x =单调递减，所以log log 1b b a b >=所以log b a b a b a <<，即x y z <<故答案为：x y z <<【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，熟悉基本函数的单调性以及借助中间值比较大小，比如中间值常用：0，1，属基础题.16.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【解析】【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠ 所以13AB =13AC AB == 所以)133913,0,B C ⎝⎭，()0,0A 又39sin sin sin BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以2713cos 1sin 26BAD BAD ∠=-∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠ 即2113339,2626D ⎛ ⎝⎭所以()2113339,13,0,AD AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 1339AC ⎛ =⎝⎭又AD AB AC λμ=+ 所以2113139132621333393913262λμλμμ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1) 0.040a =；中位数为82.5. (2)35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =；设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，所以所求的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题18.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果. 【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2aC c b +=，得1sin sin sin sin 2A C C B +=，又由()sin sin B A C =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+. 由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =. （Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sin B =b a <，故cos B =因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=. 所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2Nn n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值. 【答案】（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果.【详解】（I ）由2n n S a n =-①当1n =时，可得111211S a a =-⇒=当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--②则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n n n n a a +=⇒=-所以2121121412n nn a --=-=⋅- 记13521n n T a a a a -=+++⋯+所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144...4143n n n --+++==- 所以()()4412411233n n n T n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，点D 是棱11B C 的中点，2AB AC ==，12BC BB ==.（Ⅰ）求证：1AC //平面1A BD ；（Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】【分析】（Ⅰ）连接1AB 交1A B 于点M ，连DM ，根据中位线定理可得1AC //DM ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（Ⅱ）计算11,ABC BDC S S ∆∆，根据等体积法，11D ABC A BDC V V --=，可得结果.【详解】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中连接1AB 交1A B 于点M ，连DM如图由四边形11ABB A 为平行四边形，则M 为1AB 中点又点D 是棱11B C 的中点，所以1AC //DM因为1AC ⊄平面1A BD ，DM ⊂平面1A BD所以1AC //平面1A BD（Ⅱ）设点D 到平面1ABC 的距离为h由1A A ⊥底面ABC ，AB底面ABC 所以1A A AB ⊥，由2AB AC ==12BC BB ==所以222AB AC BC +=，则AC AB ⊥由1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥ ()222211226AC AC CC =+=+=所以11132ABC S AB AC ∆=⋅⋅=1111112122BDC S DC CC ∆=⋅⋅=⨯⨯= 连接AD ，作AN BC ⊥交BC 于点N由三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1AN =又AN ⊂底面ABC ，所以1AN AA ⊥，又1AA //1CC ，所以1AN CC ⊥1,CC BC ⊂平面11B BCC ，1CC BC C ⋂=所以AN ⊥平面11B BCC由11D ABC A BDC V V --= 则111133ABC BDC S h S AN ∆∆⋅⋅=⋅⋅所以h【点睛】本题考查线面平行的判定以及使用等体积法求点到面的距离，识记线面平行的判定，熟练掌握使用等积法解决点到面的距离，细心观察，耐心计算，属中档题.21.已知函数()e ln x f x a x x =--.（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在区间(0,1)上存在极值点，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）10ex y --=；（Ⅱ）(0,e 1)-【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.【详解】解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln xf x e x x =+-，0x >. 所以()11x f x e x='+-，所以 ()11f e =-，()1f e '=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x --=-，整理得 10.ex y --=（Ⅱ）因为()ln x f x e a x x =--，0x >.所以()1x xa xe x a f x e x x '--=--=，依题意，()f x '在区间()0,1上存在变号零点.因为0x >，设()xg x xe x a =--，所以()g x 在区间()0,1上存在变号零点. 因()()11x g x e x ='+-，所以，当()0,1x ∈时，1x e >，11x +>，所以()11x e x +>，即()0g x '>，所以()g x 在区间()0,1上为单调递增函数，依题意， ()()00,10,g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,10.a e a -<⎧⎨-->⎩ 解得 01a e <<-.所以，若()f x 在区间()0,1上存在极值点，a 的取值范围是()0,1e -.【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x = 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题23.已知f （x ）＝﹣x+|2x+1|，不等式f （x ）＜2的解集是M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）设a ，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分12≥-，x12-＜去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当12≥-时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．由f（x）＜2，得x＜1，所以12-≤x＜1．当x12-＜时，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣11x2-＜＜综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1 所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0 故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．。

山西省2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学(文科)试题

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山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末考试语文试题含答案

太原市2017~2018 学年第一学期高二期末考试语文试卷说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间120 分钟,满分100 分。

第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读(20 分)（一）论述类文本阅读(6 分,每小题2 分)阅读下面的文字,完成1~3 题。

“象”与“像”是两个具有独立含义的不同的汉字,从艺术造型形式的角度来讲,“象”与“像”也正代表了两种不同的创作态度。

“象”字反映了艺术创作的精神本原,表达的是一种抽象的概念与联想;“像”字反映了艺术创作的视觉感知,表达的是一种具象的形态与实体。

西方传统艺术偏重于客观再现,形成了重逻辑、理性的审美标准,更多再现了物的客观真实现象,反映了“像”的创作态度。

例如“模仿再现自然说”“模仿说”等哲学思想与美学观点启发了古希腊罗马时期的古典艺术、文艺复兴时期的“人本主义”艺术,一直影响到19 世纪中期新古典主义与现实主义艺术,因此,西方的古典造型艺术形式基本上体现了“写实”与求“像”的创作标准。

19 世纪中期以来,在尼采哲学、存在主义等哲学思潮影响下,东西方艺术体系的主流审美标准逐渐融合渗透,变得含糊混杂,由求“像”转向取“象” ,促使其艺术创作的社会性主流标准慢慢转变为艺术家个人追求的价值标准。

中国传统艺术偏重于主观表现,形成了重隐喻、感性的审美标准,更多体现了人的主观精神理想,反映了“象”的创作态度。

例如“里仁为美”“天地有大美而不言” ,这些哲学思想与美学观点成为中国古代传统艺术追求的境界与法则,延续了两千多年,其艺术形式主体上呈现出“写意”与求“象”的创作态度。

尤其是北宋中后期发展起来的“文人画”最能休现“象”的创作标准,“论画以形似,见于儿童邻”成为后世文人画家的审美评判标准。

直到20 世纪20 年代,以康有为、陈独秀为代表的革新派学者认为“中国文人画衰败的根源就在文人画家的写意”。

与之抗衡的是陈师曾,他在《文人画之价值》中指出文人画是格局谨严、意象精密、下笔矜慎、立论幽微、学养深醇之画,并与西洋画中“不重客体,专任主观”的立体派、未来派、表现派作了类比解析。

2019-2020学年山西省高二(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5分）命题“X D(1, ) , X D2 ——…2 2 ”的宀曰定是()x oA. x0 (1,),x0 , 2 . 2B. X o(1,), 怡—2 2 x o XDC . x (1,2),X - 2 2xD. x(1,), x 2, 2 2x2. （5分）已知直线I过点（2, 1），且在y轴上的截距为3，则直线I的方程为（）A . 2x y 3 0B.2xy 3 0C. x 2y 4 0 D. x 2y 6 03. ( 5 分) 函数f(x)1 3 x32 x1在区间［0 , 3］的最小值是（）A . 0B. 21C. D. 134. （5分）刘徽注《九章商功》曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇. ”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（A . 60B . 63 C. 84 D . 12625. （5分）抛物线C : y2px的准线经过双曲线 2 x2―1的左焦点，则抛物线C的焦点坐124标为（）A. (4,0) B . ( 4,0)C. (0, 4)D. (0,4)6. （5分）若函数f（x）m的取值范围是（3 22x 3mx 6x存在极值点，则二、填空题: 本题共 4小题，每小题5分，共20分.确的是（）m //nh 间的距离是（）C .10. （ 5分）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC 中，PA 平面PFE 的面积是2,则双曲线C 的方程为( )222xy x 2C .1 D .y 2 14164A . 16B . 20C . 24D . 64 .（5分）设函数f （x ）是奇函数 y f （x ）（x R ）的导函数，(1)0 ,当x 0时，xf (x) f (x) 0 , 则使得f （x ） 0成立的 x 的取值范围是（A . ( , 1) (0 , 1)B . (0 , 1) (1 , )C . (, 1)(1 , 0)D . ( 1 , 0) (1,)（5分）已知双曲线2 2C:£1(a 0,b a b0）的左、右焦点分别为 F ,F2,离心率为 5,AB BC 2，鳌臑P ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是 11 .12. ( )A . ( , 2) (2 , ),2]U [2 ,) C . ( 2,2)2 , 2]（5分）设a R ,则“ a 1 ”是“直线ax y1 0与直线x ay a 0平行”的（A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要D .既不充分也不必要条件（5分）设m ， n 是两条不同的直线,是三个不同的平面，下面四个命题中正A ，则//B .若，则C .若 m / /a , ，则 m/ /n//I n ,则9. (5 分)若圆 C : (x y 2 1关于直线l : x y4 20，则I 与ABC , PA 4 , 过左焦点R 引渐近线的垂线, 2xA .2垂足为P , △22y 4x1 42 214. (5分)以(1,2)为圆心，且与圆C:(x 3) (y 1) 9外切的圆的标准方程是_____ . 15. (5分)倾斜角是45，且过点(1,4)的直线I交圆C:x y 2y 3 0于A , B两点，则直线I的一般式方程 _，|AB| _.16. ( 5分)给出下列命题：1(1)若函数f (x) -x2 3 mlnx 2在(1,)上是减函数，则m 1;2(2)直线y k(x 2)与线段AB相交，其中A(1,1), B(4,2)，则k的取值范围是[1 , 1];(3 )点P(1,0)关于直线2x y 1 0的对称点为R，则P。

山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

山西省太原市2019-2020学年度高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1.双曲线的实轴长为（）A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线，其中，，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为与，则实轴长；故选：D．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．2.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为的否定是所以命题：“”的否定是,选C3.曲线在处的切线的斜率等于（）A. eB.C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．【详解】函数的导数为，则在处的导数，即切线斜率，故选：D．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．4.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“l＜x＜2”是“l＜x＜3”的充分而不必要条件，选A．考点：充要关系5.抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线x2＝4y中，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为2考点：抛物线方程及性质6.对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线7.函数的单调递减区间是（）A. B.C. ，D.【答案】D【解析】【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间．【详解】令解得，函数的单调递减区间是．故选：D．【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性．8.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】命题“，”为真命题等价于在上有解，构造函数求最大值代入即可．【详解】命题“，”为真命题等价于在上有解，令，，则等价于，，故选：D．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．9.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．【详解】函数的定义域为，函数的导数，由得得或舍，此时函数为增函数，由得得，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极小值，且极小值为，则对应的图象为A，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．10.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，，故11.已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选：C．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12.函数的定义域为R，对任意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【详解】设，则，对任意，，对任意，，即函数单调递增，，，函数单调递增，即为：由得，即的解集为，故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆的焦距是______【答案】6【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．【详解】根据题意，椭圆中，，，则，则该椭圆的焦距；故答案为：6．【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题．14.命题“如果，那么且”的逆否命题是______．【答案】如果或，则【解析】【分析】由四种命题之间的关系，即可写出结果.【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果或，则”.故答案为：如果或，则【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.15.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.16.已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E 的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则．由，可得．故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题（本大题共7小题）17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.已知抛物线C：经过点．求抛物线C的方程；若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出结果；先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果.【详解】（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；（2）设点坐标分别为，由为抛物线上的不同两点，故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.19.若是函数的极值点．求a的值；若时，成立，求的最大值．【答案】(1)(2)4【解析】【分析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可．【详解】，由已知，得，经检验当时，满足题意，故．由可知，，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；因此，极大值为，极小值为，又由得或，由得或，故的最大值为4．【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。

山西省太原市东大学校2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析

山西省太原市东大学校2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足，若，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 已知直线经过，则的斜率为（）A． B． C． D．参考答案：A3. 长方体三个面的面对角线的长度分别为3,3，那么它的外接球的表面积为( )．(A) 8 (B)16(C) 32 (D)64参考答案：B4. 已知函数，若存在实数，当任意时，恒成立，则实数的最大值为（）.A. 5B. 4C. 3D. 2参考答案：B5. 设，则（）．A．B．C． D．参考答案：B6. 已知函数的最小正周期为，则函数的图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是A. B. C.D.参考答案：C8. 已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）参考答案：A略9. 定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C10. 若函数在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）上不是单调函数，在实数k的取值范围是（）（A）[1,+∞）（B）（C.）（1,2）（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________．参考答案：12. 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是 .参考答案：13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．参考答案：2＋14. 在等比数列中，＝1，，则＝.参考答案：4略15. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为参考答案：800，20%16. 设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．参考答案：y=2x﹣1或y=﹣2x+11【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】由题意可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程【解答】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11故答案为：y=2x﹣1或y=﹣2x+1117. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省太原市第四十三中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析

山西省太原市第四十三中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线截抛物线所得的弦长为A. 8B. 6C. 4D. 10参考答案：A略2. 若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．则为真命题的是（）A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④参考答案：D①C为椭圆，则且故①不正确；②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，故t＞4或t＜1；故②正确；t=时，曲线C是圆；故③不正确；④当，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，由此可得焦点坐标为；若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，由此可得虚半轴长为故④正确；故选D3. 已知且成等比数列，则有（）.A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值参考答案：C4. 下列不等式的解集是空集的是（）A.x2-x+1>0B.-2x2+x+1>0C.2x-x2>5D.x2+x>2参考答案：C略5. 已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．B．（0，1）C．D．?参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．【解答】解：∵，∴=．故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．6. 直线，椭圆，直线与椭圆的公共点的个数为（）A 1个B 1个或者2个 C 2个 D 0个参考答案：C7. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如.若，则（）A. 20B. 21C. 29D. 30参考答案：A【分析】先求出248在第几行，再找出它在这一行中的第几列，可得m+n的值.【详解】解：由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，248在从2开始的偶数中排在第128位,可得，，可得前15行共有个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以.【点睛】本题主要考查归纳推理和等差数列的性质意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是通过解不等式找到248所在的行.8. 点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外D．以上结论都有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论．【解答】解：设P（a，b），则∵x2=2py，∴y=x2，∴y′=，∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b，令y=0，可得x==，代入抛物线C：x2=2py，可得y==，∴M（，）OP的中点为Q（，），∴|MQ|=，∴点Q在圆M上，故选：B．9. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 标准差参考答案：D略10. 则( )A. 1B. －1C. 1023D. －1023参考答案：D【分析】令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．【详解】令代入二项式，得，令得，，故选D．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其下底在轴上，在轴上，底角为，腰和上底均为1，则此平面图形的实际面积是_____.参考答案：12. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_____参考答案：913. 已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a n＝______．参考答案：14. 一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .参考答案：解析：15. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，则cosA=参考答案：16. 如果今天是星期一，从明天开始，天后地第一天是星期。

2019-2020学年山西省高三(上)期末数学试卷(文科)(a卷)

2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i- C ．32i+ D ．32i- 3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．355．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．86．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）函数2sin()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．2021202010．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DABπ∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S = 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点P ，Q 在平面ABCD 的两侧．（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 21．（12分）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为212(2x ss y s ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x …的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【解答】解：由题意得2{|log 1}{|02}A x x x x =<=<<，2{|0}{|0B x x x x x =->=<或1}x >， {|12}A B x x ∴=<<I ．故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i - C ．32i+ D ．32i- 【解答】解：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-，故选：B ．3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故D 项表达错误．故选：D ．4．（5分）已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos()(πθ-= )A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【解答】解：因为角θ的终边过点(3,4)P -，所以5r ，所以3cos 5x r θ==-，所以3cos()cos 5πθθ-=-=．故选：D ．5．（5分）若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则(p = )A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：由椭圆221(0)2x y p p p+=>，得c∴椭圆的焦点坐标为(0)，0)，抛物线的焦点坐标为(2p，0)，∴2p=，解得4p =，故选：C ．6．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：()x f x ae x b =++的导数为()1x f x ae '=+，所以(0)12f a '=+=，解得1a =， (0)13f a b b =+=+=，所以2b =，所以2ab =，故选：B ．7．（5分）函数2sin ()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：2sin ()1x x f x x +=+是奇函数，排除A ；2sin ()01f ππππ+=>+，排除B ，C ．故选：D ．8．（5分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则( )A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【解答】解：取CF 的中点H ，连接DH ，GH ，在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以//GH BC ，且223GH BC ==，又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以//AG DH ，且AG DH =．在PDH ∆中，E 、F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =，所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =．故选：D ．9．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为( ) A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【解答】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112767282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，*n N ∈． ∴111(1)n n a a n n +=+．设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 202020202021T ∴=．故选：A ．10．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：模拟程序的运行，可得0i =，10n =不满足条件1n =，满足条件n 是偶数，5n =，1i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，16n =，2i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，8n =，3i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，4n =，4i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，2n =，5i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，1n =，6i = 此时，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为6．故选：B ．11．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD =，1BD =，2AC BC ==．当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯⨯⨯=g ．故选：B ．12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【解答】解：设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，所以sin y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知425ππωϕπ+<„，所以52222ϕϕωππ-<-„，又[,]43ππϕ∈，所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A ，故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r ，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 3π．【解答】解：设a r 与b r 的夹角为θ，则[0θ∈，]π，Q ||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，∴2244943cos 4437a a b b θ++=++=rrrr g g g g ，求得1cos 2θ=，3πθ∴=，故答案为：3π． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S =1514【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，对于等比数列1{2}n S a -，其前三项为：1a -，21a a -，321a a a +-，则有2132121()()()a a a a a a -+-=-，变形可得：22(1)(1)q q q -+-=-，解可得：12q =或0（舍)，则12q =，则41443313(1)1151(1)1141a q S q q a q S q q---===---；故答案为：1514． 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = 1520g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．【解答】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个．若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=；若次品是第({1n n ∈，2，3，4，5})袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，此时的重量100(15)110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{1n ∈，2，3，4，5}．故答案为：1520；150010n +，{1n ∈，2，3，4，5}．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 2211()2x y x +=> ．【解答】解：设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上，结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在△2PF A 中，2AF PQ ⊥．又PQ 平分2APF ∠，所以△2PF A 为等腰三角形，即2||||PF PA =，2||||AQ QF =．因为点P 为双曲线上的点，所以12||||2PF PF -=，即12||||||2PA AF PF +-=，所以1||2AF =．又在△12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以点Q 的轨迹方程为2211()2x y x +=>．故答案为：2211()2x y x +=>．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【解答】解：sin 2sin()0c B b A B -+=Q ，由正弦定理可得，sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=，化简可得，2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=，sin sin 0B C ≠Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ，∴13B π=，（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，27b ∴=，由正弦定理可得，sin 321sin c B C b ==18．（12分）“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12，16]内的人数为92．（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16，20]，(20，24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．【解答】解：（1）由已知可得14(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a=÷-+++=，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125)413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）因为0.1150492n⨯⨯=，所以922000.11504n==⨯．故参与主题教育活动的时间在(16，20]的人数为0.0500420040⨯⨯=，参与主题教育活动的时间在(20，24]的人数为0.0125420010⨯⨯=．则利用分层抽样抽取的人数：在(16，20]内为4人，设为a，b，c，d，在(20，24]内为1人，设为A．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a，b，)c，(a，b，)d，(a，b，)A，(a，c，)A，(a，d，)A，(b，c，)d，(b，c，)A，(b，d，)A，(c，d，)}A，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况，故3人均获二等奖的概率42105P==．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ； ()ii 求三棱锥A OEF -的体积．【解答】解：（1）证明：因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥，又AD PD D =I ，PD 在平面PAD 内，AD 在平面PAD 内，所以PC ⊥平面PAD ，又PC 在平面PBC ，故平面PAD ⊥平面PBC ．（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO ．()i 证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为E ，F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==，所以//EF MN ，所以//EF AQ ，又AQ 在平面PAQ 内，EF 不在平面PAQ 内，所以//EF 平面PAQ ．()ii 因为PO ⊥平面ABO ，所以PO BO ⊥，又AO BO ⊥，AO PO O =I ，所以BO ⊥平面PAO ，因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高．又23EF BO ==11232AOF S ∆=⨯⨯ 所以14||327A OEF E AOF AOF V V S EF --∆===g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，且过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值．【解答】解：（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，得291414b +=，解得b = 所以椭圆方程为22143x y +=；（2）证明：由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得22(34)690m y my ++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，所以AB 的中点坐标为2243(,)3434mm m -++，所以2212(1)||34m AB m +==+．因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为2234()3434m y m x m m +=--++，令0y =，得2134x m =+，即21(,0)34G m +，所以2222133|||1|3434m GF m m +=-=++，所以2222212(1)||34433||34m AB m m GF m ++==++，所以2||||AB GF 为定值，定值为4． 21．（12分）已知函数()2(12)af x x a lnx x=+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>．【解答】解：（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>， ①当0a „时，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； ②当0a >时，(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； (,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增．（2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则f '（a ）0=．不妨设120x a x <<<，要证12()02x x f +'>，即证122x x a +>，即证212x x +>，即证212x a x >-．因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证21()(2)f x f a x >-，因为21()()f x f x =，所以即证11()(2)f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-，令()()()[2()(12)()][2()(12)()]a ag x f a x f a x a x a ln a x a x a ln a x a x a x=+--=++-++--+--++-4(12)()(12)()a ax a ln a x a ln a x a x a x=+-+---+-+-． 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- 222222222222(12)2()4()4()()()()a a a a x x x a a a x a x a x a x a x -+--=+-=-+-+-．当(0,)x a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈，时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-，又1(0,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x >-，所以12()02x x f +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x ss y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x s s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），消取参数可知：C 的直角坐标方程为：24y x =．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入l 的极坐标方程cos 2sin 90ρθρθ++=，可得l 的直角坐标方程为：290x y ++=．（2）设点2(2s P)，则点P 到直线l的距离221|9||(5|s s s d ++++==g ，当s =-d ==[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-．（1）求不等式()6f x „的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．【解答】解：（1）33,2()|1||24|5,1233,1x x f x x x x x x x -⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴由()6f x „，得2336x x ⎧⎨-⎩…„或1256x x -<<⎧⎨-+⎩„或1336x x -⎧⎨-+⎩„„，[2x ∴∈，3]或(1,2)x ∈-或1x =-．综上，[1x ∈-，3]．（2）Q 33,2()5,1233,1x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴当2x =时，()3min f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，∴132a b+=． ∴232323()()3232a b b a a b a b a b +=++=+++ 1325266+=…，当且仅当65a b ==时等号成立， ∴2325[,)6a b +∈+∞．。

2019年山西省太原市金胜中学高二数学文联考试卷含解析

2019年山西省太原市金胜中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．都是偶数C．中至少有两个偶数D．中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D略2. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C．8D．16参考答案：B略3. 由，猜想若，，则与之间大小关系为（）A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定参考答案：B略4. 已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2参考答案：D【考点】四种命题．【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．【解答】解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．5. 数列的通项公式，它的前n项和为，则( )A.9B.10C.99D.100参考答案：C6. 函数f（x）=1﹣e x的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为（）A．y=﹣e?x+1 B．y=﹣x+1 C．y=﹣x D．y=﹣e?x参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）与x轴的交点坐标，再求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，可令f（x）=0，即e x=1，解得x=0可得P（0，0），又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即y=﹣x．故选：C..7. 方程表示的曲线是()A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆参考答案：D【分析】把方程平方，注意变量的取值范围．【详解】由得，即，∴曲线是半个圆．【点睛】把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，象本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．8. 下列正确的是（）A．若a，b∈R，则B．若x＜0，则x+≥﹣2=﹣4C．若ab≠0，则D．若x＜0，则2x+2﹣x＞2参考答案：D【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出正误．【解答】解：A．ab＜0时不成立．B．x＜0，则x+=﹣≤﹣2=﹣4，因此不成立．C．取a=﹣1，b=﹣2时，不成立．D．x＜0，则2x+2﹣x＞2，成立．故选：D．9. 要得到函数y=f′（x）的图象，需将函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈R）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移π个单位D．向右平移π个单位参考答案：A略10. 若上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．参考答案：2【考点】点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为2.12. 在数列中，=____________.参考答案：31略13.参考答案：14. 已知点，到直线：的距离相等，则实数的值等于.参考答案：或略15. 已知直线x=2和直线y=2x与x轴围成的三角形，则该三角形的外接圆方程为_________________.参考答案：16. 凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.猜想一般结论:F＋V－E＝____.参考答案：2【分析】根据前面几个多面体所满足的结论，即可猜想出【详解】由题知：三棱柱：，则，长方体：，则，五棱柱：，则，三棱锥：，则四棱锥：，则，通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为。

2019-2020学年山西省太原市第五十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2019-2020学年山西省太原市第五十五中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．B．C．5 D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，即可得出．【解答】解：由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和，其面积为．故选：B．【点评】本题考查了三视图的应用及其性质、梯形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 若曲线在点（0，b）处的切线方程是x+y－1=0，则A. a=1，b=1B. a=－l，b=lC. a=l，b=－1D. a=－1，b=－16参考答案：B求得函数的导数求得，由切线的方程为，求得，把点代入切线方程，求得的值，即可求解．【详解】由题意，函数，则，所以，又由切线的方程为，所以，把点代入切线方程，即，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．3. 已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1C．+y2=1 D．+y2=1参考答案：A【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，利用离心率求出a，然后求出b，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点（﹣2，0）重合，可得c=2，则a=4，b=2，则此椭圆方程为：+=1．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．4. 设是等差数列，且则这个数列的前5项和S5=( )A．10 B．15 C．20 D．25参考答案：D5. 棱长为1的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，，，，则（）．A．B．C．D．1参考答案：B从与各顶点相连，构成个小棱锥，如图所示：因为正四面体的边长为，其高为，则，∴，∴，故选．6. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A设抛物线的焦点为，则，准线方程为，过点向准线作垂线，垂足为，则，由抛物线的定义可得，则，当三点共线时，最小，最小值为，故选A.7. 在复平面内复数（是虚数单位，是实数）表示的点在第四象限，则b的取值范围是（）A.<B.C.< <2 D.< 2参考答案：A略8. 设是等差数列，是的前项和，且，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 均为的最大值.其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4C略9. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法；②用分层抽样法D．①用分层抽样法；②用系统抽样法参考答案：B10. 在极坐标系中，点到直线的距离为（）A． B．1 C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处切线的倾斜角为略12. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．参考答案：13. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为▲，侧视图的面积为▲．参考答案：略14. 已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是.参考答案：略15. 在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共种（用数字作答）．参考答案：4186【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：根据题意，“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为：418616. 设随机变量Y的分布列为，则等于______.参考答案：略17. 若双曲线上一点P到右焦点的距离为1，则点P到原点的距离是．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程，求出实轴长，焦距的长，利用已知条件求解即可．【解答】解：双曲线的实轴长为：6，焦距为：8，双曲线上一点P到右焦点的距离为1，满足c﹣a=1，所以P为双曲线右顶点，可得点P到原点的距离是：3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年人教A版山西省阳泉市高二第一学期期末检测(文科)数学试卷含解析

2019-2020学年高二第一学期期末检测数学试卷（文科）一、选择题1．双曲线的实轴长是（）A．2 B．2C．4 D．42．设，是向量，命题“若＝﹣，则||＝||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠|| B．若＝﹣，则||≠||C．若||≠||，则≠﹣D．若||＝||，则＝﹣3．下列结论正确的是（）A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝cos x，则y′＝sin xC．若y＝，则y′＝D．若y＝，则y′＝4．“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，哪句可作为命题（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思5．设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）A．k＞3 B．3＜k＜5 C．4＜k＜5 D．3＜k＜46．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么（）A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p为真命题，q为假命题D．命题q和命题p的真假不同7．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+38．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点9．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为（）A．4 B．2 C．D．10．已知两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A．＝1 B．C．D．二、填空题（本题共8个小题）11．若函数f（x）＝x2，则f′（1）＝．12．命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是形式的命题．13．抛物线x2＝4y的焦点坐标为．14．下列命题：①空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；②原命题和逆命题真假相反；③若a＞b，则a+c＞b+c；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为．15．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为．16．经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为．17．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝的最大值是．18．抛物线y2＝2x的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是．三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣1．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，1）处的切线的方程；（2）求曲线y＝f（x）的极大值，极小值．20．已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a＝2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（1）求焦点在直线x﹣y+2＝0上的抛物线的标准方程；（2）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝90°，求|PF1|•|PF2|的值．22．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（1，2）恒成立，求a的范围．23．已知椭圆的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）若k＝1，求△AOB面积的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线的实轴长是（）A．2 B．2C．4 D．4解：双曲线中a2＝4，∴a＝2∴2a＝4，即双曲线的实轴长是4故选：C．2．设，是向量，命题“若＝﹣，则||＝||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠|| B．若＝﹣，则||≠||C．若||≠||，则≠﹣D．若||＝||，则＝﹣解：根据逆命题的定义，交换条件和结论即可得到命题的逆命题：若||＝||，则＝﹣．故选：D．3．下列结论正确的是（）A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝cos x，则y′＝sin xC．若y＝，则y′＝D．若y＝，则y′＝解：根据题意，依次分析选项：对于A，若y＝sin x，则y′＝cos x，正确；对于B，若y＝cos x，则y′＝﹣sin x，错误；对于C，若y＝＝x﹣1，则y′＝﹣x﹣2＝﹣，错误；对于D，若y＝＝，则y′＝＝﹣，错误；故选：A．4．“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，哪句可作为命题（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解：由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题．故选：A．5．设椭圆的标准方程为，若焦点在x轴上，则k的取值范围是（）A．k＞3 B．3＜k＜5 C．4＜k＜5 D．3＜k＜4解：根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，解可得4＜k＜5，故选：C．6．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么（）A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p为真命题，q为假命题D．命题q和命题p的真假不同解：命题“p或q”是真命题，则p，q至少有一个为真命题，“p且q”是假命题，则p，q至少有一个为假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，即命题q和命题p的真假不同，故选：D．7．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，故选：B．8．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）＝0，f′（b）＝0，f′（c）＝0，f′（d）＝0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．9．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为（）A．4 B．2 C．D．解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y＝x的距离为，可得：＝b＝，可得，即c＝2a，所以双曲线的离心率为：e＝＝2．故选：B．10．已知两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A．＝1 B．C．D．解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是．故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．若函数f（x）＝x2，则f′（1）＝ 2 ．解：函数的导数f′（x）＝2x，则f′（1）＝2，故答案为：212．命题“能被5整除的整数末尾是0或5”是或形式的命题．解：根据题意，命题“能被5整除的整数末尾是0或5”即“能被5整除的整数末尾是0”或“能被5整除的整数末尾是5”；为“或”形式的命题；故答案为：或13．抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1）．解：抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4，∴∴抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）14．下列命题：①空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线；②原命题和逆命题真假相反；③若a＞b，则a+c＞b+c；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中真命题的个数为①③④．解：对于①，根据空间直线关系可知，空间中没有交点的两直线是平行直线或异面直线，故①正确；对于②，原命题与逆命题真假性无直接关系，故②错误；对于③，根据不等式的基本性质，若a＞b，则a+c＞b+c，故③正确；对于④，根据正方形的性质可知其两条对角线相等且互相垂直，故④正确，故答案为①③④．15．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为．解：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，b＝a；∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．16．经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为x2+＝1 ．解：由题意，设椭圆的方程为+＝1，则，解得．∴椭圆的标准方程为x2+＝1．故答案为：x2+＝1．17．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）＝的最大值是e．解：由f（x）＝可得，f′（x）＝，∵﹣1≤x≤1，2﹣x＞0，当﹣1≤x＜0时，f′（x）＝＜0，函数单调单调递减，当0≤x≤1时，f′（x）＝＞0，函数单调单调递增，又f（1）＝，f（﹣1）＝e，故当x＝﹣1时，函数取得最大值e．故答案为：e18．抛物线y2＝2x的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是x﹣2y＝0 ．解：设这条弦所在的直线与抛物线的交点M（x1，y1），N（x2，y2）由题意可得x1+x2＝2×4＝8，y1+y2＝2×2＝4，将M，N坐标代入可得：，两式相减整理可得：＝＝＝，即直线的斜率为，所以直线的方程为：y﹣2＝（x﹣4），即x﹣2y＝0；故答案为：x﹣2y＝0．三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣1．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，1）处的切线的方程；（2）求曲线y＝f（x）的极大值，极小值．解：（1）由f（x）＝x3﹣3x﹣1可得f′（x）＝3x2﹣3，所以k＝f′（2）＝9故曲线y＝f（x）在（2，1）处是切线方程y﹣1＝9（x﹣2）即9x﹣y﹣17＝0；（2）由f′（x）＝3x2﹣3＝0可得x＝1或x＝﹣1，当x＞1或x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，故当x＝﹣1时，函数取得极大值f（﹣1）＝1，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝﹣320．已知p：实数x，满足x﹣a＜0，q：实数x，满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a＝2时p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由x﹣a＜0，得x＜a．当a＝2时，x＜2，即p为真命题时，x＜2．由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3，所以q为真时，1≤x≤3．若p∧q为真，则1≤x＜2所以实数x的取值范围是[1，2）．（2）设A＝（﹣∞，a），B＝[1，3]，q是p的充分不必要条件，所以B⊆A，从而a＞3．所以实数a的取值范围是（3，+∞）．21．（1）求焦点在直线x﹣y+2＝0上的抛物线的标准方程；（2）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝90°，求|PF1|•|PF2|的值．解：（1）焦点在直线x﹣y+2＝0上，可得抛物线的焦点坐标（﹣2，0）或（0，2），所以所求的抛物线的标准方程为：y2＝﹣8x或x2＝8y．（2）∵F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝90°，∴，∴8﹣2|PF1|•|PF2|＝4，解得|PF1|•|PF2|＝2．∴|PF1|•|PF2|的值为2．22．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（1，2）恒成立，求a的范围．解：（1）由f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx可得，f′（x）＝﹣2x+a﹣，由题意可得f′（1）＝a﹣3＝0，所以a＝3，f′（x）＝，x＞0，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当时，f′（x）＞0，函数单调递增，故函数f（x）的单调递增区间（），递减区间（0，），（1，+∞）；（2）由f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx≥0在（1，2）恒成立可得，a，令g（x）＝x，1＜x＜2，则g′（x）＝，令h（x）＝x2﹣lnx+2，1＜x＜2，则＞0在（1，2）恒成立，故h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝3，即g′（x）＞0在（1，2）上恒成立，所以g（x）在（1，2）上单调递增，g（x）＜g（2）＝，所以a≥．23．已知椭圆的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）若k＝1，求△AOB面积的最大值．解：（1）由题意，可得，解得．∴a2＝3，c2＝2，b2＝a2﹣c2＝3﹣2＝1．∴椭圆M的方程为+y2＝1．（2）由题意，可设直线l：y＝x+m．联立，消去y，整理得4x2+6mx+3（m2﹣1）＝0．则△＝36m2﹣48（m2﹣1）＝12（4﹣m2）＞0，解得m2＜4，即﹣2＜m＜2．x1+x2＝﹣，x1•x2＝．∴|AB|＝•＝•＝•．设点O到直线l的距离为d，则d＝＝．∴S△AOB＝•|AB|•d＝•••＝•≤•＝．当且仅当4﹣m2＝m2，即m2＝2，m＝±时，等号成立．∴△AOB面积的最大值为．。