关于汽车配件的设计方案

关于汽车配件的设计

方案

一 问题重述

某汽车配件生产集团公司有三个分厂，设三个分厂生产配件数量（单位：件）分别为1q 、2q 与3q ，成本（单位：元/件）分别为：

1110.55,25000

0.50,25000q C q ≤⎧=⎨

>⎩ 2220.55,20000

0.50,20000q C q ≤⎧=⎨

>⎩ 3330.60,20000

0.50,20000

q C q ≤⎧=⎨

>⎩ 配件的销售（市场）价格为

123

1231233,7500025000

0,75000q q q q q q p q q q ++⎧-

++≤⎪=⎨⎪ ++>⎩

根据以上所给出的信息，需要解决以下几个问题：

（1）第一厂、第二厂和第三厂同时生产，且三个厂对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下求各自的决策，那么三个厂应该如何确定他们的生产数量才能使得他们所获得的收益最大。

（2）在第二厂和第三厂按上述决策执行的时候，第一厂没有按上述决策执行，而是等其它两方生产后再决定生产数量。此时第一厂能否提高收益？其产量及收益分别是多少？

（3）如果第二厂与第三厂知道了第一厂上述“计谋”，因此根据他们自己的生产量23q q +，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。第二厂与第三厂为使他们的总利润最大，应该选择怎样的生产数量？在确定总的生产数量后，他们两厂之间应如何划分生产数量？收益各是多少？

（4）若三个厂决定合作，问应如何合作？各自和产量及收益分别是多少？

二 模型的假设和符号说明

（一）模型的假设

1、在生产汽车配件的过程中，不考虑由于意外使配件废弃的数量。

2、在完成汽车配件生产的过程中，不考虑剩余材料的成本价。

3、假设生产的每个汽车配件都是合格的。 （二）符号说明

p 配件的市场销售价格

1q 一厂生产汽车配件的数量 2q 二厂生产汽车配件的数量

3q 三厂生产汽车配件的数量

1c 一厂生产汽车配件的成本价 2c 二厂生产汽车配件的成本价 3c 三厂生产汽车配件的成本价

i L 各厂的收益（i=1，2，3；分别表示一厂，二厂，三厂的最大收益）

M 一厂的收益

N 二厂和三厂的收益

Q 三厂合作时候的收益

三 模型的建立与求解

3.1 问题一

问题的分析：三个厂在对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下同时生产配件，使得自身收益最大。每个厂的成本价都会随着生产配件数量的变化而取不同的值。建立多目标模型。列目标函数为：

333222111c q pq c q pq c q pq L -+-+-=

约束条件为：

⎪⎩

⎪⎨⎧++-=≤++25000375000..321321q q q p q q q t s

此方程式为多目标方程，应该转化为单目标方程。转化后的方程式为：

112233123()()()..32500p c q L p c q L

p c q L q s q q t p ->->->++=-⎧⎪⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩

根据取值不同进行组合，共有8种情况，将8种情况分别带入lingo 软件求解，结果如(表一)所示：

由上表可得：①中三个厂的收益取得最大；不存在⑧这种情况应该舍去；而②③④⑤⑥⑦所得到的收益相对于①种情况较低。因此在三个厂在对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下同时生产配件。三个厂的收益最大的生产方案为：

一厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 二厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 三厂的生产数量为10415件，收益为12330.96 元。

3.2 问题二

问题的分析：在问题一中得到三个的收益最大的生产方案为：

一厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元； 二厂的生产数量为9993件，收益为12330.96元；

三厂的生产数量为10415件，收益为12330.96 元。

二厂，三厂按照以上方案生产，而一厂是等二厂，三厂生产后再决定自身的生产数量。此时10415;999332==q q 。目标是使得一厂得到最大效益。目标函数为：

111c q pq M -=

当确定了32,q q 的值后，为使一厂得到最大效益，根据目标函数求最值模型可以得到一厂生产汽车配件的数量为多少时，收益最大。 1） 当250001≤q 时，有如下约束条件：

⎪⎩

⎪⎨⎧

++==2500010415

999355.0..11q p c t s 利用lingo 软件求解可得：

⎩⎨

⎧==69

.166********M q 即：当一厂生产汽车配件的数量为20421件时，此时一厂的最大收益为16680.69元。

2）当250011≥q 时，有如下约束条件：

⎪⎩

⎪⎨⎧

++==250001041599935.0..11q p c t s

利用lingo 软件求解可得：

⎩⎨

⎧==68

.1709125001

1M q 即：当一厂生产汽车配件的数量为25001件时，此时一厂的最大收益为17091.68元。

将1）和2）的结果进行比较可得，当一厂生产汽车配件的数量为25001件时，一厂所得到的收益最大，为17091.68元。

3.3 问题三

问题的分析：从“第二厂与第三厂知道了第一厂上述‘计谋’，因此根据他们自己的生产量23q q +，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。”这句话，可以知道此时250011=q 件是确定的值，在确定一厂生产量的情况下，求二厂和三厂的总产量为多少的时候，他们两厂的总利润最大。在得到总的生产量后，如何分配生产数量，两厂的收益分别为多少？

当250011=q 件时，为使二厂和三厂的总利润最大，其目标函数为：

333222c q pq c q pq N -+-=

在1q 确定的情况下，如何确定32,q q 使得总利润最大。根据目标函数求最值可得到，二厂、三厂的总生产量为多少时，他们的总利润取得最大值。

1） 当20000;2000032≤≤q q 时，有如下约束条件：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

++-===250002500136.055.0..3232q q p c c t s 利用lingo 软件进行求解得：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===9.131********

32N q q 即：当二厂生产量为18124件，三厂的生产数量为0件时，两厂的总利润最大，为：13139.9元；