高职班“微分中值定理”教学设计方案[论文]
高职微积分课程设计
高职微积分课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解微积分的基本概念，掌握极限、连续性、导数和积分的定义及性质；2. 掌握微分和积分的计算方法，并能运用其解决实际问题；3. 了解微积分在工程技术等领域中的应用，理解其重要性。
技能目标：1. 能够运用极限、导数和积分的知识解决实际问题，具备一定的数学建模能力；2. 能够运用微积分的方法分析函数的性质，提高数学分析能力；3. 能够运用所学知识，进行简单的数学证明和推导。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对微积分的兴趣，激发学习热情，形成主动探索的学习态度；2. 培养学生的团队合作精神，学会与他人共同解决问题，增强沟通与协作能力；3. 使学生认识到微积分在科学研究和实际应用中的价值，提高学生的科学素养。
课程性质：本课程为高职微积分课程，旨在帮助学生掌握微积分的基本概念、方法和技能，培养学生的数学思维能力和实际应用能力。
学生特点：高职学生具有较强的实践能力和动手能力，但在理论学习方面可能存在一定困难。
因此，课程设计应注重理论联系实际，以激发学生的学习兴趣。
教学要求：注重启发式教学，引导学生主动探究，培养其独立思考和解决问题的能力。
同时，结合实际案例，使学生更好地理解微积分的应用价值。
在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，确保每个学生都能达到课程目标。
通过分解课程目标为具体的学习成果，便于后续的教学设计和评估。
二、教学内容1. 极限与连续性：包括数列极限、函数极限、连续函数的性质和运算；2. 导数与微分：导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分概念及应用；3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、函数的单调性与极值、最值问题；4. 不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念、基本积分公式、定积分的定义、性质、计算方法及应用；5. 定积分的应用：平面几何图形的面积、体积、弧长、质心、转动惯量等；6. 微积分在实际应用中的案例分析：结合专业背景，分析微积分在工程技术、经济管理等领域的具体应用。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
微分中值定理教案
微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
关于微分中值定理的教学设计
图 ２ 拉 格 朗 日 中 值 定 理
图 ３ 柯 西 定 理
进而 由 图 １ 说 明 罗 尔 中 值 定 理 的 三 个 条 件 缺 一 不 可,ξ 的值有可能不唯一,点ξ 就是函数的 驻 点 (或 临 界 点). 由 图 ２说明拉格朗日中值 定 理 满 足 前 两 个 条 件,ξ 的 值 有 可 能 不 唯一.罗尔中值定理与拉格朗日中值 定 理 相 比 较,条 件 中 去 掉了f(a)＝f(b),因此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 罗 尔 中 值 定 理 的推广;而 罗 尔 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 当 f(a)＝ f(b)时的特例.由图３ 说 明 柯 西 中 值 定 理 中 将 函 数 曲 线 变 为参数曲线,因 此 柯 西 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 广;而拉格朗日中值定理 是 柯 西 中 值 定 理 当 g(x)＝x 时 的 特例.同时通过图１、图２、图３说明 三 个 中 值 定 理 的 几 何 意 义.经过这样设计教 学 过 程 可 以 非 常 直 观 形 象 的 显 示 这 三 个定理,在课堂教学中,这点是非常重 要 的;应 用 函 数 图 形 进 行说明能使学生更直观理解定理的几何背景.并且图形化 的这种直接表示能启发和引导学生从观察几何图形开始加 深对微分中值定理的认识,增加学生对这 三 个 定 理 的 学 习 兴 趣,使学生直观理解 三 个 定 理 的 相 同 点 和 不 同 点,通 过 对 比 讲授使学生更容易 记 忆 和 理 解,采 用 这 种 教 学 设 计,学 生 容 易接受,变抽象为形象,达到较好的教 学 效 果,为 后 续 微 分 中 值定理的应用打下坚实的基础.
关于微分中值定理的教学设计
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。
3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。
二、教学内容1. 罗尔定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f'(x)和g'(x)在区间(a, b)内至少有连续的一阶导数，则当f(x)和g(x)满足f(a) = f(b)和g(a) = g(b)时，有(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c) / g'(c)，其中c是区间(a,b)内某个点。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念、证明和应用。
2. 利用示例和练习题，让学生巩固微分中值定理的理解和应用。
3. 通过小组讨论和报告，培养学生的合作和表达能力。
四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和意义。
2. 对每个定理进行详细的证明，并结合示例进行解释。
3. 布置练习题，让学生应用微分中值定理解决问题。
4. 组织小组讨论和报告，让学生深入理解和探讨微分中值定理的性质和应用。
五、教学评估1. 课堂练习题的完成情况，评估学生对微分中值定理的理解和应用能力。
2. 小组讨论和报告的表现，评估学生的合作和表达能力。
3. 课后作业和考试，评估学生对微分中值定理的掌握程度。
六、教学拓展1. 探讨微分中值定理的推广形式，如蒙日中值定理和泰勒公式。
中值定理 教案
中值定理教案教案标题：中值定理教案教案目标：1. 理解中值定理的概念和意义；2. 掌握中值定理的基本原理和应用方法；3. 能够运用中值定理解决实际问题。
教案大纲：一、引入（5分钟）1. 引发学生对中值定理的兴趣，例如提问：你们有没有遇到过两个不同时间段之间的平均速度相等的情况？2. 引导学生思考：如何证明这个平均速度相等的情况？二、概念讲解（15分钟）1. 介绍中值定理的概念：中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一个函数在一个区间上连续且可导时，一定存在一个点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
2. 解释中值定理的意义：中值定理可以帮助我们证明某些函数存在零点、证明某些函数的单调性等。
三、中值定理的基本原理（20分钟）1. 介绍罗尔定理：当一个函数在闭区间的两个端点处取相等的函数值时，必定存在至少一点使得该点的导数为零。
2. 介绍拉格朗日中值定理：当一个函数在闭区间上连续且可导时，必定存在至少一点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
四、中值定理的应用方法（20分钟）1. 运用罗尔定理解决函数存在零点的问题；2. 运用拉格朗日中值定理证明函数的单调性；3. 运用拉格朗日中值定理解决函数的最值问题。
五、实例分析与讨论（15分钟）1. 提供几个实际问题，引导学生运用中值定理解决；2. 学生分组讨论并展示解决过程和答案。
六、练习与总结（15分钟）1. 课堂练习：提供一些练习题，让学生巩固所学知识；2. 总结中值定理的要点和应用方法。
七、作业布置（5分钟）1. 布置作业：要求学生完成一定数量的中值定理相关题目；2. 强调作业的重要性，并鼓励学生主动思考和解决问题。
教学辅助材料：1. 中值定理的定义和证明过程的PPT；2. 中值定理相关的练习题；3. 实际问题的案例材料。
教学评估：1. 课堂练习的答案和讨论；2. 学生对中值定理的理解和应用能力；3. 作业完成情况和质量。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究其他中值定理的应用领域，如泰勒中值定理等；2. 引导学生进行更复杂的中值定理证明和应用的研究。
高职班“微分中值定理”教学设计方案
［ 课 堂练 习 ］ 验 证 拉 格 朗 日 中值 定 理 对 函数 ｖ ＝ ４ ｘ 一 ５ ｘ ‘ ＋ ｘ 一 ２ 在［ Ｏ ， １ ］ 上 的正 确性 ． ［ 新课 讲 授 ］ § ３ ． ２ 函 数 的 单调 性 函数 的 极值 ： 极 大值 与极 小 值 的 统 称 ．
本 课 教 学 内 容 是 微分 中值 定 理 和 函数 的单 调 性 ，是 导 数 应 用 的基 本 内容 ．微 分 中值 定 理 是 获 得 可 导 函 数 单 调 性 判 定 方法的理论 基础． 单 调函数在《 应用数学 》 课 程 中 占有 重 要 的 地位 ， 函数单调性的讨论是解决诸如 “ 用料最省 ” “ 产值最 高” “ 质量最好” “ 耗 时最 少 ” 等 最 值 问 题 的 重要 方 法 ． （ 三） 教 学设 计 理 念 与 思路 ， 学 院 以突 出职 业 能力培 养 为导 向 ， 在加 强实 践性 教 学 、 压 缩 基础 课 教学 的实 践 中做 了大胆 的尝试 ，各专 业新 的 培养 方案 要 求在 高 职数 学教 育教 学 中 ，把培 养 数学 素质 作 为教学 过 程 的主 线。 加 强 对学 生进 行数 学 知识 应用 能 力 的培 养 ， 从 而使 学 生 的数 学知识 、 能力 、 素质得 到协 调发 展． 根 据教 学 大纲 要求 和 当前 职业 教 育改 革 的先 进理 念 ， 课 运用 启 发式 教学 ， 精 讲 多练 ， 突 出 重点 ， 通过 图形 直观 降低 理论 难度 重视 知识 在实 际 问题 中的应用 ． 二、 教 学 设 计 分 析 （ 一） 教 学 目标 １ ． 掌 握 函数 极 值 的 概念 ． ２ ． 了解 罗尔 定 理 、 拉 格 朗 日中值 定理 ． 能运 用 ． ３ ． 掌 握 函数 单 调 性 的判 定 方 法 ， 能熟 练 运 用． （ 二） 教 学 重 点和 难 点 重点 ： 函 数 单 调 性 的判 定 ． 难点 ： 拉格朗 １ ３中值 定 理 的 理解 与运 用 ． （ 三） 教 学 方 法 根 据 教 学 大 纲 要 求 和 当前 职 业 教 育 改 革 的 先 进 理 念 ， 本 次 课 运 用 启 发式 教学 ，利 用 图形 直 观 直 接 得 出微 分 中值 定 理 （ 拉格 朗 １ ３中值 定 理 ） ，通 过 典 型 例 题 的分 析 讲 解 和 一 定 数 量 的练 习 。 精讲多练 ． 突 出重 点 ， 重 视 知 识 的运 用 ． （ 四） 教 学设 计 ［ 板书设计 ］ 整个黑板分左 中右三大栏 ， 左 栏 用 来 书 写 新 课知识要点 ． 如 拉 格 朗 日中 值 定 理 及 其 两 个 推 论 、 函数 的极 值 及 极 值 点概 念 、 极 值 点 的必 要 条件 、 单 调性 判 断 定理 等 ； 中栏 右 栏 用来 书写 即写 即擦 的 内容 ， 如 例题 示 范 和 课 堂练 习 讲 评等 ． 以 下 是 教学 过 程 ． ［ 新课引入 ］ 通 过 前 面 的学 习 ， 我 们 已 经 认识 了 导 数 ， 它 描 述 函数 随 自变 量 而变 化 的瞬 时 变 化 率 ．我们 现 在 已 经 能 够 熟 练 地 计 算 函 数 的 导数 了． 本 章 我 们 开 始 学 习导 数 的 应 用 ． ［ 新课讲授 ］ § ３ ． １ 微 分 中 值定 理 定理（ 拉格 朗 日中值 定 理 ） ： 如 果 函数ｙ ｑ（ － ｘ ） 满 足 下列 两个 条
【doc】《微分中值定理》教学设计
《微分中值定理》教学设计第9眷l999年第4期第4期兵团教育学院JOU'~ALOFBINGTUAN蹦玎DND糟Tm丌rEx~1.9N4Dee.1999《微分中值定理》教学设计王淑责微分学中值定理包括费马定理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理.用发现法讲授这组定理,可以使学生体验发现真理的乐趣,学习解决问题的策略.提高发现问题,分析同题,解决问题的能力.文…给出了用发现法讲授微分中值定理的一种教学设计.本文给出用发现法讲授微分中值定理的另一种教学设计.l费马定理1.1有关概念(1)设函数f在的某个邻域U()内有定义,若对U()内的一切x都有f(x)≤U(xo)(f(x)≥U())(1)则称函数f在取得极大(小)值,称xo为函数f的极大(小)值点.如图所示,连续函数y=f(x)的图象C是一条连续曲线,x1与是f的极大值点,是f的极小值点.对应地,点(x1,f())与(,f(x3))是曲线C上的局部最高点,(.f())是曲线C上的局部最低点.(2)设菌敬f在Xo可导,若f(x0)=0,则称为函数f的稳定点.1.2问题l:可导函数f的图象在其极值点处的切线有何特点?能否用f=()表示这一特点?(1)探索问题l的答案:囝1观察图1.容易得出l}(下结论:可导函数f的图象在其板值点处的切线平行于x轴. 这一特点可表示为f()=0(2)概括上述结论,提出猜想l:设函数f在可导,若为f的极值点,则f,()=O(2)(3)判断猜想l的正确性:设为f的极小值点.则存在的某个邻域U(xo.8).使得对一切xEU(,8),均有f(x)一f(xo)I>0于是.当<x<时,≤0.当<x<+由f在可导与极限的不等式性质得到一76—f((≤0,f()(/>o故有f(xo)=0同理可得.当xo为f的极大值点时.亦有r(xo)=0于是.我们得到下面的定理.定理l:设函数f在可导.若xo为f的极值点,则f()=02罗尔中值定理2.1问题2:两端点处等高的连续的光精曲线c'是否存在平行于x轴的切线?(1)探索问题2的答案:观察图2,窖易得出下结论:若函数f在【a,b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b),则f在(a,b)内至少有一个极值点毛在该点处,曲线c的切线平行于x轴,即f(})=0(2)概括上述结论,提出猜想2:若函数f在【a.b]上连续,在(a.b)内可导,并且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点e,使得f(e)=0(3)判断猜想2的正确性:由于函数f在【a.b]上连续.所以函数f在【a,b]上存在最大值M与最小值rno若M=m,则f(x)~-c.~(x)------o.任取一点E∈(a,b).均有f(e)=0圉2若M≠m.则由f()=f(b)可知:M与m至少有一个在(a,b)内的某一点e处取得,于是.} 是f的投值点.由定理l,f(e)=0于是,我们得到以下定理.定理2:若函数f满足条件:r在【a,b]上连续;2'在(a,b)内可导;3.f()=fib)剜在(a,b)内至少存在一点∈'使得f(})=02.2思考题:定理2中的三个条件各起什么作用?取消或减弱其中一条,结论会发生什么变化?3拉格朗日中值定理3.1问题3:以A,B为端点的光精曲线c.是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题3的答案:图3作曲线c的割线1,使它平行于弦AB.移动剖线1.始终保持使I平行于AB.当相邻两个割点重合于点P时.就得到了曲线C 的平行于一77—弦AB的切线.这时切线的斜率f(e)等于弦AB的斜率鱼.(2)概括上述结论.提出猜想3:设函数f在【a'b]上连续.在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点e.使得f(e):(3)(3)判断猜想3的正确性:将f(e)=亡变塑为f(e)一幽毫=0.由此可见,若能找到一个可导函数g(x),使得g(e)=})一{{.则对g(x)应用定理2即可.为使g(x)符合上述要求,根据一求导公式,只要取g(x)=f(x)一x+c(c为任意常数)即可.特别地,当c=0时.g (x):f()一令g(x)=f(x)一x,x∈[a'b】,则g(x)在[a'b]上连续,在(a,b)内可导.并且g(a):=g(b)由定理2,在(a.)内至少存在一点e'使得g)=})一幽三:0.目㈣一于是.我们得到下面的定理:定理3:设函数f在【a'b]上连续,在(alb)内可导,则在(a,b)内至少存在一点使得f(e) :f—(.—b.)——-——f.(—a—)b—a3.2定理3与定理2的关亲:定理2是定理3的特殊情况,定理3是定理2的推广.4柯西中值定理4.1问题4:设C是以A,B为端点的光滑曲线.其参量方程为x=f(t).y=g(t).a≤t≤b,该曲线是否存在平行于弦AB的切线?(1)探索问题4的答案:作曲线C的割线l,使l平行于弦AB,移动1.始终使l平行于弦AB.当相邻两割点莺合于P时.就得到曲线C的平行于弦AB的切线.这时,切线斜率为,割线斜率为撸{罄(2)归纳上述结论,提出猜想4:若函数f与g满足条件:1.,都在[a'b]上连续;2,都在(a.b)内可导;3',f与g在(a'b)内不同时为0;4'.g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得:(4)g(e)g(b)一g(a)——78一田4(3)判断猜想4的正确性:将=变形为[g(b)一g(a)】f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈):0(5)由此可见,若能找到一个函数F(x),它满足定理2的条件,并且(x)=【g(b)一g(a)]f(x)一【f(b)一f(a)]g(x)(6)则对函数F(x)应用定理2即可证得(5)式成立.易知,满足条件(6)的函数F(x)应具有以下形式F(x):[g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x)C(c为任意常数)这样的函数F(x)是否满足定理2的条件呢?验证可知.上述F(x)确实满足定理2的所有条件.故对上述F(x)(特别地.取c=0亦可)应用定理2即可.令F(x)=【g(b)一g(a)】f(x)一[f(b)一f(a)】g(x),xE【a,b】,则F(x)在【a.b]上连续.在(a.b)内可导.并且F(a)=f(a)g(b)一g(a)f(b)=F(b),故由定理2可知,至少存在一点e∈(a,b),使得F(∈)=0,即【g(b)一g(a)]f(e)一【f(b)一f(a)]g(∈)=0'(7)假如g(e)=0.则有[g(b)一g(a)】f(e):0,由于g(a)≠g(b),所以f(∈):0,这与"f,在(a.b)内不同时为0矛盾!所以g(e)≠0.故由(7)式即可证得(4)式成立.于是,我们得到下述定理.定理4:若函数f与g满足条件:1',在[a'b】上连续;2',在(a.b)内可导;3.,f与g在(a.b)不同时为0;4',g(a)≠g(b).则在(a.b)内至少存在一点e,使得￡一l=ff)g(e)g(b)一g(a)4.2定理4与定理3的关系:在定理4中.取g(t):t.即得定理3.因此,定理4是定理3的推广.5拉格朔日中值定理的应用5.1问题5:设函数f在区间I上可导.并且f一O.是否必有f(x)一c(常数)?(1)探索问题5的答案:在区问I上取定一点,对于区间I上的任意点x(≠),由定理4可知,在与x之间至少存在一点e.使得f(x)一f(xo)=f(∈)?(x一)=0?(x—xo)=0即f(x)~l(xo)于是.我们得到以下推论.推论l:若函数f在区间I上可导,并且r(x)一0,则在I上f(x)一c(2)推论2:若函数f,g在区间I上可导,并且f一.则在I上f(x)一g(x)+C注:令h(x):f(x)一g(x).由推论1即此推论.5.2证明恒等式例1证明:对任何实数x'恒有一79—啡+号,分析:令f(x)=啡+ar.c啦.xE(一∞,+∞),由推论1,只要证明"f'(x)-~--O,并且存在xo使f(xo)号"即可.证明:令f(x)=arc啦+arcctgx,xE(一∞,+..).由于"x)=1+;o,x∈(一...+),并且f(1)删1+ea~tgl号+专号所以arclgx+a号5.3证明不等式例2:证明不等式丽h<a蛐<h,(h>0)分析:由于arctgharctgh—a如,(h>0)所以,要证的不等式等价于:<趔旨<?故应对函数f(x)=眦啦在[0,h]上应用拉格朗日中值定理,将塑}转化为.然后再比较,1,1的大小即可.证明:令f(x)arc啦,x∈[0.h]因为f(x)在[0,hi上连续,在(O,h)内可导故由拉格朗日中值定理.在(O,h)内至少存在一点∈.得因为o<e<h-所以<<于是,有<墅<1又因为h>O,所以,<aret~<:h参考文献l,周祖逵:发现法讲授中值定理的一种尝试,数学通报.1991,3(作者:副教授兵团载院/石大师院)一日O一。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理的重要性
微分中值定理是导数应用的基础，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
微分中值定理也是解决一些实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学等领域中，微分中值定理的应用非常广泛。
微分中值定理的证明方法有多种，其中最常用的是利用拉格朗日中值定理进行证明。
利用导数求切线方程
总结词
通过导数，我们可以找到函数在某一点的切线斜率，从而确定切线方程。
详细描述
给定一个函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，它表示函数在$x_0$处的切线斜率。切线方程可以由点斜式得出，即$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$，其中$y_0 = f(x_0)$。
利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理也可以用于证明不等式。
总结词
通过构造适当的辅助函数，我们可以利用微分中值定理来证明一些不等式。例如，如果我们想证明一个函数在某个区间上的最大值或最小值不超过某个常数，我们可以构造一个辅助函数，使其在区间端点的函数值为零，然后在区间内部取正值或负值，这样就可以利用微分中值定理来证明不等式。
导数大于零表示函数在该区间内单调递增，导数小于零表示函数在该区间内单调递减。
总结词
如果函数$f(x)$在区间$(a, b)$内的任一点都可导，并且$f'(x) > 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增；如果$f'(x) < 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减。
详细描述
利用导数研究函数的单调性
VS
函数的极值点满足导数为零或不可导的条件，通过这些点可以找到函数的极值。
微分中值定理教案
§3. 1 中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理首先，观察图1. 设曲线弧 是函数[]) ,)((b a x x f y ∈=的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两 个端点的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现曲线的最高点或最低 点C 处, 曲线有水平的切线. 如果记C 点的横坐标为ξ，那么就有0)(='ξf现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理.费马（Fermat ）引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有 )()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥）， 那么0)(0='x f .证明 不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤ （如果)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是，对于)(00x U x x ∈∆+,有 )()(00x f x x f ≤∆+， 从而当0>∆x 时，0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ；当0<∆x 时，0)()(00≥∆-∆+xx f x x f .根据函数)(x f 在0x 可导的条件及极限的保号性，便得到0)()(lim )()(0000≤∆-∆+='='+→∆+xx f x x f x f x f x ， .0)()(lim )()(0000- 0≥∆-∆+='='-→∆x x f x x f x f x f x 所以，0)(0='x f .证毕. （通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.证明 由于)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样,只有两种可能情形：(1)M ＝m ．这时)(x f 在区间[]b a ,上必然取相同的数值M ：)(x f ＝M ．由此，),(b a x ∈∀,有0)(='x f .因此，任取),(b a ∈ξ，有0)(='ξf ．(2)M ＞m ．因为)()(b f a f =，，所以M 和m 这两个数中至少有—个不等于)(x f 在区间[]b a ,的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M )(a f ≠(如果设m )(a f ≠，证达完全类似)．那末必定在开区间(b a ,) 内有一点ξ使=)(ξf M ．因此，[]b a x ,∈∀ ，有)()(ξf x f ≤，从而由费马引理可知0)(='ξf .定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.y图1⌒AB例1 设)(x f 在[]1,0上连续，)1,0(内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：至少存在一个)1,0(∈ξ，使1)(='ξf . 证明： 令x x f x F -=)()(，则0)0(=F ，21)21(=F ，1)1(-=F .由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在)1,21(∈η，使0)(=ηF .再由罗尔定理得，至少存在一个)1,0(),0(⊂∈ηξ，使0)(='ξF ，即1)(='ξf .二、拉格朗日中值定理罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把)()(b f a f =这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a ,<b ), 使得等式 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) 成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成)()()(ξf a b a f b f '=--， 由图2可看出，ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率，而)(ξf '为曲线在点C 处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线)(x f y =的弦AB 上除端点外处处具有不垂直于x 那末这弧上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB ．从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于)()(b f a f =，弦AB 是平行于x 轴的，因此点C 处的切线实际上也平行于弦AB ．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数)(x f 不一定具备)()(b f a f =这个条件，为此我们设想构造一个与)(x f 有密切联系的函数)(x φ(称为辅助函数)，使)(x φ满足条件)()(b a φφ=．然后对)(x φ应用罗尔定理，再把对)(x φ所得的结论转化到)(x f 上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM 的值是x 的函数，把它表示为)(x φ,它与)(x f 有密切的联系，当a x =及b x =时，点M 与点N 重合，即有0)()(==b a φφ．为求得函数)(x φ的表达式，设直线AB 的方程为)(x L y =，则)()()()()(a x ab a f b f a f x L ---+=,由于点M 、N 的纵坐标依次为)(x f 及)(x L ，故表示有向线段NM 的值的函数)()()()()()()()(a x ab a f b f a f x f x L x f x -----=-=φ.下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即 f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.图2由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下推论:推论1 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标：1.了解微分中值定理的定义与推导方法。
2.掌握微分中值定理的基本应用。
3.培养学生应用微分中值定理解决实际问题的能力。
二、教学准备：1.教师准备展示板、黑板、教学PPT等。
2.学生准备纸笔、教材和笔记。
三、教学过程：A.引入：1.教师简要介绍微分中值定理的背景和重要性，引发学生对该定理的兴趣。
2.出示一个问题：“人开车从A地到B地，途中通过了一段路程，速度的变化如何？”让学生思考并展示自己的回答。
B.基础知识讲解：1.定义：教师介绍微分中值定理的定义，即函数在一些区间内满足一定条件时，必然存在其中一点与区间两端的斜率相等。
2.推导：教师通过几何图形和函数方程的推导，演示微分中值定理的推导过程。
同时，结合具体函数的例子，解释推导的思路和方法。
C.例题练习：1.教师提供一些基础的例题，要求学生根据微分中值定理解决问题。
例如：“证明函数f(x)=x^2在区间[1,3]内满足微分中值定理的条件。
”2.学生进行小组讨论，进行计算和解答，然后选出代表展示解答过程与结果。
教师进行点评和解析，确保学生掌握了基本应用方法。
D.拓展应用：1. 教师提供更复杂的问题，要求学生通过微分中值定理解决。
例如：“证明存在一个点c，使得函数f(x) = sin(x)在区间[0,π/2]的平均速度等于其瞬时速度。
”2.学生进行个人或小组自主探究，分析问题，应用微分中值定理求解。
教师可以提供一些思考提示和指导，帮助学生完成解答。
E.实际应用：1. 教师引导学生思考微分中值定理的实际应用，并分享一些有趣的例子。
例如：“人在5分钟内以60km/h的速度开车，证明在一些时刻他的速度是10km/h。
”2.学生尝试应用微分中值定理解决实际问题，并将解决过程记录下来。
教师进行点评和讨论，让学生了解微分中值定理在实际问题中的作用和应用。
F.总结与拓展：1.教师和学生共同总结微分中值定理的定义和基本应用方法，并梳理相关的知识点。
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。
3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。
二、教学内容1. 罗尔定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且满足f'(x)g'(x) ≠0，则存在一点c∈(a, b)，使得(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c)/g'(c)。
三、教学方法1. 采用讲解、例题和练习相结合的方式进行教学。
2. 通过图形和实际例子帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。
3. 引导学生运用微分中值定理解决实际问题，培养学生的数学思维能力。
四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，引导学生理解微分中值定理的意义和作用。
2. 讲解罗尔定理的证明和应用，让学生掌握罗尔定理的基本思想和运用方法。
3. 讲解拉格朗日中值定理的证明和应用，让学生理解拉格朗日中值定理的数学意义和实际应用。
4. 讲解柯西中值定理的证明和应用，让学生掌握柯西中值定理的证明方法和应用范围。
5. 通过例题和练习题，让学生巩固微分中值定理的应用，并培养学生的解题能力。
五、教学评价1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对微分中值定理的概念和意义的理解程度。
3. 学生对罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用的掌握程度。
4. 学生通过练习题解决问题的能力和数学思维能力的培养。
高职班“微分中值定理”教学设计方案[论文]
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高职班“微分中值定理”教学设计方案摘要：根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，在“微分中值定理”一课中运用启发式教学法，利用图形直观降低理论难度，通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.关键词：微分中值定理教学设计启发式教学讲练结合一、课程设置分析（一）课程的地位《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础.主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容.要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力.（二）本次课的地位本课教学内容是微分中值定理和函数的单调性，是导数应用的基本内容.微分中值定理是获得可导函数单调性判定方法的理论基础.单调函数在《应用数学》课程中占有重要的地位，函数单调性的讨论是解决诸如“用料最省”“产值最高”“质量最好”“耗时最少”等最值问题的重要方法.（三）教学设计理念与思路学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职数学教育教学中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，课运用启发式教学，精讲多练，突出重点，通过图形直观降低理论难度，重视知识在实际问题中的应用.二、教学设计分析（一）教学目标1.掌握函数极值的概念.2.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，能运用.3.掌握函数单调性的判定方法，能熟练运用.（二）教学重点和难点重点：函数单调性的判定.难点：拉格朗日中值定理的理解与运用.（三）教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用启发式教学，利用图形直观直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.（四）教学设计[板书设计]整个黑板分左中右三大栏，左栏用来书写新课知识要点，如拉格朗日中值定理及其两个推论、函数的极值及极值点概念、极值点的必要条件、单调性判断定理等；中栏右栏用来书写即写即擦的内容，如例题示范和课堂练习讲评等.以下是教学过程.[新课引入]通过前面的学习，我们已经认识了导数，它描述函数随自变量而变化的瞬时变化率.我们现在已经能够熟练地计算函数的导数了.本章我们开始学习导数的应用.[新课讲授]§3.1微分中值定理定理（拉格朗日中值定理）：如果函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点使得或.推论：如果函数f（x）在区间（a，b）内满足f′（x）≡0，则在（a，b）内（c为常数）.推论：如果对（a，b）内任意x，均有f′（x）=g′（x），则在（a，b）内f（x）与g（x）之间相差一个常数，即（c为常数）. [课堂练习]验证拉格朗日中值定理对函数y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正确性.[新课讲授]§3.2函数的单调性函数的极值：极大值与极小值的统称.极值点：使函数f（x）取得极值的点x称为函数f（x）的极值点.注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值小；函数的极值概念是局部性的，它们与最大值、最小值不同.定理（极值点的必要条件）：设函数f（x）在x处可导，且在点x处取得极值，那么.可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点.如：在x=0处.对一个连续函数，极值点还可能是尖点（使导数不存在的点）.如：在x=0处.定理（单调性判断定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么①若在（a，b）内f′（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上单调增加；②若在（a，b）内f′（x）ex.思路：令可证f（x）在（-∞，1]上严格单调减少，在[1，+∞）上严格单调增加.故对任意x≠1，有即e>ex.[课堂练习]1.证明当x>0时.提示：令，则在[0，+∞）上单调增加，所以，当x>0时，有即即这时.2.求函数的单调性与极值.答案：函数的定义域为（-∞，+∞）.减区间为（-∞，3），增区间为（3，+∞），极小值y（3）=-.[课堂练习及讲评]（略）[本课小结]1.中值定理.2.函数的极值和极值点概念.3.函数单调性的判定和运用.参考文献：[1]孙薇荣等.微积分[m].高等教育出版社，2004.[2]王玉华.应用数学基础[m].高等教育出版社，2010.[3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[j].时代教育，2011（8）.。
(完整版)高等数学教学设计——中值定理
4.1微分中值定理单元教学设计一、教案头二、教学设计4.2函数的极值和最值单元教学设计一、教案头二、教学设计案例应用 案例1 求1213123+++=x x x y 的极值案例2 讨论2-x e y 的极值案例3 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x 取和值时水槽的流量最大？案例4 铁路线AB 距离为100公里，工厂C 距A 为20公里，AC 垂直于AB ，今要在AB 上选定一个点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D 点选在何处才能使从B 到C 的运费最少？ 案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图4.3函数图像的描绘 单元教学设计一、教案头任务1 函数的凸凹性和拐点 任务2 函数的渐近线. 任务3 按步骤描绘函数图像案例1（注水曲线凸凹） 设水以常数0,/3>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。
案例2 描绘函数2-)1(42xx y +=的图像。
案例3（最值问题） 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等二、教学设计）渐近线（1）斜渐近线若)(xf满足：kxxfx=∞→)(lim，且bkx]-[f(x)lim=∞→x则曲线)(xfy=有渐近线bkxy+=如下图：例求曲线3-223xxxy+=的斜渐近线例求曲线22-123xxy+=的斜渐近线（2）垂直渐近线如果Cx→(或者+→Cx或者-Cx→)时，参考图像案例2 描绘函数2-)1(42xx y +=的图像。
案例3 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？案例4 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V ，问当圆柱体的高h 和底半径r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？6422465510? ??。
微分中值定理 教案
微分中值定理教案教案标题：微分中值定理教案教学目标：1. 理解微分中值定理的概念和基本原理。
2. 掌握应用微分中值定理解决实际问题的方法。
3. 培养学生的分析和推理能力，提高解决数学问题的能力。
教学内容：1. 微分中值定理的概念和基本原理a. 罗尔定理b. 拉格朗日中值定理c. 柯西中值定理2. 微分中值定理的应用a. 判断函数在某个区间内的性质b. 求函数在某个区间内的最值c. 解决实际问题，如速度、加速度等相关问题教学步骤：步骤一：引入微分中值定理的概念和基本原理（15分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和求导法则。
2. 介绍微分中值定理的概念和基本原理。
3. 通过示例和图像解释罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的含义和应用场景。
步骤二：讲解微分中值定理的具体内容（20分钟）1. 详细讲解罗尔定理的条件和结论，并通过实例进行演示。
2. 阐述拉格朗日中值定理的条件和结论，并通过实例进行演示。
3. 介绍柯西中值定理的条件和结论，并通过实例进行演示。
步骤三：应用微分中值定理解决实际问题（25分钟）1. 指导学生如何利用微分中值定理判断函数在某个区间内的性质。
2. 指导学生如何利用微分中值定理求函数在某个区间内的最值。
3. 引导学生运用微分中值定理解决实际问题，如速度、加速度等相关问题。
步骤四：练习与巩固（20分钟）1. 给学生分发练习题，让他们运用所学的微分中值定理解决问题。
2. 引导学生互相检查答案，并对错误的地方进行讲解和指导。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 总结微分中值定理的要点和应用方法。
2. 提出一些拓展问题，鼓励学生进行更深入的思考和探索。
教学资源：1. 教材：包含微分中值定理相关内容的数学教材。
2. PowerPoint演示文稿：用于讲解微分中值定理的概念和应用。
3. 练习题：用于巩固和应用所学的微分中值定理。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 练习题的完成情况和准确度。
微分中值定理教案(优秀版)word资料
微分中值定理教案（优秀版）word资料第二章一元函数微分学§2.6 微分中值定理【课程名称】《高等数学》【授课题目】微分中值定理【授课时间】2020 年11月18日【授课对象】2020 级电子信息专业【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。
微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。
它是几个定理的统称。
微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。
【教学目标】1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。
【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。
【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。
【教学方法及手段】以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。
§2.6.2 拉格朗日中值定理 一、内容回顾定理1（Rolle ）若函数()f x 满足条件 （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =。
则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。
几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点((,())f ξξ处具有水平切线。
二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange ）设函数()f x 满足条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； 则在(,)a b 内至少存在一点ξ， 使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
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高职班“微分中值定理”教学设计方案
摘要：根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，在“微分中值定理”一课中运用启发式教学法，利用图形直观降低理论难度，通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.
关键词：微分中值定理教学设计启发式教学讲练结合
一、课程设置分析
（一）课程的地位
《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础.主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容.要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力.
（二）本次课的地位
本课教学内容是微分中值定理和函数的单调性，是导数应用的基本内容.微分中值定理是获得可导函数单调性判定方法的理论基础.单调函数在《应用数学》课程中占有重要的地位，函数单调性的讨论是解决诸如“用料最省”“产值最高”“质量最好”“耗时最少”等最值问题的重要方法.
（三）教学设计理念与思路
学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职数学教育教学中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，课运用启发式教学，精讲多练，突出重点，通过图形直观降低理论难度，重视知识在实际问题中的应用.
二、教学设计分析
（一）教学目标
1.掌握函数极值的概念.
2.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，能运用.
3.掌握函数单调性的判定方法，能熟练运用.
（二）教学重点和难点
重点：函数单调性的判定.
难点：拉格朗日中值定理的理解与运用.
（三）教学方法
根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用启发式教学，利用图形直观直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.
（四）教学设计
[板书设计]整个黑板分左中右三大栏，左栏用来书写新课知识要
点，如拉格朗日中值定理及其两个推论、函数的极值及极值点概念、极值点的必要条件、单调性判断定理等；中栏右栏用来书写即写即擦的内容，如例题示范和课堂练习讲评等.
以下是教学过程.
[新课引入]通过前面的学习，我们已经认识了导数，它描述函数随自变量而变化的瞬时变化率.我们现在已经能够熟练地计算函数的导数了.本章我们开始学习导数的应用.
[新课讲授]§3.1微分中值定理
定理（拉格朗日中值定理）：如果函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点使得或.
推论：如果函数f（x）在区间（a，b）内满足f′（x）≡0，则在（a，b）内（c为常数）.
推论：如果对（a，b）内任意x，均有f′（x）=g′（x），则在（a，b）内f（x）与g（x）之间相差一个常数，即（c为常数）. [课堂练习]验证拉格朗日中值定理对函数y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正确性.
[新课讲授]§3.2函数的单调性
函数的极值：极大值与极小值的统称.
极值点：使函数f（x）取得极值的点x称为函数f（x）的极值点.
注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中
有的极大值可能比极小值小；函数的极值概念是局部性的，它们与最大值、最小值不同.
定理（极值点的必要条件）：设函数f（x）在x处可导，且在点x处取得极值，那么.
可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点.如：在x=0处.
对一个连续函数，极值点还可能是尖点（使导数不存在的点）.如：在x=0处.
定理（单调性判断定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么
①若在（a，b）内f′（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上单调增加；
②若在（a，b）内f′（x）ex.
思路：令可证f（x）在（-∞，1]上严格单调减少，在[1，+∞）上严格单调增加.故对任意x≠1，有即e>ex.
[课堂练习]
1.证明当x>0时.
提示：令，则在[0，+∞）上单调增加，所以，当x>0时，有即即这时.
2.求函数的单调性与极值.
答案：函数的定义域为（-∞，+∞）.减区间为（-∞，3），增区间为（3，+∞），极小值y（3）=-.
[课堂练习及讲评]（略）
[本课小结]
1.中值定理.
2.函数的极值和极值点概念.
3.函数单调性的判定和运用.
参考文献：
[1]孙薇荣等.微积分[m].高等教育出版社，2004.
[2]王玉华.应用数学基础[m].高等教育出版社，2010.
[3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[j].时代教育，2011（8）.。