第五节二次型及其标准形

有正交矩矩阵阵PP,,使使PP--11AAPP==, 其即中PTAP是=以 A. 把的此n 个特
结论应值用为于对二角次元型素, 即的有对角矩阵.
定理 8 任给二次型
nn
f
aij xi x j (aij a ji ),
i1 j1
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 ,
a11
(
x1,x2
,
,
xn
)
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j1
若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ···, xn)T , 则
(2) 式所表示的二次型可以表示成
如果 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B) = R(A).
证明 A 为证对明称矩A阵为, 对即称有矩AT阵=, A即, 有于是AT = A, 于是
此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变.
要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 就是要使
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx, 则
1 1 2 3
A
1 2 3
3 4 2
4 1 0
2
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单击这里求秩
R( A) 4.
定义 如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
取值，则称之为规范形. 例如
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.
推论 任给推n论元二任次给型nf元= 二xTT次Ax型(AfTT===xAAT)A),,x (AT =
总 总有 有可可逆逆变变总换换有xx可==逆CCzz变，，换使使xff((=CCCzz))z，为为使规规范范f(C形形z).. 为规范形.
第 五 节 二次型及其标准形
主要内容
问题的提出 二次型的概念 合同矩阵 主要结论 举例
一、问题的提出
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
ax2 + bxy + cy2 = 1
(1)
的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin ,
y
x s in
y
cos
,
把方程化为标准形
于是 (2) 式可写成
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ··· ··· ··· ···
+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
yTC T ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1,y2,,yn )
k2
y2
,
kn yn
也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主
要问题就是，对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C,
使 CTAC 为对角矩阵.
四、主要结论
由上节 定理 7 设知A, 任为给n实阶对对称称矩矩阵阵A, 则, 总必有正
证明 按 定证理明8 按任定有给理二8次型任有给二次型
nn
nn
f(Py) = yTfy(P=y)=yy2T+y=y2 +y ·2··++yy22+. ···+ y 2 .
五、举例
例 22 用正交变换化下列二次型为标准形,
并求出所作的非退化线性变换(即可逆变换):
(1) f (x1,x2,x3) 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ;
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
mx2 ny2 1.
(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 变量的二次齐次多项式的化简问题.
二、二次型的概念
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
(2)
为二次型.
取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然， R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
对于二次型，我们讨论的主要问f 题 是x12：寻3x求22 4x
可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义标准是形：一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二f 次型x12的秩x22. x42
三、合同矩阵
1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B = CTAC ，