第五节二次型及其标准形
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
5-4二次型
1 2 1 2 0
使得 P 1 AP L 0 1 0 0 0 1 于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形 f = －2y12 + y22 + y32
1 6 1 6 2 6
2 0 0 P 1 AP L 0 1 0 0 0 1
2 2 f l 1 y1 ln yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
例
将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 l 2 A lE 2 14 l 4 l 18 l 9 2 4 14 l
k1 令 K= k2 1 , i r, , 其中k | li | i 1, i r. kn
则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为 f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz 其中 T l1 l2 lr K LK diag , , , , 0, , 0 | lr | | l1 | | l2 |
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a x a12 a x12 x x) x11 ( a x a a x 1x 22 11 nn 1n n 1 1 11 x1 2 a x x a x aa x2 x x21 ( a x a x 22 2n n 2 221 1 1 22 2 2 2n x n)
第五节 二次型及其标准型5-2
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
第五章第五节二次型及其标准形
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
5.5二次型及其标准形
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得
f 2z12 2z22 6z32 .
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A,总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
P1 PT
定理2
任给二次型 f
n
aij xi x j aij a ji
, 总有
i , j1
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3
§5 二次型及其标准形
aij xi x j aij a ji , 总有 i , j 1
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得 P1 , P2 ,, Pn , 记C P1 , P2 ,, Pn ;
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 T 1 (1 2,1,1) . 将 2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
1 1 1 p1 1 , p 2 1 , p 3 1 . 2 0 1
思考题解答
将其单位化得
1 6 p1 1 6 , q1 p1 2 6 1 3 p3 1 3 . q3 p3 1 3
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型及其 标准形
1 1
| A E | (1 )2 (2 ) 0 ，
得特征值 1 2 1 ， 3 2 ．
1.3 二次型的标准形
例题
1
2
1
1
2
1 对应的特征向量为
1
1
， 2
0
，将其正交化，取
q1
1
1 ，
0
1
0
q2
2
[2 [q1
，q1 ] ，q1 ]
q1
2
0
1
2 2
3
换为 x Py ，所化二次型的标准形为 f 0 y12 3y22 3y32 ．
1.3 二次型的标准形
例题
例5
求一个正交变换 x
Py ，将二次型
f
1 2
x12
x1x2
2x1x3
1 2
x22
2x2x3
x32 化为标
准形．
1 2
1 2
1
解：二次型矩阵为
A
1 2
1 2
1 ，由
1
称为一个 n 元二次型，简称二次型，记为 f．
（6-1）
若式（6-1）中系数 aij 为复数，则 f 称为复二次型；若 aij 全为实数，则 f 称为实二次型
1.1 二次型的基本概念
定义
为了用矩阵表示二次型，若记 aij a ji ，则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ，式（6-1）可改写
f 1 y12 2 y22 n yn2 ．
（6-4）
1.3 二次型的标准形
化标准型
用正交变换法化二次型为标准形的步骤如下．
（1）写出二次型的矩阵 A ，求其特征值 1 ， 2 ， ， n ； （2）求出所有特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化；
Ch5-5线性代数二次型及其标准型
2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y
x cos x sin
y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换 正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换 将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
线性代数§5.5二次型及其标准形
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
二次型的标准型和规范型
问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数
定理5.4（惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为
规范形，且规范性唯一.
推论1任一实对称矩阵A合同于对角矩阵 Ep Er p
.
O
推论2设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同 二者有相同的
秩和正惯性指数.
推论3设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同 二者的正、负
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
第五节 二次型及其标准形
返回
例3. f = x − x + x + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x1 x4
+ 2 x 2 x4 − 2 x 3 x4 ,
2 1
2 2
2 4
写成矩阵表示. 写成矩阵表示
A
X
f = ( x1 x 2 x 3
1 2 x4 ) 2 -1
2 -1 0 1
2 0 0 -1
X = PY
λ1 λ2 λ3
17
f = λ1 y + λ 2 y + λ 3 y
2 1 2 2
⇓
2 3
返回
三、用配方法化二次型为标准形
例6. 化二次型
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
成标准形, 并求所用的变换矩阵. 成标准形 并求所用的变换矩阵 解: f = ( x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 )
a11 记 A = L a n1 a12 an 2
a12 a 22 an 2
L L L L
a1 n x1 x a2n 2. M x a nn n
L a1 n x1 , X = M . L xn L a nn
16
返回
令
2 − 5 1 P= 5 0
2 1 2 2
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 − 3 2 − , 3 2 3
2 3
为所求正交变换. 则X =PY 为所求正交变换 它将二次型 f 化为
二次型及其标准形 线性代数
x3 2 x1 即 x2 2 x1
1 p3 2 . 得基础解系 2
（考虑为什么？） p1 , p2 , p3如何处理 ? 23 p1 单位化，得 1 2 3 , 只需把 13
23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3 2 1 2 1 , 2 1 2 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i 1,2,, n i 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX 其中 A 为对称矩阵。
二次型的矩阵表示（重点）
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
5 5 x1 x2 令 x2 1 得基础解系: p2 2 2
令 P ( p1 , p2 )
1 2 5 求得 P 3 1 1 1 1 即存在可逆矩阵 P , 使得 P AP 2
二次型及其标准形式
二次型及其标准形式二次型是高等数学中一个重要的概念，它与矩阵有着密切的关系。
在本文中，我将介绍什么是二次型，以及如何将二次型化为标准形式。
什么是二次型？二次型是指二次齐次多项式，也就是形如：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中 $a_{ij}$ 是实数。
可以看出，二次型与关于 $n$ 个变量的二次方程非常相似，但它们有一个显著的不同点：二次型中的系数 $a_{ij}$ 不一定是已知的数值，它们可以是函数或变量，也可以是其他复杂的表达式。
如何将二次型化为标准形式？将二次型化为标准形式可以帮助我们更好地研究它的性质。
标准形式指的是经过某种变换后，二次型可以写成以下形式：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2$$其中 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 是非负实数，$y_i$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的线性组合，即 $y_i = a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2 + ... + a_{in}x_n$。
那么，如何将二次型化为标准形式呢？我们可以用矩阵的方法来处理。
首先，我们用一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 来表示二次型。
我们可以将$A$ 矩阵分解为两个矩阵的乘积：$A=QQ^T$，其中 $Q$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，且 $Q$ 的列向量构成一个标准正交基。
我们在 $Q$ 的基础上引入新的变量 $y_1, y_2, ..., y_n$，它们的值分别为 $y_i = q_{i1}x_1 + q_{i2}x_2 + ... + q_{in}x_n$，其中$q_{ij}$ 是$Q$ 矩阵的元素。
二次型矩阵和标准型
二次型矩阵和标准型二次型是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
而二次型矩阵和标准型则是研究二次型的重要工具和方法。
首先，我们来了解一下什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为Q(x)=x^TAX，其中x是一个n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。
二次型的系数矩阵A决定了二次型的性质和特征。
接下来，我们来介绍二次型矩阵。
二次型矩阵是指将二次型的系数矩阵A进行矩阵变换得到的矩阵。
具体来说，对于一个二次型Q(x)=x^TAX，我们可以通过矩阵变换将系数矩阵A变换为一个对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P是一个可逆矩阵。
这样得到的对角矩阵D 就是二次型矩阵。
二次型矩阵的标准型是指将二次型矩阵D进一步化简为一个特殊形式的对角矩阵。
具体来说，对于一个二次型矩阵D，我们可以通过一系列的矩阵变换将其化简为一个对角矩阵，即D=P^TAP=diag(d1,d2,...,dn)，其中d1,d2,...,dn是D的对角线上的元素。
这样得到的对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。
为了将二次型矩阵化简为标准型，我们可以利用矩阵的相似对角化定理。
相似对角化定理指出，对于任意一个n×n的实对称矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵。
这个对角矩阵就是二次型矩阵的标准型。
通过相似对角化定理，我们可以将二次型矩阵化简为标准型，从而更好地研究和分析二次型的性质和特征。
标准型的对角线上的元素反映了二次型的主轴长度，而对角线之外的元素则反映了二次型的旋转角度。
二次型矩阵和标准型在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，二次型矩阵和标准型是研究二次型性质和特征的重要工具，可以用于解决线性代数、矩阵论和特征值问题等。
在工程领域，二次型矩阵和标准型可以用于信号处理、图像处理、模式识别和机器学习等领域，帮助我们理解和分析复杂的数据和信号。
总之，二次型矩阵和标准型是研究二次型的重要工具和方法。
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第五节 二次型及其标准型
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
二次型及其标准形
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形．
证明：
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0,
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为 与 A 合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不 变．
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f xT Ax
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y
k1 y12 k2 y22 L kn yn2
k1
( y1 ,
y2 ,L
则称矩阵A 和 B 相似． 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足
CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同． 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵． R(B) = R(A) ．
∵B=C TAC, ∴ R(B) ≤R(AC) ≤R(A). 又∵ A=(C T) -1BC -1, ∴ R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) ∴ R(B)=R(A).
a1n x1
a2
n
x2
M M
ann xn
a11 a12 L
f
( x1,
x2 ,L
,
xn )
( x1,
x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 MLΒιβλιοθήκη 对称阵的an1 an2 L
5.5二次型及其标准形
相似矩阵及二次型二次型的定义及表示方法22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =++++121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++1、二次型的定义12,,,n x x x 的二次齐次多项式含有n 个变量称为二次型，21211(,,,)2nn ii iij i j i i j nf x x x a x a x x =≤<≤=+∑∑或记为注当常数项为实数时，称为实二次型.2、二次型的矩阵表示()11111221n n x a x a x a x =+++()22112222n n x a x a x a x +++++()1122n n n nn n x a x a x a x ++++()1112112122221212n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭T f x Ax=A 为对称矩阵.12(,,,)n f x x x 121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++222111222nn n a x a x a x =++++A例如， 用矩阵记号写出来，就是()1201,,2021032x f x y z y z ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 二次型2234f x z xy yz =--+任一二次型f 3、二次型的矩阵及秩对称矩阵A −−→任一对称矩阵A 二次型f −−→⎫⎬⎭一一对应f 称为对称矩阵A 的二次型；A 称为二次型f 的矩阵；对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩．合同矩阵矩阵的合同1. 定义 设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ， 使TB C AC ， 则称矩阵A 与B 合同.2. 性质 (1). 合同关系为等价关系(2). 与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵(3). 合同矩阵具有相同的秩.二次型标准化定义只含有平方项的二次型222121122(,,,)n n nf x x x x x xλλλ=+++称为二次型的标准形．定义22221211(,,,)()n p p p qf x x x x x xxp q n ++=++--+≤为二次型的规范形．1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二次型的标准化问题主要问题： x Cy =寻可逆变换，使得()T T Tf x Ax y C AC y==只含平方项.(二次型标准化)要使二次型f 经可逆变换x Cy =变成标准形， 就是要使2221122T Tn ny C ACy k y k y k y =+++()111,,n n n k y y y k y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也就是要使TC AC 成为对角阵.主要问题是： 对称矩阵A 合同对角化.用正交变换将二次型标准化任给对称矩阵A ， 总有正交矩阵P ， 使1TP AP P AP -==Λ. 定理 任给二次型(),1niji j ij ji i j f ax x a a ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++， 其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.推论 任给n 元二次型()Tf x x Ax=()TAA =，总有可逆变换x Cz =，使()f Cz 为规范形.证 ()2211=T n n f Py y y y yλλΛ=++，设二次型f 的秩为r , 则特征值i λ中恰有r 个不为0， 不妨设1,,r λλ不等于0，10r n λλ+===， 令1n k K k ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭， 其中1,,1,,i i i r k i r λ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则K 可逆， 变换y Kz =把()f Py 化为()TTTTTf PKz z K P APKz z K Kz ==Λ,而11=diag ,,,0,,0Tr rK K λλλλ⎛⎫Λ ⎪ ⎪⎝⎭， 记C PK =， 可逆变换x Cz =把f 化成规范形()22111=r r rf Cz z z λλλλ++.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1. ,;T f x Ax A =将二次型表成矩阵形式求出122. ,,,;n A λλλ求出的所有特征值123. ,,,;n ξξξ求出对应于特征值的特征向量()1212124. ,,,,,,,,,,,,;n n n p p p P p p p ξξξ=将特征向量正交化单位化得记22115. ,.n nx Py f f y y λλ==++作正交变换则得的标准形例 求一个正交变换x Py =，把二次型化为标准形,其中121323222f x x x x x x =-++解 二次型f 的矩阵为11132611132612036P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 011101110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有正交阵 特征值为2,1,1-使211TP AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， 于是有正交变换 11223311132611132612036x y x y x y ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭把二次型f 化成标准形 2221232f y y y =-++.如果要把二次型f 化成规范形， 只需令1122331,2,,y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即得f 的规范形222123f z z z =-++.谢谢。
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解 设 f = xTAx, 则
1 1 2 3
A
1 2 3
3 4 2
4 1 0
2
0 4
单击这里求秩
R( A) 4.
定义 如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
取值，则称之为规范形. 例如
有正交矩矩阵阵PP,,使使PP--11AAPP==, 其即中PTAP是=以 A. 把的此n 个特
结论应值用为于对二角次元型素, 即的有对角矩阵.
定理 8 任给二次型
nn
f
aij xi x j (aij a ji ),
i1 j1
总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形
f = 1y12 + 2 y22 + ···+ nyn2 ,
第 五 节 二次型及其标准形
主要内容
问题的提出 二次型的概念 合同矩阵 主要结论 举例
一、问题的提出
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
ax2 + bxy + cy2 = 1
(1)
的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin ,
y
x s in
y
cos
,
把方程化为标准形
证明 按 定证理明8 按任定有给理二8次型任有给二次型
nn
nn
f(Py) = yTfy(P=y)=yy2T+y=y2 +y ·2··++yy22+. ···+ y 2 .
五、举例
例 22 用正交变换化下列二次型为标准形,
并求出所作的非退化线性变换(即可逆变换):
(1) f (x1,x2,x3) 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ;
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , ···, xn ) = a11x12 + a22x22 + ···+ annxn2 +
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
(2)
为二次型.
取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
对于二次型，我们讨论的主要问f 题 是x12：寻3x求22 4x
可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义标准是形：一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二f 次型x12的秩x22. x42
三、合同矩阵
1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B = CTAC ，
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然， R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
mx2 ny2 1.
(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 变量的二次齐次多项式的化简问题.
二、二次型的概念
yTC T ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1,y2,,yn )
k2
y2
,
kn yn
也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主
要问题就是，对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C,
使 CTAC 为对角矩阵.
四、主要结论
由上节 定理 7 设知A, 任为给n实阶对对称称矩矩阵阵A, 则, 总必有正
其中1 , 2 , ···, n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.
推论 任给推n论元二任次给型nf元= 二xTT次Ax型(AfTT===xAAT)A),,x (AT =
总 总有 有可可逆逆变变总换换有xx可==逆CCzz变，，换使使xff((=CCCzz))z，为为使规规范范f(C形形z).. 为规范形.
nn
f (x1,x2,,xn )
aij xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
如果 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B) = R(A).
证明 A 为证对明称矩A阵为, 对即称有矩AT阵=, A即, 有于是AT = A, 于是
此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变.
要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 就是要使
于是 (2) 式可写成
f(x1 , x2 , ···, xn) = a11x12 + a12x1x2 + ···+ a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ···+ a2nx2xn + ··· ··· ··· ···
+ an1 xnx1 + an2xnx2 + ···+ annxn2
a11
(
x1,x2
,
,
xn
)
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j1
若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ···, xn)T , 则
(2) 式所表示的二次型可以表示成
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!