随机信号分析2习题(供参考)
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
A与 B独立 , f AB (a, b) f A (a) fB (b)
X (t) A Bt Y(t) A
A Y(t) X (t) Y (t)
B t
01 J1 1 1
t tt
1
xy 1
xy
f XY (x, y; t ) J f AB (a,b) t f AB ( y, t ) t f A ( y) f B ( t )
E X (t) E A cost XH cost EA XH
D X (t) E X 2 (t ) E2 X (t )
方法 2：
D X (t)
D Acost XH D Acost cos2 t DA cos2 t
12
D XH
公式： D aX＋ bＹ a2 D X b2 D Y 2abC XY
RX (t1, t2 )=E Acost1 XH A cost2 XH
f X (x1；0)
1
x12 e 2，
2Байду номын сангаас
A
1
X (t)
~ N (0, )
t 30
2
4
f X ( x2； 3
)＝
0
2 2
e
2
x2
2
，
X (t) t
＝0，
f ( x3；2
)
0
20
( x3)
(离散型随机变量分布律 )
2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程 X (t) 仅由四条样本函数组
成，出现的概率为
数 RX (t1, t2 ) ？②若已知随机变量相 A, B 互独立，
它们的概率密度分别为 f A (a) 和 f B (b) ，求 X (t) 的一
随机信号分析答案 哈工大
0 ≤ x <1 ，求 Y=5X+1 的概率密度函 其他
1.6 设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 在[a , b] 上均匀分布，且互相独立。若 Y = ∑ X i ,求
i =1
n
（1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪b − a ⎪ 解： f i ( xi ) = ⎨ i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ⎪0 其它 ⎪ ⎩ n=2 时， f Y ( y ) = f X 1 ( y ) ∗ f X 2 ( y )
-∞
⎧1 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ⎨ ⎩0 数。 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 1≤y≤6 h′(y) = 1/5 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5 1≤ y ≤ 6 ⎧1 / 5 f Y ( y) = ⎨ 于是有 其他 ⎩ 0
⎧ X 1 = a1Y1 + b1Y2 ⎨ ⎩ X 2 = c1Y1 + d1Y2
（ Y1 , Y2 ）的联合概率密度为 证明：
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
（4） F ( x) =
第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在[α，β]上均匀分布 ⎧ 1 α≤下≤β ⎪ f ( x) = ⎨ β − α ⎪ 其他 ⎩0
北邮随机信号分析与处理第2章习题解答_2
不满足严格平稳。
思考：是否满足广义平稳？
3
2.17
随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生：
X (t, e1 ) 1, X (t, e2 ) sin t, X (t, e3 ) cos t (1)计算均值 mX (t ) 和自相关函数 RX (t1 , t2 )；
(2)该过程是否为平稳随机过程？ 解： 1 1 1
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包括每次课的课件和部分习题解答
1
2.14
广义平稳随机过程 Y (t ) 的自相关矩阵如下，试确定矩阵中用 表示的元素。 2 1.3 0.4 2 1.2 0.8 RY 0.4 1.2 1.1 0.9 2 解：由自相关函数的性质
2
2.15
根据掷骰子试验，定义随机过程为
K X (t ) cos t ( K 1, 2,3, 4,5,6) 3 (1)求 X (1) 、X (2) 的概率密度； (2) X (t ) 是否为平稳随机过程？
解：
1/ 2, K 1,5 1/ 2, K 2, 4 K X (1) cos 1, K 3 3 1, K 6
E[ A(t1 ) A(t2 )cos t1 cos t2 ] E[ A(t1 ) B(t2 )cos t1 sin t2 ] E[ B(t1 ) A(t2 )sin t1 cos t2 ] E[ B(t1 ) B(t2 )sin t1 sin t2 ] RA (t1, t2 )cos t1 cos t2 RB (t1, t2 )sin t1 sin t2 R( )cos t1 cos t2 R( )sin t1 sin t2 R( )cos(t1 t2 ) R( )cos( )
随机信号习题2
一、填空题（20）1、 若)()()]()([2121t m t m t Y t X E Y X =，则随机过程()()X t Y t 与________（不相关、独立、正交）；若联合平稳过程()()X t Y t 、的互功率谱密度XY S ()0ω=，则()()X t Y t 与_________（不相关、独立、正交）；若(,;,)(,)(,)XY X Y f x t y t f x t f y t =，则()()X t Y t 、在同一时刻_______（不相关、独立、正交）。
2、 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__强____,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小_____3、 两个高斯分布律的随机变量的卷积是___高斯_____分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分布律的均值和方差的__代数和_____。
4、 白噪声通过理想低通系统后，功率谱密度变_窄__，相关性由_不相关___变为___相关_____。
二、简答题：（10）1、给出功率谱密度与相关函数的关系。
（5）2、给出狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
（5）三、考虑如图所示的系统，假定)()(t Y t X 、是统计独立的广义平稳随即过程。
求：（1）、根据)()(Y ττR R X 、，求)(Z τR ；（2）、根据)(G )(G Y ττ、X ，求)(G Z τ；四、已知)(t X 是0均值的高斯过程，求)()(2t X t Y =的自相关函数。
五、如图所示，若()X t 为平稳随机过程。
证明()Y t 的功率谱密度为： ()2()(1cos )Y X G G ωωωτ=+六、有限带宽的白噪声是具有如下常数功率谱密度函数的随机过程：00,0()()()220,X B B a G ωωωωω⎧≤-≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它其中：0ω为中心频率，B 为带宽，a 为常数，求自相关函数()N R τ；七、设一随机过程()X t ，其中2[()],()()X E X t b R b b τδτ==+通过一物理可实现系统，其冲击响应为()()at h t e u t -=，求稳态输出()Y t 的自相关函数。
随机信号分析基础第二章习题
FX (x; 2) PX (2) x
x
p(x)dx
1
x
0
3
FX (x1, x2; 2, 6) P{X (2) x1, X (6) x2}; P{(X (2) x1 X (6) x2};
用表格来表示所求的联合分布：
x1
x2
x2 2
x1 3
0
3 x1 4 4 x1 6
CX (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{ X (t2 ) mX (t2 )}]
随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数
RXY (t1,t2) E[X (t1)Y (t2)]
互协方差函数
CXY (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{Y (t2 ) mY (t2 )}]
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
E[a2 cos(0t1 ) cos(0t2 )]
a2 2
E[cos(0
(t1
t2
))
cos(0t1
0t2
2)]
a2 2
cos[0 (t1
t2 )]
0
a2 cos
2
其中 t1 t2
2.11 解：
E[X (t)] E[Acos(0t )]
E{[X (t1) mX (t1)][X (t2) mX (t2)]}
CX (t1, t2 )
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E[X (t)] E[Acos(0t) Bsin(0t)] E[A]cos(0t) E[B]sin(0t)
0
（2）由自相关函数的定义： RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
x,
2)
1 3
北邮随机信号分析与处理第2章习题解答_1
[ E ( X 2 ) E 2 ( X )] [ E ( XY ) E ( X ) E (Y )] t1 [ E ( XY ) E ( X ) E (Y )] t2 [ E (Y 2 ) E 2 (Y )] t1t2
mY (t ) E[ X (t ) (t )] E[ X (t )] (t ) mX (t ) (t )
协方差函数：
KY (t1 , t2 ) RY (t1, t2 ) mY (t1 )mY (t2 ) E{[( X (t1 ) (t1 )][ X (t2 ) (t2 )]} [mX (t1 ) (t1 )][mX (t2 ) (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) (t2 )] E[ X (t2 ) (t1 )] E[ (t1 ) (t2 )]
2 x1 x1 2 2 2 2 2 2 200 A0 x1 x3 50 A0 x12 x3
7
(0 x1 A0 , 250 x2 350, x1 x3 x1 )
2.5
X 3 的边缘概率分布为
x3
A0
350
250
f X1 X 2 X 3 ( x1 , x2 , x3 )dx2 dx1 2 x1
有
J1
1 a y
2 2
J2
1 a2 y2
于是
1 1 1 fY | A ( y | a ) 2 a 2 y 2 2
( y a)
1 a2 y2
1
a2 y2
9
2.5
由全概率公式
fY ( y ) f A (a ) fY | A ( y | a )dad f A (a) f ( ) fY | A ( y | a )dad
随机信号分析第3版第二章 习题答案.pdf
k =0
k =0
如果将 4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均： Ε ⎡⎣{B (n) , B (n +1) , B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.8, 0.8, 0.8, 0.8}
串方差：
Var ⎡⎣{B (n), B (n +1), B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.16, 0.16, 0.16, 0.16}
3
∑ 串（4bit 数据）为： X (n) = 2k B(n + k) ，其矩特性为： k =0
因为随机变量 B(n) 的矩为：
均值： E[B(n)] = 0× 0.2 +1× 0.8 = 0.8
{ } 方差：
Var
[
B(n)
]
=
Ε
⎡ ⎣
B
(
n
)2
⎤ ⎦
−
Ε ⎡⎣B (n)⎤⎦
2 = 02 × 0.2 +12 × 0.8 − 0.82
= E{[ X (s + a) − X (s)][X (t + a) − X (t)]} = E[ X (s + a) X (t + a)] − E[ X (s + a) X (t)] − E[ X (s) X (t + a)] + E[ X (s) X (t)] = RX (s + a, t + a) − RX (s + a, t) − RX ( s, t + a) + RX ( s, t)
P ⎡⎣{1011}⎤⎦ = P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 0⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦
(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案
⎧ 0,
（2）
FX
⎜⎛ ⎝
x1
,
x2
;
1 2
,1⎟⎞ ⎠
=
⎪⎩⎪⎨ 121,,
x1 < 0,−∞ < x2 < ∞; 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ −1;
x1 ≥ 1,
x1 ≥ 0, x2 < −1 x1 ≥ 1,−1 ≤ x2 < 2
x2 ≥ 2
2.3 设某信号源，每 T 秒产生一个幅度为 A 的方波脉冲，其脉冲宽度 X 为均匀分布于[0,T ]
当 ti
=
0 时，
fX
( x, t )
=
⎧1 ⎨⎩ 0
0< x <1 else
当 ti
=
π 4ω
时，
fX (x,t)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2 0
0<x< π 4ω
时，
fX (x,t)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2 0
− 2 2<x<0 else
当 ti
=
π ω
时，
fX
( x, t )
=
⎧1 ⎨⎩ 0
当kl时有rtsx2????????????eakutkt0utkt01uskt0uskt01ea2eut?k?t?ut?k?t?1us?k?t?us?k?t?1k0000eut?k?t0?ut?k?t0?1us?k?t0?us?k?t0?1kt00faa?2??0a0是在02中均匀分布的随机变量且与a统计独立为常量
D[ X (t)] = D[ Acosωt + B sin ωt] = D[ A]cos2 ωt + D[B]sin2 ωt = σ 2
随机信号分析与处理答案(罗鹏飞,张文明编著)
H( f )
2 2
f 图 ( 利 用 w 2 f ， 得 到
2
4 2si nT)f ( ) H( f ) （注意图中要标出最大值及所对应的频率，且
为正数） 4.
(2)
R(0,1) E[ X (0) X (1)] E[2 cos 2 cos(2 )] 4 E[cos cos ] 1 1 4 [(cos 2 0) (cos 2 ) ] 2 2 2 1 4 2 2
5. P85：2.6 问题还需增加“求均值，自相关函数及验证平稳性”
作业一的参考答案 1. P28：1.10
f XY ( x, y ) fY ( y )
1 0
解：利用 f X /Y ( x / y )
fY ( y )
所以
f XY ( x, y)dx
2ax 2by a 2by dx ab ab
f X /Y ( x / y )
解： （1）
互相关系数 XY
Cov( X , Y ) 2 3 D( X ) D(Y )
CZW Cov(2 X Y , X 2Y )
(2)
E[(2 X Y )( X 2Y )] E (2 X Y ) E ( X 2Y ) 2
(3)
因为 X , Y 为高斯随机变量 所以
解：
因为 A ， B 为独立的高斯随机变量 所以
E( AB) E( A) E( B) 0 E[ X ] E( A)cos wt E( B)cos wt 0
随机信号分析第二次阶段测试试题
Y t 的功率。
S S
S t
X t
Y t
A
0
0
N t
W 0 2
0
W 0 W 2 0 2
0
W 2
(a) 系统框图
(b) S t 的功率谱密度 S S
H
1
0
0
0
W 2
W 0 W 0 0 2 2
《随机信号分析》第二次阶段测试试题考试时间 题号 得来自 一 二 45 三 分钟 四 总分
班级
学号
姓名
任课教师
注意：本试题需要写出计算过程，并按照计算过程给分。
4 5 2 6 一． （20 分）求输入谱为 S X ( ) 4 时的白化滤波器。 10 2 9
二． （20 分）一均值为零、自相关函数为 R X 、功率谱密度为 S X 的宽平稳随机过
W 0 2
(c) 窄带带通滤波器的系统传递函数 图2
ˆ t ， ˆ t cos t X t sin t 程 X t ，其希尔伯特变换为 X （1）求随机过程 V t X 0 0
的自相关函数； （2）求 V t 的功率谱密度，其中 0 为常数。
三. （30 分）一个均值为 a （ a 为常数） ，双边功率谱密度为 1 的理想高斯白噪声通过 如图 1 示的线性系统， （1）求该系统的等效噪声带宽； （2）求该系统输出的平均功率； （3）求输出信号的一维概率密度。
H
图 1 线性系统的传递函数
四． （30 分） 在如图 2(a)所示的系统中， 零均值的平稳随机信号 S t 的功率谱密度 S S 如图(b)所示，N t 为一个均值为 0， 双边功率谱密度为
随机信号分析第二版(陈运)CH1习题及答案
1.2. 已知样本空间{}1,2,,10Ω=，事件{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，{}5,6,7C =，写出下列事件的表达式：（1）A B ； （2）AB ；（3）()A B C ； （4）ABC ；解：（1）{}{}1,5,6,7,8,9,101,3,4,5,6,7,8,9,10A A B =∴= （2） {}5 AB = （3）{}{}{}()3,4,5,6,7()3,4()1,2,5,6,7,8,9,10B C A B C A B C ==∴=（4）{}{}{}{}51,2,3,4,6,7,8,9,102,3,41,5,6,7,8,9,10BC BC ABC ABC ===∴=3. 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的样本空间、事件与概率。
解：样本空间：{},,,HH TT HT TH Ω= 各种事件组成集合：{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F HH TT HT TH HH TT HH HT HH TH TT HT TT TH HT TH HH TT HT HH TT TH HH HT TH TT HT TH =∅Ω显然，其中的事件是样本的的各种组合。
A F ∀∈，()4k P A =，[0,4]k ∈为事件A 包含的样本点数。
4. 5.6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ======== ()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯=== 7.8. 有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1和0.4。
随机信号分析习题.doc
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。
并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩， 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。
（3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。
8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析习题二设正弦波随机过程为其中为常数;为均匀分布在内
随机信号分析习题二：随机信号分析习题二： 1. 设正弦波随机过程为设正弦波随机过程为0()cos X t A w t =其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即内的随机变量，即1,01()0,others A a f a ££ì=íî(1) 试求00030,,,44t w w w ppp=时，()X t 的一维概率密度；的一维概率密度；(2) 试求02t w p=时，()X t 的一维概率密度。
的一维概率密度。
2. 若随机过程()X t 为(),X t At t =-¥<<+¥式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。
3. 设随机振幅信号为设随机振幅信号为0()sin X t V w t =其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
函数。
4. 设随机相位信号设随机相位信号0()cos()X t a w t f =+式中a 、0w 皆为常数，f 为均匀分布在[0,2]p 上的随机变量。
上的随机变量。
求该随机信号的均值、求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
相关函数和协方差函数。
5. 设()sin(),X t A wt t q =+-¥<<+¥，()sin(),Y t B wt t q f =++-¥<<+¥，其中，其中A ，B ，w ，f 为实常数，~[0,2]U q p ，试求(,)XY R s t 。
6. 数学期望为()5sin Xm t t =、相关函数为2210.5()12(,)3t t X R t t e--=的随机信号()X t 输入输入微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =。
求()Y t 的均值和相关函数。
随机信号分析 第2次习题课
GZ ( w)
RZ ( )e jw d a 2G X ( w) b 2GY ( w) abGXY ( w) abGYX ( w)
Hale Waihona Puke (2)平稳过程X (t )和Y (t )不相关时的互谱密度为 ： G XY ( w) GYX ( w) 2m X mY ( w) 因此，Z (t )的功率谱密度为： GZ ( w) a 2G X ( w) b 2GY ( w) 4m X mY ( w)
例3：已知随机过程 (t )为：Z (t )＝aX (t ) bY (t ), 其中 Z a和b皆是常数，X (t )和Y (t )是各自平稳且联合平稳 的 随机过程。试求：（ Z (t )的功率谱密度GZ ( w). 1 ） (2) X (t )和Y (t )不相关时的GZ ( w)。
解：Z(t) 的自相关函数为
解：输入信号X (t )的自相关函数为： RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E{[ X 0 cos(w0t )][X 0 cos(w0t w0 )]} E[ X 0 ] E{[ X 0 ][cos(w0t ) cos(w0t w0 )]}
2 T d (sin w ) w Tw 0 T 2sin wT 2 (sin wT sin w d ) T 0 w Tw
T 2 2 ( cos w ) (1 cos wT ) 2 0 Tw Tw2
2sin w
T 0
4.9设X(t)为平稳过程，求用X(t)的功率谱密度表 示下式Y(t)的功率谱密度。 Y(t)=A+B X(t)
则Y(t)功率谱密度为
GY (w) ( A2 2 ABmX )2 (w) B 2GX (w)
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2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……
（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？
（3）、求一、二维概率密度函数。
（1）
（2） 所以是确定的。
（3）
2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=C
C 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1
（1） 是确定性随机过程？
（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。
解：（1）是
（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩
2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求
X （t ）的一维概率密度。
解：
发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).
解： x1 x2
X ：（t=1/2） 0 1
Y (t=1) 1 2
2.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
解：
2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).
解：
()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k k
X1 x2 x3
T1=2 3 4 6
E[X(2)]=3
13)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (3
1)x,2(f -+-+-=δδδ
2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)
解：
2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函
数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
解：
2.9 随机过程X(t)为：)t (Acos )t (Acos )t (X 00ωω+= ，其中，0ω为常数，A,B 为两个相互独立的高斯变量，而且，E[A]=E[B]=0, 222]B [E ]A [E σ==, 试求X(t)的均值与自相关函数
解： 0)t (E[B]sin )t (E[A]cos )]t (Bcos )t (E[Acos )]t (E[X 0000=+=+=ωωωω
2.10 过程X(t)为：)t (acos )t (X 0Φ+=ω 式中a,0ω为常数，)2,0(~πΦ上均匀分布，
试求X(t)的均值、方差与自相关函数。
解：
2.11 随机过程X(t)为：)t (Acos )t (X 0Φ+=ω 式中0ω为常数，)2,0(~πΦ上均匀分布，
1a 0,
1)a (p <≤=，两个r.v.独立，试求X(t)的均值与自相关函数。
解：。