结构分析的有限元法-第七章
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
有限元-结构静力学分析
03
结果优化
如果结果不满足设计要求，需要对有 限元模型进行优化设计，如改变梁的 截面尺寸、增加支撑等。
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结构静力学的求解方法
解析法
解析法是通过数学方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法。它通常 适用于具有简单几何形状和载荷条件的结构，如梁、板、壳等。
数值法
数值法是一种通过数值计算方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法 。它通常适用于具有复杂几何形状和载荷条件的结构，如飞机、汽车等。
结构静力学的基本假设和简化
问题描述和基本方程
问题描述
弹性地基梁是支撑在弹性地基上的梁，受到垂直荷载的作用。该问题可描述为求 解地基反力和梁的挠度。
基本方程
该问题的基本方程包括梁的平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程描述了梁 在受力后的变形和应力分布情况。
利用有限元法进行每个单元之间通过节点相连。每个节点具有三个自由度：沿 x、y、z方向的移动。
系统方程的建 立
将所有单元的平衡方程 和变形协调方程组合起 来，得到整个结构的系 统方程。
求解系统方程
利用数值方法（如高斯 消元法）求解系统方程 ，得到每个节点的位移 和应力。
结果分析和讨论
01
结果输出
输出每个节点的位移、应力、应变和 弯矩等结果。
02
结果评估
根据输出结果，对框架结构的强度、 刚度和稳定性进行评估，判断是否满 足设计要求。
连续性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是连续的， 即结构的内部没有空隙和缺陷。
各向同性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是各向同性 的，即结构的各个方向具有相同的材料性质。
均匀性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是均匀的， 即结构的各个部分具有相同的材料性质。
《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
结构的工程计算有限元法
结构的工程计算有限元法一、什么是有限元法?有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解工程结构在外力作用下的应力、应变、位移等参数，为工程设计和优化提供重要的依据。
由于结构受外力作用而导致应力、应变分布的复杂性，因此直接采用理论方法求解通常比较困难，而有限元法则能够通过离散化方法将结构分割成若干个小单元进行分析，采用计算机模拟的方式对每个小单元进行求解，最终得到整个结构的应力、应变、位移等参数。
二、有限元法的基本原理是什么?有限元法的基本原理是将一个大型的复杂结构分割成许多个影响较小的单元，然后对每个单元进行分析，逐步求解整个结构的力学特性。
分割单元的数目和形状取决于待分析的结构类型及需要达到的精度要求。
一般来讲，分割的单元形状越小、数目越多，则计算结果越精确，但计算量也随之增加。
三、有限元法的步骤有哪些?有限元法采用以下步骤进行结构分析：1.建模：将工程结构通过计算机软件建立起几何模型，由不可数的结构体素转换为可数的三角化网格节点，建立起分析模型。
2.划分单元：将结构模型分割成若干个小单元，存储节点、单元信息以及单元间关系等数据，形成一个有限元模型。
3.建立节点位移方程：根据结构载荷和边界条件，建立节点位移方程组。
4.求解节点位移：根据位移方程组求解节点位移值。
5.求解应力应变：根据节点位移结果，采用应变位移关系计算节点应变，再结合材料本构关系计算节点应力。
6.检验结构：通过分析结果的误差检验分析结果的可靠性，调整模型参数以改善分析结果。
四、有限元法的优点是什么?1. 有限元法能够处理复杂三维结构，适用性强。
由于被分割成许多个小单元，因此可以处理各种复杂的几何形状和内部复杂性的结构。
2. 有限元法求解精度高，能够得出较准确的结果。
因为单元形状够细致，可以分析结构内孔洞或任意形态的轮廓。
3. 有限元法的结果能够反映结构应力、应变、变形变化的规律，并能够定量评估结构的承载能力、安全性、疲劳寿命以及预测结构大变形等情形的发生或变化。
第七章结构振动的有限元分析
第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。
它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。
传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。
近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。
第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。
有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。
在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。
第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。
有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。
第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。
在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。
第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。
与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。
在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。
第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。
首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。
其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。
此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。
第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。
在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。
复杂结构有限元分析
1.边界条件和载荷的正确施加是保证有限元分析结果可靠性的关键因素之一。这涉 及到对结构的约束条件和所受外力的准确模拟。 2.对于复杂结构，可能需要考虑多种边界条件和动态载荷，如接触力、温度场、流 固耦合等，这些都增加了分析的复杂性。 3.随着计算力学的发展，出现了一些高级的技术和方法，如子结构法、边界元法等 ，这些方法在处理复杂边界条件和载荷问题时表现出优越的性能。
复杂结构有限元分析
复杂结构建模技术
复杂结构建模技术
几何建模与简化
1.复杂结构的几何建模通常涉及CAD软件，这些软件能够精确 地捕捉和创建复杂的形状和细节。随着计算能力的提升，现在 可以处理更加精细和复杂的几何体。 2.为了减少计算量，提高分析效率，几何简化技术被广泛应用 。这包括使用诸如移除小特征、合并相邻面、平滑表面等方法 来降低模型的复杂性，同时保持其整体性能。 3.当前的趋势是开发更智能的几何简化算法，这些算法可以在 不损失太多设计意图的情况下，自动识别和优化模型中的冗余 或非关键部分。
▪ 有限元方法的基本原理
1.离散化：有限元方法的核心思想是将连续的求解区域离散化 为一系列互不重叠的小单元，这些小单元在数学上称为“有限 元”。通过这种离散化，可以将复杂的连续问题转化为简单的 离散问题。 2.变分原理：有限元方法通常基于变分原理，如最小势能原理 或最小余能原理，来建立问题的弱形式。这使得有限元方法能 够处理各种边界条件和初始条件，具有很高的灵活性。 3.加权残差法：加权残差法是另一种常用的有限元方法，它通 过在求解区域内引入一个权函数，使得残差（即实际值与理论 值之差）与该权函数的乘积在整个区域内积分等于零，从而得 到满足特定条件的近似解。
复杂结构有限元分析
材料属性与模型参数
有限元分析及应用第7、9讲
三、ANSYS有限元分析基础
建立实体模型
ANSYS中的坐标系
在ANSYS的前处理中（建模、加载），都将涉及到坐标系的问题。 ANSYS软件中系统预定了三个坐标系。它们位于模型的总体的坐标原 点。三种类型为: CS,0: 总体笛卡尔坐标系 CS,1: 总体柱坐标系 CS,2: 总体球坐标系 数据库中节点坐标总是以总体笛卡尔坐标系，无论节点是在什么坐 标系中创建的。
热分析 电磁场分析 流体动力学分析 声场分析 压电分析 各种场的耦合分析（如热结构、热电、流体结构等）
三、ANSYS有限元分析基础
4、ANSYS分析的一般流程
（1）建立有限元模型
建立和修改工作文件名或标题
（3）结果后处理
通用后处理 时间历程后处理
定义单元类型
定义材料属性数据 建立几何模型 划分网格
三、ANSYS有限元分析基础
5、示例分析——分析过程现场操作
（a）有限元模型
（b）应力云图
1、模型使用映射网格，在画网格之前需要将L2和L3合并（concatente）； 2、element type选择Quad 8node 82，即8节点等参单元； 2、圆弧等分为20份，其余边等分为10份；
三、ANSYS有限元分析基础
三、ANSYS有限元分析基础
1、ANSYS软件的安装
2、ANSYS工作界面
3、ANSYS的主要功能
4、ANSYS分析的一般流程
5、示例分析
三、ANSYS有限元分析基础
1、ANSYS软件的安装
（1）、ANSYS软件的硬件要求 操作系统：Windows XP 64； windows XP 32 ；
Windows 2000以上
图1-1 离散的铁路控制塔
第七讲有限元分析建模及若干问题
M
M
L
9-6 模型简化
2、力学问题的简化 、 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况， 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况，对其相应 的力学问题进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间 的力学问题进行简化， 的目的。 的目的。 1）对称结构受对称载荷作用 ）
p y
x 对称面
对称面上只有沿对称方向的位 移没有垂直对称面方向的位移
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 • c、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后，既 、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后， ）：其特点是结构与基础相连后 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。
9-4 有限元建模的基本内容
• 有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互 有限元建模在一定程度上是一种艺术， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是： 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性； 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 • 建模的基本内容： 建模的基本内容： • 1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线 、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、 流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。 取决于工程专业知识和力学素养。 性、流体、流固耦合 ） 取决于工程专业知识和力学素养 • 2、单元类型的选择（高阶元 低阶元？杆/梁元？平面 板壳？ ….. ） 低阶元？ 梁元 平面/板壳 梁元？ 板壳？ 、单元类型的选择（高阶元/低阶元 -----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 • 3、模型简化（对称性 反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支 反对称性简化、 、模型简化（对称性/反对称性简化 小特征简化、抽象提取、 坐等简化） 坐等简化） • 4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） 、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） • 5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） 、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） • 6、求解控制信息的引入 、
有限元分析基础
有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。
边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。
场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。
下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。
等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。
)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。
第7章 动态子结构方法
2
2
(1.8)
式中，[mα], [mβ], [kα], [k β]分别是与自由度{u α} 和{u β}
相对应的α与β子结构的质量阵和刚度阵。对各子结构做动力
特性分析，选出恰当的子结构的保留模态来构成α 和β子结构
13
的李兹基{Φ}α和 {Φ}β，并以此作为子结构模态坐标变换：
(1.9) {u} []{p};{u} []{ p}
,[K
]
[
K
]
0
0
[
K
]
[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每 个子结构的界面自由度 uI , uI 不是相互独立的，由界面 连续条件 uI uI 可得
16
[J ]{ p} [J ]{ p}
即 [C]{p} {0}
(1.12) (1.13)
式中
[C]=[J-J]
[C]=[J -J ]
R({X })
0
,利
({A})
({A})
用二次型对矢量求偏导的法则，得：
2({A}T [M ]*{A})[K ]*{A} 2({A}T [K ]*{A})[M ]*{A} 0
即：
[K
]*{A}
{A}T [K {A}T [M
]*{A} ]*{ A} [ M
]*{
A}
由（1.3）式，则上式变为：
[K ]*{A} [M ]*{A}
其中，{pα}和 {pβ}分别是两个子结构的模态坐标。通常 子结构保留模态个数少于它的自由度数，即{pα}的分量数小 于{uα}的分量数。式（1.9）常被称为第一次坐标变换。将 （1.9）式代入（1.7）式和（1.8）式，则：
14
T
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
《有限元法及其应用》课件
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
有限元-结构静力学分析
轧制磷青铜 轧制锰黄铜
铸铝青铜 硬铝合金 冷拔黄铜 轧制纯铜
轧制锌 轧制铝
铅 钢 铝 铸铁 不锈钢 镁 镍 玻璃 黄铜 铜 右墨 钛 钨 木材
弹性模量E GPa
115～160 151～160 200～220
210 175 115 110 105 71 91～99 110 84 69 17 207 71.7 100 190 44.8 207 46.2 106 119 36.5 102.04 344.7 11
现在有限元静定、超静定全部都可以方便计算了。
杆件的结构静力分析分类
杆系结构还可分为平面结构和空间结构。当结构的全部杆 件、支座及作用力均位于同一平面时，称结构为平面结构； 否则即为空间结构。工程中的绝大多数结构都是空间结构。 但在许多情况下往往可以引入一些适当的假定，把它们简化 为平面结构，从而避免复杂的计算并取得精度符合工程要求 的结果。在计算机发展后，习惯上常简化为平面结构的桁架 和刚架（见框架）等，已逐步转向按空间结构计算。
0.42 0.29 0.33 0.211 0.305 0.35 0.291 0.245 0.324 0.326 0.425 0.3 0.28 0.33
第二部分 杆件的结构分析
杆件的结构静力分析分类
杆件分析主要见于大型钢结构中的分析，如果都使用 实体模型的话，模型将非常大。
杆系结构分为静定结构和超静定结构。凡是仅用静力平衡原理即可 求出结构的全部内力和反力时，称结构为静定结构；否则为超静定结构。 超静定结构可用力法、位移法或混合法等求解。在求得内力后，静定结 构和超静定结构均可用位移计算公式或其他方法求得结构中任意指定点 的位移。较复杂的超静定结构，由于其计算工作量很大,在20世纪30～ 50年代期间,曾发展了许多近似法、渐近法及实用的简化方法。这些方 法在当时曾解决过许多工程结构的计算问题，也推动了结构力学的发展。 但随着电子计算机的发展和普及，适合于计算机的矩阵力法、矩阵位移 法及有限元法等已成为分析复杂问题的主要方法。
有限元分析课件
物理模拟方法简介
（1）缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布，可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔，根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度，定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
（2）硬度法 冷变形时，变形程度越大硬化越强，硬度越高，因此可根据硬度
的分布，判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出，圆柱体镦粗时变 形可分为三个区，中心区是大变形区，侧面鼓形是中等变形区，上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
（4）叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片，然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况，可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压，然后沿子午面切 开，由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况， 此外，用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗，不仅可 观察变形流动，还可以把变形后的铅层分开，通过测 量各层不同部位的尺寸变化，计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法，称为金属塑性成形，也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失，那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化，因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同，金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同，又可将金属塑性成形 分为：体积成形（或称块料成形）和板料成形（冲 压）两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
（5）坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法，
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。
它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。
有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。
模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。
2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。
有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。
整个问题区域被划分为许多单元。
3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。
有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。
4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。
常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。
5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。
这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。
6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。
常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。
这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。
有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。
它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。
在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。
有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。
它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。
同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。
有限元思考题答案
红字为答疑时老师给的解答第一章思考题1-1“用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制”，这种说法对吗？答：不对，有连续性要求。
1-2“加权余量法仅适用为传热学问题建立基本的有限元方程，而基于最小势能原理的虚功原理仅适合为弹性力学问题建立基本的有限元方程”，这种说法对吗？答：不对。
虚位移原理不仅可以应用于弹性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题，虚功原理可以用来推导各种力学问题的有限元基本方法中的基本方程。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
加权残值法尤其适用于具有连续场的非力学问题，如声、电、磁学的有限元方程的建立。
1-3现代工程分析中的数值分析方法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。
这些方法本质上是将求解区域进行网格离散化，然后求解方程获得数值结果。
是否可以将求解区域离散成结点群，但是没有网格进行求解？答：可以，无网格方法是近年发展起来的一种新的数值计算方法。
与基于网格的方法不同，无网格方法只需要节点的信息，不需要节点的信息而不需要节点之间相互联系的信息。
典型无网格方法有配点法、Galerkin方法、Petrov-Galerkin方法等。
（无网格方法数值求解的基本思想：在每个节点上构建待求物理量近似值的插值函数，并用加权残量法和该近似函数对微分方程进行离散，形成与待求物理量相关的各节点近似值的离散方程，并求解之。
）第二章思考题2-1ANSYS软件有哪些模块？在GUI方式下的六个窗口有何功能特点？主要包括前处理模块，分析计算模块和后处理模块①前处理模块提供了一个强大的试题建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元②分析计算模块包括结构分析、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力③后处理可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算记过以图表、曲线形式显示或输出。
振动问题的有限元分析法
u(x, t) = N1 (x)u1(t) + N 2 (x)u2 (t)
式中 N1 (x), N 2 (x) 为形函数也称为插值函数，它们应使点的位移满足单元的边界条件，即
u(0,t) = u1(t) ， u(l,t) = u2 (t)
177
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可得到
∂u
εx
ε
y
∂x ∂v
∂y ∂w
ε
=
εγ
z x
=
∂u
∂z +
∂v
γ γ
y z
∂y ∂x
∂v ∂∂wz ∂x
+ +
∂w
∂y ∂u
∂z
ε = Bq e = [B1 B2 B3 L]qe
D 为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所以单元体的应变能为
（7-5） （7-6）
(7-7)
U
=
∫∫∫ V
1 2
ε
Tσ
dV
=
∫∫∫ 1 (q e )T BT DBq e
V2
dV
（7-8）
设单元体振动时，受有正比于速度的阻尼力，阻尼系数为 c，则单元体积上所受的阻尼力为
− cq 。单元体上阻尼力所消耗的能量为
常应变状态和刚体位移。单元的形状越复杂，形函数的阶次就越高，单元适应能力就越强。 将式（7-23）写成矩阵形式，有
所以形函数矩阵为
u1
v1
q
有限元分析方法
第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来1.1有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。
数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。
1.1.1有限单元法的形成近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科一一计算机辅助工程CAE (Computer Aided Engineering)0这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE X程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。
许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。
CAE 仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：□CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。
□虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。
□大幅度地降低产品研发成本。
□在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。
□能够快速对设计变更作出反应。
□能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。
□能够精确预测出产品的性能。
□增加产品和工程的可靠性。
□采用优化设计，降低材料的消耗或成本。
□在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。
□模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。
□进行机械事故分析，查找事故原因。
当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。
其中最为著名的是由美国国家宇航局(NASA)在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran有限28 NX Nastran基础分析抬南页脚. 元分析系统。
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6
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4
矩形单元的形函数
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
第七章 板壳单元
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构 件，在工程中应用广泛。由于它的这种几何特点，前面所 述的三维单元并不十分适合用来分析它们的力学特性。因 为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于系统矩阵病态而大大降低。所以必须采用很细密的网 格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的 自由度疯狂地增长，花费大量的计算和前后处理时间。因 此开发适合于板壳结构的专用单元是十分必要的。事实上， 60~70年代大量的关于有限元的研究其中很大一部分是在 板壳方面的工作。
ii (3
2
3 2
4)
bi (3 2 2i 1)
ai (3 2 2i 1)
(7.26)
单元刚度矩阵K
单元刚度矩阵可以写成分块形式，其子矩阵的公式是
Kij z2BTi DB jdxdydz
h3 12
1 1
1 1
BTi
DB
j
abd
x w y b w b 1 (3 5 2 6 8 2 2 9 3 1 0 2 1 1 3 3 1 22 )
y w x a w a 1 ( 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 2 1 1 2 1 2 3 )
薄板理论(Kirchhoff板理论)
y
z
中面
x
基本假设
（1）原先垂直于中面的直线，变形后仍然垂直于弯曲 的中面（直法线假设） （2）在横向荷载的作用下，中面既不伸长也不缩短
薄板理论的位移假设
ww(x, y)
u z w x
v z w y
z, w u
w,x
z
w
x, u
(b)
薄板理论的应变分量
13. Bj=-1/a/b*[diff(N2,x,2)*b/a; diff(N2,e,2)*a/b; diff(diff(N2,x,1),e,1)*2];
14. D=E/(1-mu^2)*[1 mu 0
15.
mu 1 0
16.
0 0 (1-mu)/2] ;
17. f=transpose(Bi)*D*Bj ;
9. Nyi=a*xi*(1+x0)*(1+e0)*(1-x^2)/8;
10. N1=[Ni Nxi Nyi];
11. N2=subs(subs(N1,xi,xj),ei,ej);
12. Bi=-1/a/b*[diff(N1,x,2)*b/a; diff(N1,e,2)*a/b; diff(diff(N1,x,1),e,1)*2];
1
2
w (Niwi Nyiyi) i1
y1 ai 21(Ni,wi Nyi,yi)
单元应变矩阵B
将式(7.17)代入几何方程(7.4)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为
ε Bδe zB1 B2 B3 B4 δe
(7.22)
式中
Bi
1. syms x e xi ei
2. syms xj ej
3. syms b a
4. syms E mu h
5. x0=xi*x;
6. e0=ei*e;
7. Ni=(1+x0)*(1+e0)*(2+x0+e0-x^2-e^2)/8;
8. Nxi=-b*ei*(1+x0)*(1+e0)*(1-e^2)/8;
ww(x, y) u zw,x v zw,y
z
w z
0
x z u ,z w ,x w ,x w ,x 0
y z v ,z w ,y w ,y w ,y 0
x
u x
zw,xx
y
v y
zw,yy
xyv,xu,y2zw ,xy
Ni (1i)1(i)2 (ii22)8 Nxibi (1i)1(i)1(2)8 Nyiai (1i)1(i)1(2)8
矩形单元的完备性
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
刚体位移
常应变
矩形的板单元是完备的
矩形单元的协调性 Ni, i(1i)(2ii2 2) 8(1i)(1i)(i 2) 8 Ni, i (1i)(2ii2 2) 8(1i)(1i)(i 2) 8
Nxi, bii(1i)(12) 8
薄板理论的应力分量
xxyy 1E21 0
1 0
0 0
xy D xy
(1)2 xy xy
x y
zD
w,xx w, yy
将矩形单元的 4 个结点坐标 (i ,i ) 和结点位移 (wi ,xi ,yi ) 分别代入上式，就可以得到 关于这 12 个参数的联立方程组。从中解出1 至12 ，经整理后，我们得到
4
4
w (N iw iN xi xiN yi yi) N iδi
i 1
i 1
如果平板单元受分布横向面载荷 p 的作用，那么等效结点力是
f
e pi
f zi M xi
M
yi
1 1
1 1
pN Ti
abd
d
如果 p 在单元表面上线性分布，则可以表示成
(i 1,2,3,4)
4
p Ni pi i 1
式中 pi (i 1, 2,3, 4) 是四个结点上的载荷值， Ni 是四结点矩形平面单元的形函数，即
x w y b w b 1 (3 5 2 6 8 2 2 9 3 1 0 2 1 1 3 3 1 22 )
y w x a w a 1 ( 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 2 1 1 2 1 2 3 )
位移插值
Nxi, bi2 (1i)(12) 8bi(1i)(1i) 4
Nyi, ai2(1i)(12) 8ai(1i)(1i) 4
4
w (Niwi Nxixi Nyiyi)
Nyi, aii (1i)(12) 8
y
x
x
δi
wxii
wi w , yi
y
i
w , xi
fi
M
f
zi xi
M
yi
矩形单元的位移模式
w 1 2 3 4 2 5 6 2 7 3 8 2 9 2 1 0 3 1 1 3 1 2 3
18. kij=int(int(f,x,-1,1),e,-1,1)*a*b*h^3/12;
19. kij=subs(kij,xi^2,1);
20. kij=subs(kij,xj^2,1);
21. kij=subs(kij,ei^2,1);
22. kij=subs(kij,ej^2,1);
等效结点力
xy
2
w
,
xy
薄板理论的内力矩分量
h2
h2
h2
M x x zdz ， M y y zdz ， M xy xy zdz
h 2
h 2
h 2
M M MxxyyD10
1 0
0 0
(1)
22w ww,,,xyxxyy
d
(i, j 1,2,3,4)
(7.27)
把应变矩阵式(7.23)和式(7.3)中的弹性矩阵 D 代入上式，并完成积分运算得到矩
形薄板单元显式的单元刚度子矩阵
a11 a12 a13
K ij
a21
a22
a23
a31 a32 a33
(7.28)
单元刚度矩阵K的推导程序
D
Eh3
12(1
2)
薄板理论的控制方程 4xw 4 2x24wy2 4yw 4 D q
D Eh3
12(1 2 )
矩形单元
y
xi (Mxi)
z
ij
yi (Myi)
w (fzi)
o
x
图 7-4 平板划分成矩形单元
w,x ( x ) y
z
w, y ( y )
i1
xw ,yb 1i 4 1(N i,w iN xi,xiN yi,yi)
4
3
y w ,x 1 ai 4 1(N i,w i N x i, x i N y i, y i)
形函数
1
2
Ni (1i)1(i)2 (ii22)8 Nxibi (1i)1(i)1(2)8 Nyiai (1i)1(i)1(2)8