4)机器人静力学和雅克比实验
机器人静力学和雅克比实验
实验（4）机器人机器人静力学和雅克比实验一、实验目的：1）理解机器人角速度的相关概念；2）对构建的机器人进行速度分析；3）了解和熟悉机器人雅克比矩阵的含义，4）能够使用simulink构建机器人仿真模型。
二、雅克比矩阵图1 机器人雅克比矩阵在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来：在matlab工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为，J = (qr) ，其中p560为机器人名。
逆雅克比矩阵：分析雅克比矩阵：其中，在matlab工具相中对应函数为，推导可得，变换为，简化模型化为，在matlab工具箱中，对应的RPY的雅克比速度映射函数，该函数为从 RPY角速度到角速度的雅克比变换函数。
即上式中的。
在matlab工具箱中，对应的ZYZ欧拉角的雅克比速度映射函数，>> eul2jac,,ans =对应书中p113页中公式（5-41和5-42）。
综上可得到解析型雅克比，三、基于simulink的机器人仿真模型建立，要求机器人末端以一定1）新建simulink 模型文件，保存为testrobotJ ； 2）在命令窗口中键入roblocks ，调出机器人library 库； 3）打开simulink 库；4）在新建的simulink 模型文件中，从机器人库和simulink 库中查找相应的函数模型按给定例子搭建；simulink/Discrete roblocks/Kinematicssimulink/User-Defined Functions matlab functionsimulink/Math OperationsReshapesimulink/Sourcesroblocks/Robot GraphicsDSP System Toolbox/Math functions/ matrices and Linear Algebra/matrix Operationssimulink/Discrete Discrete Time Integrator图机器人库图关节伺服单元（joint servo）和常量所在库图输出（out）和matlab自定义函数库（matlab function）图矩阵多通道库各模块的参数设置如下图：5）命令窗口中运行mdl_puma560；6）运行建立的模型testrobotJ；7）查看仿真结果。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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感谢您的观看
雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
2.1机器人的雅可比与静力分析
• 反之，假如给定机器人手部速度，可由逆 雅可比解出相应的关节速度。
（一）雅可比矩阵的定义
• 在数学上，机器人终 端手爪的广义位姿向
量 V 可写成：
x(q1, q2 , , qn )
y(q1, q2 ,
机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运 动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运 动相互抵消，不产生操作运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异 形位。
• 当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。 这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度， 手部也不可能实现移动。
• (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F， (即手部端点力F-F′)，利用力雅可比可求得 相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
• (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部 对外界环境的作用力或负载的质量。
• 第二类问题是第一类问题的逆解。
力雅可比
例：2自由度机械手如图所示。取θ1＝0（rad）， θ2＝π/2（rad）的姿态时，分别求解生成手爪
V Jq• q J q• q
q J 1 V J• q
选择=结果
汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
结论
• 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系；
• 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（Jacobian）矩 阵也是变矩阵；
机器人技术基础实验报告
实验一、Matlab 验证斯坦福机械手雅可比矩阵 一、实验目的1.加深对雅可比矩阵的认识，熟练其计算原理；2.熟练掌握D-H 连杆坐标系的确定方法和过程及各种变换矩阵；3.熟悉Matlab 的操作与运用。
二、实验原理对机械手的操作和控制，除了需要确定机械手操作空间与关节空间之间静态位资的映射转换关系以外，还需要对某一时刻机械手运动速度和关节速度之间的关系进行转换和分析，也就是机械手瞬时速度分析。
而我们利用雅可比矩阵来对机械手的速度进行了分析。
其中雅可比矩阵包括了两个方面：1.雅可比矩阵平移速度部分的分析；2.雅可比矩阵旋转速度部分的分析。
T 矩阵由以下公式计算可得：1111111111s 0001iii i i i i i i i i ii i i i i i c a s c c c s s d T s s c s c c d θθθαθαααθαθααα-----------⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、实验步骤1、已知计算各级T 矩阵665544445436546655221132210321220000000010001000000000100001000100011000000000100101000001001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-c s c s c s s c T T T s c s c c s c s d d T T T s c 1100001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦s c 2、计算出各连杆坐标系到基坐标系0的变换矩阵：11110111212112112121121022221211213212121121321203222000000001010010000000100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---+++=-可知可知c s s c T z c c c s s s d s s c s s c c d c T z s c c c s c s c d s s d s c c s s s d s c d T s c c d 12123320010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦可知c s s s z c 1241412414121231212414124141212312042424223124141251241451251241412312124145050001()()()----⎡⎤⎢⎥+-++⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--------+-=++c c c s s c c s s c c s c s d s d s c c c s s c s c c s s s s d c d T s c s s c c d c c c s s c s s c c c s s s c s c c c s s c c s d s d s c c c s c s T 12512414512512414123122423124514512512312124514512512312062455223()2452524525000112345600⎡⎤⎢⎥-+--+--+++⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-+-++++=-s s s c c c s s s s c s c s c c s s d c d s c c c s s c s c c s s c d X X c c c s s s s c s c c s d s d X X s c c s c s s s s c s s d c d T X X s c s c c c d 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Matlab 计算过程如下：>> clear>> syms c1 s1 c2 s2 c3 s3 c4 s4 c5 s5 c6 s6 d1 d2 d3 d4 d5 d6 a1 a2 a3 a4 a5 a6>> T10=[c1 -s1 0 0;s1 c1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]>> T21=[c2 -s2 0 0;0 0 1 d2;-s2 -c2 0 0;0 0 0 1] >> T32=[1 0 0 0;0 0 -1 -d3;0 1 0 0;0 0 0 1] >> T43=[c4 -s4 0 0;s4 c4 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] >> T54=[c5 -s5 0 0;0 0 1 0; -s5 -c5 0 0;0 0 0 1] >> T65=[c6 -s6 0 0;0 0 -1 0;s6 c6 0 0;0 0 0 1]>> T20=T10*T21； >> T30=T20*T32； >> T40=T30*T43； >> T50=T40*T54； >> T60=T50*T65；>> T60=simplify(T60)3、用速度矢量合成的方法计算雅可比矩阵Jv 部分：356124123456102040506016263465666124561020162631245600000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯⨯=⎢⎥⎣⎦v v v v v v J J J J J J J J J J J J J z p z p z z p z p z p z z z z z z p z p z z z z z z ωωωωωω 1） 计算1016⨯z p1z 为连杆1坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；16p 为连杆1坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量16O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵T61，T61的第四列即为16O O，由于坐标系1相对于坐标系0有绕Z 轴的转动，故需要对其进行转换，转换方法为；0116O O ⋅ R ，01R为T10中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T61=T21*T32*T43*T54*T65 %计算出16O O在坐标系1中的描述>> P161=[s2*d3;d2;c2*d3]>> Rot10=[c1 -s1 0;s1 c1 0;0 0 1] %由T10知道旋转部分变换3*3矩阵 >> P160= Rot10* P161 % 与P60最后一列比较 >> z1=[0;0;1]>> e=cross(z1,P160) %可得到Jv 第一列： e =[ -s1*s2*d3-c1*d2; c1*s2*d3-s1*d2;0]2） 计算2026⨯z p2z 为连杆2坐标系的z 轴单位向量在基坐标系0中的描述；206p 为连杆2坐标系原点到连杆6坐标系原点连线矢量26O O，在基坐标系0中的描述，计算过程为：计算矩阵P62，P62的第四列即为26O O，由于坐标系2相对于坐标系0有姿态变化，故需要对其进行转换，转换方法为；0226O O ⋅ R ，02R为T20中旋转部分注：Matlab 中向量叉积方法：e=cross (a,b)>> T62= T32*T43*T54*T65 %计算出26O O在坐标系2中的描述>> P262=[0;-d3;0]>> Rot20=[c1*c2 -c1*s2 -s1;s1*c2 -s1*s2 c1;-s2 -c2 0] %由T20知旋转部分变换3*3矩阵>> P260= Rot20* P262 >> z2=[-s1;c1;0]>> e=cross(z2, P260) %可得到Jv 第一列：e =[c1*c2*d3; s1*c2*d3; -s1^2*s2*d3-c1^2*s2*d3]3） 由于连杆3坐标系为移动坐标系，故起对连杆6的速度贡献不能计算为3036⨯z p ，而应该为Z3的单位向量在基坐标系0中的表示；故由T30直接可得Jv 第三列为：1212320⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s s z c4)由于坐标系4、5、6和坐标系6的坐标原点重合故对应6066)=⨯=⨯ i i ()q(q i i O i i i v z O O z p 的计算结果均为0 ，于是可得 35612412345612123123121212312312232112414124141245145125112414124141245000000000000⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦---+-=------+-+-++v v v v v v J J J J J J J J J J J J J c d s s d c c d c s s d c s d s c d s s s d c s c c s s c c c s s c c c c s s s s c s c c s c s c c s c s c c s c c s c ωωωωωω14512524242455210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦s s s s c s s s s s c s c c 5) 用直接求导的方法验证上面Jv 的计算的正确性：在matlab 中用B=jacobian(f,v)方法直接求导可以获取雅可比矩阵四、实验总结机器人雅可比矩阵能够很好地反映出操作空间与关节空间的速度映射关系，而Matlab 则很好的简化了这种关系求导手段。
四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
第 6期
吴
磊等 : 四自 由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解
765
设计提供理论依据。 1 机械手臂运动学分析 1 1 正向运动学分析 该机械手臂由 4 个转动关节和 3 个连杆组成 , 终端有一个夹持器。用 D-H 方法建立杆件坐标系。 因为无论转动关节 0 如何旋转, 关节 0 的长度对机 械手臂的运动均无影响 , 所以令基准坐标系 0 与坐 标系 1 原点重 合, 取在关 节 0 与关节 1 的交点处。 原点 O 2 位于关节 2的中心位置 , Z 2 轴沿着关节 2的 方向向右, X 2 轴垂直于关节 1 和关节 2 构成的平面 指向上方。 坐标系 3 与坐标系 4原点重合。 X 3 轴垂直 于关节 2 和关节 3 构成的平面指向上方, X 4 轴垂直 于夹持器所在平面, 如图 1 所示。
[ 2, 3] [ 1]
中, 因为引入了多余的参数 , 使方程复杂度增加, 甚 至会引起无解或者无穷多解的情况 , 需要通过 观察和经验判断才能得出正确的解 , 既给运动学分 析带来了不 便, 又 增加了 机器 人控 制程 序编写 难 度
[ 8~ 11] [ 4~ 7]
。传统建立机械
手臂坐标系的方法是将固定在大地上的笛卡尔坐标 系作为参考坐标系 。这种方法容易引入不必要 的参数 , 增加计算量 , 引起计算误差增大, 使机器人 不能够精确控制。特别是在解机器人逆运动学方程
Abstract : In order to reduce the com p le x ity of k in e m atics and inverse k in e m atics equat io n so lv ing process, i m prove th e accuracy of contro , l and ca lculate the in verse kinem at ic s equation s analyt ica l so lutio n fast and prec isely , an opt i m al m ethod o f setting th e coord in ate system has been put for w ard according to the theo ry o f a robot s 4-DOF m e chanical ar m. The k in e m atics and in verse k in em atics equat io ns of the 4 -DOF m echanical ar m w ere established based on this coord in ate system. The positions of itsm ov ing elem ents and end -effectors w ith the ir re latio nship w ere presented ; th ese m ade the robo t m ove in accordance w ith a scheduled program. F in a lly , the Jacob ia n m atrix w as solved, prov idin g theoret ical basis for realizin g the m echan ica l ar m s program desig n o f velocity control in the C arte sian space . K ey w ord s : m echanical ar m; D-H param eters ; kinem at ics; in verse k in em atics ; Jacob ian m atr ix 机器人运动学着重研究了机器人各个坐标系之 间的运动关系。为了控制机器人的运动, 首先需要 在机器人中建立相应 的坐标系
第4章 机器人雅可比矩阵2
4.1 微分变换与雅可比矩阵
4.1.1 4.1.1 雅可比矩阵
(θ 1 , θ 2 )
• •
vy v
•
存在 怎样 的关 系
• •
θ2
θ1
•
x
( x, y )
两空间之间速度的线性映射关系 雅可比矩阵 简称雅可 两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可 线性映射关系 雅可比矩阵（ 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， ）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， 它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 力的传递关系
v T + dT = Trans (d x , d y , d z ) Rot (k , dθ )T
所以得
v dT = Trans(d x , d y , d z ) Rot(k , dθ ) − I 4×4 T
[
]
根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系） 根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系 （动系） 相对某个杆件坐标系 进行的(右乘 ， 进行的 右乘)，则T+dT可以表示为 右乘 可以表示为
0 0 0 0 1 0 0 1
略去高 阶无穷 小量
0 δy 1 δxδy 1 − δx ∴ Rot ( x, δx) Rot ( y, δy ) = − δy δx 1 0 0 0 1 δxδy δy 0 1 − δx Rot ( y, δy ) Rot ( x, δx) = − δy δx 1 0 0 0
上例平面2R机械手的逆雅可比 上例平面 机械手的逆雅可比
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
第2章 机器人静力分析与动力学-雅可比
dx − l1 s1 − l 2 s12 dy = l c + l c 1 1 2 12
− l 2 s12 dθ 1 l 2 c12 dθ 2
15:03:57
13
当机器人的两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动 相互抵消，不产生操作运动；此时处于内部奇异状态。
15:03:56
10
θɺ 假如已知的 θɺ1、 θɺ2是时间的函数，即 θɺ1 =f1(t )，2 = f 2(t ) ，则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度 v = f (t ) ，即手部瞬 时速度。
dX dθ = J (q) dt dt
广泛意义
dX dq = J (q ) dt dt
广义关节变量
每一列则代表相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比。 每一列则代表相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比。
15:03:56
手部与关节的速度关系
两边同除以dt， 对dx=Jdθ两边同除以 ，得 两边同除以 假设关节速度为
dX dθ = J (q) dt dt
，手爪速度为
。
∂x1 x1 = ∂θ1 • x ∂x 2 2 ∂θ 1
q
：
q 关节为转动关节时， → θ
q 关节为移动关节时， → d
因此
ɺ v = Jθ
ɺ v = Jq
反之，当给定机器人手 部速度时，若机械手的雅 可比J是满秩的矩阵，可解 出相应的关节速度为 ：
15:03:57
ɺ = J −1v ɺ θ
ɺ q = J v
−1
小结
介绍了动力学 动力学的研究内容和目的 动力学 学习了机器人的速度雅可比矩阵 速度雅可比矩阵的求解方法 速度雅可比矩阵 分析了手部（操作空间）与关节（关节空间） 手部（操作空间）与关节（关节空间） 手部 的速度关系 速度关系
2.1机器人的雅可比与静力分析
l sin 1 l2 sin( 2 1 ) l2 sin( 2 1 ) J 1 l cos l cos( ) l cos( ) 1 2 2 1 2 2 1 1
J l1 sin 1 l 2 sin( 2 1 ) l 2 sin( 2 1 ) l1 cos1 l 2 cos( 2 1 ) l 2 cos( 2 1 )
• 对左式求导，有：
（一）雅可比矩阵的定义
• 在机器人学中，雅可比矩阵是一个把关节 速度向量变换为手爪相对于基座标的广义 速度向量的变换矩阵。
• 在三维空间运行的机器人，J的行数恒为6； 在二维平面运行的机器人， J的行数恒为3； 列数则为机械手含有的关节数目。
（一）雅可比矩阵的定义
• 对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量
（二）雅可比矩阵的构造法
• 矢量积法和微分构造法： D J q dq V J q q • 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其 前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 V 的传递 i 对手爪 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q 角速度 的传递比，因此将 J 分块为：
o o zi i pn v zi i pn i , J i q w zi zi
i
p R pn
o n o i i
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
逆雅可比矩阵
• 若给定机器人手爪的广义速度向量 V ，由式V J q q J 1 q V 可解出相应的关节速度： q
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系X正向 以1.0m/s的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ1＝ 30°，θ2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程分析
定义：根据目标位置和姿态，求解关节角度的过程 计算方法：利用几何学和逆运动学方程求解 意义：在机器人轨迹规划和运动控制中具有重要应用 适用范围：适用于具有完整运动学模型的机器人系统
定义：描述机器人末端执行器相对于机座标系的位置和姿态
建立坐标系：建立机器人末端执行器相对于机座标系的坐标系，以便进行运动学分析
编程语言选择：根据需求选择合适 的编程语言，如Python、C++等。
控制系统算法设计：设计控制算法， 如PID控制、模糊控制等。
添加标题
ห้องสมุดไป่ตู้添加标题
添加标题
添加标题
控制系统建模：建立平面二连杆机 器人的数学模型，包括运动学、动 力学等。
控制系统仿真与调试：通过仿真软 件对控制系统进行仿真和调试，确 保控制效果达到预期目标。
组成：控制系统由传感器、控制器和执行器 三部分组成。
分类：根据控制方式的不同，控制系统可以 分为开环控制系统和闭环控制系统。
线性二次型调节器 （LQR）：通过优化二 次代价函数来设计控制 器，实现最优控制。
比例积分微分（PID）控 制器：通过比例、积分 和微分环节来减小误差， 实现系统的稳态和动态 性能。
度之间的关系，即 d/dt(末端执行器的位 置和姿态)=J(关节变
量)d/dt(关节变量)
添加标题
计算方法：通过微分 几何和线性代数的知 识，将关节变量和末 端执行器的位置和姿 态之间的关系进行计 算，得到雅可比矩阵
添加标题
作用：雅可比矩阵是 机器人运动学和动力 学分析中的重要工具， 通过它可以推导机器 人的运动方程，实现 机器人的轨迹规划和
运动学方程：建立机器人末端执行器的位置和姿态与关节角度之间的关系，得到运动学方程 运动学分析方法：采用解析法或数值法对运动学方程进行分析，得到机器人末端执行器的位 置和姿态随时间的变化规律
工业机器人静力学及动力学分析
4.2 工业机器人速度雅克比与速度分析
如图4-2所示二自由度平面关节型机械手。手部某瞬沿固定坐标系X0轴正向以
1.0m/s速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。假设该瞬时1＝30，1＝-60。求相
f2 x2
dx2
L
f2 x6
dx6
M
dy6
f6 x1
dx1
f6 x2
dx2
L
f6 x6
dx6
简写后，既得：
dY F dX X
在工业机器人速度分析 和以后的静力学分析中 都将遇到类似的矩阵， 我们称之为工业机器人 雅可比矩阵，或简称雅 可比。一般用符号 J表 示。
4.3 工业机器人速度雅克比与静力学分析
1.操作臂中的静力学
图中： fi-1,i及ni-1,i—i-1杆通过关节i作用在i杆上 的力和力矩； fi,i+1及ni,i+1—i杆通过关节i+1作用在i+1 杆上的力和力矩； -fi,i+1及-ni,i+1—i+1杆通过关节i+1作用在 i杆上的反作用力和反作用力矩； fn,n+1及nn,n+1—工业机器人手部端点对 外界环境的作用力和力矩； -fn,n+1及-nn,n+1—外界环境对工业机器人 手部端点的作用力和力矩； F0,1及n1,0—工业机器人底座对杆1的作 用力和力矩； mig—连杆i的重量，作用在质心Ci上。
2 3
2
2 (rad/s)
第三章 工业机器人静力计算及动力学
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器 人动力学问题有两类。
，即机器人关节位 (1)给出已知的轨迹点上的 , , 置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量T。这对实 现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的 运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产 生的运动 , , 。这对模拟机器人的运动是非常有 用的。
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第 三 章 工 二自由度机械手速度雅可比为： 业 机 器 人 l1s1 l2 s12 l2 s12 静 J 力 l1c1 l2 c12 l2 c12 学 计 算 及 动 力 学 分 析 机电工程学院—工业机器人及应用
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
机电工程学院—工业机器人及应用
l2 s12 l2 c12
对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变 量q表示，q=[q1 q2 „ qn]T。
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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2、拉格朗日方程
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
系统的拉格朗日方程为
式中：Fi称为关节广义驱动力。如果是移动关节， 则Fi为驱动力；如果是转动关节，则Fi为驱动力矩。
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3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
3.2 工业机器人速度雅可比与 静力计算
机器人雅可比矩阵分析
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2
解：由 可以看出，只要 机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵, 相应的关节速度即可解出
J 1 (q) x q
对于平面2R机械手，运动学方程为
平面2R机械手的速 度反解
O
x
optical center
摄像机成像模型
0 f 0
Xw
Yw
x f 0 Zc y 1 0
[1,0] 相应的关节速度 于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手 在水平位置， c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
=0 合法加速度 C
图5.9 粒子运动满足约束函数C， 并 绕圆周运动。
图 5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示， 记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
WQ q
求微分，
C C q q
4、机器人静力学
B B ⎡d A ⎤ ⎡ A R − S ( BO P ) A R ⎤ ⎡d B ⎤ A =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢δ ⎥ B ⎣ A⎦ ⎣ 0 AR ⎦ ⎣δ B ⎦
反 对 称 矩 阵
⎡ 0 ⎢ S ( P) = ⎢ p z ⎢− p y ⎣
− pz 0 px
py ⎤ ⎡ px ⎤ ⎥ − px ⎥ , P = ⎢ p y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ pz ⎥ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦
w = τ T ⋅ δq = τ 1δq1 + L + τ nδqn 各关节所做的虚功之和为
末端操作器所做的虚功为 ？
w = F T ⋅ D = f x dx + f y dy + f z dz + mxδ x + m yδ y + mzδ z
根据虚功原理，操作臂平衡情况下，由任意虚位移产 生的虚功和为零。即关节空间虚位移产生的虚功等于 操作空间虚位移产生的虚功
4.1 连杆的受力和平衡方程
机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这里将机器人的 连杆当成刚体，以其中一个连杆为对象对其进行静力分析， 连杆i及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系如下图。
{i}
ci i
•
{i＋1}
Mi+1
r
i +1 i
•
-fi+1
•
Mi fi
P
fi+1
Hale Waihona Puke -Mi+1 mig
fi
：连杆i-1作用在连杆i上的力； ：连杆i-1作用在连杆i上的力矩；
关节空间 操作空间
q∈R
•
n
J映射
p ∈ Rm p=0
•
•
零空间N(J)
机器人速度分析和雅可比矩阵
[]
x6 z2 x3 z0 z1 ③ o2 o0 o1 x0 x1 x2 ② o3 Ⅳ ④ Ⅱ Ⅲ Ⅰ ① z3 x5 z5 ⑤ x4 z4 ⑥ 6 Ⅵ
6
υz
z6
o4 Ⅴ o5 o6 2、末杆速度的定义： 、末杆速度的定义：
ωz
沿末杆坐标轴的速度矢量
绕末杆坐标轴的角速度矢量
6 υx 6 υ y υ 6 υz6 6 = 6 ω ωx ω6 y 6 ωz
0 0 0 0 0 1
全转动关节机器人计算公式
1 1 v 6 ( p6 × n6 ) z x 6 1 1 v y ( p6 × o6 ) z 1 1 v z6 ( p6 × a6 ) z 6 = 1 ω x ( n6 ) z ω 6 (o1 ) 6 z y 1 6 ω z (a6 ) z 2 2 ( p6 × n6 ) z 2 2 ( p6 × o6 ) z 2 2 ( p6 × a6 ) z 2 ( n6 ) z 2 (o6 ) z 2 (a6 ) z 3 3 ( p6 × n6 ) z 3 3 ( p6 × o6 ) z 3 3 ( p6 × a6 ) z 3 ( n6 ) z 3 (o6 ) z 3 (a6 ) z 4 4 ( p6 × n6 ) z 4 4 ( p6 × o6 ) z 4 4 ( p6 × a6 ) z 4 ( n6 ) z 4 (o6 ) z 4 (a6 ) z 5 5 ( p6 × n6 ) z 5 5 ( p6 × o6 ) z 5 5 ( p6 × a6 ) z 5 ( n6 ) z 5 (o6 ) z 5 (a6 ) z
6 υ x nx υ 6 o y 6 x υz ax 6 = ω x 0 ω 6 0 y ω 6 0 z
第6章 机器人静力计算及动力学分析
15
16
17
. q
18
19
20
21
图10-4中，当阻尼反馈矩阵Kf2＝0时，称为刚度控制。 刚度控制是用刚度矩阵Kp来描述机器人末端作用力与位置误差的关 系，即 F ( t ) = Kp △X (10.4)
式中Kp通常为对角阵，即Kp＝diag[Kp1 Kp2 … Kp6]。刚度控制的输入为 末端执行器在直角坐标中的名义位置，力约束则隐含在刚度矩阵Kp中， 调整Kp中对角线元素值，就可改变机器人的顺应特性。 阻尼控制则是用阻尼矩阵Kv来描述机器人末端作用力与运动速度的
第6章
机器人静力计算及动力学分 析 至今我们对机器人运动学方程还只局限于静态位置
问题的讨论，还未涉及力、速度、加速度。本章将 首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵， 然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 机器人是一个多刚体系统，像刚体静力平衡一样， 整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩 (驱动力) 作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发 生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩 （驱动力）作用下将发生运动变化。在本章中，我 们不涉及较深的理论，将通过深入浅出的介绍使读 者对工业机器人在实际作业中遇到 的静力学问题 和动力学问题有一个最基本的了解，也为以后“工 业机器人控制”等章的学习打下一个基础。
26
10.5.2 主动刚度控制结构 ( The Structure of Active Stiffness Control )
图10-5是J. K. Salisbury * 提出的主动刚度控制的结构图。 J K Salisbury. Active Stiffness Control of a Manipulator in Cartesian Coordinates. Proc. of 19th IEEE Conf. on Dec. and contr. 1980, pp. 95-106
4)机器人静力学和雅克比实验
实验（4）机器人机器人静力学和雅克比实验一、实验目的：1）理解机器人角速度的相关概念；2）对构建的机器人进行速度分析；3）了解和熟悉机器人雅克比矩阵的含义，4）能够使用simulink构建机器人仿真模型。
二、雅克比矩阵图1 机器人雅克比矩阵在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来：在matlab工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为，J = p560.jacob0(qr) ，其中p560为机器人名。
逆雅克比矩阵：分析雅克比矩阵：其中，在matlab工具相中对应函数为，推导可得，变换为，简化模型化为，在matlab工具箱中，对应的RPY的雅克比速度映射函数，该函数为从RPY角速度到角速度的雅克比变换函数。
即上式中的。
在matlab工具箱中，对应的ZYZ欧拉角的雅克比速度映射函数，>> eul2jac(0.1,0.2,0.3)ans =0 -0.0998 0.19770 0.9950 0.01981.0000 0 0.9801对应书中p113页中公式（5-41和5-42）。
综上可得到解析型雅克比，三、基于simulink的机器人仿真模型建立，要求机器人末端以一定的速度运行。
simulink/Math Operationssimulink/SourcesDSP System Toolbox/Math simulink/Discrete图 机器人库图关节伺服单元（joint servo）和常量所在库图输出（out）和matlab自定义函数库（matlab function）图矩阵多通道库各模块的参数设置如下图：5）命令窗口中运行mdl_puma560； 6）运行建立的模型testrobotJ ； 7）查看仿真结果。
-0.50.5-0.500.51-1-0.500.51Xzxy 456Puma 560132YZ图仿真结果四、实验容（1）用simulink建立如下图所示的机器人仿真模型，机器人模型为puma560，可以直接使用机器人库提供的puma机器人模型，并进行观测分析，并且描述然后点击上图中subsystem右键，点击mask->Creat Mask…增加如上edit参数：radius和preq。
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实验（4）机器人机器人静力学和雅克比实验
一、实验目的：
1）理解机器人角速度的相关概念；
2）对构建的机器人进行速度分析；
3）了解和熟悉机器人雅克比矩阵的含义，
4）能够使用simulink构建机器人仿真模型。
二、雅克比矩阵
图1 机器人雅克比矩阵
在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来：
在matlab工具箱中，求取机器人雅克比矩阵函数为，
J = p560.jacob0(qr) ，其中p560为机器人名。
逆雅克比矩阵：
分析雅克比矩阵：
其中，
在matlab工具相中对应函数为，
推导可得，
变换为，
简化模型化为，
在matlab工具箱中，对应的RPY的雅克比速度映射函数，
该函数为从 RPY角速度到角速度的雅克比变换函数。
即上式中的。
在matlab工具箱中，对应的ZYZ欧拉角的雅克比速度映射函数，
>> eul2jac(0.1,0.2,0.3)
ans =
0 -0.0998 0.1977
0 0.9950 0.0198 1.0000 0 0.9801 对应书中p113页中公式（5-41和5-42）。
综上可得到解析型雅克比，
三、基于simulink 的机器人仿真模型建立，要求机器人末端以一定的速度simulink/Math Operations
simulink/Sources
DSP System Toolbox/Math
图机器人库
图关节伺服单元（joint servo）和常量所在库
图输出（out）和matlab自定义函数库（matlab function）
图矩阵多通道库
各模块的参数设置如下图：
5）命令窗口中运行mdl_puma560； 6）运行建立的模型testrobotJ ； 7）查看仿真结果。
-0.5
0.5
-0.50
0.5
1
-1-0.500.5
1X
z
x
y 456
Puma 560
1
3
2
Y
Z
图 仿真结果
四、实验容
（1）用simulink 建立如下图所示的机器人仿真模型，机器人模型为puma560，
然后点击上图中subsystem右键，点击mask->Creat Mask…
增加如上edit参数：radius和preq。
点击应用就可。
然后在subsystem xy模块上双击。
修改参数如下;
Circle centre参数和XYGraph参数设置
Workspace参数设置举例（2）书中matlab习题实现。
P129-P130. 选做。