2017-2018学年度苏锡常镇四市高三数学三模(正卷)

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20．（本小题满分 16 分）
已知等差数列{an} 的首项为 1，公差为 d，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且对任意的 n N * ， 6 S n 9bn an 2 恒成立．
Baidu Nhomakorabea
（1）如果数列{Sn} 是等差数列，证明数列{bn} 也是等差数列；
（2）如果数列{bn

1 }
B
D
A
P
C
（第 17 题图（Ⅰ））
（第 17 题图（Ⅱ））
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18．（本小题满分 16 分）
如图，椭圆 x2 a2

y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
2 ，焦点到相应准线的距离为 1，点 A， 2
B，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D，交 x 轴
指定位置．
3．答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答
一律无效．
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆
珠笔．
方差公式： s2

1 n [(x1

x)2
P
E
D
C
A
B
（第 15 题图）
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高三数学（第Ⅰ卷） 第 2 页（共 4 页）
16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设△ABC 的面积为 S，
且 4S 3(a2 c2 b2 ) ．
（1）求∠B 的大小； （2）设向量 m (sin2A,3cosA) ， n (3, 2cosA) ，求 m·n 的取值范围．

( x2

x)2

( xn

x)2 ] ,其中
x

1 n
( x1

x2

xn )
.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案
直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1．若复数 z 满足 (1 i)z 2 （i 是虚数单位），则 z 的虚部为 ▲ ．
Y S1
x＜1
N
S2x−x2
正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的
输出 S
概率是 ▲ ．
（第 6 题图）
结束
（第 5 题图）
高三数学（第Ⅰ卷） 第 1 页（共 4 页）
7．已知函数 f (x) sin(x ) (0 2) 在 x 2 时取得最大值，则 ▲ ．
2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学Ⅰ试题
2018.5
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部
分．本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
2．设集合 A {2, 4} ， B {a2, 2} （其中 a < 0），若 A B ，则实数 a ▲ ．
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(2, 4) 到抛物线 y2 8x 的准线的 7 8
距离为 ▲ ． 4．一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶

弦 AB 的对称点 Q，则 OP OQ 的取值范围为 ▲ ．
B
13．已知函数
f
(x)

1 2
(|
x

3
|
1)，x
≤0， 若存在实数
a

b

c
，
ln x，
x 0，
满足 f (a) f (b) f (c) ，则 af (a) bf (b) cf (c) 的最大值
是▲．
P
O
QA
（第 12 题图）
14．已知 a,b 为正实数，且 (a b)2 4(ab)3 ，则 1 1 的最小值为 ▲ ． ab
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， ADB 90 ， CB CD ，点 E 为棱 PB 的中点． （1）若 PB PD ，求证：PCBD； （2）求证：CE∥平面 PAD．
8．已知公差为 d 的等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn
，若 S10 S5
4 ，则 4a1 d

▲．
9．在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中，M，N 分别为 PA，BC 的中点，点 D 是线段 PN 上
一点，且 PD 2DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为 ▲ ．
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 a cos B b cos A 3 c ，则 5
y
于点 M(x1，0)，直线 AC 与直线 BD 交于点 N(x2，y2).
C
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 CM 2MD ，求直线 l 的方程；
A
（3）求证： x1 x2 为定值.
MO
N
D
B x
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高三数学（第Ⅰ卷） 第 3 页（共 4 页）
（第 18 题图）
19．（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x) x3 ax2 bx 1 ， a，b R . （1）若 a 2 b 0 ， ① 当 a 0 时，求函数 f (x) 的极值（用 a 表示）； ② 若 f (x) 有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存 在，试求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （2）函数 f (x) 图象上点 A 处的切线 l1 与 f (x) 的图象相交于另一点 B，在点 B 处的切 线为 l2 ，直线 l1 ， l2 的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 k2 4k1 ，求 a，b 满足的关系式.
tan A ▲ ． tan B
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 1)2 y2 2 ，点 A(2, 0) ，若圆 C 上存在点
M , 满足 MA2 MO2≤10, 则点 M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．
12．如图，扇形 AOB 的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 AB 上的动点，作点 P 关于
▲▲▲ 17．（本小题满分 14 分）
下图（Ⅰ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将 其 抽 象 成 图 （ Ⅱ ） 所 示 的 数 学 模 型 ．索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔 的高度均为 60m，桥 面 AC 上 一 点 P 到索塔 AB , CD 距离之比为 21∶4，且 P 对两 塔顶的视角为135 ． （1）求两索塔之间桥面 AC 的长度； （2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为： 某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 a），且 与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数 b）．问两索塔对桥面何处的 “承重强度”之和最小？并求出最小值．
2
为等比数列，求
d
的值；
（3）如果 d 3 ，数列{cn} 的首项为 1， cn bn bn1(n ≥ 2) ，证明数列{an} 中存在
无穷多项可表示为数列{cn} 中的两项之和．
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高三数学（第Ⅰ卷） 第 4 页（共 4 页）
图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．
8 244 92
（第 4 题图）
5．右图是一个算法流程图，若输入值 x∈[0, 2] ，则输出值 S 的 取值范围是 ▲ ．
6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以
开始 输入 x
钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的