传染病传播模型PPT

模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）
有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低， 可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的 基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible ）和已感染 者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。
如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下
于是有

di N Nsi Ni dt
记初始时刻的病人的比例 i0（i0 > 0），从而 SI 模型可以修正为
di i (1 i ) i dt i (0) i0
我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题， 其解析解为
1 t m ln 1 i 0
1
这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量 最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗 卫生部门关注的时刻。
③ 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触 率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平 越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推 迟传染病高潮的到来。
1 i0 (1 1 )e( )t , 1 1 1 (1 ) i0 i(t ) i0 , ti0 1
其中 = /。
由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期 内每个病人有效接触的平均人数，称为 接触数 。 于是有 1 1 , 1 lim i(t ) t 1 0,
传染病传播问题和自然科学中一些已经有确 定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当 的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单 的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合 实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修 改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。
模型 1（SI 模型）
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者 （Infective ）两类，以下简称健康者和病人。时刻t 这 两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量 单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率 。当病人与健康者有效接触时，使健 康者受感染变为病人。
于是可知：
① 当 t 时，i1，即所有人终将被传染， 全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是 模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康 者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
② 然而，这个模型在传染病流行的前期还是 可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为
在上述的假设条件下，人员流程图如下
于是有
ds N Nsi Ni N Ns dt
di N Nsi Ni dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0），从而考虑出生和死 亡的 SIS 模型为
di i ( 1 i ) i i dt ds i (1 i ) i (1 i ) dt i (0) i0 , s (0) s0
di i (1 i ) dt i (0) i0
Logistic 模型
初值问题的解为
i(t )
1 1 t 1 1 e i 0
可画出 i(t) ~ t 和 di/dt ~ i 的图形为 i(t) ~ t 的图形
di/dt ~ i 的图形
我们画出 di/dt ~ i 和 i ~ t 的图形为
di/dt ~ i 的图形 （ >1）
i(t) ~ t 的图形 （ >1）
di/dt ~ i 的图形 （ 1）
i(t) ~ t 的图形 （ 1 ）
模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型）
当传染病的传播周期比较长时，若不考虑 出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出 生和死亡情况的 SIS 模型。
(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接 触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 ，称为日治愈率 。病人被治愈后称为 仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平 均传染期。
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已 感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病 人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别 记为 s(t) 和 i(t)。
(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N ，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且 新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ， 则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接 触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 ，称为日治愈率 。病人被治愈后称为 仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平 均传染期。
根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康 者变为病人。因为病人数为 Ni ( t ) ，所以每天共 有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的 增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下
进而有
di (t ) N Ns (t )i (t ) dt
再设初始时刻（t = 0）病人的比例为 i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题