五年级奥数牛吃草问题(二)教师版
(完整版)五年级奥数(牛吃草问题)
牛吃草问题1.一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么可供21头牛吃几周？2.由于天气逐渐变冷，牧场上的青草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。
那么，可供11头牛吃几天？3.有一水池，池底有泉水不断涌出。
要想把水池的水抽干，10台抽水机需8小时，8台抽水机需要12小时。
如果用6台抽水机，那么需要抽多少个小时？4.有一个水池，池底有一个打开的出水口。
用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。
如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？5.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。
结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。
该扶梯共有多少级？6..哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。
在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从扶梯底向上走到顶，共走了50级。
如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？7.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒钟可走3级梯级，女孩每秒钟可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。
问：该扶梯共有多少级梯级？8.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。
用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。
仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？9.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。
从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口，则9点9分就不在有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。
那么第一个观众到达的时间是8点几分？10.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
五年级奥数牛吃草问题
五年级奥数牛吃草问题★牛吃草问题①牛吃草问题的数量关系牛吃草问题又被称为消长问题。
典型的牛吃草问题通常假设草的生长速度是固定不变的,已知不同头数的牛吃光同一片草场的时间,求若干头牛吃光这片草场的时间或若干天吃光这片草场的牛数。
牛吃草问题通常会涉及以下两个数量关系:吃草总量=原有草量+新长草量牛的总数=原草牛数+长草牛数草场里的草可分为两类:原有草和新长草。
吃草的牛也可分为两类:吃原草的牛(简称原草牛)和吃新长草的牛(简称长草牛)。
可以利用上述两个数量关系来解决基础的牛吃草问题。
②牛吃草问题的解题步骤牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是相同的。
需要特别正意的是,若干头牛一定时间内的吃草总量与草场同样时间的草总量是相等的。
解题时要先求出长草速度,然后解得原草量数,最后回答问题。
完成上述三步,主要用到以下四个公式：(1)长草速度=总草量差÷总时间差(2)原草量数=总草量数一长草速度×吃草时间（3）吃草时间=原草量数÷(牛的总数一长草牛数)(4)牛的总数=原草量数÷吃草时间+长草牛数第一个公式里的总草量差和总时间差,可以根据题目中的两组条件求出。
应用第二个公式时,可根据两组条件中的一个即可求解,要选取较小的、好计算的那组条件。
这四个公式可以概括为一个核心公式: 原草量数=(牛的总数一长草牛数)╳吃草时间。
掌提了这个公式就可以解决典型的牛吃草问题了。
③牛吃草问题的核心思想由于牛在吃草的过程中草是不断生长的,所以解决牛吃草问题的重点是从变化中找到不变量。
草场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是基于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式，并应用解题步骤解决变型的牛吃草问题。
例题1一片草地，草匀速生长。
该草地可供14头牛吃30天，或供20头牛吃20天。
那么该片草地原来有多少草？【点拨】假设1头牛1天吃1份草,那么两种情况下牛的吃草总量分别是多少份?对比下,能求出什么量?练习1牛小顿自制了一个大自然生态模拟圈,该生态模拟圈内的资源可以自动匀速增长,它可供20只小昆虫生活10天,或供30只小昆虫生活6天。
小学奥数经典讲义五年级秋季 第十三讲 牛吃草问题 提高班 教师版 (2)
第六讲列方程解应用题方程作为一种工具对于解题有相当大的帮助，教师在讲本讲前一定要强调方程作为一种数学工具对于解题的重要作用，并引申到代数学在整个数学中的重要意义，教师在讲授本章时除了要介绍解方程的方法时，还应该注重以下几点上对学生能力的培养.1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.对于每一道题教师应该在讲题过程中突出列方程解应用题的步骤，详细讲授用代数式来表示题目中各种未知量的方法步骤，和寻找等量关系的方法等. 讲授应用题前可以用几条方程让学生练习.分析：设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.Ⅰ、一元一次方程方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.用方程解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系. 2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量. 3、找到题目中的等量关系，建立方程. 4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程. 5、通过求到的关键量求得题目答案.加减法、乘除法的互逆关系有:加数=和-另一个加数；被减数=差+减数；减数=被减数-差；乘数=积÷另一个乘数；被除数=商×除数；除数=被除数÷商；专题精讲教学目标想挑战吗？甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。
问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【例1】（★★）三个连续自然数，其中最小的那个数的5倍等于其他两个数和的2倍，那么，这三个数分别是多少？分析：设最小的那个数是x，那么另外两个数分别是x+1，x+2，则有：5x=2（x+1）+2（x+2）x=6，所以这三个数是6、7、8.[拓展]已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？分析：设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：x+x+8+x+10=35×3，3x+18=105，3x=105-18，3x=87，x=29.所以x+10=29+10=39.【例2】（★★★）甲乙丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖.甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？分析：由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用x天吃完糖.又根据三位同学有“相同”数目的糖建立方程.得：3（x+1）=4（x-2），3x+3=4x-8，4x-3x=3+8，x=11，由：3（11+1）=36或4（11-2）=36得到他们每人得到36个果汁糖.【例3】（★★★）张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款钱数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元?分析：设分期付款方式的付款时间为2x，则：7+(2x-1)×1=2x+1.5x，7+2x-1=2x+1.5x，6=1.5x．x=6÷1.5，x=4．将x的值代人方程的右式(也可代入左式)，得：分期付款的付款钱数为2×4+1.5×4=14(万元)．所以，一次性付款的钱数为：14—1.6=12.4(万元)．所以张老师要付房款12.4万元．【例4】（★★★）在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间?分析：8：30时黄甲虫距左端1200—15×10=1050(cm)．设再经过t 分钟，红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间(如下图所示)．此时，红甲虫距蓝甲虫(13-11)t 厘米，距黄甲虫[1050-(15+13)t]厘米，可得方程：(13-11)t=1050-(15+13)t ，化简可得t=35．所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间．[拓展]（★★★）甲、乙两个班的同学去运河公园春游，但只有一辆车接送．甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行．车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往运河公园．两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车载学生行驶的速度是每小时50千米．空车行驶时每小时行60千米．问：要使两班学生同时到达运河公园，甲班学生步行了全程的几分之几?分析：甲、乙两班学生要同时到达运河公园，则这两班学生步行的路程必须相等．如果两班学生各走了x 千米，而全程共有s 千米时，则行程可用图表示．可以利用甲班学生步行所用的时间5x 与乙班学生坐车的时间50s x -及空车返回的时间260s x -之和相等的关系来列方程．250605s x s x x --+= 6()5(2)60s x s x x -+-= 1176x s = 所以甲班学生步行了全程的1176.【例5】（★★★）某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？分析：设八个家庭中有x个是三口之家.(8-x)个两口之家.则如果各买各的要花30x+2×8×40=32×（2×8+x）+120.30x+640=512+32x+1202x=8x=4所以旅游团一共有2×8+4=20人.【例6】（★★★奥数网原创题）甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？分析：设10年前甲的年龄为2x，则乙的年龄为3x，那现在根据俩人的年龄比可得到方程：（2x+10）：（3x+10）=3：4，等式两边前后项交叉相乘可得8x+40=9x+30，则x=10，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁，50岁.俩人的年龄比为4：5.Ⅱ、二元一次方程（多元一次方程）[前铺]在开始本类题目时，最好拿几道二元一次方程给学生练练.(1) 2x=5y (2) 2x+3y=12 (3) 1.5x+0.6y=7.8x+y=7 3x+2y=13 2.2x+1.4y=13答案： x=5 x=3 x=4y=2 y=2 y=3【例7】（★★）买来8角邮票与5角邮票共100张，总值68元．8角邮票和5角邮票各买了多少张?分析：方法一：设8角的邮票共x 张，则5角的邮票有100-x 张，由邮票总值可列方程：0.8x+0.5（100-x ）=68，解得x=60，所以8角的邮票买了60张，5角的邮票买了40张.方法二：题中要求8角和5角的邮票各买了多少张，可分别设为未知数x ，y ，再根据两种邮票的总张数与总价值分别列出两个方程．设8角邮票买了x 张，5角邮票买了y 张．则可列出方程组：x ＋y=100, ① 8x ＋5y=680, ②由①×5，得5z+5y=500． ③由②-③，得8x+5y 一(5x+5y)=680—500，故x=60．把x=60代入①，得60+y=100，y=40．所以8角邮票买了60张，5角邮票买了40张．【例8】（★★）儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2分，儿子胜一局得8分，负的一方不管是谁都要扣1分，比赛24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局．分析：方法一：设儿子胜了x 局，输了（24-x ）局，父亲胜了（24-x ）局，输了x 局，则由得分关系有：8x-（24-x ）=2（24-x ）-x ，解得x=6，所以儿子赢了6局，父亲赢了18局.方法二：这一题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x 和Y ，要解答两个未知数的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是24局，可列出一个方程：x+y=24．另外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，由此列出另一条方程8x-y=2y-x ．所以可列出方程组：x+y=24 ①8x-y=2y-x ②将②变形为y ＝ 3x ． ③把③代入①，得x ＋3x=24，x=6．把x ＝6代人③，得 y ＝18．所以儿子胜了6局，父亲胜了18局．【例9】有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出20筐，第二辆卡车转移出30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的1.2倍，如果第一辆卡车转移出21框，第二辆卡车转移出25框，那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上装有多少框水果？分析：设第一辆卡车上的水果有x 筐，第二辆卡车上的水果有y 筐，则有： x-20=1.2（y-30）x-21+y-25=2（21+25）解得：x=68，y=70⎧⎨⎩⎧⎨⎩[拓展]（★★★★）某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原来一班的三分之一与原来二班的四分之一组成新一班，将原来一班的四分之一与原来二班的三分之一组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？分析：设原来两个班分别有x ，y 人，那么 1111(1)(1)303434x y --+--= 11111.1()3434x y y x +=+ 解得x=48，y=24.原来1班有48人.【例10】（★★★）平行四边形ABCD 的周长是80厘米，以AD 为底时，高为12厘米．以AB 边为底，高为20厘米，求平行四边形ABCD 的面积．1220D C BA分析：平行四边形的周长是两条邻边之和的2倍，即(AB+AD)×2，又因为同一平行四边形中，底与对应的高相乘的积都相等，根据这两个等量关系，可列出方程组．设AB 的长为x 厘米，AD 的长为y 厘米，则：2(x+y)=80, ① 20x=12y. ②将②变形为：x=1220y ③ 把③代入①，得122(y y)8020+=，于是y 25=. 把y 25=代入③，得15x =.所以平行四边形的面积是20×15=300平方厘米.⎧⎨⎩【例11】（★★）甲、乙两人今年的年龄之和是41岁，乙、丙两人今年的年龄之和是36岁，甲、丙两人今年的年龄之和是39岁，问甲、乙、丙三人今年的年龄各是多少岁?分析：设甲乙丙三人的年龄分别是x ，y ，z ，则可列出方程：x+y=41 ①y+z=36 ②x+z=39 ③化简这个方程组有两种方法：方法一：加减消元法，①+③-②，得到2x=44，x=22.然后再将x=22代入①、③即可得到y 、z 的年龄.方法二：由①可得到y=41-x ，由③可得到z=39-x ，将得到的两条式子代入到③中即可得到（41-x ）+（39-x ）=36，同样可得出x=22.方法三：将三条等式相加，化简可得：x+y+z=58. ④将④分别减去②、③、①即可得到x 、y 、z 分别等于22、19、17，所以甲乙丙三个人年龄分别为22岁、19岁、17岁.【例12】（★★★）五年级三个班共有82人参加国际象棋比赛，其中一班人数的14比二班人数的15多1人，一班人数的14与二班人数的15的和等于三班人数的13，一、二、三班各参加多少人? 分析：要求的一、二、三班各参加的人数可分别用x ，y ，z 表示，根据三个班的总人数以及各班人数之间的关系直接列出方程组来解答：82x y z ++= ①11145x y -= ② 111453x y z += ③ 由②+③，得11123x z =+ ④ 由②×⑤+①，得12874x z += ⑤ 由④×2，代入⑤，得122(2)8743z z ++=，于是z=33，把33z =代入④，得1133123x =⨯+，于是x=24， 把24x =，33z =代入①，得24+y+33=82，于是y=25,所以三个班级分别参加24、25、33人.方程的运用的意义不仅仅在于能更方便地解题了，更在于在解题过程运用了代数学方法，以后我们还要接触到不定方程等竞赛内容，在解决数阵、幻方等问题中我们也会经常用到方程和代数的一些方法1、（★★）八年前，甲的年龄是乙的年龄的2.5倍；而现在甲的年龄是乙的年龄的1.5倍，那么甲今年多少岁？分析：设甲的今年1.5x 岁，则乙的年龄为x ，由两年前的年龄关系可得到关系式：1.5x-8=2.5（x-8），方程解得x=12，所以甲今年18岁.2、（★★★）小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了。
最新小学奥数 工程问题之牛吃草问题教师版
最新小学奥数 工程问题之牛吃草问题知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了239207⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-⨯=．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周． 3个星期21头牛？个星期23头牛9个星期27头牛6个星期【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛．【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533÷+=只猴子一起吃【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
牛吃草问题(五年级奥数讲解及例题分析)
小学奥数之牛吃草问题牛吃草问题是小学奥数五年级的内容，学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。
那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。
一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量：1、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变。
草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。
新长出来草的数量随着天数在变而变。
因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。
注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽水机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。
2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。
3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）2、原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3、吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1，那么就有：（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料牛吃草问题 提高班 教师版
第十二讲 牛吃草问题（一）英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。
书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我们今天要学的牛吃草问题。
牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲解“牛吃草”为的是让大家能把这块知识学透。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”分析本题就给了牛的头数，和吃草的时间。
设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了，所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。
同一片牧场中的牛吃草问题，一般的解法可总结为：1、 草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）2、 原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数3、 吃的时间＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）4、 牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋的生长速度关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及问题等等，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解题。
才能做到举一反三。
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析（这种方法叫列表分析）27头牛 6天 27×6＝162 ：原有草量＋6天生长的草量23头牛 9天 23×9＝207 ：原有草量＋9天生长的草量从上易发现：9－6＝3天生长的草量＝207－162＝45，即1天生长的草量＝45÷3＝15；那么原有草量：162－15×6＝72或207－15×9＝72。
五年级奥数：牛吃草问题(题目+答案)
牛吃草问题例:有一片牧草,草每天匀速的生长，这片牧草可供１00头牛吃3周,可供50头牛吃8周,那么可供多少头牛吃两周?设每头牛每周吃草一份，１00头牛3周吃的草：100×３＝30０(份）50头牛8周吃的草:50×8＝4０0(份）草的生长速度：（４00-300)÷(8-３)=20（份)原有牧草的份数:１00×３-３×20=2４０（份）(2４０+20×2）÷2=14０(头)①一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同,17头牛30天可以将草吃完,19头牛只需要2４天就可以将草吃完。
现有一群牛，吃了6天后,卖掉4头牛,余下的牛再吃2天就将草吃完。
问没有卖掉４头牛之前，这一群牛一共有多少头？设一头牛一天吃一份草.1７头牛3０天吃的草:17×3０＝５10（份)19头牛24天吃的草:19×２４＝456(份）每天长草数：(5１0-４56)÷(3０-2４）＝9(份)牧场原有草数：510－9×3０＝240（份）8天可吃草数：240+８×9=31２(份)设卖牛前有x头：6x＋2(x-4）＝312x＝40②一片牧草,可供9头牛12天，也可供8头牛吃1６天，开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛来吃草,再吃６天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛?设一头牛一天吃一份草.9头牛１２天吃的草:９×１２＝１0８（份)8头牛1６天吃的草：８×16=1２8（份）每天新增量:(1２8-1０8）÷(16-12)=5(份)原有草量:108-1２×５=48(份)从开始４头牛到６天后增加牛后再吃6天可知前后共计12天，这片草地共有草量: 48+5×12=108(份）开始的4头牛１2天吃的草：4×12=4８(份）增加的牛数：1０8-４8）÷6=10(头）③有一片草地,可供8只羊吃20天，或供14只羊吃１0天。
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第十三讲 牛吃草问题（二）在十二讲中大家对于牛吃草问题应该有了详细的了解了，对于简单的牛吃草问题的解题原理和解题过程应该已经都掌握了，解决“牛吃草”问题的步骤可以概括为三步：1、 设定1头牛1天吃草量为“1”；2、 列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量＋一定时间内变化的量），根据表格求出草的生长速度和草的总量；也可以画图来解题。
3、 根据每头牛单位时间吃草数量和草的生长速度不变这一关系根据题目要求解题。
关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及问题等等，解题方案就是先在题目中找出对应的“牛”和“草”，然后按照上面的步骤来解题。
大家只有掌握好这些才能更好的学习我们的牛吃草（二）。
分析： 设1头牛1天吃1份牧草。
22头牛54天吃掉11882254=⨯份，说明每公亩牧场54天提供36331188=÷份牧草；17头牛28天吃掉14288417=⨯份，说明每公亩牧场84天提供51281428=÷份牧草。
每公亩牧场305484=-天多提供153651=-份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为5.03015=÷份，原有草量为-5184⨯95.0=份。
如果是40公亩的牧场，原有草量为360409=⨯份，每天新长出20405.0=⨯份，24天共计提供牧草8402420360=⨯+份，可供3524840=÷头牛吃24天。
【你还记得么？】（三帆中学）一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么这块草地可供lO 头牛和60只羊一起吃多少天? 分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16头牛 20天 16×20=320：原有草量+20天生长的草量80只羊（20头牛） 12天 20×12=240：原有草量+12天生长的草量从上易发现：8（=20-12）天生长的草量=320-240=80，即1天生长的草量=10；那么原有草量：320-20×10=120；（lO 头牛和60只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量）； 25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120÷15=8天可以把原有草量吃完，即这块草地可供lO 头牛和60 只羊一起吃8天。
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那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。
6人4天6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒
4人5天4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒
从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。
原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）。
【例2】有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5小时后甲车追上乙车，如果甲车以现在速度的3倍追乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
原有砖的数量为：180－6×9＝126；
设原有x名工人，根据题意可得：126＋（6＋4）×6＝6ｘ＋（ｘ－6）×4；解得：x＝21，所以原来应该派21名工人。
【巩固】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙6天可以把砖运完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起搬，还需要在搬几天？
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
18头牛16天18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量
27头牛8天27×8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量
从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；
小学奥数-牛吃草问题(教师版)
牛吃草问题观察前面的图案，想想问号处应该填什么？一块牧场长满了草，每天均匀生长。
这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。
可供25头牛吃＿＿天。
【解析】A 假设1头牛1天吃草的量为1份。
每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。
那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。
一、定义伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草331格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。
问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。
”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。
这类问题难在哪呢？大家看看它的特点二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。
三、解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数【例1】★牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=． 供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例2】★由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【小试牛刀】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。
小学奥数教程：牛吃草问题(二)全国通用(含答案)
1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．模块一、 “牛”吃草问题的变例【例 1】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20155-=秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010⨯-⨯=阶，电梯的速度为1052÷=阶/秒，扶梯长度为20(12)60⨯+=（阶）。
五年级数学上册《牛吃草问题》常用公式+例题解答
五年级数学上册《牛吃草问题》常用公式+例题【牛吃草问题常用公式】解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：1、草的生长速度＝（吃得较多的天数×与之相应的牛头数－吃得较少的天数×与之相应的牛头数）÷（吃得较多的天数－吃得较少的天数）2、原有草量＝吃的天数×与之相应的牛头数－吃的天数×草的生长速度＝吃的天数×（与之相应的牛头数－草的生长速度）3、吃的天数＝原有草量÷（与之相应的牛头数－草的生长速度）4、牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度例：一片牧场，如果放牛27头，6天可把草吃光；如果放牛23头，9天可把草吃光；如果放牛21头，几天可把草吃光？解答：根据公式1：草的生长速度＝（9×23－6×27）÷（9－6）＝15根据公式2：原有草量＝6×（27－15）＝72根据公式3：吃的天数＝72÷（21－15）＝12（天）五年级数学上册《牛吃草问题》常用公式+例题1. 牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。
如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？【解析】27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生长数162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周2. 有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。
如果需要6天割完，需要派多少人去割草？【解析】17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生长量510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人。
五年级下册奥数专题：牛吃草问题 (2)
牛吃草问题知识要点一、定义英国大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题（格尔为牧场面积单位）：有三片牧场,场上的草长得一样密,并且长的速度一样快,它们的面积分别是三又三分之一格尔、10格尔和24格尔。
第一片牧场的草饲养12头牛可以吃4个星期,第二片牧场的草饲养21头牛可以吃9个星期,问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18个星期？这个问题被人们称为牛顿问题,也就是我们平常说的牛吃草问题。
二、特点牛吃草问题其实就是消长问题,问题的主要特征是：同一个数量一方面增加,另一方面减少,朝两个方向同时变化。
如牛吃草问题中,草生长使草量匀速增加,牛吃草却使草量逐渐减少。
在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。
数量关系分析：在牛吃草问题中,我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量,作为牧草的计量单位。
在这个问题中,主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度）、牛的饲养数量、饲养时间,这四个数量之间的关系。
一头牛一天吃一个单位的草量。
如果养牛头数等于或小于每日新增草量,则无需动用牧场原有草量,这个牧场就会像个聚宝盆一样,供这些牛永远吃下去,草永远吃不完；如果养牛头数大于每日新增草量,我们可以理解为,每日新增的草先喂养了同等数量的牛,而多出的牛则需要吃牧场原有的草,牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天,这个牧场草就可以供这些牛吃多少天。
（原有的草吃完了,新增草未生长,就理解为牧场的草吃完了。
）此类问题中的基本数量关系有：牛的头数×对应的吃的天数＝总草量；牛的头数－每日新增草量数＝多出牛的头数；每日新增草量＝（较长时间总草量－同一牧场较短时间总草量）÷相差天数；原有草量＝对应总草量－每日新增草量×天数；吃的天数＝原有草量÷多出牛的头数；牛的头数＝原有草量÷天数＋每日新增草量数。
五年级奥数“牛吃草“(2)第二讲
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第1讲 “牛吃草”（2）
例 例1：有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，
题 精
而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可
讲
供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
解：设每头牛每天吃一份
第一块的面积是第二块的5/6 那么第一块草的原有量是第二块的5/6
习 题
经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀
水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
解：设每个人每小时舀1份水， 12×3=36 份
5×10=50 份
每小时进水：（50－36）÷（10－3）=2 份
开始舀水时船里有水：36－2×3=30 份
需人：（30＋2×2）÷2=17（人）
题
，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草
可供50头牛吃几天？
解：设每头牛每周吃一份
第一块的面积是第二块的1/2 那么第一块草的原有量是第二块的1/2
第一块每周长的是第二块的1/2 牛在第一块草地6周可消耗：24×6=144份
在第二块草地12周可消耗： 36×12=432份 把在第二块转化到第一块去吃，12周就只能消耗 432×1/2=216 份 那么4公顷的：每天长：（216－144）÷（12－6）=12份
第一块每天长的是第二块的5/6 牛在第一块草地10天可消耗：11×10=110份
在第二块草地14天可消耗： 12×14=168份 把在第二块转化到第一块去吃，14天就只能消耗 168×5/6=140 份
那么5公顷的： 每天长：（140－110）÷（14－10）=7.5份 原有：110－10×7.5 =35 份 那么8公顷的：
五年级奥数.应用题.牛吃草问题(C级).教师版
（1） 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．（2） “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．（3） 解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变；每头牛每天的食草量不变；草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值新生的草量=每天生长量⨯天数．（4） 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．（5） “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．（1） 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的对比的解题思路.（2） 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系重难点 知识框架牛吃草问题一、 一块草地的牛吃草 【例 1】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，651-=天自然减少的草量为2051664⨯-⨯=，原有草量为：()2045120+⨯=．若有11头牛来吃草，每天草减少11415+=；所以可供11头牛吃120158÷=(天)．【答案】8天【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
小学数学 牛吃草问题(二).教师版
6-1-10.牛吃草问题（二）教学目标1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：1草的每天生长量不变；2每头牛每天的食草量不变；3草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值4新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲模块一、“牛”吃草问题的变例【例1】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20155⨯-⨯=阶，-=秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010电梯的速度为1052÷=阶/秒，扶梯长度为20(12)60⨯+=（阶）。
五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版
第十二讲工程问题之牛吃草问题（教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②，③每头牛每天的食草量不变；④草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值⑤新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；*⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；'若养二十一，可作几周粮（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了-=份草，这45份草是牧场的草⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245239207-⨯=．÷=，那么原有草量为：16261572 -=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315963供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天【解析】 …【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】 ！【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛． '【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533÷+=只猴子一起吃【例 3】 `【例 4】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
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1. 五年级奥数牛吃草问题（二）教师版2. 初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值 ④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题．模块一、 “牛”吃草问题的变例【例 1】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为：例题精讲知识精讲 教学目标6-1-10.牛吃草问题（二）“在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法,电梯20155-=秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010⨯-⨯=阶,电梯的速度为1052÷=阶/秒,扶梯长度为20(12)60⨯+=（阶）。
【答案】60级【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒。
问：该扶梯共有多少级梯级？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。
并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度=（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）(23003100)(300100) 1.5=⨯-⨯÷-=,自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间2300 1.5300600450150=⨯-⨯=-=（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。
【答案】150级【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。
结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。
该楼梯共有多少级？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度：(5016032)(6050)1⨯-÷⨯÷-=。
自动扶梯的梯级总数：50(11)100⨯+=(级)【答案】100级【例 2】 小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行15千米,3小时可以追上；若骑摩托车,每小时行35千米,1小时可以追上；若开汽车,每小时行45千米, 分钟能追上。
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312-=小时内走了15335110⨯-⨯=千米,那么小明的速度为1025÷=(千米/时),追及距离为()155330-⨯=(千米)．汽车去追的话需要：()3304554÷-=(小时)45=(分钟)． 【答案】45分钟【例 3】 有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车,5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车,3小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车,问：几个小时后甲车追上乙车？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于“新生长的草”．设甲车的速度为“1”,那么乙车532-=小时走的路程为25331⨯-⨯=,所以乙的速度为120.5÷=,追及路程为：()20.557.5-⨯=．如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为：()7.510.515÷-=(小时)．【答案】15小时【例 4】 快、中、慢三车同时从A 地出发沿同一公路开往B 地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米,慢车每分钟行600米,中速车的速度是多少？【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的速度,所以骑车人速度是：(600148007)(147)400⨯-⨯÷-=(米/分),开始相差的路程为：(600400)142800-⨯=（米）,所以中速车速度为：28008400750÷+=(米／分)．【答案】750米/分【例 5】 甲、乙、丙三车同时从A 地出发到B 地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B 地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度．【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度。
所以卡车速度为：(606487)(76)24⨯-⨯÷-=（千米/时）,全程：(6024)6504+⨯=（千米）,丙车速度为：50482439÷-=（千米/时）【答案】39千米/小时【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度．【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 当小新和风间相遇时,正南落后小新()6201624⨯-=(米),依题意知正南和风间走这24 米需要761-=(分钟),正南和风间的速度和为：24124÷=(米／分),风间的速度为：24168-=(米／分),学校到公园的距离为：247168⨯=(米)．所以妮妮的速度为：1688813÷-=(米／分)．【答案】13米/分钟【例 6】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。
第一个桶距水缸有1米,小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米,小方用4次恰好把桶装满。
第三个桶距水缸有3米,那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变）【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了24135⨯-⨯=米路,所以从杯中流出的速度是150.2÷=（杯/米）,于是1桶水原有水量等于330.2 2.4-⨯=杯水,所以小方要2.4(130.2)6÷-⨯=次才能把第三个桶装满。
【答案】6次【例 7】 有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出。
为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作。
但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了8小时。
工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省12小时。
这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下 台抽水机。
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】对比思想方法,陈省身杯,五年级【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水,原计划需要t 小时抽完,则原计划8个小时抽的水量为8t ,9台抽水机时抽水量为9(8)-t ,10台抽水机时抽水量为10(12)-t 所以,8个小时的出水量为89(8)72--=-t t t ,12个小时的出水量为810(12)1202--=-t t t ,而泉水的出水速度是一定的,所以1202 1.5(72)-=⨯-t t ,解得24=t ,所以每小时出水量为(7224)86-÷=,所以需要留下6台抽水机。
【答案】6台抽水机模块二、“牛”的数量发生变化【例 8】 有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为()()1730192430249⨯-⨯÷-=,原有草量为：()17930240-⨯=．现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加428⨯=才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为()24088940+÷+=(头)．【答案】40头【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派15个工人砌砖墙,14天可以把砖用完,如果派20个工人,9天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,问原来有多少工人来砌墙？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为()()151********⨯-⨯÷-=,原有砖的数量为：()15614126-⨯=．现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,如果不调走6名工人,那么这些工人共砌10天可砌完12661064210+⨯+⨯=,所以原有工人2101021÷=名．【答案】21名【例 10】 一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以再吃几天？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为()()44053040301⨯-⨯÷-=,原有草量为：()5130120-⨯=．如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩1209030-=,而牛的头数变为6,现在就相当于：“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：()30616÷-=(天)．【答案】6天【例 11】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以把砖用完,如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再砌几天可以把砖用完？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为()()16010250610625⨯-⨯÷-=,原有砖的数量为：()2502561350-⨯=．如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩1350950400-=的原有的砖未用,变成1205125+=人来砌砖,还需要：()400125254÷-=(天)．【答案】4天【巩固】 食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完,如果派4个工人,40天可以把面粉用完,现在派4名工人加工了30天后,又增加了2名工人一起干,还需要几天加工完？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”,工人加工食品相当于“牛在吃草”．设1名工人1天用掉面粉的量为“1”,那么每天运来的面粉量为()()44053040301⨯-⨯÷-=,原有面粉量为：()5130120-⨯=．如果4名工人干30天,那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量,原有还剩1209030-=未加工,而后变成6名工人,还需要()30616÷-=(天)可以加工完．【答案】6天模块三、多块地的“牛吃草问题”【例 12】 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,可供多少头牛吃6天？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么2000平方米的牧场上1688-=天生长的草量为181627872⨯-⨯=,即每天生长的草量为7289÷=．那么2000平方米的牧场上原有草量为：()18916144-⨯=．则6000平方米的牧场每天生长的草量为()96000200027⨯÷=；原有草量为：()14460002000432⨯÷=．6天里,该牧场共提供牧草432276594+⨯=,可以让594699÷=(头)牛吃6天．【答案】99头牛【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地,甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地上的草,20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍,把甲草地分成面积相等的3块,那么每块都与乙草地的面积相等．由于30头牛12天能吃完甲草地上的草,相当于每块上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草,20头牛4天也能吃完乙草地上的草”,可知每天乙草地长草量为()()10122041245⨯-⨯÷-=,乙草地原有草量为：()205460-⨯=；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5420⨯=,原有草量为：604240⨯=．要10天同时吃完两块草地上的草,需要240102044÷+=(头)牛．【答案】44头牛【例 13】 有一块1200平方米的牧场,每天都有一些草在匀速生长,这块牧场可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,另有一块3600平方米的牧场,每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同,问这片牧场可供75头牛吃多少天？【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50,即1天生长草量＝50÷10＝5；那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。