集合的基本概念及其表示

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集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。

本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。

2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。

3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。

- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。

4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。

二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。

2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。

3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。

4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。

5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。

三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。

2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。

3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。

4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。

四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。

2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。

3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。

4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。

总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。

1.集合及其表示

集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个结合的元素。

集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。

例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。

（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。

空集记作∅。

（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。

2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。

（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。

（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。

3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。

4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。

记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

我们规定∅是任何集合的子集。

对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。

（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。

精选例题例1、用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。

集合的基本概念

集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。

它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。

本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。

1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。

这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。

一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。

2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。

表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。

例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。

相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。

例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。

3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。

有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。

例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。

b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。

例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。

4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。

a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。

b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。

c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。

高中数学集合知识点归纳

高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体，用大写字母如A, B, C等表示。

2. 元素：集合中的每一个成员被称为元素，用小写字母如a, b, c等表示。

3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

4. 集合的表示：集合通常可以通过列举法或描述法来表示。

例如，集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。

二、集合间的关系1. 子集：如果集合B的所有元素都是集合A的元素，则称B是A的子集，记作B ⊆ A。

2. 真子集：如果集合B是A的子集，并且B不等于A，则称B是A的真子集，记作B ⊂ A。

3. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合，记作A' 或 C_U(A)。

4. 交集：两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A ∩ B。

5. 并集：两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，记作A ∪ B。

三、集合运算1. 德摩根定律：对于任意集合A和B，(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。

2. 集合的幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。

3. 笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A × B。

四、特殊集合1. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。

2. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。

3. 有界集：如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数，那么这个集合是有上界的；类似地，如果所有元素都大于或等于某个实数，则集合有下界。

4. 区间：实数线上的一段，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。

五、集合的应用1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合；值域是函数输出的所有y值的集合。

1.1集合及其表示方法(学生版)

（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点（4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭例5、用列举法表示下列集合：（1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N（2）{}2230,x x x x --=∈R（3）{}2230,x xx x -+=∈R例6、用符号∈或∉填空：（1）{}23____11x x <（2）{}2*3____1,x x n n =+∈N（3）(){}21,1____y y x-=（4）()(){}21,1____,x y y x -=1.下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．32. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,0}D ．{－1,1}4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。

5．用另一种方法表示下列集合：（1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭= 。

（2）{}3绝对值不大于的整数= 。

6. 集合{},5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为。

7. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。

8.已知集合{}2,,A x x a b a b ==+∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈⋅21是否成立．1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )A ．1∉AB ．0∈AC ．0∉AD ．2∈A2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．103. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.4. 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，，b}，则b-a=（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-26. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．8. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．。

数学集合知识点概要总结

数学集合知识点概要总结在数学中，集合是一种基本的概念，它是由一些确定的对象（称为元素）所组成的整体。

在数学中，集合论是一个非常重要的分支，它研究的对象就是集合及其各种性质和关系。

在这篇文章中，我们将对数学集合的一些基本概念和性质进行总结和概述。

1. 集合的基本概念首先，我们来回顾一下集合的基本概念。

集合可以用大括号{}来表示，例如，集合A可以写成A={a,b,c,d}。

在这个集合中，a，b，c，d就是A的元素。

需要注意的是，集合中的元素是不重复的，也就是说，集合中的元素没有顺序和重复。

集合之间的关系有交集和并集。

集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示的是同时属于A和B的元素组成的集合；而集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示的是属于A或者属于B的元素组成的集合。

2. 集合的表示方法在数学中，集合可以通过列举法、描述法和图示法来表示。

列举法就是直接列出集合中的元素，例如A={1,2,3,4}；描述法是用一定的条件来描述集合中的元素，例如A={x|x是自然数，0<x<5}；图示法是用图形来表示集合，通常是用圆来表示，圆内的元素是属于这个集合的，圆外的元素是不属于这个集合的。

3. 集合的基本运算在集合论中，有几种基本的集合运算，包括交集、并集、差集和补集。

交集就是对应集合中共同元素的集合，即两个集合共同包含的元素。

例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。

并集是两个集合中所有元素的集合，即两个集合合起来的集合。

例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。

差集是包含在一个集合中但不包含在另一个集合中的元素构成的集合。

例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A-B={1,2}。

补集是指对于给定的全集，一个集合中所有不属于全集的元素构成的集合。

例如，全集为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,2,3,4}，则A的补集为A'={5,6,7,8,9,10}。

集合的定义及表示(第2课时)

预习问题
提出几个与预习内容相关的问题，带着问题听课，提高听课效率。
预习目标
了解集合的划分、覆盖、基数等概念，为下节课的学习做好准备。
WATCHING
感谢您的观看
THANKS FOR
图示法
02
03
用平面上封闭图形的内部来表示集合的方法。
集合间的关系
Part 03
子集与真子集
对于两个集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
子集定义
如果集合A是集合B的子集，且A不等于B，则称集合A是集合B的真子集。
真子集定义
若A⊆B，表示A是B的子集；若A⊂B，表示A是B的真子集。
集合的定义及表示(第2课时)
CATALOGUE
目录
1
集合的基本概念
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2
集合的表示方法
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3
集合间的关系
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4
集合的运算
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5
典型例题解析
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6
课堂小结与作业布置
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集合的基本概念
Part 01
集合的定义
集合是具有某种特定性质的事物的总体，事物称为元素。集合的概念通常用大写的英文字母A、B、C等表示集合，元素用小写的英文字母a、b、c等表示。集合的表示
并集及其性质
并集定义
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A）。
幂等律
A∪A=A。
交换律
A∪B=B∪A。
零一律
A∪∅=A。
结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
吸收律

集合的概念

第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。

集合的含义及其表示

集合的含义及其表示
一、集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元
素组成的总体叫做集合，也简称集.
二、集合元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写
三、集合相等
构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等
四、集合元素与集合的关系
集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R
六、集合的表示方式
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）（3）图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合
七、集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合,记：Φ
注：｛Φ｝表示集合中有Φ这个元素，这个集合的子集是：Φ，{Φ}而Φ表示集合是空集，子集只有Φ。

集合的含义及其表示

1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

集合的概念ppt课件

04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用于描述各种数学对象及其性质，如数、点、线、面等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排序问题、经济学中的偏好关系等。
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似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有子集（包括空集和A本身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{...} 如：{我校的篮球队员} ，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 用拉丁字母表示集合： A = {我校的篮球队员} , B = {1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：{a,b,c,d,...}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x | x 一3 > 2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N +整数集 Z 有理数集 Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x | x2 = 一5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A 坚 B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。

反之，集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A坚/B 或 B二/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设 A={x| x2 一1 = 0 } B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集. A坚A②真子集:如果 A坚B,且 A子 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作A 坚 B (或 B二/A)③如果 A坚B, B坚C ,那么 A坚C④如果 A坚B 同时 B坚A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

结论：有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集， 2n 1 个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合叫做 A,B 的交集．记作由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）义A nB （读作‘A 交 B ’）即 A n B=｛x|x A 且集．记作 A U B （读作‘A并 B ’ ），即 A U B记作 C U A ，即x B ｝． ={x|x A ，或 x B})． C A {x | x U , 且x A}U韦恩 A B A B A 图示图 1 图 2(C u A) (C u B) C u (A B)AA AA性AB B AAA (C u A) (C u B) C u (A B)AB B A质A B AAB A A (C u A) U AB BAB BA (C u A)（2）交、并、补集的混合运算 ①集合交换律 AB B A A B B A②集合结合律 (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)③集合分配律 A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)（3）容斥定理card(A B) card(A) card(B) card(A B)card (A B C) card (A) card (B) card (C) card (A B)card(A B) card(B C) card(A B C)card 表示有限集合 A 中元素的个数S。

集合的概念及运算

集合的概念及运算【知识要点】一、集合的含义及表示1、元素与集合：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合及其表示：用大括号或大写字母表示。

3、常见数集：N 、N *、Z 、Q 、R ，奇数集{}Z n n x x ∈+=，12，或{}Z n n x x ∈=，1-2，偶数集{}Z n n x x ∈=，24、元素及其表示：集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示。

5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法，其基本形式是{}n x x x x ⋅⋅⋅，，，321（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法，其基本形式是()}(x p x 。

（3）图示法：划一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合。

（4）区间表示法。

【例题1—1】下列命题正确的有（）①很小的实数可以构成集合； ②集合{}12-=x y y 与集合(){}12-=x y y x ，是同一个集合 ③5.021-46231，，，，这些数组成的集合有5个元素； ④集合(){}R y x xy y x ∈≤，，，0是指第二象限和第四象限的点集。

A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个【例题1—2】已知{}{}，则，若，，，，，B A y x B y x xy x A ==-=0（）A 、⎩⎨⎧==11y xB 、⎩⎨⎧=-=11y xC 、⎩⎨⎧-==11y xD 、⎩⎨⎧-=-=11y x 二、子集及其性质1、子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 的每一个元素都是集合B 中的元素，则集合A 是集合B 的子集，记作()A B B A ⊇⊆，读作A 包含于B （B 包含A ）；A 不是B 的子集记作，读作A 不包含于B （B 不包含A ）。

2、真子集：对于集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（A B ≠⊃），读作A 真包含于B （B 不真包含A ）。

集合及其表示

集合及其表示考点解析及例题讲解1. 集合的概念．(1)一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)．(2)构成集合的每个对象都叫做集合的元素．(3)集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示．2. 元素与集合的关系．(1)如果a 是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A．读作“a不属于A”．3. 集合中元素的特性．(1)确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的．这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象．4. 集合的分类．(1)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集．(2)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集．5. 常用数集及其记法．(1)自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N；(2)正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*；(3)整数集：整数全体构成的集合，记作Z；(4)有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q；(5)实数集：实数全体构成的集合，记作R．6. 列举法．当集合元素不多时，我们常常把集合的元素列举出来，写在大括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫列举法．例如，由1，2，3，4，5，6这6个数组成的集合，可表示为：{1，2，3，4，5，6}．又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．有些集合元素较多，在不发生误解的情况下，可列几个元素为代表，其他元素用省略号表示．如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，99}．7. 性质描述法．给定x 的取值集合I ，如果属于集合A 的任意元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质描述为{x ∈I | p (x )} ，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做性质描述法．使用特征性质描述法时要注意：(1)特征性质明确；(2)若元素范围为R ，“x ∈R ”可以省略不写．例用性质描述法表示下列集合：(1)大于3的实数的全体构成的集合；(2) 平行四边形的全体构成的集合；(3)平面α内到两定点A ，B 距离相等的点的全体构成的集合．解(1){ x | x >3}；(2){ x | x 是两组对边分别平行的四边形}；(3)l ＝{P ∈α，|PA |＝|PB |，A ，B 为α内两定点}．基础训练1. 用符号填空：或∉∈{}Q x x x ∈<<,10___21)1((){}R x x x ∈<<,10____02 ()φ____03(){}0___042. 用列举法表示下列集合:(1){小于7的自然数} (2) {x|-2<x<2, x ∈N}(3) {x|0822=--x x } (4){}02=+x x x 3.以下不能形成集合的是A.比1小的实数B.所有偶数C.接近的实数D.所有正整数4.下列结论中不正确的是A.N ∈0B.R ∈3C.Q ∈-21 D.Q ∈π 5.下列集合中只有一个元素是 A.{}R x x x ∈=,12 B.{}R x x x ∈=,1 C.{}R x x x∈=,1 D.{}R x x x ∈-=,126.下列结论中不正确的是A.φ中没有元素B.集合{}0322=+-∈x x R x 中有两个元素C.{1,2,3,4}与{4,2,1,3}是相同的集合 D .N 是无限集 7.{}()表示的是集合Z n n x x ∈=,2A.整数集B.偶数集C.奇数集D.自然数集 8.{}()中元素的个数是集合N x x x ∈<≤-,33A.1B.2C.3D.69. 下面四个结论（1）{2,3,4}是由四个元素组成的集合（2）{0}表示仅由一个0组成的集合（3）集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个不同的集合（4）集合{小于1的正有理数}是一个有限集其中正确的是（）A. 只有3，4B.只有2,3,4C.只有1,2,D.210. 已知集合P={x|x>5},则下列结论中正确的是( ).A.P ∈2B.P ∉3C.P ∈3D.P P ∉∉32且综合训练1.已知集合M={a, b, c}中的元素对应着某主角形的三条边长，那么这个三角形一定不是()(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形(D)等腰三角形2.设集合{}022=--=x x x M ,则下列各式中，正确的是().A.M ∈1B.M ∈0C.M ∉2D.M ∈-13.直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为( ).(A) {(x ， y)|x=0且y ≠0，或x ≠0且y=0}(B) {(x, y)|x=0且y=0}(C) {(x, y)|xy=0}(D) {(x, y)|x 与y 不同时为0}4.下列各组对象中，不能构成集合的是( )(A)接近零的实数 (B)不等式x>2的所有的解集(C)直线y=3x 上的所有的点 (D)所有正方形5.下列集合中，表示同一个集合的是（）(A) M={(3，2)}，N={(2，3)}.(B) M={3，2}，N={2，3}(C) M={(x ，y)l x+y=1}，N={y l x+y=1}(D) M={1，2}，N={(1, 2)}6.设集合A={面积为1的矩形}，B={面积为1的正三角形} 则下列叙述中,正确的是（）(A) A ，B 都是有限集 (B)A ，B 都是无限集(C) A 是有限集，B 是无限集 (D)A 是无限集，B 是有限集7.下列各选项中，正确的是（）(A)小于15的正有理数构成的集合是有限集(B) 3.141 592 Q ∈6(C)若A 是由x x =2的解构成的集合，则A ∈0(D)N ∉0 8.方程组⎩⎨⎧=--=+219y x y x 的解集是（） (A) (6， 15) (B) {x=6，y=-15}(C) {(6， -15)} (D)(6，-15)10. 若{}1,12,332---∈-a a a ,则实数a=10.若集合{}012=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是。

关于集合的知识点总结

关于集合的知识点总结集合是数学中的一个重要概念，它是由一些对象组成的整体，这些对象可以是数字、字母、单词、短语等。

集合的概念在数学中起到了连接各种数学分支的桥梁作用，不仅在数学中应用广泛，还在计算机科学、逻辑学等领域有着重要的应用。

一、集合的基本概念1. 元素：集合中的每个对象称为元素，一个集合可以有无限个元素，也可以有有限个元素。

元素可以是任何事物，如数字、字母、单词等。

2. 集合的表示：通常使用大写字母表示集合，如A、B，集合中的元素用花括号{}表示，如A={1, 2, 3}。

3. 集合的相等：两个集合相等的条件是它们的元素相同，即集合A=B当且仅当A和B中的元素完全相同。

4. 空集合：不含任何元素的集合称为空集合，通常用符号∅表示。

5. 子集：如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，那么A是B的子集，记作A⊆B。

空集是任意集合的子集。

6. 交集：两个集合A和B的交集，定义为所有同时属于A和B的元素所组成的集合，记作A∩B。

7. 并集：两个集合A和B的并集，定义为所有属于A或者B 的元素所组成的集合，记作A∪B。

如果两个集合没有共同的元素，它们的交集为空集，称为互斥。

二、集合的运算和性质1. 并集和交集的运算律：(1) 交换律：A∩B = B∩A，A∪B = B∪A(2) 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)(3) 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)(4) 吸收律：A∩(A∪B) = A，A∪(A∩B) = A2. 补集：对于给定的集合A，全集U中不属于A的元素所组成的集合称为A的补集，记作A'。

补集满足以下性质：(1) A∪A' = U，A∩A' = ∅(2) (A')' = A(3) U' = ∅，∅' = U3. 包含关系：对于任意集合A和B，如果A包含于B，即A的所有元素都属于B，记作A⊆B或者B⊇A。

职中数学《集合》知识点总结

职中数学《集合》知识点总结1、集合的基本概念集合是由一定规则确定的一些事物的总体，这些事物称为该集合的元素，元素之间没有先后次序之别。

集合通常用大写字母表示，而其中的元素通常用小写字母表示。

例如，集合A={a,b,c,d,e}，则a,b,c,d,e即为A的元素。

2、集合的表示方法集合有三种主要的表示方法：罗列法、描述法和Venn图法。

罗列法是指按照一定次序将元素一一列举出来，例如A={a,b,c,d,e}；描述法是指通过陈述集合元素的性质来确定集合，例如A={x|x是正整数}；Venn图法是一种用来表示集合及其关系的图，通常用圆形或椭圆形来表示集合，而集合元素则用图形内部的点表示。

3、子集合、空集合和全集合定义：若集合B中的每一个元素都在集合A中，则称B是A的子集。

空集合是不含任何元素的集合，通常用符号∅表示。

全集合是涉及问题范围内的元素的总体，通常用符号U表示。

4、集合的相等当两个集合A和B的元素完全相同时，即A中的任意一个元素都在B中且B中的任意一个元素都在A中，则称A=B，即A和B相等。

二、集合运算1、并集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的新集合称为A和B的并集，记作A∪B。

2、交集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的新集合称为A和B的交集，记作A∩B。

3、差集定义：集合A中去掉A∩B的元素所组成的集合称为A与B的差集，并记作A-B。

4、补集定义：设U为全集，集合A中不属于B的所有元素组成的集合称为集合A与B的补集，记作A'。

5、集合的运算律并集法则：A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；交集法则：A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根定律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。

2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。

3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。

四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。

2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。

3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。

2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。