对勾函数详细分析教学指导

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修

c. 对勾函数性质的推导过程（用时5分钟）
让学生分组讨论对勾函数性质的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
5. 总结回顾（用时5分钟）
回顾本节课的主要内容，强调对勾函数性质的重要性，引导学生总结对勾函数的概念、性质和应用，提高学生的记忆和理解能力。
总用时：45分钟
六、教学资源拓展
1. 拓展资源：
十、对勾函数性质的证明和推导过程
1. 对勾函数性质的证明方法
2. 对勾函数性质的推导过程
3. 对勾函数性质的应用实例
十一、对勾函数性质的实际应用
1. 对勾函数性质的应用实例
2. 对勾函数性质的实际问题解决
3. 对勾函数性质的应用技巧
十二、对勾函数与其他函数的关系
1. 对勾函数与三角函数的关系
2. 对勾函数与指数函数的关系
5. 激发学生的数学兴趣：通过对勾函数的图象特征和性质的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习热情。
三、重点难点及解决办法
1. 重点：对勾函数的性质。
- 难点来源：对勾函数性质的理解和运用。
- 解决方法：通过例题讲解和练习巩固，帮助学生理解和掌握对勾函数的性质。
2. 重点：对勾函数性质的应用。
提供一些对勾函数性质的验证题目，让学生通过计算和作图的方式，验证对勾函数的性质。
b. 对勾函数性质的实际应用（用时5分钟）
提供一些实际问题，让学生运用对勾函数的性质进行解答，培养学生的数学应用能力。
c. 对勾函数图象的绘制（用时5分钟）
通过数学软件或手工绘制对勾函数图象，让学生直观地理解对勾函数的图象特征，提高学生的空间想象能力。
4. 总结：总结本节课的主要内容，强调对勾函数性质的重要性。
七、教学评价

基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解

第2讲基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【要点梳理】要点1 对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像与性质（1）定义域：()(),00,-∞+∞；（2）值域：(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣；（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称；（4）图像在一、三象限，当0x >时，by ax x=+≥x =等号），即()f x 在x =0x <时，()f x 在x =-；（5）单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭要点2 基本不等式基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【经典例题】题型1 基本公式套用例1 【★】已知a ，b ，0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（）． ①114x yx y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（）． A ．2a b ab + B ．2b aa b+C 222abD ．2ab ab a b+例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则91x x +-的最小值为（）． A ．4B ．6C ．7D ．10例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（）．A B C ．D ．2题型2 对勾函数例1【★★•2019秋•淮安期末】函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1411x x ++-的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．1例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则2471x x x -+-的( )A ．最小值为2B ．最大值为2C ．最小值为6-D ．最大值为6-例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数24(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6题型3 “1”的代换例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为()A ．20B ．24C ．25D ．28例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是( )A ．5B ．245C D ．195例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．9题型4 x ，y ，xy 型例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[33)C ．[2，)+∞D ．[2，3)例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为．例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是．例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是．例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是．题型5 2x ，2y ，xy 型例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是()A ．6B ．4C D ．23例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是() A ．43B ．53C ．2D ．54例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为．【课后练习】1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +＞2C ．x （1﹣x ）≤（）2＝D ．sin x +（0＜x ＜π）的最小值是22．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的对称中心，则的最小值为（） A ．9B ．4C ．8D ．103．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为（） A ．13B ．11C ．10D ．94．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（）A．B．C．D．6。

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。

它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。

在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。

对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。

这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。

当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。

对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。

2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。

对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。

3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。

这种单调性有助于网络的学习过程。

对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。

例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。

2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。

这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。

3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。

它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。

虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。

1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。

这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。

2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。

对勾函数专题讲解

专题对勾函数及其应用1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋bx (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。

2．对勾函数y ＝ax ＋bx(a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． 3．y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝bx⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋ax的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋bx ≥2ab .当且仅当ax ＝bx，x ＝ba时取等号．例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．变式训练已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域．变式训练求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域．强化训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x-D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( )A ．[133，5)B ．[4,5)C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．7．若函数y ＝xax y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+-a a 恒成立，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a >0.(1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .10求函数()f x x=的最大值.（较难）参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )，换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t )≥4，当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x ＋2，换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7，若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)． 4．26－2解析换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t －2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增，所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值6.6．23解析因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5] 8．1 760解析池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x ×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x，则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160，即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106，则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2 400(x ＋400x)，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x )(0<x <106)．(2)y ＝2400(x ＋400x)≥2 400×2x ·400x＝96 000，当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立．故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元． 11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a . 又∵f (x )min ＝112，∴a <112.12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x ， x ∈[1，＋∞)．令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝32.(2)当0<a <1时，令x ＝ax ，得x ＝a <1,∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋ax ≥2a ，当x ＝ax ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ， ∴C (x )＝403x ＋5，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立．这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-高一上学期数学人教A版

人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章 3.3 探究函数x
x y 1+=的图象与性质教学设计
一、学情分析：
通过函数定义域、值域、单调性与奇偶性的学习，学生初步具备学习这类函数的基础和方法。

二、教学目标：
（1）以函数x
x y 1
+
=为载体，初步感受研究函数性质的基本过程与方法. （2）探究函数x
k
x y +=）（0>k 的图象与性质.
（3）体会由特殊到一般、数形结合等数学思想在数学研究中的应用.
（4）能够利用这类函数的性质求简单的值域问题，感受其在实际生活中的应用.
（5）直观感受函数(0,0)b
y ax a b x
=+≠≠的图象.
三、重点：函数1
y x x =+的图象与性质的探究.
难点：函数1
y x x
=+的单调区间的确定及单调性的证明.。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。

当x<0时，错误！未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

对勾函数初探教学指南

对勾函数初探教学指南简介对勾函数是数学中的一种函数，通常用来表示一个布尔变量是否为真或为假。

在数学中，一个对勾函数的输出只有两个值：真或假。

在计算机科学中，对勾函数也广泛应用于逻辑判断、条件控制等领域。

目标本教学指南的目标是帮助研究者初步了解对勾函数的原理、性质和应用，并且能够独立运用对勾函数完成一些基本的逻辑判断。

内容1. 对勾函数的定义和符号表示对勾函数的定义是一个将一个布尔变量映射到两个输出值（真或假）的函数。

对勾函数通常用符号“√”（表示真）和“×”（表示假）表示。

2. 对勾函数的性质- 只有两个输出值：真或假。

- 对勾函数是一种离散函数，输入集合和输出集合均为有限集合。

- 对勾函数具有不可交换性：交换输入变量的位置会导致输出值发生变化。

- 对勾函数具有唯一性：给定相同的输入，对勾函数的输出结果是唯一的。

3. 对勾函数的应用场景- 逻辑判断：可以通过对勾函数判断条件语句的真假。

- 条件控制：可以根据对勾函数的输出结果执行不同的代码块。

- 布尔代数：对勾函数是布尔代数中的基本运算。

4. 对勾函数的运算法则- 反运算：对勾函数的反运算是指将真变为假，假变为真。

即√的反运算是×，×的反运算是√。

- 与运算：对勾函数的与运算是指两个对勾函数的输入变量同时为真时输出真，否则输出假。

- 或运算：对勾函数的或运算是指两个对勾函数的输入变量至少有一个为真时输出真，否则输出假。

使用说明1. 阅读教学指南内容，理解对勾函数的定义、性质和应用场景。

2. 完成相关练，巩固对勾函数的基本概念和运算法则。

3. 思考并尝试应用对勾函数解决实际问题。

4. 研究进度记录和遇到的问题，可以与同学或老师进行讨论和交流。

5. 持续练和研究，深入理解对勾函数的更多应用和拓展。

结束语对勾函数是数学中一个基础而重要的概念，也是计算机科学中逻辑判断和条件控制的基础。

通过掌握对勾函数的原理和应用，我们能够更好地理解和运用逻辑思维，在编程和问题解决中更加得心应手。

探究“对勾”函数的图象与性质+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (1)

探究与发现探究函数xx y 1+=的图象与性质教学设计一.课程标准的相关要求数学探究活动是指围绕某个具体的数学问题开展自主探究，合作探究并最终解决问题的过程。

具体表现为发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究、论证数学结论。

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用，函数是贯穿高中数学课程的主线。

研究一个函数，不仅要分析其图像与性质，更重要的是以这个函数为载体，在研究过程中，体会基本的研究方法，感悟数学思想的重要应用，为研究其它函数积累经验和能力。

二．教材分析新版教材设置“探究与发现”栏目是实现数学建模活动与数学探究活动的一个窗口，而选择“函数y=x+1/x 的图像与性质”这个素材又契合了函数主题。

该部分内容上乘函数的图像、函数的性质、幂函数等，学生可以由图像直观发现函数的性质，体现图像反映性质；也可由性质入手，画出图象，体会性质决定图象，若能切实搞好这两方面的教学，将会大大的提高学生的数学素养，提高数学能力。

三.教学设计（一）基于以上内容，确定本节课的教学目标和教学重、难点。

1.教学目标：（1）经历函数y=x+1/x的图像与性质的探究过程，体验用已知的数学结论和方法来发现，探索未知的内容，体会数学研究的一些基本的要领和方法（2）通过直观感知、合理猜想、演绎论证的过程研究y=x+1/x这个函数模型，探究发现函数的图像和性质，培养学生的探索精神、合作能力，提高实践能力，体验成功的感受，提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，以及数学表达、反思完善的能力。

2.教学重点：通过独立探索或合作探究的方式，引导学生积极主动思考，得到函数y=x+1/x的性质与图像，明确探究方案的确定即：研究什么、怎么研究、研究出了什么？帮助学生建构探索体验。

对勾函数详细分析教学指导

对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。

此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。

对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。

此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。

对勾函数专题讲解

专题对勾函数及其应用1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋bx (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。

2．对勾函数y ＝ax ＋bx(a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． 3．y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝bx⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋ax的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋bx ≥2ab .当且仅当ax ＝bx，x ＝ba时取等号．例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．变式训练已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域．变式训练求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域．强化训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x-D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( )A ．[133，5)B ．[4,5)C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．7．若函数y ＝xax y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+-a a 恒成立，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a >0.(1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .10求函数()f x x=的最大值.（较难）参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )，换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t )≥4，当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x ＋2，换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7，若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)． 4．26－2解析换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t －2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增，所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值6.6．23解析因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5] 8．1 760解析池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x ×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x，则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160，即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106，则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2 400(x ＋400x)，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x )(0<x <106)．(2)y ＝2400(x ＋400x)≥2 400×2x ·400x＝96 000，当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立．故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元． 11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a . 又∵f (x )min ＝112，∴a <112.12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x ， x ∈[1，＋∞)．令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝32.(2)当0<a <1时，令x ＝ax ，得x ＝a <1,∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋ax ≥2a ，当x ＝ax ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ， ∴C (x )＝403x ＋5，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立．这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。

对勾函数初探教学手册

对勾函数初探教学手册介绍本文档旨在帮助初学者探索和理解对勾函数的基本概念和使用方法。

对勾函数是一种常用的函数类型，特点是在给定特定条件下，输出值为真(或1)，否则为假(或0)。

目录1. 对勾函数简介2. 对勾函数的构成和定义3. 对勾函数的基本性质4. 对勾函数的使用示例5. 探索对勾函数的更多应用领域1. 对勾函数简介对勾函数是数学和计算机科学中一种重要的函数类型。

它被广泛应用于逻辑运算、条件判断以及编程中的控制流程。

对勾函数的输出结果只有两个取值，即真和假，对应于1和0。

2. 对勾函数的构成和定义对勾函数由两个部分组成：输入和输出。

输入是一组逻辑条件，可以是逻辑变量、逻辑运算或逻辑表达式。

输出是根据输入条件进行判断后的取值，通常为真或假。

对勾函数的定义可以使用函数图、真值表或逻辑表达式等方式表示。

3. 对勾函数的基本性质对勾函数有以下几个基本性质：- 存在唯一的输入条件和输出值的对应关系。

- 对勾函数的输出结果只有两个可能取值。

- 对勾函数可以通过逻辑运算符进行组合和嵌套。

4. 对勾函数的使用示例现在以一个简单的对勾函数示例进行说明。

假设我们有一个对勾函数，根据输入的年龄判断一个人是否成年，若年龄大于等于18，则输出真，否则输出假。

以下是该对勾函数的定义示例：def is_adult(age):if age >= 18:return Trueelse:return False我们可以调用该函数进行测试，如下所示：print(is_adult(20)) # 输出：Trueprint(is_adult(16)) # 输出：False5. 探索对勾函数的更多应用领域除了上述示例中的年龄判断，对勾函数还有很多其他应用领域，如逻辑运算、条件判断、布尔代数、计算机科学和人工智能等。

对勾函数的基本特性使得它在这些领域中具有广泛的应用前景。

总结本文档介绍了对勾函数的基本概念和使用方法，包括对勾函数的构成和定义、基本性质、示例以及其更多的应用领域。

(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用、对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x质：1. 定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0即 f (x) 在 x= b时，取最小值 2 ab a、对勾函数的变形形式2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个对勾”的形状，且函数图像关于4.图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y axb2 ab (当且仅当 x b取等号)，由奇函数性质知：当x <0 时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 ab a 5.单调性：增区间为(,b) ,a, 减区间是( 0 ，类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质1. 定义域： ( ,0) (0, )0)的图像与性3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4. 图像在二、四象限, 当x<0时，f （x）在x= b时，取最小值 2ab；当x 0时，af（x）在x= b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,b a)类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x① a 0,b 0 作图如下1. 定义域：（ ,0）（0, ）2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）② a 0,b 0 作图如下：1. 定义域：( ,0) (0, )2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）2此类函数可变形为 f(x) ax cb ，可由对勾函数 y axc 上下平移得到 x x2练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为x类型四：函数 f (x) x a (a 0,k 0)xk此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上下平移得到练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图x 2 x 22. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心x1a. 若 a 0 ，图像如下：1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]3. 奇偶性：奇函数 .4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时，取最大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a2 b 2 b5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]类型三函数 f(x)ax 2 bx c(ac 0)x类型五：函数 af(x) 2 xbx( )axf (x)2xa b xxb (a 0,b 0) 。

高中数学探究对勾函数教案

高中数学探究对勾函数教案
授课内容：对勾函数
目标：学生能够了解对勾函数的定义，性质，图像特征并且能够灵活运用对勾函数解决实
际问题。

一、引入问题：
通过一个简单实际问题引入对勾函数的概念，比如：“有一条弹簧，一头固定在地面，另
一头系有一个重物。

当重物在下沉时，弹簧会被拉伸，当重物又被提起时，弹簧又被压缩。

问：弹簧拉长或缩短的关系是否有规律可循？”
通过这个问题，引出对勾函数的概念。

二、学习对勾函数的定义和性质：
1. 对勾函数的定义：对勾函数是定义在实数集上的一种周期性函数，其周期为2π。

通常
表示为y = sinx。

2. 对勾函数的性质：周期性、奇函数、值域、图像特征等。

通过数学推导和图像展示，让
学生了解对勾函数的一些基本性质。

三、练习对勾函数的图像绘制：
让学生通过计算和使用数学软件，绘制对勾函数的图像，并观察其周期性、奇函数性质、
振荡幅度等特征。

四、实际问题探究：
通过一些实际问题，引导学生用对勾函数来解决问题，比如：“一个摆锤在重力作用下摆动，问：摆锤摆动的高度与时间的关系是否可以用对勾函数表示？”
通过这个实际问题的探究，让学生理解对勾函数在解决实际问题中的应用。

五、课堂讨论和展示：
让学生分享他们对对勾函数的理解和应用，让学生之间相互交流，促进对勾函数的深入理解。

六、作业：
布置相应的练习和作业来巩固学生对对勾函数的理解和应用，确保学生在课下能够独立掌
握对勾函数的相关知识。

通过以上的教学过程，相信学生可以对对勾函数有一个全面的理解和掌握，同时也增加了对数学的兴趣和学习动力。

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数讲解与例题解析对勾函数是一种常见而特殊的函数，虽然在高中教材中不常出现，但在考试中却经常被考到。

对勾函数的图像由直线和双曲线组成，当a，b同号时，形状类似双勾，因此被称为“对勾函数”、“勾勾函数”、“海鸥函数”。

当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可看作是两个函数叠加而成。

对勾函数认为是反比例函数的一种延伸，其顶点坐标可以通过均值不等式求得。

对勾函数的定义域、值域也可根据顶点坐标得出，且在定义域内是奇函数。

对勾函数的单调性和渐进线也可以从图像中得到。

研究勾函数性质需要用到均值不等式。

均值不等式是根据二次函数推导而来的。

二次函数展开后可以得到a^2+b^2≥2ab，整理后得到(a+b)^2≥4ab，开根号后得到a+b≥2√ab。

将ax+b/x套用这个公式，可以得到ax+b/x≥2√ab，当且仅当ax=b/x时取到最小值，此时x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2√ab。

均值不等式可以写成(a+b)/2≥√ab，其中前面的式子是算术平均数，后面的式子是几何平均数，总结起来就是算术平均数不小于几何平均数。

要求函数y=x+1/x的最小值，可以用均值不等式来解。

因为x>0，所以y=x+1/x≥2√x/x=2，当且仅当x=1时取到最小值，此时y=2.另一种解法是用二次函数的方法，将y=x+1/x表示为y=x^2+1/x^2+2，然后用求根公式求出当y取最小值时对应的x=1，此时y=2.单调性定义是指函数在一定区间内单调递增或单调递减。

如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)>0，则函数在(a,b)内单调递增；如果对于任意的x1,x2，只有x1,x2∈(a,b)时，f(x1)-f(x2)<0，则函数在(a,b)内单调递减。

因为y=x+1/x在(0,1)内单调递增，在(1,∞)内单调递减，所以当x=1时取到最小值，y=2.复合函数的单调性是指由两个单调递增或单调递减的函数组成的复合函数在一定区间内也具有相同的单调性。

“探究对勾函数的图象和性质”教学设计

数学学习与研究㊀２０２３１７探究对勾函数的图象和性质教学设计探究对勾函数的图象和性质教学设计Һ吴功尧㊀（浙江省义乌中学，浙江㊀义乌㊀３２２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学探究一直是新课改探讨的热点话题，数学探究作为贯穿高中课程的主线，备受数学教育领域的关注．在开展完整的探究活动时，师生都面临较大挑战．文章提出在探究函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象和性质一课中，设计数显半径规情境，增加教学内容的亲和力，激发学生探究的内驱力．以期引导学生类比反比例函数的性质，明晰探究内容，形成探究思路，经历作图㊁观察㊁猜想㊁归纳㊁证明等过程，逐步养成一般性探究解决问题的习惯．ʌ关键词ɔ数学探究；对勾函数；核心素养引㊀言数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究㊁合作探究并最终解决问题的过程．‘普通高中数学课程标准（实验）“提出，高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究活动．在‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“（以下简称新课标）中，数学探究的地位提到了历史最高．数学探究作为四条主线之一贯穿高中课程，以探究探究与发现数学探究等形式出现在必修㊁选择性必修和选修教材中．２０２２年１０月，笔者参加了浙江金华地区优质课比赛，课题为探究函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象与性质，现将备课㊁试课㊁磨课的成果整理成文，望能与同行交流．一㊁教材与学情分析探究函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象与性质选自人教Ａ版普通高中教科书数学必修第一册第三章第三节的探究与发现．在初中，学生学习了正比例函数ｙ＝ｘ和反比例函数ｙ＝１ｘ的图象和性质．到了高中，学生又相继学习了函数的概念及其表示㊁函数的基本性质㊁幂函数，了解了用初等函数拼接㊁复合㊁运算可以构造新函数．教材设计了幂函数ｙ＝ｘ与ｙ＝１ｘ相加生成新函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的内容，它是对勾函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ＞０）的一个典型代表，只要研究清楚一个函数，这一类函数的性质就可以类比得出．学生在探究新函数与函数ｙ＝ｘ和ｙ＝１ｘ有何联系㊁哪些性质会继承㊁哪些会改变的过程中，不仅能将所学知识进行串联，更能进一步熟悉研究函数的一般路径，从而为后续学习新函数提供基础和示范．在探究的过程中，学生画出函数图象并观察变化趋势，可以落实直观想象核心素养；利用定义证明函数单调性，可以落实逻辑推理核心素养；由ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｘ＋３ｘ，ｙ＝２ｘ＋３ｘ等提取函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ＞０）的共同本质属性，可以落实数学抽象核心素养．因此，本课起着启迪思想㊁渗透方法㊁培育素养的作用．二㊁教法与学法分析为了让学生有较完整的探究体验，教师可以设计问题链（包括探究方案㊁研究思路㊁发现并证明结论㊁成果交流与评价），并组织学生以自主探究㊁小组合作㊁交流展示等方式开展探究活动．在这个过程中，教师应成为学生开展数学探究的组织者㊁指导者和合作者，学生应成为数学探究的参与者㊁分享者和评价者．三㊁教学目标及重难点分析知识层面上，能从数和形两个视角研究函数的图象与性质，这是本课的重点．一方面是从形上感知，学生会用描点法画出函数的图象，能从图象中看出函数的变化趋势．另一方面是从数上确认，学生能用严谨数学学习与研究㊀２０２３１７的数学语言证明所得结论；能力层面上，学生能联系所学知识，运用类比方法，明确研究思路，拟定合理的探究方案，这也是本课的难点．组内交流㊁组间交流㊁师生交流等方式，有助于培养学生清晰有条理表达的能力．在探索建立研究函数的一般模式时，学生能发展抽象概括的能力，这是本课的另一个重点；素养层面上，学生通过类比㊁观察㊁证明㊁归纳，培养直观想象㊁逻辑推理和数学抽象核心素养．四㊁教学过程（一）创设情境，提出问题课前，教师引导学生试用数显半径规，并思考其工作原理．工程中，数显半径规可用于测量圆弧形面的半径，如图１，将测头Ａ，Ｂ和中间测杆Ｄ靠在圆弧面上（其中测杆Ｄ可自由伸缩），可直接读出半径的大小．半径读数随着高度差ＭＤ的变化而变化，二者存在一定的函数关系．不妨假设测头ＡＢ间隔２个单位长度，则ＡＭ是１个单位长度，设高度差ＭＤ为ｘ个单位长度，半径ＣＡ为Ｒ个单位长度，由垂径定理可知，Ｒ２＝（Ｒ－ｘ）２＋１，于是２Ｒ＝ｘ＋１ｘ．工程中需要标定仪器的量程，即最小输出量与最大输出量之间的范围．分析清楚函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象与性质，数显半径规量程的问题就迎刃而解了．图１设计意图㊀新课标强调教学中要重视情境创设和问题设计．在综合化的情境中，学生与情境开展有效互动，能很好地落实数学学科核心素养．数显半径规的设计原理可追溯到‘九章算术“中的圆材埋壁问题．该情境兼具针对性㊁可接受性㊁科学性㊁启发性和趣味性，有助于唤起学生的求知欲，引发认知冲突，调动探究的主动性和积极性．（二）明晰思路，拟定路径引例㊀请同学们结合函数ｙ＝ｘ，ｙ＝１ｘ的图象，说一说这两个函数的性质．追问１㊀函数ｙ＝１ｘ的图象有没有对称轴？是什么？（参考答案：直线ｙ＝ʃｘ．）追问２㊀函数ｙ＝１ｘ的图象有什么变化趋势？（参考答案：随着ｘ增大或减小，图象无限接近ｘ轴，但永不相交．随着ｘң０，图象接近ｙ轴，但永不相交．ｘ轴和ｙ轴是其渐近线．）问题１㊀当遇到一个新函数时，你认为可以从哪些方面进行研究？（参考答案：可以从数和形两个方面进行思考，分别研究函数的图象㊁定义域㊁值域㊁奇偶性㊁单调性㊁渐近线㊁对称轴等．）问题２㊀你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？（参考答案：先从解析式中直接求出函数的定义域，然后利用定义证明函数的奇偶性，有了奇偶性，只要研究ｘ＞０的情况即可起到事半功倍的效果．接着运用基本不等式求出函数的最值，得到函数的值域，有了这些性质，再用描点法作图，观察图象后研究函数的单调性㊁渐近线和对称轴．）设计意图㊀明确了研究对象，接下来就是讨论研究内容及研究思路．万事开头难，在此之前，学生没有受过系统的探究训练，拿到课题后，往往会陷入手足无措的困境．回顾初中研究函数ｙ＝ｘ和ｙ＝１ｘ的过程，从研究的内容㊁思路㊁方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论，这样设计有助于学生探索建立自己的研究内容及研究思路．拟定研究路径是本堂课的一个难点，真实的探究过程往往是曲折的，并非单向地由图及性或由性及图，应该是游走在图象与性质之间的．借助性质，使作图更准确，借助图象，使发现性质更具方向性．总之，数形二者应是相辅相成，浑然一体的．（三）数形联通，探究新知问题３㊀按照你构建的路径研究你想到的问题．函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的定义域｛ｘ｜ｘʂ０｝关于原点对称，且ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是奇函数；当ｘ＞０时，ｘ＋１ｘȡ２，当且仅当ｘ＝１ｘ，即ｘ＝１时，等号成立；由ｆ（ｘ）是奇函数可知，当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）在ｘ＝－１处取到最大值．追问１㊀ｙ＝ｘ在Ｒ上单调递增，ｙ＝１ｘ在（－ɕ，０）和（０，＋ɕ）上单调递减，相加之后是增还是减？追问２㊀能否借助图象进行猜想？如何作图？用描点法作图的步骤是：列表，描点，连线．因为ｆ（ｘ）是奇函数，只需考虑ｘ＞０的情形：当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）在ｘ＝１处取得最小值，先取点（１，２），其余点分居两侧．ｘ１４１３１２１２３４ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ１７４１０３５２２５２１０３１７４观察表格中的数据，可以发现ｆ１ｘæèçöø÷＝ｆ（ｘ）．追问３㊀你能猜想并证明函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的单调性吗？（学生猜想出增区间是（－ɕ，－１］，［１，＋ɕ），减区间是［－１，０），（０，１］．描点法只能描出有限个点，相邻两个点之间可能存在意外的情况．因此，仍有必要让学生用单调性的定义进行严格证明．）问题４㊀随着ｘ的增大，函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的图象有什么变化趋势？（以小组合作的方式完成探究，由于ｆ（ｘ）是奇函数，此处只考虑ｘ＞０的情形．）从数的角度看，一方面，当ｘ＞０时，ｘ＋１ｘ＞ｘ，即函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象恒在直线ｙ＝ｘ的上方．另一方面，随着ｘ的增大，ｙ＝１ｘң０，所以（ｘ＋１ｘ）－ｘ＝１ｘң０，即函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象逐渐靠近直线ｙ＝ｘ，但永不相交．从形的角度看，随着动点Ｃ向ｘ轴正方向移动，｜ＡＤ｜ң０，又｜ＢＣ｜＝｜ＡＤ｜，则｜ＢＣ｜ң０．由此可以看出图象逐渐靠近直线ｙ＝ｘ，但永不相交．这个过程需要配合ＧＧＢ软件动态演示．该动态过程形象地呈现了函数叠加的效果，为快速作出函数草图提供了新思路．追问㊀当ｘ向原点靠近时，函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的图象有什么变化趋势？（当ｘ＞０时，随着ｘ逐渐靠近原点，ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象逐渐靠近ｙ＝１ｘ，又ｙ＝１ｘ逐渐靠近ｙ轴，则函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象逐渐靠近ｙ轴，但永不相交．）问题５㊀直线ｙ＝ʃｘ是ｙ＝１ｘ图形的对称轴，函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ的图象有对称轴吗？以小组合作的方式完成探究，给每个小组一张用透明纸打印的函数图象，让学生通过对折探究是否存在对称轴．生１：对称轴是经过点（１，２）和点（０，０）的直线，即直线ｙ＝２ｘ．生２：直线ｙ＝２ｘ不是对称轴，它应该是直线ｙ＝ａ与图象的两个交点的中点轨迹．设Ｐ（ｘ１，ａ），Ｑ（ｘ２，ａ），将ｙ＝ａ与ｙ＝ｘ＋１ｘ联立，消去ｙ可得，ｘ２－ａｘ＋１＝０，则ｘ１＋ｘ２＝ａ，则ＰＱ中点的坐标为ａ２，ａæèçöø÷，所以中点的轨迹方程为ｙ＝２ｘ．学生得出结论后，教师可再用ＧＧＢ软件演示ｙ＝ｘ＋１ｘ绕原点旋转的过程．当渐近线落在坐标轴上时，得到了标准形式的双曲线，为后续学习圆锥曲线埋下了一粒种子．设计意图㊀在探究过程中，教师要发挥组织㊁指导和评价的作用，要组织学生通过自主探究㊁合作探究㊁小组展示获得结论．学生是探究的主体，针对问题３，４，５，教师要充分发挥学生的主动性和积极性，鼓励学生敢想㊁敢钻㊁敢说㊁敢辨．问题３设置了３个追问，问题４的追问少了，到了问题５完全由学生自己发现问题，解决问题，鼓励学生主动成为问题的提出者和问题解决者．问题３，４，５的设计，由刚开始的领着走，数学学习与研究㊀２０２３１７数学学习与研究㊀２０２３１７到后来完全放手让学生自己研究，循序渐进，层次分明．数学探究离不开探究工具的使用，为了利于学生探究，教学中不仅用到了实物，还多次用到ＧＧＢ软件进行动态演示．（四）类比迁移，引申拓展问题６㊀类比上述过程，探究函数ｙ＝ｘ＋３ｘ，ｙ＝２ｘ＋３ｘ的图象和性质．追问㊀请思考如何快速且较为准确地作出函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ＞０）的图象？作图前先分析该函数的相关性质，定义域为（－ɕ，０）ɣ（０，＋ɕ），是奇函数，渐近线是ｙ轴和直线ｙ＝ａｘ，关于两条渐近线的角平分线对称，在－ɕ，－ｂａæèçùûúú，ｂａ，＋ɕéëêêöø÷上单调递增，在[－ｂａ，０），（０，ｂａ]上单调递减，值域为（－ɕ，－２ａｂ］ɣ［２ａｂ，＋ɕ），接着结合性质画出函数图象．整体上看，这些函数图象的变化趋势较为相似，通常将这类函数形象地称为对勾函数．设计意图㊀类比是个伟大的引路人，遇到新函数时，学生可以循着相同的路径进行探究．采用由特殊到一般的方式进行研究，符合学生的认知规律，有助于学生抽象概括㊁去粗取精，提炼函数的本质特征．当函数含参时，列表㊁描点㊁连线的方法不再适用，学生可以通过分析数来研究形，发现的性质越多，画图越准确．（五）归纳整理，总结升华问题７㊀通过本堂课的学习，你有哪些收获？本堂课的收获主要有三点，一是探究了函数ｙ＝ｘ＋１ｘ的图象和性质；二是了解了函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ（ａ，ｂ＞０）的图象和性质；三是掌握了研究函数图象与性质的一般模式．五㊁教学反思（一）促进学生学习方式的改变数学探究有助于发展学生的创新意识和实践能力．学生要有敏锐的观察力，善于联系已学知识，各自开展独立探究，并撰写研究报告．学生要有合作意识，积极参与讨论，和小组成员一起讨论探究方案，完善研究成果，形成小组研究报告．学生不仅要认真听讲，积极思考，还要敢于质疑㊁善于交流㊁勤于动手㊁乐于探究．通过数学探究，学生不仅收获了探究所得的知识，而且提升了探究的一般技能，强化了探究的成功喜悦，培育了探究真理的精神．数学学科的生命力不在于三段式的结论，而是三会，数学探究正是提升三会的最佳选择．（二）促进教师教学方式的改变探究课强调学生的主体性，要求把时间留给学生，让学生想㊁让学生做㊁让学生说㊁让学生展示，教师成了学生的倾听者㊁观察者．看似教师的任务少了，实则对教师的教提出了更高的要求．教师需要创设兼具趣味性㊁综合性的情境，激发学生探究的欲望．教师需要在４０分钟内，指导学生完成拟定探究方案㊁确定研究思路㊁探求数学结论或规律㊁解释或证明结论等任务．教师需要充分了解学生的最近发展区，铺设探究的生长点．教师需要预判可能出现的情况，适时组织学生自主探究㊁小组讨论㊁交流展示．教师需要面向全体学生，让学习能力强的学生有事干，让学习能力弱的学生有收获．教师需要熟练运用信息技术，帮助学生形成良好的感性认知，从而降低探究的难度．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［２］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书数学（必修第一册）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．［３］杨怡，梁会芳，张定强．数学探究研究二十年：回顾经验展望［Ｊ］．数学教育学报，２０２０（０６）：４０－４５．。

根号函数优秀教案

根号函数优秀教案介绍本教案旨在帮助学生理解和掌握根号函数的概念、性质和运算规律。

通过多样化的教学手段和实例练，学生将能够充分理解根号函数的应用，并能够熟练进行根号函数的运算。

教学目标- 理解根号函数的定义和性质。

- 掌握根号函数的运算规律。

- 能够在实际问题中应用根号函数进行计算。

- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学内容1. 根号函数的定义和性质介绍。

2. 根号函数的运算规律和性质探究。

3. 根号函数在实际问题中的应用。

教学步骤步骤一：导入通过提问和引入实际问题，激发学生对根号函数的兴趣，并引导他们思考根号函数的定义和含义。

步骤二：理论讲解通过讲解根号函数的定义和性质，以及运算规律的推导，帮助学生系统地理解根号函数的运算方法和特点。

步骤三：例题演练通过一些简单的例题，让学生进行实际计算和运算规律的应用，巩固所学知识。

步骤四：拓展应用引入一些实际问题，让学生运用所学知识，解决实际中涉及根号函数的问题，培养学生的问题解决能力和创新思维。

步骤五：总结和归纳对本节课的内容进行总结和归纳，并指导学生进行自主练和巩固。

教学资源- 教科书或参考书籍：包含根号函数相关内容的数学教材。

- 讲义：提供根号函数的定义、性质和运算规律的讲义。

- 实例练题：包含不同难度的根号函数运算练题。

教学评估- 课堂参与度：观察学生的积极参与情况。

- 课后练：布置根号函数相关的作业和练题，用于检验学生的掌握程度。

- 考试或测验：根据教学目标设计根号函数相关的考试或测验，评估学生的研究成果。

教学反思与改进通过观察学生在教学过程中的表现，并根据评估结果，及时调整教学策略，从而不断改进教学效果。

同时也应注意与学生的沟通，及时解答他们的疑问，以提高教学质量。

以上是根号函数优秀教案的大致框架，希望对您有所帮助！。

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾

基于图形计算器的教学设计案例借助图形计算器研究函数(0)ay x a x=+>的图像与性质执教：杨一奋（江苏省常州市第五中学）【教学内容及解析】函数既是高中数学中的重要内容也是一条纽带，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程又把中学数学的各个分支紧紧连在一起。

近几年高考试题中，函数部分占有相当大比重，所考察内容主要有函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、以及函数图像的变换等。

对于函数这些性质，学生除了牢固掌握外还必须会灵活应用，并通过它们研究函数性质。

普通高中课程标准实验教科书《数学》的编排也基本是按照这几个方面直线编排，但学生学习后总觉得各部分是孤立的，对其整体理解很欠缺，因此有必要设置一个载体，实现知识点间的横向联系，让学生自主研究。

本课教学重点：函数图像的猜想、验证，函数单调性、值域的归纳及验证，让学生掌握研究方法也是这节课的重点内容。

在系统学习过必修一中的指数函数、对数函数及幂函数后，学生的函数知识掌握情况及函数的意识如何，需要通过新的函数研究加以检验；本课例选用对勾函数作为研究对象，一是因为对勾函数作为一种常见而又特殊的函数，其单调性较基本初等函数复杂，同时涉及到多种类型（本课时限定为研究(0)a y x a x=+>），对学生而言有一定难度和挑战，却也是检测学生函数意识的较好载体。

通过对函数图像的猜想，利用图形计算器验证图像，实现从数到形，从形到数的完美结合，让学生充分感觉数形结合思想的重要性；运用类比思想，找到研究方案，结合图像，归纳新函数性质，再用代数方法证明性质考虑到学生缺少基本不等式及导数的知识准备，在考察对勾函数的极值点（本文称为“转折点”）时会遇到一定的困难，因此选用了图形计算器作为研究工具。

【教学目标及解析】(一)教学目标1、技术操作层面：掌握图形计算器中“表格”、“图形”、“动态图形”等模块的基本操作命令，能利用函数分析等命令自行进行数学观察和思考。

对勾函数初探教学设计

对勾函数初探教学设计教学目标：1.了解对勾函数的定义和性质；2.掌握对勾函数的基本应用；3.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1.对勾函数的定义；2.对勾函数的性质。

教学难点：1.对勾函数的应用；2.解决实际问题的能力。

教学准备：1.教学PPT；2.教学板书；3.示例题目。

教学过程：一、引入（5分钟）1.通过问题引入对勾函数的概念：“你们是否听说过对勾函数？它可以帮助我们解决一些复杂的问题。

下面我将给你们介绍对勾函数的定义和性质。

”2.提问：你们对对勾函数有什么了解和想法吗？二、对勾函数的定义（10分钟）1.接着，通过教学PPT介绍对勾函数的定义：“对勾函数是一种特殊的函数，它的定义域是实数集，值域是[0,1]。

”2.示意图：“可以将对勾函数表示为一条从原点出发，经过点(1,1)，再连接到点(2,0)的连续曲线。

”3.教师板书对勾函数的基本形式：f(x)={0,x≤0;x,0≤x≤1;1,x≥1}三、对勾函数的性质（20分钟）1.教师通过PPT依次介绍对勾函数的性质：a.对勾函数的图像是递增的；b.对勾函数的图像在x=0和x=1处有铅直的渐近线；c.对勾函数的图像在x=1处有水平的渐近线。

2.教师带领学生讨论对勾函数的性质：a.为什么对勾函数的图像是递增的？b.为什么对勾函数的图像在x=0和x=1处有铅直的渐近线？c.为什么对勾函数的图像在x=1处有水平的渐近线？四、对勾函数的应用（30分钟）1.教师通过示例问题引入对勾函数的应用：“假设你是一家网上商城的运营者，你希望推出一种VIP会员制度，从而提高用户的购物频次和忠诚度。

如何设计合理的VIP折扣机制呢？”2.教师板书示例问题，并引导学生思考如何利用对勾函数进行设计。

3.学生分组讨论并展示设计方案，教师给予评价和指导。

五、实际问题解决与总结（25分钟）1.学生分组完成一个关于对勾函数应用的实际问题解决任务，如“假设你是一家旅行社的工作人员，你需要设计一种合理的旅游费用计算方式，根据客户的消费金额在不同的范围内给予不同折扣。

对勾函数教案教学

教学过程（一）复习引入在开始今天的学习之前，请同学们回顾一下，初中我们学习过哪些函数？它们的解析式和图像分别是什么？函数类型正比例函数反比例函数解析式 ()0y kx k =≠ ()0ky k x =≠图像过原点的直线双曲线函数类型一次函数二次函数解析式 ()0y ax b a =+≠()20y ax bx c a =++≠图像直线抛物线函数类型解析式 ()21120k y k x k k x=+≠ 图像可以看到，一次函数可以视为由正比例函数叠加一个常数所得，我们大胆试想一下，让正比例函数叠加上反比例函数，会形成什么函数呢？它的图像又是什么呢？那让我们先以形式最简单的1y x x=+为例。

通过初中对函数的学习，我们知道作函数图像的一般步骤是列表描点连线，现在，同学们手中已经有了一份如图的实验素材，当我们选定一处横坐标后，该函数纵坐标就是由y x =和1y x=在同一处处的纵坐标叠加而来。

请同学们按照这样的作图思路，用你们手中的图形计算器完成这个函数图像的绘制。

【活动一】对1y xx=+的图像进行绘制【学生动手操作，展示操作过程】【展示实验结果】让我们来共同欣赏大家的实验成果：一组优美的对勾图形。

这就是我们今天要研究的对象，对勾函数。

（二）探索新知我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，因此通过图像研究函数的性质是非常有意义的。

【活动二】具体对勾函数图像研究（16y xx=+）在函数的研究过程中，我们可以从定义域、值域、奇偶性、单调性等几方面展开，()0,+∞][)8,+∞奇函数，图象关于原点中心对称上递增，[4,0-上递减，在[)4,+∞【活动三】具体对勾函数转折点探究从16y xx=+的研究经验出发，请各小组的同学们进行分工绘制如下对（三）归纳猜想结合所观察到的实验结果，归纳函数()0ay x a =+>的性质，完成下表的填写：请用单调性的定义证明所发现的结论：（四）推理论证请同学们利用函数单调性的定义，证明函数()0ay x a x=+>在(和)+∞上的单调性.（五）课后探究思维延伸：()0a y x a x =+<的图像如何？不妨以1y x x=-为例，请同学们以本节课相同的探究方式，研究它的图像和性质。

对勾函数详细分析教学指导

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修

基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解

对勾函数详细分析

对勾函数专题讲解

3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-高一上学期数学人教A版

对勾函数讲解与例题解析

对勾函数初探教学指南

探究“对勾”函数的图象与性质+教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (1)

对勾函数详细分析教学指导

对勾函数详细分析

对勾函数专题讲解

对勾函数初探教学手册

(完整版)对勾函数详细分析

高中数学探究对勾函数教案

对勾函数讲解与例题解析

“探究对勾函数的图象和性质”教学设计

根号函数 优秀教案

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾

对勾函数初探教学设计

对勾函数教案教学

探究“对勾”函数的图象与性质+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (1)

根号函数优秀教案