错位相减法求和作业练习
错位相减法求和附答案
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•(I)求数列的通项公式;(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点「均在函数的图象上，二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T又忙：=.：「=乜，适合上式,I ............................................... （7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨, ,: ■ .1=2整理得：，•.................2.已知数列’的各项均为正数，是数列’（14 分）的前n项和，且（1）求数列’的通项公式；（2）二知二一-［答案］查看解析解出a i = 3, ［解析］又4S n = a n? + 2a n —3 ①2当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o... ■ - ■ :.”■-■'"叫—2( 一)二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『又.：匚............... : -.:-T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'④一③+(2卄】)・2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列■，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式•；(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：［答案］(i 由■'，，得'•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.用错位相减法可求得■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若' .求数列' 的前厂项和［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以’或. .(6分)(n)因为' ，所以'，所以^所以' •「——，所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'两式相减得,所以' .(13 分)5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中= S,且公差心2.(I)求数列’、；的通项公式；(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，若不存在，说明理由.u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口［解析］(I) 时，相减得：%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人? ?'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。
数列求和之错位相减法练习
数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a a2a−12.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a−a a−1(a≥2)．(1)设a a=a a−1，求证：{a a}为等比数列．(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a．3.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a−1)(1)求数列{a a}的通项公式；(2)若a a=a(a a−1)，求数列{a a}的前n项和a a．4.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．~(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和a a．(2)求数列{a a2a a5.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，a a为{a a}的前n项和．(1)求a a及a a；(2)若a a=a a⋅3a a，求数列{a a}的前n项和．+16.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a．7.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+a a+1.(1)求数列{a a }的通项公式； (2)令a a =(a a +1)(aa +2)a a +1，求数列{a a }的前n 项和．8. 已知等比数列{a a }的前n 项和为a a ，且a a +1=2a a +1(a ∈a ∗)．(1)求数列{a a }的通项公式；"(2)若数列{a a }满足a a =3a a −1，求数列{a aa a}的前n 项和a a ．9. 各项均为正数的数列{a a }满足a 1=1，a a +12−a a 2=2(a ∈a +).(1)求数列{a a }的通项公式;(2)求数列{a a 22a}的前n 项和a a ．10. 已知数列{a a }的前n 项和为a a ，且满足3a a =2a a +1．(1)求数列{a a }的通项公式；(2)设数列{a a}满足a a=(a+1)a a，求数列{a a}的前n项和a a．答案和解析1.【答案】解：(1)设a a =a 1+(a −1)a ，则(a 1+a )(a 1+3a )=6且a 1+5a =4，解得a 1=32，a =12或a 1=−172，a =52， ∵a a >0， ∴a 1=32，a =12， ∴a a =a2+1， (2)设{a a2a −1}的前n 项和为a a ，a a2a −1=a2+12a −1=a +22a， ∴a a =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(a +2)×(12)a ， ∴12a a =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(a +2)×(12)a +1，①−②得：12a a =32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)a ]−(a +2)×(12)a +1=32+14(1−12a −1)1−12]−(a +2)×(12)a +1，∴a a =4−a +42a【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a a =a 1+(a −1)a ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当a =1时，a 1+a 1=1=2a 1，∴a 1=12，当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，∴a a =12a a −1+12，∴a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)， 又a 1=a 1−1=−12≠0，故数列{a a }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，∴a a =1−(12)a，当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a =(12)a；当a =1时，a 1=a 1=12， ∴a a =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(a +1)⋅(12)a，又12a a =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(a +1)⋅(12)a +1，两式相减，得12aa=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a−(a +1)⋅(12)a +1=1+14[1−(12)a −1]1−12−(a +1)⋅(12)a +1=32−(a +3)⋅(12)a +1， 故a a =3−(a +3)⋅(12)a．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题． (1)运用当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，即得到a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)，再根据a 1=a 1−1=−12≠0即可证明{a a }为等比数列；(2)由(1)得a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，即得a a =1−(12)a，进而得到当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a=(12)a，当a =1时a 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】 解：(1)因为a a =2(a a −1)，① 当a ≥2时，a a −1=2(a a −1−1)，②①−②得a a =2a a −2a a −1，即a a =2a a −1，由①式中令a =1，可得a 1=2，∴数列{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a a =2a 。
错位相减法求和练习
错位相减法求和练习通项公式特点：n a =等差⨯等比，比如2n n a n =⋅，其中n 代表一个等差数列的通项公式（关于n 的一次函数），2n 代表一个等比数列的通项公式（关于n 的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以()212n n a n =-⋅为例，设其前n 项和为n S①列： 先将n S 写成n 项和的形式()121232212n n S n =⋅+⋅++-⋅② 乘q ：两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列()121232212n n S n =⋅+⋅++-⋅()()23121232232212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。
③ 差：然后两式相减：()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅ 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出n S 即可 ()()1231122222212n n n S n +-=⋅++++--⋅ ()()114212221221n n n -+-=+⋅--⋅- ()13226n n +=-⋅-所以()12326n n S n +=-⋅+通过“列，乘，差”三步解决错位相减类问题。
求出的结果检验T 1与C 1是否相等来检查是否算错对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。
而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。
体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和1. [一般] （2020•安徽模拟）已知数列{a n}是递增的等比数列，S n是其前n项和，a2＝9，S3＝39．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．2. [困难] （2020•深圳模拟）已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．3. [一般] （2020•衡阳二模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且n+2，，（a1﹣2）n依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．4. [一般] （2020•滨州二模）已知{a n}为等差数列，a3+a6＝25，a8＝23，{b n}为等比数列，且a1＝2b1，b2b5＝a11．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．5. [一般] （2020•全国II卷模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝且n≥2）．（Ⅰ）证明：为等差数列：（Ⅱ）求数列的前n项和T n．6. [一般] （2020•重庆模拟）已知公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a6，S4，﹣a2成等差数列．（1）求a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．7. [较易] （2020•咸阳一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．8. [一般] （2020•西安一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．9. [一般] （2020•淮南一模）已知等差数列{log3a n}的首项为1，公差为1，等差数列{b n}满足（n+1）b n＝n2+2n+k．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．10. [一般] （2020•资阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S4＝a4+a5．（1）求a n；（2）求数列的前n项和T n．错位相减法求和练习参考答案一、解答题（共10小题）1.【解答】解：（1）数列{a n}是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得q＞1，由a2＝9，S3＝39，可得+9+9q＝39，解得q＝3或（舍去），则数列{a n}的通项公式为a n＝a2q n﹣2＝9•3n﹣2＝3n；（2）b n＝＝（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1，两式相减可得T n＝+2[（）2+（）3+…+•（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化简可得T n＝1﹣（n+1）•（）n．2.【解答】（1）证明：∵a n+1a n+a n+1＝2a n，∴，∴，又，∴＝．∴数列{﹣1}为等比数列；（2）解：由（1）可得：＝，化为＝，∴．设T n＝+…+，＝++…++，∴+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝，∴数列{}的前n项和S n＝T n+＝﹣．3.【解答】解：（1）依题意，由n+2，，（a1﹣2）n依次成等比数列，可得S n＝（a1﹣2）n（n+2），则当n＝1时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，∴S n＝n（n+2）．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1．∵当n＝1时，a1＝3也满足a n＝2n+1，∴a n＝2n+1，n∈N*．（2）由（1）知，＝，∴，，两式相减，可得＝+（++…+）﹣＝+﹣＝﹣﹣＝﹣．∴T n＝5﹣．4.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得，则a n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*；设等比数列{b n}的公比为q，由a1＝2b1，b2b5＝a11．可得b1＝1，b12q5＝32，解得q＝2，则b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）由（1）可得c n＝a n b n＝（3n﹣1）•2n﹣1，则T n＝2•20+5•21+8•22+…+（3n﹣1）•2n﹣1，2T n＝2•2+5•22+8•23+…+（3n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n＝2+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣1）•2n＝2+3•﹣（3n﹣1）•2n，化简可得T n＝4+（3n﹣4）•2n．5.【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由＝2a n+1，可得a n＝2a n a n+1+a n+1，即a n﹣a n+1＝2a n a n+1．两边同时除以a n a n+1，可得﹣＝2（n≥2）．∵﹣＝3﹣1＝2，也满足上式．∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，则＝（2n﹣1）•3n．∴T n＝1×3+3×32+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝1×32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，两式相减，可得﹣2T n＝3+2×32+2×33+…+2•3n﹣（2n﹣1）•3n+1，＝3+18×（1+3+32+…+3n﹣2）﹣（2n﹣1）•3n+1＝3+18×﹣（2n﹣1）•3n+1＝2（1﹣n）•3n+1﹣6．∴T n＝（n﹣1）•3n+1+3．6.【解答】解：（1）a1＝2，由a6，S4，﹣a2成等差数列可得2S4＝a6﹣a2，即，则．（2），，，两式相减，＝．7.【解答】解：（I）证明：令n＝1，则a1＝3．∵S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）①∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，（n≥2，n∈N+）②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，a n＝2a n﹣1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2＝5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③﹣④得：＝，∴．8.【解答】解：（1）由题意，由S n＝a n+1，可得当n≥2时，S n﹣1＝a n，两式相减，得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即＝2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n﹣1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）由（1）知，b n＝n•2n，n∈N*．∴S n＝1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2S n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，可得﹣S n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）•2n+1+2．9.【解答】解：（I）由条件可知，log3a n＝1+n﹣1＝n，∴．∵，∴，，．由题意{b n}为等差数列，∴2b2＝b1+b3，解得k＝1，∴b n＝2+（n﹣1）＝n+1；（II）由（I）知，，∴（1）则（2）（1）﹣（2）可得，∴．10.【解答】解：（1）设公差为d，由S4＝a4+a5，得，即4+6d＝2+7d，解得d＝2，所以，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）＝，可得，两边同乘以，有，两式相减，得＝＝．所以，．。
题型-数列求和之错位相减法
1数列求和之错位相减法一、题型要求：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、练习巩固：1、（2012－信宜二模）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式.；2、（2015－漳浦校级模拟）等差数列}{n a 中，.2,49197a a a ==数列}{n b 满足n a n n a b 22⋅=（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和n S3、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；4、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列}12{+n a n的前n 项和，求n S ；35、（2014－惠州调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12n n a S -=；数列{}n b 满足(27)n n b n a =-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和为n T6、（2014－珠海六校联考）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .7、（2014－中山期末）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；8、（2014－梅州质检）设等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，已知122(*)n n a S n N +=+∈。
高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈； （Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+． （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++， 得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =， 所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>， 即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =.()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+， 又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n n n f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103nn +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n n n T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+；()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==， 又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【 方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。
高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习含答案
高考数学专项复习《数列中错位相减法求和问题》真题练习【高考真题】2022年没考查【方法总结】错位相减法求和错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n ．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5． (1)求a n ；(2)若b n ＝a n ·4S n a n求数列{b n }的前n 项的和T n ．2．(2020·全国Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．3．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝(n ＋1)a n －2．(1)求a 2，a 3和通项a n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·2n －1，求{b n }的前n 项和T n ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．6．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．7．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋1． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝12n ·a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 9．(2020·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ．公差不等于0的等差数列{b n }满足________，________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n ．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．13．在①已知数列{a n }满足：a n ＋1－2a n ＝0，a 3＝8；②等比数列{a n }中，公比q ＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题：(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2 022对n ∈N *恒成立，求正整数m 的最大值． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．14．(2021·全国乙)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2． 15．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34． 16．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12． (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2．17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)设K n 为数列{a n b n }的前n 项和，若不等式λS n T n ≥K n ＋n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．18．(2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n ．若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．19．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n 12log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．20．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ×2n ＋1＞30成立的正整数n 的最小值．。
题型-数列求和之错位相减法
题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。
+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。
2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。
三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。
+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。
1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。
数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。
数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。
1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。
错位相减法数列求和十题
3.数列 的前 项和为 ,且 是 和 的等差中项，等差数列 满足
（1）求数列 、 的通项公式
（Hale Waihona Puke ）设 = ，求数列 的前 项和 .
4.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线 上。
（2）设cn=1+an·bn，求cn的前n项和Tn。
8.已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+…+（-1）n-1anqn-1，q≠0，n∈N*，
(1)若q=1，a1=1，S3=15，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；
（II）设数列{an}的公比q=f（λ），数列{bn}满足b1=1/2，bn=f（bn-1）（n∈N*，n≥2）求数列{bn}的通项公式；
（III）记λ=1，记Cn=an( 1/bn-1)，求数列{Cn}的前n项和为Tn．
6.已知数列 的前 项和 ，数列 满足
（1）求数列 的通项公式 ;（2）求数列 的前 项和 ;
（3）求证：不论 取何正整数，不等式 恒成立
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，S6=36，数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3，b4+b5=24。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
错位相减法数列求和十题
1.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=4，S2=3．
（1）求数列{an}的通项公式；
错位相减法求和
错位相减法求和1. （12 江西 T16）已知数列 曲的前n 项和春一干kn （k ・ NJ ，且£的最大 值为8.（1）确定常数k ，求a n；【测量目标】错位相减法求和.又：a^ = Si = 7,2n2 3Tn =b 1b2 ................................. bn才？尹 ... 严才…（2）求数列宁的前n 项和T n.【难易程度】 中等【试题解析】 (1)当 n=k ・ N.时，S. — 1 n 2kn取最大值，即8 — 2k21 2ks k,故k=4，从而an(n…习,(步骤1)（步骤2）⑴写出a i，a2，a3并判断｛a n｝是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设 bn =nda n (iv N *)，求数列｛b n｝的前 n 项和 S ”.【测量目标】等比数列的通项，错位相减法求和， 根据数列的前n 项求数列的通项公式. 【难易程度】较难.a^d【试题解析】(1) a^d(d 1)2a 3 =d(d 1)a n二C：d C ；d 2 c 2d 3 III c n ，d n =d(1 d)n」am =d(1 d)n也=d 1a n因为d 为常数，所以｛a n｝是以d 为首项，d 1为公比的等比数列.(步骤1)( 2 )2 n -1b n = nd (1 d)S. =d 2(1 d)° 2d 2(1d)13d 2(1d)2|l|H| n d 2(1 d)nJ(1)-d 2[(1 d)0- 2(1 d)13(1 d)2|l川|n(1 • d)n J(1 d)Sn =d 2[(1 d)12(1 d)23(1 d)3丨1川丨 n( 1 d)n] ⑵(步骤2)1T^2T n-T -2 11丄 2门-2 丄=4- 12* -1丄=4…2*42* J2.(11 四川 T20) 设 d为 非 零 实 a n」(C nd 2Cd 2川 -n nm验1n n nCN * n( ) n.（步骤3）(2) - ( 1) dSn …代1. ；)))d2n(1 d)n]=d (d2n-d)(1 d)nS n =1 (dn -1)(1 d)n(步骤3)3. (10 宁夏T17)设数列订鳥满足印二2, a n 1 -a n二!_22n」,(I)求数列的通项公式；(口)令b n =na”，求数列的前n项和S”【测量目标】错位相减法求和.【难易程度】中等【试题解析】(I)由已知，当n\ 1时，an 1 -[( an 1 - a n ) ^ (an - a n」)丨H (a2 _ a i )] a i =3(22n」.22n「|( 2) 2= 22n 7. £步骤1)而a1 =2,所以数列｛a n｝的通项公式为a* =2曲.(步骤2) (H)由b n 二na n 二n[_22n 1知S n 七2_233_2§…n_222 ①(步骤3)从而22L S^1J3 ' 2J5■ 3_2? • nL22n 1②(步骤4)①-②得(1- 2 LS n 二2 32 52…n22」n_ n '2?.即S n冷(3n -1)22n 12].(步骤5)4. (10 四川T21)已知数列｛a n｝满足31 = 0, 32= 2,且对任意m、n€ N*都有32m-1 + a2nT = 2a m+ n-1 + 2(m—n)(I)求33, 35；(U)设b n= 32n+1 —32n- 1(n € N*),证明：｛b n｝是等差数列；(川)设C n= (a n+1 —a n)q n1(q H0 n€ N*),求数列｛C n｝的前n项和S n.【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和, 等差数列的通项.【难易程度】较难【试题解析】（I）由题意，令m = 2,n =1可得a3 = 2a2— ar + 2，（步骤1）再令m = 3, n =1 可得a5 = 2a3 -a r 8 = 20.（步骤2）当n^ N*时,由已知以n+代替m可得（2）a2n ■ f a n 2 ~12a n亠28 1 （步骤3）于是［a2 n（=+| 丁a1 n+_2］「（an+「a n_）2=8 即 2 1b n 1 - b n 二8.所以，数列帖n堤公差为8的等差数列. （步骤4）（皿）由（I ）、（U ）的解答可知「0?是首项a- a6公差为的等差数列.则b n=8n-2■即a2n+-a2n』=8 n-2,（步骤5）令由已知（令m=1）可得，爲=^^-_12,（步骤6）那E么,a… 1 -a” =a2n 1-比"4 -2n 1 =眶2-2n • 1 =2n' 2 2于是，C n=2nq n」（步骤7）当q=1 时，Sn=2 4 6 ||| 2n = n n 1 .（步骤8）当q=1 时，S n=2b°4& 6d …2nJq n」.（步骤9）两边同乘q 可得qS n =2^ 4d26_q3…2 n _1 Jq n_1' 2n_q n（步骤10)上述两式相减即得(1 —q)S n =2(1 q1q2q‘… q n」)—2n_q nn , 鼻，L n n-H=-2nq n =才n 1 q nq1-q 1-qn41 工,.t n ’n^1所以Sn=2L nq -n1q nq (步骤11)(q j)「n(n +1 j(q = 1)综上所述，S n = -(n+1)q n+ nqg(q泊(步骤12)[(q-1)25.(09 全国I T20)在数列｛a n｝中，a^1,a n 1=(1丄总呼7n 2（I）设，求数列｛b n｝的通项公式；n 7（II ）求数列｛a n｝的前n 项和S ”.【测量目标】已知递推公式求通项，错位相减法 求和.【难易程度】较难 【试题解析】（I ）1b ^bi7b3二b2 *b"f爲(n …2)(步骤1)于是b n = b, 1-2 -2.=2-^5 …2)(步骤 2)又b . = 1所以数列｛b ”｝的通项公式：b ”=2# ( n N *)(步骤3)(II )由(I )知 a ”=2” 一洛,S n='" (2k-£)='" (2k)-'"舟 1(步骤 4)k ：!2kJ ka2而J(2k) = n(n 1),又、。
错位相减法求与附与答案
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3 ①当时 4s n－1 = + 2a n-1－3②①－②, 即，∴,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： . [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅱ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或.（6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。
(完整版)错位相减法求和附答案
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，Ⅰ，Ⅰ，又点均在函数的图象上，Ⅰ．Ⅰ当时，，又，适合上式，Ⅰ．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知，，Ⅰ，Ⅰ，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3①当时4s n－1 = + 2a n-1－3②①－②, 即，Ⅰ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.得（Ⅰ）由，…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅰ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或.（6分)（Ⅰ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅰ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅰ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。
错位相减法求和附答案
错位相减法供战博项之阳早格格创做错位相减法供战适用于{an`bn }型数列，其中{an},{bn}分别是等好数列战等比数列，正在应用历程中要注意：项的对于应需精确；相减后应用等比数列供战部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要计划是可为11. 已知二次函数的图象通过坐标本面，其导函数，数列的前项战为，面均正在函数的图象上．（Ⅰ）供数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项战，供．[剖析]观察博题：2.1，2.2，3.1，6.1；易度：普遍[问案] （Ⅰ）由于二次函数的图象通过坐标本面，则设，，∴，∴，又面均正在函数的图象上，∴．∴当时，，又，符合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上头二式相减得：．整治得．．．．．．．．．．．．．．（14分）的各项均为正数，是数列的前n项战，且．（1）供数列的通项公式；（2）的值.[问案]查看剖析[剖析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4Sn = an2 + 2an－3①当时4sn－1 = + 2an-1－3 ②①－②, 即，∴,（），是以3为尾项，2为公好的等好数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成城市下新区下三4月月考，19,12分）设函数，数列前项战，，数列，谦脚.（Ⅰ）供数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项战为，数列的前项战为，道明： .[问案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得…，记…+，用错位相减法可供得：. （注：此题用到了没有等式：举止搁大. ）4.已知等好数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）供数列的通项公式：（Ⅱ）若．供数列的前项战[剖析]（Ⅰ）果为数列是等好数列，是与的等比中项．所以，又果为，设公好为，则，所以，解得或者，当时, ，；当时，.所以或者. （6分)（Ⅱ）果为，所以，所以，所以，所以二式相减得，所以. （13分）的前项战，，，等好数列中，且公好.（Ⅰ）供数列、的通项公式；（Ⅱ）是可存留正整数，使得若存留，供出的最小值，若没有存留，道明缘由.[剖析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为尾项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当.的最小正整数为4. （12分）6. 数列谦脚，等比数列谦脚.（Ⅰ）供数列，的通项公式；（Ⅱ）设，供数列的前项战.[剖析] （Ⅰ）由，所以数列是等好数列，又，所以，由，所以，，所以，即，所以. （6分)（Ⅱ）果为，所以，则，所以，二式相减的，所以. (12分）7. 已知数列谦脚，其中为数列的前项战．(Ⅰ) 供的通项公式；(Ⅱ) 若数列谦脚：() ，供的前项战公式. [剖析]Ⅰ) ∵，①∴②②－①得，，又时，，，. （5分）(Ⅱ) ∵，，，二式相减得，. （13分）8.设d为非整真数, an=[d+2d2+…+(n-1)dn-1+n dn](n∈N*) .(Ⅰ) 写出a1, a2, a3并推断{an}是可为等比数列. 假如, 给出道明;若没有是, 道明缘由;(Ⅱ) 设bn=ndan(n∈N*) , 供数列{bn}的前n项战Sn.[问案] (Ⅰ) 由已知可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.当n≥2, k≥1时, =, 果此an=.由此可睹, 当d≠-1时, {an}是以d为尾项, d+1为公比的等比数列;当d=-1时, a1=-1, an=0(n≥2) , 此时{an}没有是等比数列. (7分)(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, an=d(d+1) n-1,进而bn=nd2(d+1) n-1,Sn=d2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1]. ①当d=-1时, Sn=d2=1.当d≠-1时, ①式二边共乘d+1得(d+1) Sn=d2[(d+1) +2(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n]. ②①, ②式相减可得-dSn=d2[1+(d+1) +(d+1) 2+…+(d+1) n-1-n(d+1) n]=d2.化简即得Sn=(d+1) n(nd-1) +1.综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12分)9. 已知数列{an}谦脚a1=0, a2=2, 且对于任性m, n∈N*皆有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2.(Ⅰ) 供a3, a5;(Ⅱ) 设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*) , 道明:{bn}是等好数列;(Ⅲ) 设cn=(an+1-an) qn-1(q≠0, n∈N*) , 供数列{cn}的前n项战Sn.[问案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6.再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分)(Ⅱ) 道明:当n∈N*时, 由已知(以n+2代替m) 可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.于是[a2(n+1) +1-a2(n+1) -1]-(a2n+1-a2n-1) =8, 即bn+1-bn=8.所以, 数列{bn}是公好为8的等好数列. (5分)(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解问可知{bn}是尾项b1=a3-a1=6, 公好为8的等好数列.则bn=8n-2, 即a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知(令m=1) 可得, an=-(n-1) 2.那么, an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.于是, cn=2nqn-1.当q=1时, Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1) .当q≠1时, Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.二边共乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1) ·qn-1+2n·qn.上述二式相减即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1)-2nqn=2·-2nqn=2·,所以Sn=2·.综上所述, Sn=(12分)10.已知数列{an}是公好没有为整的等好数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)供数列{an}的通项公式;(2)供数列{an·}的前n项战.[问案] (1)设数列{an}的公好为d(d≠0),由条件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(6分)(2)由(1)知an·=2n×32n,设数列{an·}的前n项战为Sn,则Sn=2×32+4×34+6×36+…+2n×32n,32Sn=2×34+4×36+…+(2n-2) ×32n+2n×32n+2,故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×32n+2,(8分)所以数列{an·}的前n项战Sn=.(12分)谦脚又数列中,且.(1)供数列,的通项公式;(2)若数列,的前项战分别是,且供数列的前项战;(3)若对于十足正整数恒创造，供真数的与值范畴.[问案]( 1)设等好数列的公好为,则有解得，，，数列是以为尾项,公比为的等比数列.…………4分(2)由(1)可得，∴得，…………10分(3)，∴当时, 与最小值,,，即，当时，恒创造；当时，由，解得,即真数的与值范畴是. …………14分为数列的前项战，对于任性的，皆有为常数，且．（1）供证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列谦脚，供数列的通项公式；（3）正在谦脚（2）的条件下，供数列的前项战．[问案] 188.（1）当时，，解得．当时，，即．又为常数，且，∴．∴数列是尾项为1，公比为的等比数列．………………4分（2）由（1）得，，．∵，∴，，∴，∴．∴是尾项为，公好为1的等好数列．∴，∴（）．…………………9分（3）由（2）知，则．∴，①，②②－①得，∴． (14)分13.设等好数列{an}的前n项战为Sn, 且S4=4S2, a2n=2an+1. (Ⅰ) 供数列{an}的通项公式;(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项战为Tn, 且Tn+=λ(λ为常数), 令cn=b2n(n∈N*), 供数列{cn}的前n项战Rn.[问案] (Ⅰ) 设等好数列{an}的尾项为a1, 公好为d.由S4=4S2, a2n=2an+1得解得a1=1, d=2.果此an=2n-1, n∈N*.(Ⅱ) 由题意知: Tn=λ-,所以n≥2时, bn=Tn-Tn-1=-+=.故cn=b2n==(n-1) , n∈N*.所以Rn=0×+1×+2×+3×+…+(n-1) ×,则Rn=0×+1×+2×+…+(n-2) ×+(n-1) ×,二式相减得Rn=+++…+-(n-1) ×=-(n-1) ×=-,整治得Rn=.所以数列{cn}的前n项战Rn=.。
高中数学数列 错位相减法求和专题训练含答案
高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案1.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+2}=\frac{2a_n}{n+2}$，其中$a_{n+2}$为奇数，$2a_n$为偶数，且$a_1=1,a_2=2$。
1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 设$b_n=a_na_{n+1}$，$n\in\mathbb{N}$，求数列$\{b_n\}$的前$2n$项和$S_{2n}$；3) 设$c_n=a_{2n-1}a_{2n}+(-1)^n$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<\frac{4}{3}c_n$。
2.已知正项数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_3=7$，$a_{n+1}=6S_n+9n+1$，$n\in\mathbb{N}^*$。
1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若正项等比数列$\{b_n\}$满足$b_1=a_1$，$b_3=a_2$，且$c_n=a_nb_n$，数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；若对任意$n\geq 2$，$n\in\mathbb{N}^*$，均有$(T_n-5)m\geq 6n-3n+35$恒成立，求实数$m$的取值范围。
3.已知$n\in\mathbb{N}^*$，设$S_n$是单调递减的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$a_1=1$且$2S_2+a_2,S_4+a_4,S_3+a_3$成等差数列。
1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 记数列$\{na_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求证：对于任意正整数$n$，$T_n<\frac{4}{3}S_n$。
4.递增的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_2=6$，$S_4=30$。
1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若$b_n=a_n\log_{1/a_n}n$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求满足$T_n+n^2>50$的正整数$n$的最小值。
等比数列错位相减法例题
等比数列错位相减法例题错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的。
用错位相减法求和应注意：1、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2、在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．3、在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的错位相减求和求Sn,求过程？Sn=（3^2+...+3^（n+1））/2-3n/2=3^2（3^n-1）/（3-1）2-3n/2=（3^（n+2）-9）/4-3n/2 这个不需要错位相减。
典型的数学数列的错位相减法例题？例Cn=(2n-3)*2^(3-2n),求Sn 数列cn=(2n-3)2^(3n-2)可以看成等差数列an=2n-3与等比数列bn=2^(3-2n)的对应项的乘积等差数列有特点相邻两项之差相等，等比数列的每一项乘同一个数（公比）都得到下一项。
利用这一点就得到“错位相减法”Sn=-1*2+1*2^(-1)+3*2^(-3)-5*2^(-5)+……+(2n-3)*2^(3-2n)(*)(1/4)Sn=-1*2^(-1)+1*2^(-3)+3*2^(-5)+……+(2n-5)2^(3-2n)+(2n-3)2^(5-2n)(**)Sn-(1/4)Sn=-1*2+2*2^(-1)+2*2^(-错位相减裂项相交分组求和公式？Sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+ 1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn=1/2+1/4+1/8+....+1/2^n两边同时乘以1/21/2Sn=1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)Sn=1-1/2^n倒序相加法这个在证明等差数列求和公式时就应用了数列求和错位相减法怎么看有几项？如果求的是n项和，则中间等比数列有n-1项能用错位相减法求和的数列一般是一个等差数列乘以一个等比数列求前n项的和Sn=a1+a2+……an 先乘以一个公比q，得qSn=qa1+qa2+……qa(n-1)+qan 错一位相减，就是a2+……+an减去qa1+……qa(n-1) 结果是一个等比数列，一共有n-1项(a1和qan是不参加错位相减的)数列n/2^n该怎样错位相减求和？例：求an=n/2^n的前n项和Sn?Sn=1*1/2^1+2*1/2^2+3*1/2^3+4*1/2^4+........+n/2^n1/2*Sn=1*1/2^2+2*1/2^3+3*1/2^4+4*1/2^5+........+(n-1)/2^ n+n/2^(n+1) 上式-下式得：1/2*Sn=(1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+.....1/2^n)-n/2^(n+1)1/2*Sn=[1/2-1/2^(n+1)]/(1-1/2)-n/2^(n+1)1/2*Sn=1-2/2^(n+1)-n/2^(n+1) 1/2*Sn=1-(n+2)/2^(n+1)Sn=2-(n+2)/2^n小学奥数题，熟悉“错位相减求和”的请进？题目要求的值设为X1+3+（3的2次）+（3的3次）+（3的4次）+（3的5次）+（3的6次）+（3的7次）作一式（X）一式*3即：3+（3的2次）+（3的3次）+（3的4次）+（3的5次）+（3的6次）+（3的7次）+3（3的8次）为二式（3X）二式—减一式的值=2X将上值处以二即可10道公式法例题？法:(1)x^2+14x+2=0x^2+14x+49=47 (x+7)^2=47 x+7=±√47x=-7±√47 （2）x^2+4x-3=0 x^2+4x+4=7(x+2)^2=7x+2=±√7 x=-2±√7 (3)3z^2-4z-7=0 z^2-4/3z-7/3=0z^2-4/3z+4/9=4/9+7/3(z-2/3)^2=25/9 z-2/3=±5/3z=-1,z=7/3 因式分解:b2+2ab+c2-2ac=(b2-c2)+(2ab-2ac)=(b+c)(b-c)+2a(b-c)=(b-c)(b+ c+2a)(a+ b)^2+(a^2-b^2)=(a+b)^2+(a+b)(a-b)=(a+b)(a+b+a-b)=2a(a+b)a^2-b^2+(-a-b)=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1)m2+n2+2mn-p2=(m+n)2-p2=(m+n+p)(m+n-p)3a3b2c-6a2b2c2-9ab2c3=3 ab2 c(a2-2ac-3c2)=3ab2c(a+c)(a-3c)xy+6-2x-3y=x(y-2)-3(y-2)=(x-3)(y-2)x^2(x-y)+y^2(y-x)=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x+y)(x -y)^2等比数列求和的错位相减怎么引入不突兀？就利用等比数列的性质，数列中的任何一项乘以公比得到它的后一项等比数列求和的错位相减怎么引入不突兀？谢邀错位相减法可以用来推导等比数列，也可以用于“等差乘等比”形式数列的求和，即数列的求和。
错位相减法求和作业练习
错位相减法求和作业练习
1、{2}.n n n ⋅求数列前项和
2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =
-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
4、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =
211
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m
6、(){213}.n
n n -⋅求数列前项和
7、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.。
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错位相减法求和作业练习
1、{2}.n n n ⋅求数列前项和
2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =
-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
4、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =
211
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m
6、(){213}.n
n n -⋅求数列前项和
7、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.。