矩阵知识点归纳讲课教案

第 i 页 共 4 页

矩阵知识点归纳

(一)二阶矩阵与变换

1．线性变换与二阶矩阵

b

称为二阶矩阵,其中 a , b , c , d d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母 A , B , C ,…或(a ij )表示(其中i , j 分别为元素a ij 所在的行和列 )．

2．矩阵的乘法

b ii

行矩阵[a ii a i2]与列矩阵 b 2i

a b

x

与列矩阵 的乘法规则为 c d y

和消去律． 3．几种常见的线性变换

1

(1)恒等变换矩阵 M = 0

—1 0 变换对应矩阵 M 3=

0 —1 ;

x 1 ＋ x 2

向量a 与3的和a+ 3=

.

y 1 ＋ y 2

(1) 设M 是一个二阶矩阵，a 3是平面上的任意两个向量，入是一个任意实数，则①M (入a =?Ma ，② M ( a+ 3)= Ma + M3 .

(2) 二阶矩阵对应的变换 (线性变换 )把平面上的直线变成直线 (或一点 )．

在平面直角坐标系 xOy 中，由

x '= ax + by ,

y '= cx + dy ,（其中

a ，

b ，

c ，

d 是常数 )构成的变换称 a

为线性变换．由四个数 a , b , c , d 排成的正方形数表 c

的乘法规则为 [a 11a 12]

b 11

=[a ii b ii + a i2b 2i ]，二阶矩阵 b 21 ax ＋by

.矩阵乘法满足结合律,不满足交换律 cx ＋dy

(2)旋转变换R 0对应的矩阵是

cos 0 —sin 0

sin 0 (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于

i 0

;若关于 y 轴对称,则变换对应矩阵为 0 —i cos 0

M 2=

x 轴对称，则变换对应矩阵为

—1

M i = 若关于坐标原点对称，则 k 1 M = 0

(4)伸压变换对应的二阶矩阵 坐标变为原来的k 2倍，k i , k 2均为非零常数;

0，

k 2 表示将每个点的横坐标变为原来的

k 1

倍，纵 (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于 x 轴的投影变换的矩阵为

⑹切变变换要看沿什么方向平移，若沿

x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵

1 M =

0 0

；

0 k

1

若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵

M = 1 k 0

1 •(其中k 为非零常数 )．

4．线性变换的基本性质

x

设向量a=，规定实数入与向量a 的乘积Aa= y

入X ;设向量 入y

x 1

a= y 1

,3= x 2 2

,规定 y 2

第2页共4页

(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1.矩阵的逆矩阵

(1)—般地，设P 是一个线性变换，如果存在线性变换 C,使得6严p 齐I ，则称变换p 可逆•并且称 6是p 的逆变换. ⑵设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B ,使得BA = AB = E ,则称矩阵A 可逆， 或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称 B 是A 的逆矩阵. (3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的. A 的逆矩 阵记为A 一1. (4) (性质2)设A , B 是二阶矩阵，如果 A , B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)—1 = B —1A —1. (5) 已知A , B , C 为二阶矩阵，且 AB = AC ,若矩阵A 存在逆矩阵，则 B = C.

d ad — b

e 1 =

—e ad — be

a

(6)对于二阶可逆矩阵 A =

e

b

(ad — bc z 0)，它的逆矩阵为 d

—b ad — be

a

ad —

be

2.二阶行列式与方程组的解

对于关于x , y 的二元一次方程组 运算结果是一个数值(或多项式)，记为 ax + by = m , cx + dy = n , a det(A)= a 我们把 e

称为二阶行列式，它的 =ad — be. a 若将方程组中行列式 e Dx x = D , 方程

组的解为 b 记为 d e b 记为 d a D x , e m 记为D y ,则当D 工0时, n D y

y =e

3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1) 特征值与特征向量的概念 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 称为A 的一个特征值， (2) 特征多项式 a, 存在一个非零向量 a 称为A 的一个属于特征值入的一个特征向量. 使得A a=入a,那么入 设入是二阶矩阵 b 的一个特征值，它的一个特征向量为 d ax + by =入x 即 cx + dy =入y 亠 a 疋义：设A = e 也即 a A = e 3- a x — by = 0, —ex + 3- d y = 0. b 是一个二阶矩阵， d x a= y x ，则A y (*) 3- a 氏R ，我们把行列式f( 3 =

—e + d) H ad — be 称为A 的特征多项式. (3)矩阵的特征值与特征向量的求法 如果3是二阶矩阵A 的特征值， =0，此时，将 入代入二元一次方程组 阶矩阵A 的特征多项式的一个根, x o (*)，就可得到一组非零解 ，于是非零向量 y o 则入一定是

即f( 3 x o 即为 y o

A 的属于入的一个特征向量