流动稳定性
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特征值问题计算量巨大，目 前通常只能处理一维问题
通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维 问题
U ' ? U?( y)ei(? x? ?z? ? t )
Bx ? 0
(A? ?I )x ? 0 Ax? ?x
什么条件下有 非零解？
三、 稳定性问题示例—— 不可压缩槽道流动 的线性稳定性（LST）理论 (以二维为例)
空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性—— 符合物理条件
? 为实数 ? ? ? r ? i? i 为复数
?? 0
空间增长率
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i
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0
扰动波的振幅沿流向指数变化 A(x) / A(0) ? e?? i x
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扰动增长 扰动衰减 中性
时间模式： 扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化
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1 Re
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1 Re
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二、 稳定性问题的常用数学方法—— 线性稳定性分析 Step 1: 得到线性化的扰动方程
控制方程为： P U ? 0
已知其具有解 U0 P U 0 ? 0
例如： 平板的Blasius解，槽道的 Poiseuille 解
令： U ? U0 ? U'
PU ? P (U0 ? U' ) ? 0
u
?u ?x
线性稳定性理论
一、 稳定性基本概念
已知某运动状态； 在此基础上施加微小扰动； 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定
流体中的不稳定性 A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性—— 自由剪切流的无粘不稳定性
K-H不稳定性的关键： 速度剖面有拐点
K-H不稳定性
混合层—— K-H不稳定性 注Leabharlann Baidu 本PPT摘录自力学所李新亮CFD讲义
最终，控制方程为O-S方程：
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边界条件：
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时间增长率
扰动波的振幅虽时间变化 A(t ) / A(0) ? e? it
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扰动增长 扰动衰减 中性
以时间模式为例：
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Re
（3）
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假设扰动具有如下形式：
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B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性——不可压 壁面剪切流的 粘性不稳定性
C. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 —— 重力带来的不稳定性
重 介 质
轻 介 质
R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性
D Bernard热对流不稳定性
Barnard 热对流 的胞格结构
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Orr-Sommerfeld（O-S) 方程
自然界中 K-H不稳定性图片
澳大利亚Duval山上空的云
Kelvin–Helmholtz instability clouds in San Francisco
佛兰格尔岛周围的卡 门涡街
高速流
低速流
智利塞尔扣克岛 的卡门涡街
受阻减速，压力升高， 产生高压区
高压导致变 形加剧
自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理
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扰 动
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源
沿流向及时间方向具有波动特性 称为Tolmien-Schlichting（T-S）波
研究扰动发展的空间模式和时 间模式
任意扰动可分解为正弦波的叠加—— 线性系统各成分无 相互作用—— 可独立研究
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1 Re
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2
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（6）
线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6）
谱方法的常 规做法
通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）
? (5) ? i? (4)
?y
消去 p?
常用做法，通常还可以 反向为之： 高阶方程转 化为低阶方程组
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1） 控制方程及边界条件
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(2)
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Re
Step 1: 获得线性化扰动方程
令： u ? u ? u' p ? p ? p' Poiseuille解：
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代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化 的扰动方程
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舍弃高阶小量，得到线性化的 LU' ? 0 （1）
扰动方程
线性方程
Step 2: 求解 LU'? 0 的特征值问题 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 数值方法： 将 （1） 离散——代数方程 何时有非零解， 非零解如何？ —— 特征值问题
通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维 问题
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什么条件下有 非零解？
三、 稳定性问题示例—— 不可压缩槽道流动 的线性稳定性（LST）理论 (以二维为例)
空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性—— 符合物理条件
? 为实数 ? ? ? r ? i? i 为复数
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空间增长率
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扰动增长 扰动衰减 中性
时间模式： 扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化
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1 Re
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二、 稳定性问题的常用数学方法—— 线性稳定性分析 Step 1: 得到线性化的扰动方程
控制方程为： P U ? 0
已知其具有解 U0 P U 0 ? 0
例如： 平板的Blasius解，槽道的 Poiseuille 解
令： U ? U0 ? U'
PU ? P (U0 ? U' ) ? 0
u
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线性稳定性理论
一、 稳定性基本概念
已知某运动状态； 在此基础上施加微小扰动； 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定
流体中的不稳定性 A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性—— 自由剪切流的无粘不稳定性
K-H不稳定性的关键： 速度剖面有拐点
K-H不稳定性
混合层—— K-H不稳定性 注Leabharlann Baidu 本PPT摘录自力学所李新亮CFD讲义
最终，控制方程为O-S方程：
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扰动增长 扰动衰减 中性
以时间模式为例：
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Re
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假设扰动具有如下形式：
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B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性——不可压 壁面剪切流的 粘性不稳定性
C. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 —— 重力带来的不稳定性
重 介 质
轻 介 质
R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性
D Bernard热对流不稳定性
Barnard 热对流 的胞格结构
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Orr-Sommerfeld（O-S) 方程
自然界中 K-H不稳定性图片
澳大利亚Duval山上空的云
Kelvin–Helmholtz instability clouds in San Francisco
佛兰格尔岛周围的卡 门涡街
高速流
低速流
智利塞尔扣克岛 的卡门涡街
受阻减速，压力升高， 产生高压区
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源
沿流向及时间方向具有波动特性 称为Tolmien-Schlichting（T-S）波
研究扰动发展的空间模式和时 间模式
任意扰动可分解为正弦波的叠加—— 线性系统各成分无 相互作用—— 可独立研究
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1 Re
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（6）
线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6）
谱方法的常 规做法
通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）
? (5) ? i? (4)
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常用做法，通常还可以 反向为之： 高阶方程转 化为低阶方程组
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1） 控制方程及边界条件
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(2)
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Re
Step 1: 获得线性化扰动方程
令： u ? u ? u' p ? p ? p' Poiseuille解：
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代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化 的扰动方程
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舍弃高阶小量，得到线性化的 LU' ? 0 （1）
扰动方程
线性方程
Step 2: 求解 LU'? 0 的特征值问题 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 数值方法： 将 （1） 离散——代数方程 何时有非零解， 非零解如何？ —— 特征值问题