卡尔曼滤波器原理及应用介绍
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个变量是相同的情况。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外 一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 反之，两个变量之间的协方差就是负 值。
方差的两个公式：
正态分布与标准差：
协方差公式：
注：使用部分样本统计被测对象的方差时， 为了达到无偏估计，使用(n-1)作为分母。
➢ 有一做匀速直线运动的小车，状态包含位置p和速度v，每经过时间Δt使用测距仪测量小车位置。使用卡 尔曼滤波器预测车辆的位置和速度，驾驶初始状态时小车的位置和速度向量不具有相关性，p和v的协方 差为0；
➢ 该系统存在预测协方差矩阵Q、测量协方差矩阵R、系统协方差矩阵P（持续迭代）； ➢ 可以得出F、P、Q、H、R的基本形式如图所示；
滤波结果
A
9
卡尔曼滤波器参数特性
➢ P的初始参数对卡尔曼滤波效果影响不大，但P0/(Q+R)会影响滤波结果的收敛速度； ➢ 如图，分别使用[1 0; 0 1]和[2 2; 2 2]作为P的初始值，经过30次迭代，滤波结果就已经基本相同；两种
初始P值经过迭代后，最终均为[0.1322 0.0093; 0.0093 0.0014]。
小车为匀速运动，不存在控制 矩阵，公式简化为：
求解过程：
A
8
应用举例-小车状态估算Matlab模拟
➢ 小车位置设定为1～200，时间步长为1，状态初始值给[0;0]，位置观测值叠加方差为1的高斯噪声； ➢ 给出假定的预测协方差矩阵Q、观测噪声方差R； ➢ 滤波结果如图所示，滤波值很快收敛到真实速度1附近。
R：表示测量值的协方差矩阵； H：系统状态到观测状态的变换矩阵； K：卡尔曼增益； ➢ P会快速迭代，初始值选取对滤波效果影响很小；Q一般是对角阵，且对角线上的值很小，较难确定；
R是一个数值，是和仪器相关的一个特性，作为已知条件输入滤波器。
预测公式 更新公式
^ 表示该值为估计值 - 表示该状态根据上一状态推测
➢ 更新估计值时预测值和观测值所占权重由其不确定性决定，基本卡尔曼滤波器擅长处理正态分布的误差。
包含噪声的 预测状态
包含噪声的 观测状态
卡尔曼滤波
A
接近真实状态ห้องสมุดไป่ตู้结果
5
卡尔曼滤波器公式介绍
➢ 卡尔曼滤波器有5个基本公式，其中2个为预测公式，其余3个为更新公式。 ➢ F：状态转移矩阵；B：控制矩阵；P：表示系统不确定性的协方差矩阵；Q：表示预测值的协方差矩阵；
卡尔曼滤波器原理及应用介绍
王文科 2018/11/01
A
1
矩阵运算简介
➢ 矩阵加减：同型矩阵才能进行加减运算，运算时各个对应元素相加减，运算满足结合律、交换律。 ➢ 矩阵相乘：例如C=AB，C的行数与A行数相同，C的列数与B列数相同，C的第i行j列的元素由A的第i行与
B的第j列对应相乘。如A是mxn矩阵B是nxp矩阵，那么C是mxp矩阵。不满足交换律。 ➢ 矩阵转置：将矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵称为A的转置矩阵。 ➢ 单位矩阵：如同数的乘法中的1。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均
A
11
卡尔曼滤波器参数特性
➢ R参数是测量值的协方差矩阵，用于表示测量数据的误差，单一测量结果的R参数是一个数值，该值的大 小由测量设备本身决定；
➢ R值的大小会影响卡尔曼滤波的收敛速度和最终滤波精度；
A
12
A
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卡尔曼滤波器参数特性
➢ Q/(Q+R)的值代表卡尔曼增益的收敛值，卡尔曼增益越大，说明测量值越可靠，最优化结果越接近测量 值；卡尔曼增益越小，说明预测值越可靠，最优化结果越接近测量值；
➢ 如图，较大的Q参数表示预测值可信度低，滤波结果最终接近观测值（观测值加入了偏差为1的高斯噪声， 误差较大）；
为1。除此以外全都为0。卡尔曼滤波更新公式中的I即指单位矩阵。
两矩阵相加减：
两矩阵相乘：
矩阵转置：
A
2
方差、标准差与协方差
➢ 方差：方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均 差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
➢ 标准差：对方差开平方。 ➢ 协方差：在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两
该问题状态只有温度一个量， 且预测温度不变，卡尔曼滤波 公式简化为：
求解过程：
根据上一时刻温度预测该时刻 温度不变为23℃ 该问题下协方差与方差相同， 由标准偏差求得方差
计算卡尔曼系数
计算出t时刻温度最优值为 24.22℃
更新t时刻温度最优值方差为 9.75，其标准差为3.12℃
A
7
应用举例-小车状态估算
····状态预测公式
····不确定性转移公式
实际观察值与预估的 观测值之间的残差
A
6
应用举例-室内温度估算
卡尔曼滤波器运用的一个简单例子是用于测试一个房间的温度值，假设房间温度在观测过程中是恒定的，同 时每过单位时间用温度计测量房间温度，预测和测量结果都存在误差，假设其为正态分布。 在t-1时刻的最优值为23℃，该温度的偏差为3℃；t时刻的预测偏差为4℃，t时刻温度计测得温度25℃，其 偏差为4℃。求解t时刻房间温度的最优值。
➢ 对于一个线性系统，卡尔曼滤波器能够从不精确的预测状态和观测状态中，估算出高精度的系统状态， 并且估计过程只需要保留最近一次的估算结果，具有速度快、资源需求低的特点。
➢ 其滤波过程为：根据当前状态和系统方程估算下一状态 获取下一状态的观测结果 使用当前卡尔曼 增益加权平均更新估计值 更新卡尔曼增益。整个过程迭代执行。
A
方差为协方差的特殊情况：
3
协方差矩阵
➢ 协方差矩阵：协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向 量的自然推广。
A
4
卡尔曼滤波器简介
➢ 卡尔曼滤波器是一种高效率的递归滤波器，它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系 统的状态。得名自主要贡献者之一的鲁道夫·卡尔曼（匈牙利裔美国数学家）。
方差的两个公式：
正态分布与标准差：
协方差公式：
注：使用部分样本统计被测对象的方差时， 为了达到无偏估计，使用(n-1)作为分母。
➢ 有一做匀速直线运动的小车，状态包含位置p和速度v，每经过时间Δt使用测距仪测量小车位置。使用卡 尔曼滤波器预测车辆的位置和速度，驾驶初始状态时小车的位置和速度向量不具有相关性，p和v的协方 差为0；
➢ 该系统存在预测协方差矩阵Q、测量协方差矩阵R、系统协方差矩阵P（持续迭代）； ➢ 可以得出F、P、Q、H、R的基本形式如图所示；
滤波结果
A
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卡尔曼滤波器参数特性
➢ P的初始参数对卡尔曼滤波效果影响不大，但P0/(Q+R)会影响滤波结果的收敛速度； ➢ 如图，分别使用[1 0; 0 1]和[2 2; 2 2]作为P的初始值，经过30次迭代，滤波结果就已经基本相同；两种
初始P值经过迭代后，最终均为[0.1322 0.0093; 0.0093 0.0014]。
小车为匀速运动，不存在控制 矩阵，公式简化为：
求解过程：
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应用举例-小车状态估算Matlab模拟
➢ 小车位置设定为1～200，时间步长为1，状态初始值给[0;0]，位置观测值叠加方差为1的高斯噪声； ➢ 给出假定的预测协方差矩阵Q、观测噪声方差R； ➢ 滤波结果如图所示，滤波值很快收敛到真实速度1附近。
R：表示测量值的协方差矩阵； H：系统状态到观测状态的变换矩阵； K：卡尔曼增益； ➢ P会快速迭代，初始值选取对滤波效果影响很小；Q一般是对角阵，且对角线上的值很小，较难确定；
R是一个数值，是和仪器相关的一个特性，作为已知条件输入滤波器。
预测公式 更新公式
^ 表示该值为估计值 - 表示该状态根据上一状态推测
➢ 更新估计值时预测值和观测值所占权重由其不确定性决定，基本卡尔曼滤波器擅长处理正态分布的误差。
包含噪声的 预测状态
包含噪声的 观测状态
卡尔曼滤波
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接近真实状态ห้องสมุดไป่ตู้结果
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卡尔曼滤波器公式介绍
➢ 卡尔曼滤波器有5个基本公式，其中2个为预测公式，其余3个为更新公式。 ➢ F：状态转移矩阵；B：控制矩阵；P：表示系统不确定性的协方差矩阵；Q：表示预测值的协方差矩阵；
卡尔曼滤波器原理及应用介绍
王文科 2018/11/01
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矩阵运算简介
➢ 矩阵加减：同型矩阵才能进行加减运算，运算时各个对应元素相加减，运算满足结合律、交换律。 ➢ 矩阵相乘：例如C=AB，C的行数与A行数相同，C的列数与B列数相同，C的第i行j列的元素由A的第i行与
B的第j列对应相乘。如A是mxn矩阵B是nxp矩阵，那么C是mxp矩阵。不满足交换律。 ➢ 矩阵转置：将矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵称为A的转置矩阵。 ➢ 单位矩阵：如同数的乘法中的1。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均
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卡尔曼滤波器参数特性
➢ R参数是测量值的协方差矩阵，用于表示测量数据的误差，单一测量结果的R参数是一个数值，该值的大 小由测量设备本身决定；
➢ R值的大小会影响卡尔曼滤波的收敛速度和最终滤波精度；
A
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卡尔曼滤波器参数特性
➢ Q/(Q+R)的值代表卡尔曼增益的收敛值，卡尔曼增益越大，说明测量值越可靠，最优化结果越接近测量 值；卡尔曼增益越小，说明预测值越可靠，最优化结果越接近测量值；
➢ 如图，较大的Q参数表示预测值可信度低，滤波结果最终接近观测值（观测值加入了偏差为1的高斯噪声， 误差较大）；
为1。除此以外全都为0。卡尔曼滤波更新公式中的I即指单位矩阵。
两矩阵相加减：
两矩阵相乘：
矩阵转置：
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方差、标准差与协方差
➢ 方差：方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均 差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
➢ 标准差：对方差开平方。 ➢ 协方差：在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两
该问题状态只有温度一个量， 且预测温度不变，卡尔曼滤波 公式简化为：
求解过程：
根据上一时刻温度预测该时刻 温度不变为23℃ 该问题下协方差与方差相同， 由标准偏差求得方差
计算卡尔曼系数
计算出t时刻温度最优值为 24.22℃
更新t时刻温度最优值方差为 9.75，其标准差为3.12℃
A
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应用举例-小车状态估算
····状态预测公式
····不确定性转移公式
实际观察值与预估的 观测值之间的残差
A
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应用举例-室内温度估算
卡尔曼滤波器运用的一个简单例子是用于测试一个房间的温度值，假设房间温度在观测过程中是恒定的，同 时每过单位时间用温度计测量房间温度，预测和测量结果都存在误差，假设其为正态分布。 在t-1时刻的最优值为23℃，该温度的偏差为3℃；t时刻的预测偏差为4℃，t时刻温度计测得温度25℃，其 偏差为4℃。求解t时刻房间温度的最优值。
➢ 对于一个线性系统，卡尔曼滤波器能够从不精确的预测状态和观测状态中，估算出高精度的系统状态， 并且估计过程只需要保留最近一次的估算结果，具有速度快、资源需求低的特点。
➢ 其滤波过程为：根据当前状态和系统方程估算下一状态 获取下一状态的观测结果 使用当前卡尔曼 增益加权平均更新估计值 更新卡尔曼增益。整个过程迭代执行。
A
方差为协方差的特殊情况：
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协方差矩阵
➢ 协方差矩阵：协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向 量的自然推广。
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卡尔曼滤波器简介
➢ 卡尔曼滤波器是一种高效率的递归滤波器，它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系 统的状态。得名自主要贡献者之一的鲁道夫·卡尔曼（匈牙利裔美国数学家）。