理论力学刚体平面运动加速度分析

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大学理论力学平面图形上各点的加速度分析

n BE
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚动。求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ．时

分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB

式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2

aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动

理论力学06_4刚体平面运动_加速度

§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。

设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。

以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。

因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。

相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。

由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。

t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。

因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。

当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。

例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。

理论力学10刚体的平面运动

vB = v A + vBA
a a ？ a
VB VBA
大小？方向 a
B VA
v B = v A ctg φ且 v BA
vA = sin φ
v BA = AB ⋅ ω AB v BA vA ∴ω = = l l sin φ
φ VA
ω A x
14
[例2] 图示机构端以速度 A沿X轴负向运动，AB=l；例图示机构A端以速度端以速度V 轴负向运动，轴负向运动求B端的速度？端的速度？端的速度解：1）分析AB；2）分析A,B两点的速度在AB直线上的投影相等，可以得到： y B
行移动刚体简单运动平行移动定轴转动定轴转动刚体复杂运动刚体的平面运动
平动合成？合成？转动
刚体平面运动的分解本章分析平面运动刚体的角速度平面运动刚体各点的速度平面运动刚体各点的速度
1
第十章刚体的平面运动
§10–1 刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度· 速度投影定理速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念
20
5．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度ω，可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP = vA , AP⊥v A ,且Ｐ在v A 顺ω转向绕A点 ω
转90º的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．
21
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,v B 的方向，且 v A 不平行 v B 。过A , B两点分别作速度 v A ,v B的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心。 ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , v B 大小,且 v A ⊥AB, vB ⊥AB v A − vB (a) v A 与vB 同向, ω = AB v A + vB (b) v A 与vB 反向, ω = AB 注意：交点可能在刚体的外部）（注意：交点转动· 刚体的平面运动方程

理论力学——运动学

v2

n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2

a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。

理论力学第4章刚体的平面运动

的位置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。
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.
13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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.
14
3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动，当平面图形Ｓ上的角不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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55
2) 加速度投影形式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动）车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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19
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕基点的转动（相对运动）的合成运动。
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理论力学课后知识题目解析第6章刚体的平面运动分析

第6章刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。

曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。

试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。

解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。

试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。

解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。

作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。

则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。

试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。

解：RvR v A A ==ωhv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===习题6-1图ABCv 0hθ习题6－2图PωABv CABCv ohθ习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图v A = vv B = v ωAωBR vR v B B 22==ω B A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。

定轴转动刚体内各点的速度和加速度

a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t，的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一点M的速度和加速度。如果在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】由圆轮的转动方程，可得其在任一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度【例6.3】如图所示，一半径r

理论力学第九章刚体的平面运动

O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
结论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b

vB AB = vA
OA

vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB

vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
第九章刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各点的速度与加速度的基点法，以及求速度的速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解
30

《理论力学》第八章刚体的平面运动

刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有连续性，即刚体上任意一点的运动轨迹都是连续的。
刚体的平面运动具有周期性，即刚体的运动轨迹可以是周期性的。
刚体的平面运动具有对称性，即刚体的运动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个固定的圆周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。

刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)

二、角加速度与an ，at的关系
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C

理论力学第章刚体的平面运动

E
30
B vB
A vA
vD

vB CD CB

3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ

vDA DA

O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM

O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )

yo

yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画

理论力学中的动力学分析与加速度的计算

理论力学中的动力学分析与加速度的计算动力学是理论力学中重要的一个分支，研究物体在受到力作用下的运动规律。

在动力学的分析中，计算加速度是非常重要的，它能揭示物体的速度变化情况以及力对物体运动的影响。

本文将介绍动力学分析中的基本概念以及计算加速度的方法。

一、运动物体的描述动力学研究的是物体在受力作用下的运动情况，为了描述运动物体的状态，我们需要引入一些基本概念。

1. 位移：物体在运动过程中，由于位置的变化而引起的变量称为位移。

通常用符号Δx表示。

2. 速度：速度是位移随时间的变化率，即单位时间内位移的大小。

用符号v表示。

3. 加速度：加速度是速度随时间的变化率，即单位时间内速度的变化量。

用符号a表示。

根据以上基本概念，我们可以推导出物体在匀变速运动的情况下，速度和加速度的计算方法。

二、匀变速运动中加速度的计算匀变速运动指的是物体的加速度保持恒定，速度按照一定规律变化的运动。

在这种情况下，我们可以通过已知的物理量来计算加速度。

假设一个物体的初速度为v0，末速度为v，时间为t，加速度为a。

根据物体运动的基本关系式可以得到以下等式：v = v0 + at （1）v = Δx / t （2）将式（1）代入式（2），可得：Δx / t = v0 + at通过变形，可以得到加速度a的计算公式：a = (v - v0) / t以上公式表明，当已知物体在运动过程中的初速度、末速度以及所用时间时，我们可以通过公式计算出加速度。

三、实际应用中的动力学分析与加速度计算动力学分析和加速度计算在实际应用中有着广泛的应用，下面以一个常见的例子来说明。

假设一个小球从高处自由落下，我们想要计算小球下落过程中的加速度。

首先，我们需要测量小球下落的时间，并记录为t。

同时，我们需要测量小球下落的距离，记录为Δx。

根据自由落体运动的特点，小球在自由落下过程中的加速度近似为地球的重力加速度g，约等于9.8 m/s^2。

根据公式a = Δx / t，我们可以计算出小球下落过程中的加速度。

理论力学中的刚体运动与力学参数计算

理论力学中的刚体运动与力学参数计算理论力学是力学的基础理论之一，研究物体在力的作用下的运动规律以及相关力学参数的计算。

刚体运动是理论力学研究的重要内容之一，刚体是指在外力作用下，物体内部各部分的相对位置保持不变的物体。

本文将针对理论力学中的刚体运动进行探讨，并介绍相关的力学参数计算方法。

一、刚体运动的类型刚体运动主要包括平动和转动两种类型。

平动是指刚体的质心沿直线轨迹运动，质心速度相等。

而转动是指刚体围绕某一轴旋转，各点角速度相等，且轴上任意两点连线垂直于轴。

根据刚体的运动类型，可以采用不同的方法进行力学参数的计算。

二、平动刚体运动的力学参数计算1. 速度：平动刚体的速度由质心速度来表示，质心速度的计算公式为v = Δx/Δt，其中Δx为质心位置变化的距离，Δt为质心位置变化所经过的时间。

2. 加速度：平动刚体的加速度由质心加速度来表示，质心加速度的计算公式为a = Δv/Δt，其中Δv为质心速度变化的差值，Δt为质心速度变化所经过的时间。

3. 质量：平动刚体的质量常用m来表示，可以通过测量质心处的物体质量来得到，计算公式为m = F/g，其中F为物体所受合力的大小，g为重力加速度。

三、转动刚体运动的力学参数计算1. 角速度：转动刚体的角速度由角位移与时间的比值来表示，角速度的计算公式为ω = Δθ/Δt，其中Δθ为角位移的变化值，Δt为变化所经过的时间。

2. 角加速度：转动刚体的角加速度由角速度变化的差值与时间变化量的比值来表示，角加速度的计算公式为α = Δω/Δt，其中Δω为角速度的变化差值，Δt为角速度变化所经过的时间。

3. 转动惯量：转动刚体的转动惯量常用I来表示，转动惯量决定了物体在旋转运动中的惯性大小。

转动惯量的计算公式为I = ΣmiRi^2，其中mi为物体质点的质量，Ri为质点到转轴的距离。

四、力学参数计算实例以平动刚体为例，假设一个质量为m的物体受到一个水平方向的恒定力F作用，求该物体在t时间后的速度v。

理论力学第八章平面运动

基点：C
r vM
r vMC
r
uuuur CM
• 速度瞬心的确定方法
已知 vA ,的vB方向，且 v不A 平行于 v。B
vrA // vrB ,且不垂直于AB
vrB
vvrrBBvArAvr0AvrABvrMAB
0
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A
第八章刚体平面运动
1、刚体平面运动的定义及运动方程 2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动 3、平面运动图形上点的速度分析 4、平面运动图形上点的加速度分析
1、刚体平面运动的定义
若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
刚体平面运动特点
刚体上所有各点均在平行于某固定平面的平面内运动。
刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。
平面图形 S 的位置可用其上任一线段如AB 来确定，线段AB的位置又可用A 点的坐标 xA 、yA 和线段AB与 x 轴的夹角 φ 来确定。点 A 称为基点。
刚体平面运动方程
当平面图形 S 运动时，坐标 xA 、
yA 和夹角 φ 一般都是随时间 t 而变化的，分别为时间 t 的单值连
续函数，即
xA f1 (t)
y A f 2 (t)
f3 (t)
这就是平面图形S 的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动
xO f1 t
1.5rad
/
s
BC
vB BC
2.25rad
/s
vA
2）瞬心法

刚体运动的理论力学分析

刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。

本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。

一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。

刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。

2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。

3. 刚体可以进行平动和转动。

二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。

刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。

1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。

平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。

2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。

转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。

3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。

三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。

1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。

2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。

四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。

2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。

第九章刚体的平面运动_理论力学

刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心，或称速度瞬心（简称瞬心），此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体的角速度绕瞬心作定轴转动时的速度分布一样。如图 9-11 （ b ）所示。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动，，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出，在刚体运动过程中，由此推出以下结论。
的运动（见§7-1.2）。
结。
刚体平面运动方程式现在来描述平面图形在空间的位置。（1）在图形上作直线（2）运动方程式，只需确定的位置就可以确定的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点见图 9-9，则 (9-4) 2. 速度投影定理 -- 速度分析的第二种方法（亦称 " 基点法的推论 " ）相对于基点的速度（相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点（1）平动部分与基点选择有关。（2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。（3）相对于动系转动的角速度形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析。由于是平动动系，所以。称为图

理论力学课件刚体平面运动的加速度分析

= aBt A = AB
16
rad
s2
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影法），求平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是曲线。（直线1项；曲线2项），画加速度分析图。未知加速度方向可以假设。法向加速度方向确定。 3、利用投影式求未知加速度。
a 加速度矢量式能求解两个未知数。欲求一未知，将加速度矢量式向另一未知的垂直方向投影。 b 投影时应按加速度矢量式公式的原始形式逐项进行投影,与坐标轴的指向一致为正,相反为负。
4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
思考：已知图示机构中两个滑块的速度方向，试确定图示瞬时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。v A ⊥ AC
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
速度小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vvB
] AB
=
[vvA
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。
速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω

理论力学—刚体平面运动

在图示位置 60 时，曲柄角速度为， OA AB，且AB与槽在B点的法线夹角 30 。
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A

理论力学第九章刚体的平面运动

基点：A 基点：
v CA
v MA
C
vA
vA vA
v M = v A + v MA
v M = v A − ω ⋅ AM
v 当M在VA垂线上时： MA = ω ⋅ AM 垂线上时：
必可找到一点C： v C = 0 (v A = v CA ) v AC v A ⇒ AC = =
ω
ω
15
2、平面图形内各点的速度分布
小 A 大 ? ω ⋅O = ω r2 0 Ⅱ 方 ? 向 √ √
2 2 vB = vA +vBA
vB
vA
v CA v A
vC
v BA v A
= 2ω (r +r2 ) O 1
vB与 A夹为 o，向图 v 角 45 指如
4 vC =vA +vCA vC =vA +vCA = 2 O(r +r ) ω 1 2
向方 √
√ √
8
ω DE
[例9-3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r,AB= 3 。如 3]曲柄连杆机构如图所示，曲柄连杆机构如图所示 r 转动。曲柄OA以匀角速度ω转动。 0o 90 点的度求当 =60o，， o时 B 速。： ϕ
vA
vA
解：1 AB作平面运动, 基点：运动, 基点：A
6
2、例题分析
轴的负向运动， [例9-1] 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。。的角速度。解：1、AB作平面运动, 作平面运动, 作平面运动基点: 基点: A
vB
v BA
2 vB = vA +vBA

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