三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练

1三角公式运用

【通俗原理】

1•三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P|

~y",

则sin

y ,cos r x , ,ta n r 弘0)

2 .基本公式： 2 2

sin c os

1,tan

sin cos

3 •诱导公式：

其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定

a

② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos(

4 •两角和差公式:

si n( ) sin cos cos sin ,

cos(

) cos cos msin

sin ,

tan(

) tan

tan

1 mtan gtan

5.二倍角公式：

si n2

2si n cos ,

cos2

cos 2

sin 2

2cos 2

1 1 2sin 2

1 tan 2

6 .辅助角公式：① asin bcos

、、a 2 b 2 sin(

其中由tan b及点(a , b)所在象限确定

a

【典型例题】

1.已知R，证明：sin(-) cos

4 •求cos15o tan 15o的值.

、 3

5 •证明：cos3 4cos 3cos

【跟踪练习】

1 •已知sin( ) 3

，求cos( )的值.

2 •若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值.

2

3

•已知sin()1

，

sin()

2，求芽的值.

3 5 6

1

2

•若

sin2

2，求tan

的值.

三角求值与解三角形专项训练

2.解三角形

A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C

② cos2A cos2B A B .

7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等

② 知两个条件，求某个特定元素或范围；

③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值

.

【典型例题】

1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状.

2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2

b 2 2 2 2accosB .变形： b

c a a c

cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC

3 .余弦定理: 1 •三角形边角关系：在 △ ABC 中,

②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角

2 .正弦定理:

a b c

sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c

2R （ R 是厶ABC 外接圆的半

径）.

2Rsi nC 1

4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2

5.与三角形有关的三角方程：① si n2A

bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ;

6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .

2 .在厶 ABC 中，证明：a b AB sinA sinB cosA cosB .

6.在△ ABC 中，c V3, C —

3'

(I)求厶ABC 面积的最大值；

(II) 求厶

ABC 周长的取值范围.

3.在△ ABC 中，a 1, A

.3，求角C 的大小.

4.在△ ABC 中，C

2A , c 12a ，求角A 的大小.

5 .在△ ABC 中,

a 3cosA

c si nC

求角 A 的大小.

跟踪练习】

(c b)(sin C sin B)，求角C .

ABC 中，a (sin A sin B)

2 在ABC 中，a2 c2 b2 ac

(I) 求的大小；

(II) 求cos A cosC 的最大值

3 •在ABC 中，b2 c2 a23bc, B

(I) 求BC边上的中线AD的长；

(II) 求BAC的角平分线AE的长•

参考答案

1 .证明：如

图，

在单位圆中，记xOP ,

xOQ=

2

，有P(x, y),Q(y, x),

则sin(

2

)x，而cos x ,

••• si n(

2

)cos .

2 .解法一: -(0,二),tan

2

2，有sin

代入sin2

2 2

cos 1 得cos

1 冲

，贝U

三角公式

【典型例

题】

2cos

5 . 2 5

又sin

0,

有sin

3.5

cos

cos

5 .

3 .解： 由 sin(

) 1 , sin( )1

,

sin cos

cos sin

1

得

1，则 sin cos

3 .

,cos sin

1 sin cos cos sin

—

4

4

2

sin cos

二 sin cos

3 ；

5 5

解法 （。，2），

tan 二(sin cos )2 1 2si n

cos

2sin 2~

sin cos 2 cos

2 tan

tan 2

解：••• cos15o cos(45o 30o )

cos45o cos30o sin 45o sin 30o

tan 15o

ta n(45° 0、

30 )

tan 45o ••• cos15o tan 15o 5.证明：cos3 tan 30°

1 ta n45°gta n30°

.3.

cos( 2 cos cos2 sin si n2 cos (2cos 2 1) 2cos sin 2 2cos 3 cos

2cos (1

cos 2 )

4cos 3

3cos

tan tan

cos sin cos cos sin

3.