伯努利方程式
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利定律
伯努利定律在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。
这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。
飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。
这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。
当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。
方程式v=流动速度伯努利定律g=地心加速度(地球)h=流体处于的高度(从某参考点计)p=流体所受的压强ρ=流体的密度伯努利方程伯努利理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
1 , 2
hw
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
水头损失 局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。 适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
2 u12 u2 dQ p1 Z1 2 g dQ p2 Z 2 2 g dQ hw A1 A2 Q
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p Z dQ p Z dQ 表单位时间通过断面的流体势 能
2 v2 H 00 hw 2g
1
1 总水头线 H 测压管水头线 0
v2 2 g H hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s
2 2
0
24
作水头线
第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
测压管水头线
p
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
解：1、选取衡算截面及基准水平面
取水箱水面为上游截面1-1’ ，排出管口内侧为下游截面2-2’ ，
并以截面2-2’ 的管道中心线为基准水平面，则有Z1= H；Z2=0
2、在1-1’与2-2’之截面间列伯努利方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
已知：p1=p2=0 , (均为表压) ,u1≈0，Σhf=15u2，We=0
（5）单位必须一致 伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
2、伯努利方程的应用示例 1）确定管道中流体的流量
例1-12 水在如本图所示的管道内由 下而上自粗管内流入细管，粗管内径为 0.3m，细管内径为0.15m。已测得图中11’及2-2’ 面上的静压强分别为1.69×105Pa 及1.4×105Pa（均为表压），两测压口垂 直距离为1.5m，流体流过两测压点的阻 力损失为10.6J/kg，试求水在管道中的质 量流量为多少(kg/h)？
第5讲 1.3.5 伯努利方程式的应用
教学内容：1、掌握管内稳态流动的连续性方程及其 应用； 2、掌握伯努利方程及其应用。
教学重点：1、伯努利方程的解题要点； 2、伯努利方程的实际应用过程计算。
教学难点：伯努利方程应用中衡算截面的选取。
伯努利方程的几种表达形式
1) 以单位质量流体（1kg流体）为衡算基准。
u2
Vs A
4Vs
d2
418.3 3600 3.14 0.0542
2.22m / s
9.81H 2.222 15 2.222 76.39 H 7.79m 2
即水箱内的水面至少应高出管道排出口7.79m。
（2）输水量增加后，水箱内水面上升的高度。
实际流体恒定总流的伯努利方程讲解
u2 dQ＝ u3dA＝ v3A＝v2 Q
Q 2g
2g A
2g
2g
3.水头损失积分：
h' l12
dQ
Q
物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦阻 力作功所损失的机械能
为了计算方便，设 hw 为单位重量流体
在两过流断面上的平均能量损失。
h' l12
——实际流体恒定总流的能量方程式， 也称之为恒定总流伯努利方程。
伯努利方程的目的：确立了恒定总流流动中势能和动能、 流速和压强相互转化的普遍规律。
（二）恒定总流能量方程式的应用 船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船—— “奥林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有 一比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生 了一件意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地 向“奥林匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的 船舷上,把“奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?
5.两断面间没有分流或合流
18
假设两断面间有分流或合流的情况：
19
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
2
p2
g
＋ 2 v12
2g
＋h
l1-2
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
3
p3
g
＋
3
v
2 3
2g
＋h
l1-3
结论：对于断面有分支的流动，在列方程时，只需 计入所列断面间的能量损失，不需要考虑另一股分 支流的能量损失。
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
伯努利原理公式
伯努利原理公式伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。
式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
伯努利方程是丹尼尔•伯努利在 1726 年研究理想液体作稳定流动时提出的。
静压是流体真实存在的压强值，动压也称为速压或速度头，其单位也是Pa。
动压起到调节静压在总压中所占比例的作用：动压越大，静压越小；动压越小，静压越大；动压为零时，即流速为零，静压最大且等于总压值。
因此，伯努利方程式的物理含义也可以说成是流体的压强能和动能之间可以相互转化，但流动的总机械能保持不变。
伯努利方程是流体力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。
答案】一、一般条件下伯努利方程在各项的意义P +1/2ρv2 +ρgh = 常量该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2 、重力势能ρgh 、该点的压强P 之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压,ρgh 和P 相与流速无关,常称为静压.二、单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义ρg =m/u g =mg/u表示单位体积的重力,以ρg 除各项得:p/ρg+v平方/2 g+ h = 常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能. 其中p/ρg表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功,v平方/2 g 表示单位重量流体所具有的动能, h 就是流场中该点的高度.由于v平方/2 g+ p/ρg+ z = 常数,定理中每一项都具有长度的量纲. 所以p/ρg 表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.三、单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义以ρ除各项得:p/ρ+1/2 v平方 + gh = 常量该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p = 0 状态所蕴涵的能量.综上所述：通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能. 由此可以得出:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.。
伯努利方程伯努利方程式
在实际应用中，管道流体传输需要考虑到安全、环保等方面的要求，而伯努 利方程可以为这些问题的解决提供理论支持和实践指导。
其他领域的应用
航空航天：飞机设计中的流体动力学分析 船舶工程：船舶推进器优化设计 化工领域：分离过程的优化控制 气象学：气象预报中的风速计算
伯努利方程的局限性
添加标题
伯努利方程的推导
推导过程：通过 微分方程和积分 方程的推导，得 到伯努利方程的 形式
初始条件和边界 条件：在推导过 程中需要考虑的 初始条件和边界 条件
推导结论：得到 伯努利方程后， 对其进行分析和 解释
应用场景：介绍 伯努利方程在流 体力学、航空航 天等领域的应用
伯努利方程的应用场景
航空领域：飞机飞行时，机翼上 下的空气流速不同，产生升力
气象学：风速与气压的关系，如 风向标和气象气球
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
管道流动：液体在管道中流动时， 流速快的地方压力小，流速慢的 地方压力大
船舶工程：船只航行时，船体下 方的水流速度更快，产生向上的 升力
04
伯努利方程的应用
航空领域的应用
飞机起飞和降落：伯努利方程解 释了气流对飞机机翼的作用力， 影响起飞和降落的安全。
重要支持。
随着科技的不 断进步，伯努 利方程的理论 研究将更加深 入，有望为解 决复杂流体问 题提供更多思
路和方法。
未来发展中， 伯努利方程的 应用前景将更 加广阔，为人 类社会的进步 和发展做出更
大的贡献。
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
对航空航天的影响
飞机机翼设计：利用伯努利方程 原理，设计出机翼形状，实现升 力产生和飞行稳定性。
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
u p1 u p2 gz1 We gz2 h f 2 2
式中：We ——流体输送机械对单位质量流体所作的有效功。
2 1
2 2
h f ——单位质量流体的机械能损耗。
注：式中各项单位为J/kg，表示单位质量流体所具有的能量。
2) 以单位重量流体（1N流体）为衡算基准。将（Ⅲ）式中各
2、伯努利方程的解题要点 （1） 作图与确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并标明流体的流动方
向。选好上、下游截面（1-1’、2-2’截面），以明确流动系
统的衡算范围。 （2） 截面的选取 规定两截面均应与流体流动方向相垂直，并且在两截面 间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截 面之间，且截面上的Z、u、p等有关物理量，除所需求取的未 知量外，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。
解：1、如图示，选取储水槽液面1-1’为基准水平面，已知
We=0 ；Σhf=0。 先求管内流速。在水槽水面1-1’、
排水管出口内侧截面6-6’ 间列伯努利
方程：
2 u6 p6 u12 p1 gZ1 gZ6 2 2
其中：u1≈0；p1=p6=0（表压），Z1=0， Z6=-1。 将数据代入：
已知：p1=0(表压); Z1= 0；Z2=26m，
p2= 6.15×104Pa（表压），u1≈0；
1000kg / m3 , hf 160J / kg
4Vs 4 34.5 3600 u2 2.49m / s 2 2 d 3.14 0.07
将以上数据代入伯努利方程，得：
箱内的水面将升高多少米?
解：1、选取衡算截面及基准水平面 取水箱水面为上游截面1-1’ ，排出管口内侧为下游截面2-2’ ，
伯努利方程
首先我们来说静压能P=F/S=Mg/S 两边同时乘以一个体积v就可以得到PV=Mgv/S简化一下就可以得到PV=W这也就是体积功因为如果换算成每千克状态还可以简化为PM/ρ=W/M这就是第一项静压能的推倒W=P/ρ
接下来是势能同样的p=F/S=Mg/S和上面的推倒一样两边同时乘以一个体积就可以得到PV=Mgv/S也就是W=Mgz如果换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M和上面一样简化成W/M=Mgz这就是势能的推倒W=gz。
其实就是能量守恒定理但是没必要死记硬背有兴趣的话可以照我说的推倒一下包你想忘都忘不了。
因为伯努利方程就是静压能，动压能，势能和功的变化的总和等于能量的摩擦损失总和的一个推倒公式说的更简单点就是几种形式的功相加到一起。静压能+势能+动压能+功=常数。
即：P/ρ+gz+(1/2)*v^2+W=C之所以伯努利方程式这样表述是因为我们通常运用的是在一千克下的状态推倒的公式即每一项的单位都是焦耳/千克所以在具体运算中要注意单位换算！
当用于泵算扬程时各项同时除以g整理各式得P/ρg+z+(1/2g)*v^2+W/g=C通常我们令He=W/g这也就是泵的扬程!各项单位为米或者焦/牛
当用于风机算压头时各项同时乘以一个ρ得P+(1/2)*ρv^2+ρgz+W*ρ=C通常我们令Ht=W*ρ这也就是我们算风机时用的压头单位是帕。
第三项动能的推倒我想就更简单了W=(1/2)M*v^2和上面两项一样如果要换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M就简化成W/M=(1/2)M*V^2或者泵的能量。
四个能量（W）带进去一相加就是伯努利方程式了。简单吧？
伯努利原理公式推导
伯努利原理公式推导
伯努利原理是描述流体力学中流体运动的基本原理之一。
它表明在光滑的管道中，流体在速度增加的地方压力会降低，而在速度减小的地方压力会增加。
下面是伯努利原理的公式推导过程：
考虑一个流体在管道中的某一点A和另一点B，流体通过这两个点的截面积分别为A和B，流体的速度为vA和vB，压强为pA和pB。
我们假设流体是不可压缩的，即流体的密度是恒定的。
根据质量守恒定律，单位时间内通过截面A的流体质量等于通过截面B的流体质量，即ρAvA = ρBvB，其中ρ是流体的密度。
根据动量守恒定律，单位时间内通过截面A的动量变化等于通过截面B的动量变化。
流体的动量可以用动量的定义来表示，即动量 = 质量× 速度。
因此，单位时间内通过截面A的动量变化为ρAvA × vA，通过截面B的动量变化为ρBvB × vB。
根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程：
ρAvA × vA = ρBvB × vB
将质量守恒定律的方程式ρAvA = ρBvB代入上述方程，可以
得到：
vA^2 = vB^2 + (pB - pA) / ρ
这就是伯努利原理的公式推导过程。
该公式表明流体在两个点
之间的速度平方与压强差和密度的乘积成反比。
如果速度增加，压
强会降低；如果速度减小，压强会增加。
需要注意的是，伯努利原理的推导是建立在一些假设条件下的，例如流体是不可压缩的、流体是理想流体、流体是稳定的等。
在实
际应用中，这些假设条件可能不完全成立，因此在具体问题中需要
综合考虑其他因素。
伯努利方程及其应用(精)
2'
1
p1,u1,1
z1 1'
We
0
z2 0'
任务六、伯努利方程及应用
（三）柏努利方程式的讨论 1．输送机械的有效功率确定 柏努利方程式中各项为单位质量流体所具有的能量，外
加能量We是输送机械对单位质量流体作的有效功，是决定 流体输送设备的重要数据。单位时间输送设备所作的有效 功称为有效功率，以Ne表示，即：
Ne= qm，s We Ne的单位为J/s或W。
任务六、伯努利方程及应用
2．不同的衡算基准的柏努利方程式 （1）以单位重力流体为衡算基准。
u12 2g
p1
g
Z1
He
u22 2g
p2
g
Z2
H
f
，
各项的单位为J/N，它表示为单位重力流体所具有的 能量。其单位还可以简化为m ，故称为压头。
各项单位为J/m3或Pa。
3．柏努利方程式适用条件 适用不可压缩流体作定态连续流动的情况。
对可压缩流体，当
p1 p2 100% 20% 时，公式仍可使 p1
用。但公式中的流体密度要用两截面之间流体的平均密度
m代替。
任务六、伯努利方程及应用
（四）柏努利方程应用的注意事项
根据工程要求作图并确定衡算范围 根据给定的条件正确选取截面 以较低的截面作为基准水平面 压强单位和基准必须一致
p2
2
理想流体没有压缩性，其密度为常数，即
gZ1
u12 2
p1
gZ 2
u22 2
p2
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用概要
p2=1.4×105Pa（均为表压），Σhf=10.6J/kg；取
水的密度为1000kg/m3，得：
2 u12 1.69 105 u2 1.4 105 9.811.5 10.6 2 1000 2 1000
由连续性方程：
u2 d1 2 0.3 2 ( ) ( ) 4 u2 4u1 u1 d2 0.15
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是 指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强 两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。
2）确定设备间相对位置 例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维
持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经
全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水
代入，得：
u 1.69 10 9.811.5 1.4 105 10.6 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
（注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。 （5）单位必须一致
伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
恒定总流的伯努利方程
1.0，通常取α＝1.0；
恒定总流的伯努利方程
1.1 黏性流体恒定总流的能量方程
hw为1、2两断面间单位重量流体所具有的能量损失，称为水头损失。影响hw的 因素较为复杂，它除了与流速大小、断面形状和尺寸有关外，还与流道的固体边 壁的性质和粗糙程度等因素有关。此外，根据能量损失的形式不同，hw可划分为 沿程能量损失和局部能量损失。其中，沿程能量损失称为沿程水头损失，通常以 hf表示；局部能量损失称为局部水头损失，通常以hj表示。
恒定总流的伯努利方程
1.3 两断面间有分流或汇流的伯努利方程
总流的伯努利方程（式4-27）是在两过流断面间无分流和
汇流的条件下导出的，而实际的供水，供气管路，沿程大多都
有分流和汇流。
对于两断面间有分流的流动（参见图），设想1－1断面的
1
2
来流分为两股（以虚线划分），分别通过2－2，3－3断面对1'
乘积为1－1断面相对于2－2断面单位面积气体的位能，称为位压。式 （4-31）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。
恒定总流的伯努利方程
工程流体力学
1' 1'
－1'（1－1断面中的一部分）和2－2断面列伯努利方程，如下 1
2 3
所示：
3
z '1
p1 ' 1 '2 g 2g
z2
p2
g
22
2g
hw1'-2
（4-29）
恒定总流的伯努利方程
1.3 两断面间有分流或汇流的伯努利方程
因1－1断面为渐变流断面，面上各点的势能相等，则
z
'1
p1 '
g
p1、p2为相应断面选定点的压强；
伯努利方程及其工程应用
u12 p2 p1 Δh u1 2gΔh 2g γ γ 液体中某点的流速： 实际流速 u 2gΔh
式中 ——流速修正系数，取决于毕托管的外形尺寸 和加工精度，其值由实验确定，一般取
Δh ——两测压管内液柱高差。
如果测量气流速度 u 2 gΔh
迎 流 孔 顺 流 孔
7 H 0 9.3m 0.75
作业：3—14、3—18
z1
p1
v
2 1 1
2g
z2
p2
v
2 2 2
2g
hl
物理意义——能量
几何意义——水头
3.7.2
伯努利方程式的工程应用
基本内容： 1、测量流速与流量的仪表； 2、虹吸现象； 3、孔口、管嘴的出流问题。 重点：分析方法
一、测量流速与流量的仪表
、毕托管(Pitot Tube)
二、虹吸现象
3 3 H 1 1
2
O
2
v1 0
O
虹吸原理：如图，对1—1，2—2断面列伯努利方程
2 pa α1v12 p 2 α 2 v2 H hl12 γ 2g γ 2g
由于 A1 A 2 ，所以 上式变成
v1 0 ；p 1 p 2 p a ，并取 2 1 ，则
0.95 ~ 0.98;
文丘里流量计在工程中已得 到广泛应用，为了使测得的流量 值更接近实际流量，使用时还应 注意一些问题：
除文丘里流量计外，工程上常用的还有孔板流量 计和喷嘴流量计，它们都属于节流式流量计。
孔板流量计
涡 轮 流 量 变 送 器 喷嘴流量计
工程上常用的流量计还有转子流量计、靶式流量计、电 磁流量计、超声流量计等。
伯努利方程式
伯努利方程式
伯努利方程式是一种用来描述随机事件发生概率的数学方程式。
它是在1812年由英国数学家艾伦伯努利发明的，因此得名。
伯努利
方程式的数学表达式是：P(A)=p,P(B)=1-p，其中P(A)和P(B)是A、B事件发生的概率，p∈(0,1)。
这句话的意思是说，A、B两个事件发生的概率为p和1-p。
伯努利方程式具有广泛的应用，它可以用来描述各种随机事件的发生概率，如计算骰子抛掷的概率，解决赌博概率等问题，波兰数学家斯瓦布拉夫斯基有一本著作：《论博弈的数学理论》，就是用伯努利方程式解决赌博概率问题的重要参考书。
伯努利方程式广泛应用于统计学，统计学家和经济学家普遍使用伯努利方程式来解决实际问题。
例如，在市场营销中，伯努利方程式可以用来估计一个新产品成功的概率，以及在竞争中胜出的概率等等。
伯努利方程式还被广泛地应用在生物学上，它在基因遗传学上具有重要的作用。
在单基因遗传模型中，伯努利方程式可以用来估算父母亲的两个遗传物质合并的结果，从而预测子代的数量和性状特征。
通过以上介绍，不难看出，伯努利方程式在不同领域有着广泛的应用，它是一种十分重要的数学方程式。
因此，在理解伯努利方程式之前，我们需要了解数学概念，如概率和概率分布等。
除此以外，我们还应该掌握伯努利方程式解决具体问题的方法，以便在实际应用中更好地灵活运用。
- 1 -。
伯努利方程的应用
，伯努利方程及其应用伯努利，1738,瑞士。
动能与压强势能相互转换。
沿流线的伯努利方程将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元，沿流线切线方向(dp、dS y-pgdA8scos0 + pdA- p + dA = p3\dsdv(a.t)dt整理后八 1 dp dv(a,t)-geos 0 ---------- =p dsdt因为COS0 =—ds将流体元的加速度转换成欧拉形式的加速度，沿流线的质点导数为dv{a,t) _ Dv(s.t) _ dv dt Dt dt 则导出dz 1 dp dv dv —g -- -------- = — + v —ds p dsdtds此式为一维欧拉方程，使用下述关系将方程沿流线积分。
两边乘以ds— ds 二dz. — ds = dp2 = dv dsds ds得：dv 1 , 7 1 7 —ds + vdv + gdz -\— dp — 0 dt p沿流线积分0ds + l + g 卄淫二常数 J dt 2 p此式为欧拉方程的积分式，适合于可压、无粘不定常运动。
对于不可压定常流动，则可简化为2— + gz + —二常数 2 P此式为伯努利方程，三项分别表示单位质量流体具有dv+ v — ds的动能、位置势能和压强势能。
即总机械能守恒。
应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。
伯努利方程使用的限制条件（1）无粘性流体，（2） 不可压流体（3）定常流（4）沿流线。
加入能量损失就可适应粘性流体。
皮托（pitot ）测速管：总压强与动压强皮托测速管又称为皮托-静压管，简称皮托管，为纪 念法国人皮托命名。
皮托测速管由粗细两根同轴的圆 管组成，细管（直径约为1・5 mm ）前端开孔（0点）,粗管（直径约为6 mm ）在距前端适当长距离处的侧壁 上开数个小孔（B 点），在孔后足够长距离处两管弯90。
成柄状.测速时管轴线沿来流方向放置.设正前方的 流速保持为…静压强为八 流体密度为°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．流体在流动过程中能量的相互转换关系
动能
静压能
能量损失
位能
管流伯努利方程式及应用
管流伯努利方程式
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
h失
(1 2流动)
（1）黏性流体在水平管内流动
1
2
简化：z1=z2，v1=v2 P1 P2 h失 P1 P2 h失
1
2
p h失 （不可逆过程）
管流伯努利方程式及应用
(2)毕托管测流量原理
v1 0
v2
2( p1 p2 )
m/s
如何求qv?
管流伯努利方程式及应用
(3)节流装置测流量原理
qv
A2
1
A2 A1
2
A2
A0
qv ABiblioteka 1 2m22( p1 p2 )
m3/s
m A0 A1
2( p1 p2 )
qv A0
2( p1 p2 )
静压能
能量损失
管流伯努利方程式及应用
（1）理想流体在变截面水平管内流动
1
2
简化：h失=0，z1=z2
P1
1 2
v12
P2
1 2
v
2 2
1
2
P1
P2
1 2
(
v
2 2
v12 )
＜0
思 流体由2 考 面流向1
面
动能
静压能
管流伯努利方程式及应用
（2）理想流体在具有一定倾斜度的变截面管中流动
简化：h失=0
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
(1 2流动)
z2 z1
P1
P2
1 2
(v
2 2
v12 )
g ( z 2
z1 )
＜0
＞0
P1 P2 ＞＜=0？
思 考
流体由2面流向1面
管流伯努利方程式及应用
动能
静压能
能量损失
位能
管流伯努利方程式及应用
文丘利管 、 毕托管 、 孔板测流量原理
，流场特征及分类，流体的质量平衡方程（连续性方程），黏性流 体的动量平衡方程（纳维-斯托克斯方程），理想流体的动量平衡方 程（欧拉方程），伯努利方程及其应用。
重点：伯努利方程及其应用。
难点：黏性流体的动量平衡方程（纳维-斯托克斯方程）。
基本要求：掌握自然流动与强制流动，稳定流动与不稳定流动， 黏性动量通量与对流动量通量基本概念，掌握连续性方程及其应用 ，掌握伯努利方程及其应用，理解纳维-斯托克斯方程的推导方法。
m3/s
—流量系数，取决于孔板结构。
管流伯努利方程式及应用
3．流体流出
例题
直径d=50mm的垂直管与盘状间隙相连，如图所示。 当盘的半径R=0.3m，盘的间距δ=1.6mm，水在垂直管
中的流速为3m/s时，求A、B、C、D各点的压力(已知
H=1m，环隙D处为水喷口)。
解：环缝D处为水的喷口
PD=1.0132×105 Pa
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
h失
简化： z1 z2 h失 0
P1
1 2
v12
P2
1 2
v22
管流伯努利方程式及应用
2．流量测量 (1)文丘里管测流量原理
v1A1 v2A2
v1
v2
A2 A1
qv
A2
2
1
A2 A1
2( p1 p2 )
m3/s
A1，A2，ρ已知，测出P1-P2，即可测出流量qv
v1A1 v2A2 (一维稳定流动, const)
vA
d
4
2
vD
2
R
vD
vA d 2
8R
1.953m / s
管流伯努利方程式及应用
A-D列伯努利方程：
gH
PA
1 2
v
2 A
PD
1 2
v
2 D
PA=0.8892×105 Pa
静压力平衡方程： gH PA PB PB=0.9873×105 Pa
vC
2
R 2
vD
2
R
vC=3.906m/s
C-D列伯努利方程：
PC
1 2
v
2 C
PD
1 2
v
2 D
PC=0. 9560×105 Pa
PA=0.8892×105 Pa PB=0.9873×105 Pa PC=0.9560×105 Pa PD=1.0132×105 Pa
本章小结
主要内容：流体流动的分类，质点与连续介质，微团与控制体