工程力学第二章平面汇交力系

即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
第二章 平面汇交力系
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 5】重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求 重物处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。
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RB
P
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§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
求：在P的作用下杆件AC、BC所受力的大小。
【例题 2】已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。
B C P
解： ①选铰链C为研究对象
②取分离体画受力图
∵BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与FAC
注意： 1、由于矢量相加满足交换律，故画力多边形时，各力的次序是 可以任意的。改变力的次序，只影响力的多边形的形状，不 影响最后合力的大小和方向；
F1
A B
F2
C
2、各分力矢量必须首尾相连
3、合力矢量的方向则是，从第一个力 起点指向最后一个力的终点
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F3
D
R
E
Fn
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x
Fx Fxi 0 0.5 0.25 cos 60 0
Fy Fyi 1.5 0 0.25sin 600
2 2
1cos 450 0.332 kN
1sin 450 1.99kN
故合力 F 的大小为 F Fx Fy 2.02kN 其方向余弦则为 cos Fx F 0.164, cos Fy F 0.986
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理：
R F F2 2F1F2 cos
2 1 2
合力方向由正弦定理：
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F R 1 sin sin( 180 )
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§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
D
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
F3
o
F2
F3
C
F
A
B
F1
F2
x
F1
o
b d c X1 ab, X 2 bc, X 3 cd, RX ad
a
因 ad ab bc cd ,故 同理可得
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RX X1 X 2 X 3
RY Y1 Y Y3
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（三）合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Rx、Ry后， 可用下式求出合力的大小和方向
Y 0,G F
0 0 X 0 , F cos 45 F cos 30 0 BA BC BA
FBC
sin 45 FBC sin 30 0
0 0
300
B
mg
450
x
FBC=71.8 N 。 联立上述两方程，解得： FBA=88 N ，
FBA
（b） 向是正确的，即 AB 杆承受拉力，BC 杆承受压力。若 求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方 向相反。
B
600
300
Y
X FAB
A TAD P
FAC
D
A
C
P
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
解：以A为坐标原点，建立x,y坐标轴，列 平衡方程： ∑ X = 0 ， - FAC - Pcos300 – TAD cos600 = 0 ∑Y=0, FAB - Psin300 + TAD sin600 = 0 ∴ FAC = -27.32 kN FAB = -7.32 kN
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§2-2平面汇交力系 合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（一）力在坐标轴上投影
y
y
A
o
B
b1 Y a1
b
x o
Fy
A

F

X
B
Fx
图 a 平行光线照射 下物体的影子
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知
P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（二） 合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。即
工程力学
第二章 平面汇交力系
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第二章
平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
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§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
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§2-1
Y
X
讲解过程中，应该重点强调： 1. TAD的大小为多少。 TAD 2· 对象选取（为什么是A点）。 3· 图示坐标轴的建立（原因是什么）.
FAB A
FAC
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P
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 7】求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究块,受力如图，
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
共点力系的合成结果 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用 点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭 边表示。 矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ · · · + Fn 2、共点力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
2. 任意个共点力的合成
F1 A F2 F4 F3
A B
F1
F2
C
F3
D
R
E
F4
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2 F3 F4
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§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。
F X 2 Y 2
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
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§2-2

F
i 1
n
i
F 0
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R0
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指导学生学习19页的思考题2.1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
【例题 1】刚架如图所示。已知水平力P， 不计刚架自重， 求支座A、B的反力。
P D A 2a
C a B
P D RB
C
RA
A
解：刚架受三力作用平衡。根据三力平衡汇交定理，A点约束反 力的作用线必交于P与RB的交点C，作出自行封闭的力矢三角形。
a
图b 力在坐标轴上的投影
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a
b
x
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
由图b知，若已知力 F 的大小 和其 与x轴、y轴的夹角为 、 ，则力 在x、y轴上的投影为：
X F cos
Y F cos F sin
b1 Y a1
o
Fy
A

F

X
B
Fx
图b 力在坐标轴上的投影
解力三角形： 又：
N F cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
F R N h ( 2 R h)
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
P N sin 又sin R h R
A
和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
FBC FAC P
FBC P 2 FAC FAC FBC P sin 10 2 5 2 (kN )
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由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于5 2 kN 。
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R
Rx Ry
Ry Rx
2
2

( X ) 2 ( Y ) 2
t an

Y X
式中 表示合力 F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由 Rx、Ry的正负号用图判定。这种运用投影求 合力的方法，称为解析法。 y F R
Fy
2
RY
R
RX
用图可表示为：
F3
Fn
F1
Fx
o
第二章 平面汇交力系
a
b
x
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 、 为锐角时, X、Y 均为正值； 为钝角时， X、Y可能为负值。 当 、 故力在坐标轴上的投影是个代数量。力的分量是矢量
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§2-2
应注意
平面汇交力系合成与平衡的解析法
T
o
30
o
P 0
如
P
(b)
x
N
P
(c)
N
(a)
X 0
T cos300 N cos600 0
X 0
T P cos600 0
这样建立坐标系 T 和N相互藕合
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可求得 T =？
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平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题6】起重机支架的AB、AC杆用铰链支承在立柱上,重物 P=20KN,滑轮尺寸和杆自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。
C
60
0
y
B
FBC
300
B
x
450
45
0
FBA
mg
A
（a）
第二章 平面汇交力系
（b）
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【解】 取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力G= mg；AB杆的约束反力FBA (设为拉力)及 BC 杆的约束反力FBC （设为压力），坐标轴如图b所示，例出平衡方程 y
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
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§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
C
为了自行封闭的力矢三角形，RA的方向？P
D
RB AD 1 故 P AC 2 P RB ∴ 2
RA
A
RA
RB
故
RA AC 5 P DC 2
RB P RA
5 RA P 2
方向如图所示，这种方法称为几何法。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
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§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个共点力的合成
cos( 180 ) cos
x
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 4】用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向已知 F1 1.5kN, F2 0.5kN, F3 0.25kN, F4 1kN y 450 【解】 先计算合力 F 在x、y轴上 的投影，有 F
F2
600
3
F4 F1 F
0 80 . 34 在第四象限 即
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§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（四）平 衡 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 R 0 而R 则
( X ) 2 ( Y ) 2 0
X 0， Y 0
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由于求出的FBA和 FBC都是正值，所以原先假设的方
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
应注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知 力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程 就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中 y y T x