高一下数学期末考试必修三必修五含答案
高一数学必修三必修五综合测试(期末)
高一数学必修三必修五综合(二)一、选择题1．数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，那么a 5=〔 〕 A ．6B ．﹣6C ．3D ．﹣32．在等差数列{a n }中，假设a 2=2，a 5=5，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A ．a n =n B ．a n =2nC ．a n =n ﹣1D ．a n =2n ﹣13．不等式x 〔1﹣3x 〕＞0的解集是〔 〕 A ．〔﹣∞，〕 B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C ．〔，+∞〕D ．〔0，〕4．x ，y 满足约束条件，那么z=2x+y 的最大值为〔 〕A ．3B ．﹣3C ．1D ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c=2a ，那么cosB 的值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．6．a ＜0，﹣1＜b ＜0，那么〔 〕 A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a7．等差数列中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78，那么此数列前20项和等于〔 〕 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2208．等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，那么=〔 〕A ．1B ．3C ．6D ．99．假设x ，y ∈R +，且2x+8y ﹣xy=0，那么x+y 的最小值为〔 〕 A ．12 B ．14 C ．16 D ．1810．等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，那么a 1=〔 〕 A ．B ．C ．D ．211．数列{a n } 的前n 项和S n =3n ﹣2，n ∈N *，那么〔 〕 A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列 C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 12．不等式x 2+2x ＜对任意a ，b ∈〔0，+∞〕恒成立，那么实数x 的取值围是〔 〕A 〔﹣2，0〕B 〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕C 〔﹣4，2〕D 〔﹣∞，﹣4〕∪〔2，+∞〕 二、填空题13．一个工厂有假设干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进展质量检查．假设某车间这一天生产128件产品，那么从该车间抽取的产品件数为． 14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1那么a 5=． 15．设a ＞0，b ＞0，假设a+b=4，那么的最小值为．16．如图，在一个半径为3，圆心角为3的扇形画一个切圆， 假设向扇形任投一点，那么该点落在该切圆的概率是 三、解答题17．三角形ABC 中，BC=7，AB=3，且．〔Ⅰ〕求AC ；〔Ⅱ〕求∠A．18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=S n 〔n ∈N *〕． 〔1〕求a 2，a 3，a 4的值；〔2〕求数列{a n }的通项公式．19．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图〔如下列图〕．〔1〕根据频率分布直方图完成以上表格；〔2〕用组中值估计这10 000人月收入的平均值；〔3〕为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在［2000，3500〕〔元〕月收入段应抽出多少人？20．某种产品有一等品、二等品、次品三个等级，其中一等品和二等品都是正品．现有6件该产品，从中随机抽取2件来进展检测．〔1〕假设6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件．①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少？②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少？〔2〕如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于45，那么6件产品中次品最多有多少件？一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，那么a 5=〔 〕 A ．6B ．﹣6C ．3D ．﹣3【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ， ∴a 3=a 2﹣a 1=3，同理可得：a 4=3﹣6=﹣3，a 5=﹣3﹣3=﹣6． 应选：B ．【点评】此题考察了递推关系，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．2．在等差数列{a n }中，假设a 2=2，a 5=5，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A ．a n =n B ．a n =2nC ．a n =n ﹣1D ．a n =2n ﹣1【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的公差，由a 2=2，a 5=5列式求得公差，代入a n =a m +〔n ﹣m 〕d 得答案． 【解答】解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， 那么a 5=a 2+3d ， ∵a 2=2，a 5=5，∴5=2+3d，解得：d=1．∴a n =a 2+〔n ﹣2〕d=2+1×〔n ﹣2〕=n ．应选：A ．【点评】此题考察了等差数列的通项公式，在等差数列中，假设给出任意一项a m ，那么a n =a m +〔n ﹣m 〕d ，是根底题．3．不等式x 〔1﹣3x 〕＞0的解集是〔 〕 A ．〔﹣∞，〕 B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕 C ．〔，+∞〕 D ．〔0，〕【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x 〔1﹣3x 〕＞0对应的方程以及二次函数的关系，即可写出该不等式的解集． 【解答】解：不等式x 〔1﹣3x 〕＞0对应的方程x 〔1﹣3x 〕=0的两个实数根为0和， 且对应二次函数y=x 〔1﹣3x 〕的图象开口向下， 所以该不等式的解集为〔0，〕． 应选：D ．【点评】此题主要考察二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于根底题．4．x ，y 满足约束条件，那么z=2x+y 的最大值为〔 〕A ．3B ．﹣3C ．1D ．【考点】简单线性规划． 【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【解答】解：作图 易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y 过点A 〔2，﹣1〕时，z 最大是3， 应选A ．【点评】本小题是考察线性规划问题，此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．5．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，那么cosB的值为〔〕A．B．C．D．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a，可得，利用cosB=，可得结论．【解答】解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得b2=ac，∵c=2a，∴，∴cosB===．应选B．【点评】此题考察正弦定理、余弦定理的运用，考察等比数列的性质，考察学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．6．a ＜0，﹣1＜b ＜0，那么〔 〕 A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据题意，先确定最大的数ab ＞0，再确定最小的数a ，从而得出正确的结论． 【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b ＜0时， ∴ab＞0，1＞b 2＞0， ∴0＞ab 2＞a ， ∴ab＞ab 2＞a ． 应选：D ．【点评】此题考察了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进展判断，是根底题．7．等差数列中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78，那么此数列前20项和等于〔 〕 A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】先根据a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78可得到a 1+a 20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78 ∴a 1+a 20+a 2+a 19+a 3+a 18=54=3〔a 1+a 20〕 ∴a 1+a 20=18 ∴=180应选B【点评】此题主要考察等差数列的前n 项和公式的应用．考察等差数列的性质．8．等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，那么=〔 〕A ．1B ．3C ．6D ．9【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，〔q ＞0〕，由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得．【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，〔q ＞0〕 由题意可得2×a3=3a 1+2a 2，即q 2﹣2q ﹣3=0， 解得q=﹣1〔舍去〕，或q=3， 故==q 2=9．应选：D ．【点评】此题考察等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属根底题．9．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，那么等于〔 〕A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，〔q≠0〕 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11应选D【点评】此题考察等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．10．等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，那么a 1=〔 〕 A ．B ．C ．D ．2【考点】等比数列的通项公式． 【专题】计算题．【分析】设公比为q ＞0，由题意可得=2，a 1q=2，由此求得a 1的值．【解答】解：设公比为q ＞0，由题意可得=2，a 1q=2，解得 a 1==q ，应选C ．【点评】此题主要考察等比数列的通项公式的应用，属于根底题．11．数列{a n } 的前n 项和S n =3n ﹣2，n ∈N *，那么〔 〕 A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列的前n 项和，分别求出a 1及n≥2时的通项公式，经历证数列从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列，所以得到结论数列{a n }是递增数列，但不是等比数列． 【解答】解：由S n =3n ﹣2，当n=1时，．当n≥2时， =2•3n ﹣1．n=1时上式不成立．所以．因为a 1=1，a 2=6， 当n≥2时，．所以数列{a n } 从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列． 综上分析，数列{a n }是递增数列，但不是等比数列． 应选B ．【点评】此题考察了等比数列的通项公式，考察了数列的函数特性，对于给出了前n 项和求通项的问题，一定要讨论n=1和n≥2两种情形，此题是根底题．12．不等式x 2+2x ＜对任意a ，b ∈〔0，+∞〕恒成立，那么实数x 的取值围是〔 〕A ．〔﹣2，0〕B ．〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕C ．〔﹣4，2〕D ．〔﹣∞，﹣4〕∪〔2，+∞〕【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；不等式的解法及应用． 【分析】由，只需x 2+2x 小于的最小值即可，可利用根本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a ，b ∈〔0，+∞〕，，所以只需x 2+2x ＜8即〔x ﹣2〕〔x+4〕＜0，解得x ∈〔﹣4，2〕 应选C【点评】此题考察不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 13．如图，从高为米的气球〔A 〕上测量铁桥〔BC 〕的长，如果测得桥头B 的俯角是60°，桥头C 的俯角是30°，那么桥BC 长为 400 米．【考点】解三角形．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】由条件求出∠DAB 的大小，结合AD=200，通过解直角三角形求出AB 的长度，在等腰三角形ABC 中，由腰长相等得BC 的长度．【解答】解：如图，由∠EAB=60°，得∠DAB=30°，在Rt△ADB 中，∵AD=200，∠DAB=30°，∴AB=400．又∠EAC=30°，∴∠ACB=30°．∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠BAC=30°．在△ABC 中，∵∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=400．故答案为：400．【点评】此题考察了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1那么a 5= ﹣1 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由S 2=S 6，a 4=1，先求出首项和公差，然后再求a 5的值．【解答】解：由题设知，∴a 1=7，d=﹣2，a=7+4×〔﹣2〕=﹣1．5故答案为：﹣1．【点评】此题考察等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．15．设a＞0，b＞0，假设a+b=4，那么的最小值为．【考点】根本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】由得=，由此利用均值定理能求出的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴==++≥+2=．当且仅当时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】此题考察代数式和的最小值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，且〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，那么△ABC周长的取值围为〔2，3]．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】a=1，〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，可得〔a﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，由正弦定理可得：〔a﹣b〕〔a+b〕=〔c﹣b〕c，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：在ABC中，∵a=1，〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，∴〔a﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，由正弦定理可得：〔a﹣b〕〔a+b〕=〔c﹣b〕c，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈〔0，π〕，∴A=．由正弦定理可得：==，∴b=sinB，c=sinC，∴△ABC周长=1+b+c=1+sinB+sinC=1+=1+2，∵B∈，∴∈，∴∴△ABC周长的取值围是〔2，3]．故答案为：〔2，3]．【点评】此题考察了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．〔Ⅰ〕求AC；〔Ⅱ〕求∠A．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；〔Ⅱ〕利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：〔Ⅰ〕由AB=3，根据正弦定理得：〔Ⅱ〕由余弦定理得：，所以∠A=120°．【点评】此题考察了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解此题的关键．18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=S n 〔n ∈N *〕．〔1〕求a 2，a 3，a 4的值；〔2〕求数列{a n }的通项公式．【考点】数列递推式；等比关系确实定．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】〔1〕根据a n+1=S n ，分别令n=1，2，3即可求得a 2，a 3，a 4的值；〔2〕由a n+1=S n ，得，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；【解答】解：〔1〕∵a n+1=S n ， ∴==， ∴=， ∴==； 〔2〕∵a n+1=S n ，∴， 两式相减得：=， ∴，∴数列{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，， 故数列{a n }的通项公式为．【点评】此题考察由数列递推公式求数列通项公式，解决〔2〕问关键是明确关系式：．19．{a n }，是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根．〔Ⅰ〕求{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{}的前n 项和．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔Ⅰ〕由题意列式求出a 2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；〔Ⅱ〕把等差数列的通项公式代入数列{}，然后由错位相减法求其和．【解答】解：〔Ⅰ〕在递增等差数列{a n }中，∵a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根，那么 ，解得． ∴d=．∴a n =a 2+〔n ﹣2〕×d=2+n﹣1=n+1； 〔Ⅱ〕∵=， ∴{}的前n 项和：①，②， ①﹣②得： =1+．∴．【点评】此题考察了等差数列的通项公式，考察了错位相减法求数列的和，是中档题．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．〔1〕求角B的大小；〔2〕如果b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】〔1〕等式利用正弦定理化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数；〔2〕利用余弦定理表示出cosB，将b与cosB的值代入，整理得到关系式，利用根本不等式化简求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：〔1〕等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；〔2〕∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，=．那么△ABC为正三角形时，Smax【点评】此题考察了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解此题的关键．21．小于年初支出50万元购置一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，假设该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元〔国家规定大货车的报废年限为10年〕．〔1〕大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？〔2〕在第几年年底将大货车出售，能使小获得的年平均利润最大？〔利润=累计收入+销售收入﹣总支出〕【考点】根据实际问题选择函数类型；根本不等式．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】〔1〕求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； 〔2〕利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用根本不等式，可得结论．【解答】解：〔1〕设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 那么y=25x ﹣[6x+x 〔x ﹣1〕]﹣50=﹣x 2+20x ﹣50〔0＜x≤10，x ∈N 〕由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣5＜x ＜10+5 ∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；〔2〕∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出， ∴二手车出售后，小的年平均利润为=19﹣〔x+〕≤19﹣10=9 当且仅当x=5时，等号成立∴小应当在第5年将大货车出售，能使小获得的年平均利润最大．【点评】此题考察函数模型的构建，考察根本不等式的运用，考察学生的计算能力，属于中档题．22．在递增等差数列{a n }中，a 1=2，a 3是a 1和a 9的等比中项．〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕假设b n =，S n 为数列{b n }的前n 项和，是否存在实数m ，使得S n ＜m 对于任意的n ∈N +恒成立？假设存在，请数m 的取值围，假设不存在，试说明理由．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】〔I 〕利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 〔Ⅱ〕存在．由于b n ==，利用“裂项求和〞方法即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由{a n }为等差数列，设公差为d ，那么a n =a 1+〔n ﹣1〕d ，∵a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴=a 1•a 9，即〔2+2d 〕2=2〔2+8d 〕，解得d=0〔舍〕或d=2，∴a n =2+2〔n ﹣1〕=2n ． 〔Ⅱ〕存在．b n ==，∴数列{b n }的前n 项和S n =+…+=， ∴存在实数m ，使得S n ＜m 对于任意的n ∈N +恒成立．【点评】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和〞、“放缩法〞，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2021-2022高中数学必修三期末试题含答案
一、选择题1．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．58B．13C．18D．382．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是偶数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B （）A．12B．13C．23D．563．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A．15B．25C．35D．454．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（）A．13B．12C3D25．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A．74B．5627C．2D．164816．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b分别为10，14，则输出的a=（）A．6 B．4 C．2 D．07．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．53B．74C．95D．1168．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为5，则输入的实数a的范围是( )A ．[)6,24B ．[)24,120C ．(),6-∞D ．()5,249．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]10,14，[]15,19，[]20,24，[]25,29，[]30,34的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，%t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[]10,14，17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为( 4.68)%y kx =-，由此可推测t 的值为（ ）A ．33B ．35C ．37D ．3910．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（ ） A ．70和50B ．70和67C ．75和50D ．75和6711．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆）30333639已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39B ．42C ．45D ．5012．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x 人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为（ ） A ．64B ．96C ．144D ．160二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则E X=______________．()14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.15．在[0,1]上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221+≤的概率为________．a b16．执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．17．执行如图所示的程序框图，输出S的值为___________.18．已知流程图如图，则输出的i＝________．19．用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为1~400，按编号顺序平均分为20个组.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第17组抽取的号码为________.20．《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为：93，93，88，81，94，91则这组时间数据的标准差为___________.三、解答题21．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m ，n 的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 22．某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y 的情况如下表所示： 分组区间 [100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]y154040mn且区间内英语人数与数学人数之比为，现从数学成绩在的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.23．给出求满足不等式122010n ++⋅⋅⋅+>的最小正整数n 的一种算法，并作出程序框图. 24．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资.25．2020年1月末，新冠疫情爆发，经过全国人民的努力，2月中旬，疫情得到了初步的控制，湖北省以外地区的每日新增确诊人数开始减少，某同学针对这个问题，选取他在统计学中学到的一元线性回归模型，作了数学探究：他于2月17日统计了2月7日至16日这十天湖北省以外地区的每日新增确诊人数，表格如下： 日期 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.132.14 2.15 2.16 代号x 123 45 678910新增确558 509444381 377 312267 221166 115计算出： 5.5,335x y ==，()()1013955iii x x y y =--=-∑，()210182.5ii x x =-=∑（1）请你帮这位同学计算出y 与x 的线性回归方程(精确到0.1)，然后根据这个方程估计湖北省以外地区新增确诊人数为零时的大概日期；附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1012101iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-（2）实际上2月17日至2月22日的新增确诊人数如下：出评价.26．某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ，写出满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x ，乙到的时间为y ，则试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ， 事件对应的集合表示的面积是1S =，满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤， 则()1,1B ，1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭，10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则事件A 对应的集合表示的面积是111131122228⨯⨯-⨯⨯=，根据几何概型概率公式得到33818P ==； 所以甲、乙两人能见面的概率38P =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．2．D解析：D 【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案. 【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P AB =. 故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．4．B解析：B 【分析】分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为15，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为b a -∴小正方形面积为：()2b a -，又大正方形面积为：2c()()2222222221115b a b a ab a b c a b a b b a--∴==-=-=+++，即：25a b b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解得：12a b = 本题正确选项：B 【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.5．C解析：C 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.6．C解析：C 【分析】由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的a . 【详解】由题意，可知10a =，14b =， 满足a b ，不满足a b >，则14104b =-=， 满足a b ，满足a b >，则1046a =-=， 满足a b ，满足a b >，则642a =-=， 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=， 不满足a b ，输出2a =.故选C. 【点睛】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.7．D解析：D【分析】通过分析可知程序框图的功能为计算211n S n +=+，根据最终输出时n 的值，可知最终赋值S 时5n =，代入可求得结果. 【详解】根据程序框图可知其功能为计算：()111111111211111112231223111n S n n n n n n +=+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=⨯⨯++++初始值为1n =，当6n =时，输出S 可知最终赋值S 时5n = 25111516S ⨯+∴==+ 本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据程序框图的功能计算输出结果，关键是能够明确判断出最终赋值时n 的取值.8．A解析：A 【解析】 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x ，n 的值，由题意判断退出循环的条件即可得解． 【详解】模拟程序的运行，可得 n ＝1，x ＝1不满足条件x ＞a ，执行循环体，x ＝1，n ＝2 不满足条件x ＞a ，执行循环体，x ＝2，n ＝3 不满足条件x ＞a ，执行循环体，x ＝6，n ＝4 不满足条件x ＞a ，执行循环体，x ＝24，n ＝5此时，由题意应该满足条件x ＞a ，退出循环，输出n 的值为5． 可得：6≤a ＜24． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．9．B解析：B 【解析】前4个数据对应的19.5x = ，0.195y = （把百分数转化为小数），而0( 4.68)0y kx ∧=-=0.0468bx -，0.19519.50.0468b ∧∴=⨯-，0.0124b ∧∴=，0(1.24 4.68)0y x ∧∴=- ，当3034322x +==， 1.2432 4.6835t =⨯-=.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解． 【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a 1，a 2，…，a 50， 则a 1+a 2+…+a 50＝50×70，即60+90+a 3+…+a 50＝50×70， （a 1﹣70）2+（a 2﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75， 即102+202+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75． 更正后平均分为x ＝150×（80+70+a 3+…+a 50）＝70； 方差为s 2＝150×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+50×75﹣102﹣202]＝67． 故选B ． 【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．11．B解析：B 【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果. 详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y ++++++====，所以1348022,3224ˆb-==- 所以19(2)8042y =⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y.12．D解析：D【解析】【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81= 12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数.【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81= 12816,因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D.【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题二、填空题13．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随解析：3.5625【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：则()54342 3.56258161648E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查几何概型及随机变量的分布列.14．【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中选一个表示剩下的解析：23【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C⨯⨯=种,其中23C表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C表示从三种组合中选一个，12C表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=.考点：古典概型及其概率计算公式．15．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主解析：4π【解析】【分析】画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221a b+≤的概率为2211414Pππ⨯==，故答案为4π.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出故答案为 解析：42【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值． 【详解】输入0,2,1S a i ===， 第一次循环，2,4,2S a i ===； 第二次循环，6,6,3S a i ===； 第三次循环，12,8,4S a i ===； 第四次循环，20,10,5S a i ===； 第五次循环，30,12,6S a i ===； 第六次循环，42,14,7S a i ===， 退出循环，输出42S =，故答案为42. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．48【解析】第1次运行成立第2次运行成立第3次运行成立第3次运行不成立故输出的值为48解析：48 【解析】第1次运行，1,2,122,4i S S i ===⨯=<成立 第2次运行，2,2,224,4i S S i ===⨯=<成立 第3次运行，3,4,3412,4i S S i ===⨯=<成立 第3次运行，4,12,41248,4i S S i ===⨯=<不成立， 故输出S 的值为4818．9【解析】根据流程图可得：否；否；否；否；是输出故答案为9解析：9 【解析】根据流程图可得：1,3S i ==，否，133S =⨯=，3i =；否339S =⨯=，5i =； 否9545S =⨯=，7i =；否457315S =⨯=，9i =；是输出9i =，故答案为9.19．331【分析】分段抽样由抽取时的分段间隔是20利用等差数列知识得解【详解】由抽取时的分段间隔是20即抽取20名同学其编号构成首项为11公差为20的等差数列第17组抽取的号码故答案为：331【点睛】本解析：331 【分析】分段抽样由抽取时的分段间隔是20，利用等差数列知识得解. 【详解】由抽取时的分段间隔是20.即抽取20名同学，其编号构成首项为11，公差为20的等差数列，第17组抽取的号码11(171)20331+-⨯= 故答案为：331 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.20．【分析】由搜集算法所费的时间的数据求得数据的平均数再结合方差的计算公式即可求解【详解】由题意搜集算法所费的时间的数据可得数据的平均数为所以方差为所以标准差故答案为：【点睛】本题主要考查了数据的平均数解析：【分析】由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据， 可得数据的平均数为939388819491906x +++++==，所以方差为2222222(9390)(9390)(8890)(8190)(9490)(9190)206s -+-+-+-+-+-==，所以标准差s ==故答案为： 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.三、解答题21．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则218431228()55C C P C C ==，故42()()()55P A P B P C =+=. 因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255. 【点睛】本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题．22．（1）这100名学生英语成绩的平均数和中位数分别为124，123.75（2）35【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可； （2）利用题设条件得出,m n 的值，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）这100名学生英语成绩的平均数为1050.051150.31250.41350.21450.05124⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 设这100名学生英语成绩的中位数为x直方图可知[100,110),[110,120),[120,130)对应的频率分别为0.05,0.3,0.40.050.30.40.750.5,0.5(0.30.05)0.15++=>-+= (120)0.040.15x ∴-⨯=，解得123.75x =则这100名学生英语成绩的中位数为123.75 （2）区间[130,140)内英语人数为1000.220⨯=人∴区间[130,140)内数学人数为120210⨯=人 2,100(1540402)3m n ∴==-+++=设数学成绩在[130,140)的人记为12,a a ，数学成绩在[140,150]的人记为123,,b b b 则从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人的所有情况为()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b ，共10种，其中选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]有6种 即选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率为63105= 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题. 23．见解析 【分析】本题先要求12n ++⋅⋅⋅+，即每一项的变量都加一，设置两个变量：每一项的变量n ，且在循环中每次加一；每一项的和的变量T ，随着每一项的变量的增加而增加；再由题意得到退出循环的条件为2010T >. 【详解】 算法：1:1S n ←；2:0S T ←； 3:S T T n ←+；4S ；如果2010T >，输出n ，结束；否则1n n ←+，回到3S .程序框图如下：【点睛】本题考查了算法和框图的知识，考查学生分析解决问题的能力，对于循环结构的分析可以先写出循环的部分，再确定最终循环结束的条件，本题属于中等题。
高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)
高中数学必修3和必修5综合检测试卷总分共150分，时间120分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．21B ．23 D.33.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1014.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．65.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ）9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A 、63B 、108C 、75D 、83二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.在ABC ∆中，045,B c b ===， 那么A ＝_____________;12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则 此数列的通项公式为________13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的 分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 ．13．有一个简单的随机样本：10, 12, 9, 14, 13，则样本平均数x =______ ，样本方差2s =______ 。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
【人教版】高中数学必修三期末试卷带答案
一、选择题1．已知点(,)P x y 满足||||2x y +≤，则到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率为（ ） A ．16π B ．8π C ．4π D ．2π 2．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．453．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。
在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ） A ．15B ．1115C ．35D ．134．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（ ）A ．13B ．12C 3D ．225．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A．63 B．15 C．31 D．32 6．执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3 B．5 C．7 D．15 7．执行如图所示的程序框图,若输入的6n=，则输出S=A．514B．13C．2756D．3108．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021- 9．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+10．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（ ） A ．70和50B ．70和67C ．75和50D ．75和6711．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，812．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．15．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．16．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．17．执行如图所示的程序框图，若1ln2a=，22be=，ln22c=（其中e是自然对数的底），则输出的结果是__________．18．一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是．19．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．20．已知一组数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差是2，并且()()()22212611118x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，0x ≠，则x =______.三、解答题21．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.22．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.23．某算法框图如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式及7[()]6f f -的值；(2)若在区间[2,2]-内随机输入一个x 值，求输出y 的值小于0的概率.24．某城市规定，在法定工作时间内每小时的工资是8元，在法定工作时间外每小时的加班工资为16元，某人在一周内工作60小时，其中加班20小时．编写程序，计算这个人这一周所得的工资.25．某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位：万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位：个)关于x 的回归方程ˆ230z x =-+.年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y /万只1.21.51.61.61.82.52.52.62.7y x （2）试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？ ②到第几年，该县养殖山羊的数量与第1年相比减少了？ 参考统计量：()92160ii x x =⋅-=∑，()()9112i i i x x y y =⋅--=∑.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 26．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】作出图象，得到点P 的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为O 的距离1d ≤的点P 围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率． 【详解】点(),P x y 满足2x y +≤，∴当0x ≥，0y ≥时，2x y +≤；当0x ≥，0y ≤时，2x y -≤； 当0x ≤，0y ≥时，2x y -+≤； 当0x ≤，0y ≤时，2x y --≤． 作出图象，得到点P 的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2正方形，到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，∴到坐标原点O 的距离1d ≤的点P 的概率为：282222S p S π===⨯圆正方形．故选：B . 【点睛】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．3．B解析：B 【分析】找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可. 【详解】不超过15的素数为2,3,5,7,11,13，共6个，任取2个分别为2,3（），2,5（），2,7（），2,11（），2,13（），3,5（），3,7（），3,11（），3,13（），5,7（），5,11（），5,13（），7,11（），7,13（），11,13（），共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知1115P=. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题. 4．B解析：B【分析】 分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为15，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为b a - ∴小正方形面积为：()2b a -，又大正方形面积为：2c()()2222222221115b a b a ab a b c a b a b b a --∴==-=-=+++，即：25a b b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解得：12a b = 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.5．C解析：C【分析】根据程序框图模拟程序计算即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =；满足条件5i <，执行循环体，3S =，2i =；满足条件5i <，执行循环体，7=S ，3i =；满足条件5i <，执行循环体，15S =，4i =；满足条件5i <，执行循环体，31S =，5i =；此时，不满足条件5i <，退出循环，输出S 的值为31.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.6．C【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7．B解析：B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】 由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B .【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．D解析：D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差的概念表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．【详解】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a 1，a 2，…，a 50，则a 1+a 2+…+a 50＝50×70，即60+90+a 3+…+a 50＝50×70，（a 1﹣70）2+（a 2﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75，即102+202+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2＝50×75． 更正后平均分为x ＝150×（80+70+a 3+…+a 50）＝70； 方差为s 2＝150×[（80﹣70）2+（70﹣70）2+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+（a 3﹣70）2+…+（a 50﹣70）2] ＝150×[100+50×75﹣102﹣202]＝67． 故选B ．【点睛】本题考查平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．11．C解析：C【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图 12．C解析：C【解析】【分析】 细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论.【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位，即减少1.5个单位，故选C.【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.二、填空题13．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．80【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100该数满足解析：80【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可．【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80.【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．15．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S ＝1设阴影部分的面积为S ∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S ＝038故答案为：解析：38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【详解】正方形的面积S ＝1，设阴影部分的面积为S ，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得38011000S =， 即S ＝0.38，故答案为：0.38．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． 16．42【分析】输入由循环语句依次执行即可计算出结果【详解】当时当时当时当时当时当时故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算求出输出值较为基础解析：42【分析】输入1k =，由循环语句，依次执行，即可计算出结果【详解】当1k =时，0212S =+⨯=当2k =时，021226S =+⨯+⨯=当3k =时，021222312S =+⨯+⨯+⨯=当4k =时，021********S =+⨯+⨯+⨯+⨯=当5k =时，0212223242530S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=当6k =时，021222324252642S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算，求出输出值，较为基础17．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该 解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】 分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．18．4【分析】执行程序当时循环结束即可得出【详解】因为第一次进入循环后；第二次进入循环后；第三次进入循环后；第四次进入循环后循环结束所以输出的结果为4【点睛】本题主要考查了程序框图求输出的值做题时要仔细解析：4【分析】执行程序，当4K =时循环结束，即可得出【详解】因为第一次进入循环后1,1S K ==；第二次进入循环后3,2S K ==；第三次进入循环后11,3S K ==；第四次进入循环后2059,4S K ==，循环结束，所以输出的结果为4【点睛】本题主要考查了程序框图求输出的值，做题时要仔细点，属于基础题．19．【分析】先分别求出这3组的人数再利用分层抽样的方法即可得出答案【详解】第3组的人数为第4组的人数为第5组的人数为所以这三组共有60名志愿者所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者第三组应解析：3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案.【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=，第4组的人数为10050.0420⨯⨯=，第5组的人数为1000.02510⨯⨯=，所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名， 故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 20．2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果【详解】由题意结合方差的定义有：①而②①-②有：③注意到将其代入③式整理可得：又故故答案为2【点睛】本题主要考查方差的计算公式整体的数学解析：2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合方差的定义有：()()()22212612x x x x x x -+-++-= ①， 而()()()22212611118x x x -+-+⋅⋅⋅+-=， ②，①-②有：()()212612666226x x x x x x x x --+++++++=-， ③，注意到1266x x x x +++=，将其代入③式整理可得：26120x x -+=， 又0x ≠，故2x =.故答案为2．【点睛】本题主要考查方差的计算公式，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）及格率是80%；平均分是72分（2）13【分析】（1）由频率分布直方图直接可计算得及格率以及平均分；（2）按分层抽样知[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F ，写出基本事件，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，利用古典概型即可得到结论.【详解】（1）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0200.0300.0250.005)100.80+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率是80%.-利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.05550.15650.2750.3850.25950.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯72=.估计这次考试的平均分是72分（2）按分层抽样抽取[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F .，则基本事件(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种， 故所求概率为：51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分层抽样的定义，古典概型，属于基础题. 22．（1）0.012a =，125；（2）112人；（3）25 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出0.012a =，再求中位数得解；（2）直接利用频率分布直方图估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）先求出在区间(]150,170中有32人，在区间(]170,190中有8人，在区间(]190,210中有8人，再利用古典概型的概率公式求出这两人均来自区间150,(170]的概率.【详解】（1）由题意得0.002200.006200.00820200.010200.008200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=解得0.012a = .设中位数为110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=解得15x = .∴中位数是125.（2）由()2000.002200.006200.008200.01220112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=∴估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人（3）在区间(]150,170中有2000.0082032⨯⨯=人在区间(]170,190中有2000.002208⨯⨯=人在区间(]190,210中有2000.002208⨯⨯=人按分层抽样抽取6人，则从(]150,170抽取4人，(]170,190抽取1人，(]190,210抽取1人设从(]150,170抽取职工为1A ，2A ，3A ，4A ，从(]170,190抽取职工为B ，从(]190,210抽取职工为C ，则从6人中抽取2人的情况有12A A ，13A A ，41A A ，1A B ，1A C ，23A A ，24A A ，2A B ，2A C ，34A A ，3A B ，3A C ，4A B ，4A C ，BC 共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间(]150,170的有12A A ，13A A ，41A A ，23A A ，24A A ，34A A 共有6种情况， ∴62155P == ∴两人均来自区间(]150,170的概率为25. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图中中位数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力》23．（1）24；（2）14 【分析】 (1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到76f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值; (2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x 值，从而求得结果.【详解】(1)由算法框图得：当0x >时，2πcos 2x y =，当0x =时，0y =，当0x <时，1y x =--，()2πcos ,020,01,0x xy f xx x x ⎧>⎪⎪∴===⎨⎪--<⎪⎩7711666f ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos 71π236cos 66122f f f +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴-==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)当02x ≤≤时，()[]0,1f x ∈，当20x -≤<时，由0y <得10x -<< 故所求概率为()()011224P --==-- 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力. 24．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT 语句输入法定工作时间以及加班工作时间，再分别赋值法定工作时间工资,加班工作时间工资以及总工资，最后输出一周所得的工资.试题程序如下：点睛：25．（1）ˆ0.21yx =+；（2）①33.6万只；②到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了.【分析】（1）由已知求得,x y ，进一步套公式求出ˆb 和ˆa 的值，就求出线性回归方程； （2）由题意求得()()2ˆˆ0.212300.4430z y x x x x ⋅=+⋅-+=-++， 在①中，令x =1求解，在②中，令20.443033.6x x -++<，解不等式即可.【详解】解：（1）设y 关于x 的线性回归方程为y bx a =+，12345678959x ++++++++==， 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 2.5 2.6 2.729y ++++++++==， ()()()9192112ˆ0.260i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑， ˆ20.251a=-⨯=. 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.21yx =+. （2）估计第x 年山羊养殖的只数为()()2ˆˆ0.212300.4430z y x x x x ⋅=+⋅-+=-++ 令1x =，则0.443033.6-++=，故该县第一年养殖山羊约33.6万只.由题意，得20.443033.6x x -++<，整理得()()910x x -->，解得9x >或1x <(舍去)，所以到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了.【点睛】方法点睛：求线性回归方程的步骤：（1）先求 x 、y 的平均数,x y ；（2）套公式求出ˆb和ˆa 的值：()()()91921ˆi i i i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y b x =-⨯； （3）写出回归直线的方程.26．（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【详解】（I）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．。
高一数学下学期期末六(必修5+必修3)
1高一数学下学期期末六（必修5+必修3）一.选择题1.各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235aa a =，78910a a a =，则456a a a =（ ）A．B ．7C ．6D．2.{}n a 是前n 项和为n S 的等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则n S 最大时相应的n 为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．183.若0<<b a ，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b <B．a b +>-C ．ba 11> D ．33ab >5.为估计某鱼池中鱼的数量，做了如下试验：第一天捕捞出120条鱼，做了记号后放回池中，第二天再 从池中捕捞出100条鱼，统计得知其中有记号的鱼有10条，由此估计鱼池中鱼的条数约为（ ） A ．1000 B ．1200 C ．230 D ．13006.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知A 是B 、C 的等差中项，1b =，△ABC 的面积B 的大为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．30°或150°7.数列{}n a 中，1n n a qa +=（q 是非零常数），前n 项和为3n n S k =+，则k =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．28.设y x ,满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则2Z x y =-的最大值为（ ）A ．12-B ．2C ．6D ．79.若不等式210ax ax ++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4a ∈B ．(](),04,a ∈-∞+∞C ．[)0,4a ∈D ．[]0,4a ∈10.等比数列{}n a 各项是不相等的正数，21212nn aa -=（*n N ∈），2log n n b a =，则1321n b b b -++= （ ） A ．22n n - B ．221n n ++ C ．2nD ．221n n -+11.在图（1）所示的程序框图中，若输出值是12，则输入值x 的取值集合是（ ）A ．{}3,3-B ．{}3,6-C ．{}3,6D ．{}3,3,6-12.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A. 12 B. 23142二.填空题 13.函数1()2f x x x =+-的定义域是(,2)-∞，则该函数的值域为 ； 14.《九章算术》中有如下的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则第5节竹子的容积为________ 升. 15.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表所示：根据上表数据可得回归方程 y bxa =+ 中的b 值为9.4，据此模型估计当广告费为6万元时的销售额大约为 万元；16.数据n x x x x ,,,,321 的方差为2σ，平均数为μ，则(1).数据)0(,,,,321≠++++kb b kx b kx b kx b kx n 的标准差为 ，平均数为 ,方差为(2).数据)0)((,),(),(),(321≠++++kb b x k b x k b x k b x k n ,(0)kb ≠的标准差为 ，平均数为 方差为 三.解答题17.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）79.589.5 这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）（3）根据图形，算出这组数据的平均数、众数、平均数。
高一数学必修1,2,3,4,5试题及答案
高二数学必修部分测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．0sin 390=()A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2．已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,则tan()4πα+的值为() A 1223133A 4.，b 满足：|3a =，|2b =，||a b +=||a b -=()A 3D ．105.下面结论正确的是（）C.6A C 789、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为______________。
A 、),23(+∞- B 、]0,(-∞ C 、23,(--∞ D 、]0,2(- 10.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]11．已知a,b,c 成等比数列，且x,y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则y c x a +的值为（） （A ）21（B ）-2（C ）2（D ）不确定 12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n n ++11且S n =1101-,则n 的值为（）（A ）98（B ）99（C ）100（D ）101二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13141516。
17得到y 1819（本小题满分12分）已知向量a ,b 的夹角为60,且||2a =,||1b =,(1)求a b ;(2)求||a b +.20.已知数列{a n }，前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。
21（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+,且()f x a b =(1)求函数()f x 的解析式;(2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最小值是－4,求此时函数()f x 的最大值,并求出相应的x 的值. 22如图如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD ，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=1/2.ACAD 13.3π171)2-+x ，∴18.19.解：(1)1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2)22||()a b a b +=+所以||3a b +=20.当n=1时，a 1=S 1=1当n ≥2时，a 1=S n -S n-1=3-2n ∴a n =3-2nb n =53-2n∵25155123)1(23==+-+-n n bn bn b 1=5∴{b n }是以5为首项，251为公比的等比数列。
人教版高一数学下必修三、五期末考试
人教版必修三、五一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是()A. a−b>0B. a2<b2C. 1ab <1a bD. 1b<1a2.不等式x2−16x−16<0的解集为()A. (−13,12) B. (−∞,−13)∪(12,+∞)C. (−12,13) D. (−∞,−12)∪(13,+∞)3.对一个容量为m(m≥2017,m∈N)的总体抽取容量为3的样本，当选取系统抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率是32017，则选取分层抽样抽取样本时总体中的每个个体被抽中的概率是()A. 12019B. 12018C. 32017D. 320164.已知△ABC中，a=1，b=2，B=45∘，则角A等于()A. 150∘B. 90∘C. 60∘D. 30∘5.如图所示的程序框图中，若f(x)=x2，g(x)=x，且ℎ(x)≥m恒成立，则m的最大值是()A. 4B. 3C. 1D. 06.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0x+2y−2≥02x+y−7≤0，则z=x+y的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a12−a15=0，则S4S2=()A. 5B. 8C. −8D. 158.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位的字母A，a，B，b中的一个，另一位数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登录的概率是()A. 12B. 14C. 18D. 1129.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)为()A. 70B. 72C. 74D. 7610.已知a>0，b>0，a、b的等比中项是1，且m=b+1a ,n=a+1b，则m+n的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 611.公差不为0的等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S8=S13，且a15+a m=0，则m的值为()A. 5B. 6C. 7D. 812.已知数列{a n}满足a1=0，对任意k∈N∗，有a2k−1，a2k，a2k+1成公差为k的等差数列，若b n=(2n+1)2a2n+1，则数列{b n}的前10项和S10=()A. 45011B. 43911C. 45211D. 44111二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某中学早上7：50打预备铃，8：00打上课铃，若学生小明在早上7：30至8：10之间到校，且在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明在打上课铃前到校的概率为______．14.如图所示，该程序框图输出的结果是______．15.已知数列{a n}的通项公式为a n=an2+n(n∈N∗)，若满足a1<a2<a3<a4<a5<a6，且a n>a n+1，对任意n≥10恒成立，则实数a的取值范围是______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B+b cos A=a+b2，则C 的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b(Ⅰ)求角A(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.数列{a n}的前n项和为S n=2n+1−2(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．(Ⅱ)若b n=2nn(n+1)a n19.吊瓜是一种名贵的中药材，皮，籽，根均可入药，某地区农业科学院研究所依据本地实际情况种植了两种新型的吊瓜品种，在该地区选择了10亩地，平均分成面积相等的两部分，分别种植甲，乙两个品种的吊瓜，收获时测得吊瓜籽的亩产量如图所示：(Ⅰ)请问甲，乙两种吊瓜籽哪种亩产量更稳定，并说明理由(Ⅱ)求从种植甲种吊瓜的5亩土地中任选2亩，这两亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量的概率．20.如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos B=3．3(Ⅰ)求△ADC的面积(Ⅱ)若BC=23，求AB的长．21.某公司于2015年底建成了一条生产线，自2016年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润y(万元)与月份x之间的函数关系为：26x−56(1≤x≤5,x∈N∗)y=210−20x(5<x≤12,x∈N∗)(Ⅰ)2016年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？(Ⅱ)若公司前x个月的月平均利润(w=前x个月的利润总和)达到最大时，公司下个月就x应采取改变营销模式，拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平，求w(万元)与x(月)之间的函数关系，并指出这家公司在2016年的第几个月就应采取措施．22.已知数列{a n}的所有项均为正值，其前n项积为T=2 n(n−1)n(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)求和：S n=a1+2a2+⋯+(n+2)a n+2−(n+1)a n+3−1．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. D6. D7. A8. D9. C10. B11. C12. A13. 3414. 1515. [−112,−120]16. π317. 解：(Ⅰ)∵ba+c =a+b−ca+b，整理可得：b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=15，b=10，a>b，∴B为锐角，∴sin B=b⋅sin Aa =10×3215=33，可得：cos B=1−sin2B=6318. 解：(Ⅰ)数列{a n}的前n项和为S n=2n+1−2，可得n=1时，a1=S1=4−2=2；n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1−2−2n+2=2n．上式对n=1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n=2n.n∈N∗；(Ⅱ)b n=2nn(n+1)a n =2nn(n+1)⋅2=1n(n+1)=1n−1n+1，数列{b n}的前n项和T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．19. 解：(Ⅰ)乙种吊瓜籽亩产量更稳定，理由如下：由茎叶图得甲种吊瓜亩产量的平均数为：x1=15(95+102+105+107+111)=104，甲种吊瓜亩产量的方差为：S12=15[(95−104)2+(102−104)2+(105−104)2+(107−104)2+(111−104)2]=1445．乙种吊瓜亩产量的平均数为：x2=15(98+103+104+105+110)=104，乙种吊瓜亩产量的方差为：S 22=15[(98−104)2+(103−104)2+(104−104)2+(105−104)2+(110−104)2]=745．∵x 1=x 2，S 1<S 2，∴乙种吊瓜籽亩产量更稳定．(Ⅱ)从种植甲种吊瓜的5亩土地中任选2亩，基本事件总数n =C 52=10，∵种植甲种吊瓜的5亩土地中有3亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量，∴这两亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这两亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量的概率p =m n=310．20. 解：(Ⅰ)cos D =cos2B =2cos 2B −1=−13…(2分)因为∠D ∈(0,π)，所以sin D =2 23，…(4分)所以△ACD 的面积S =12⋅AB ⋅CD ⋅sin D = 2…(6分)(Ⅱ)在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos D =12，所以AC =2 3.(8分) 在△ACD 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos B =12…(10分)把已知条件代入并化简得：AB 2−4AB =0因为AB ≠0，所以.AB =4…(12分)21. 解：(Ⅰ)因为y =26x −56(1≤x ≤5,x ∈N ∗)单增，当x =5时，y =74(万元)； y =210−20x (5<x ≤12,x ∈N ∗)单减，当x =6时，y =90(万元)． 所以y 在6月份取最大值，且y max =90万元． (Ⅱ)当1≤x ≤5，x ∈N ∗时，w =−30x +x (x−1)2×26x=13x −43，当5<x ≤12，x ∈N ∗时，w =110+90(x−5)+(x−5)(x−6)2×(−20)x=−10x +200−640x．∴w = 13x −43,(1≤x ≤5,x ∈N +)−10x −640x+200,(5<x ≤12,x ∈N +)当1≤x ≤5时，w ≤22； 当5<x ≤12时，w =200−10(x +64x)≤40，当且仅当x =8时取等号．从而x =8时，w 达到最大.故公司在第9月份就应采取措施．22. 解：(I )数列{a n }的所有项均为正值，其前n 项积为T n =2 n (n −1)2，∴n ≥2时，a n =T n T n −1=2n (n −1)22(n −1)(n −2)2=2n−1．又a 1=T 1=1.对于上式也成立．∴a n =2n−1．(II )设A n =a 1+2a 2+⋯+(n +2)a n +2=1+2×2+3×22+⋯+(n +2)⋅2n +1． ∴2A n =2+2×22+⋯+(n +1)⋅2n +1+(n +2)⋅2n +2， 相减可得：−A n =1+2+22+⋯+2n +1−(n +2)⋅2n +2=2n +2−12−1−(n +2)⋅2n +2，∴A n =(n +1)⋅2n +2+1．∴S n=a1+2a2+⋯+(n+2)a n+2−(n+1)a n+3−1=(n+1)⋅2n+2+1−(n+1)×2n+2−1=0．【解析】1. 解：∵a、b为非零实数，且a<b，∴a−b<0，故A不成立由于a，b符号不确定，故a2与b2的大小不能确定，故B不恒成立；由于a2b2>0，故aa2b2<ba2b2恒成立，即1ab<1a b恒成立，即C恒成立，若a=−2，b=1，则不满足D，故D不成立，故选：C．根据不等式的基本性质，结合已知中a、b为非零实数，且a<b，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案．本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键．2. 解：x2−16x−16<0等价于(x−12)(x+13)<0，解得−13<x<12，故不等式的解集为(−13,12 )，故选：A利用因式分解法即可求出．本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题3. 解：由系统抽样的定义知，总体中每个个体被抽中的概率是32017，则利用分层抽样抽取样本时总体中的每个个体被抽中的概率也是32017，故选：C根据系统抽样和分层抽样的性质进行判断即可．本题主要考查抽样的性质，根据抽样中每个个体被抽到的概率相同是解决本题的关键．4. 解：∵a=1 , b=2，B=45∘根据正弦定理可知asin A =bsin B∴sin A=a sin Bb=12∴A=30∘故选D．根据正弦定理asin A =bsin B，将题中数据代入即可求出角B的正弦值，进而求出答案．本题主要考查正弦定理的应用.属基础题．5. 解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)=x,0<x<1x2,x≥1或x≤0的值，在同一坐标系，画出f(x)=x2，g(x)=x 的图象如下图所示：(实线部分为ℎ(x)的图象)由图可知：当x=0时，ℎ(x)取最小值0，又∵ℎ(x)≥m恒成立，∴m ≤0，即m 的最大值是0； 故选：D由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x )= x ,0<x <1x 2,x≥1或x≤0的值，数形结合求出ℎ(x )的最小值，可得答案． 本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立问题；考查了数形结合的解答方法；属于中档题．6. 解：作出约束条件 x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0，对应的平面区域如图：变形z =x +y ，得y =−x +z平移此直线，由图象可知当直线y =−x +z 经过A 时，直线在y 轴的截距最大，得到z 最大，由 2x +y −7=0x−y +1=0，到A (2,3)所以z =x +y 的最大值为2+3=5 故选：D作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求出z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键.属于中档题．7. 解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 12−a 15=0， ∴8a 1q 12=a 1q 15，解得q =2， ∴S 4S 2=a 1(1−24)a 1(1−2)=1+22=5．故选：A ．由等比数列的通项公式得到8a 1q 12=a 1q 15，从而得到q =2，再由等比数列的前n 项和公式能求出S 4S 2的值．本题考查等比数列的前4项和与前2项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8. 解：微信登录密码的后两位，只记得最后一位的字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位数字4，5，6中的一个，则基本事件总数n =4×3=12，∴小明输入一次密码能够成功登录的概率是p =112． 故选：D ．先求出基本事件总数n=4×3=12，由此能求出小明输入一次密码能够成功登录的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9. 解：由频率分布直方图得：a=12(110−0.03−0.04−0.02)=0.005，∴估计该次考试的平均分：x=55×0.005×10+65×0.03×10+75×0.04×10+85×0.02×10+95×0.005×10=74．故选：C．由频率分布直方图求出a，从而能估计该次考试的平均分．本题考查平均分的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．10. 解：∵a、b的等比中项是1，∴ab=1．∴1a =b，1b=a，又a>0，b>0，∴m+n=2(a+b)≥4ab=4，当且仅当a=b=1时取等号．∴m+n的最小值是4．利用等比中项和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握等比中项和基本不等式的性质是解题的关键，11. 解：公差d不为0的等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S8=S13，可得8a1+12×8×7d=13a1+12×13×12d，化为a1=−10d，且a15+a m=0，即为a1+14d+a1+(m−1)d=0，即为(14−20+m−1)d=0，(d≠0)，解得m=7．故选：C．设公差d不为0的等差数列{a n}，由等差数列的求和公式可得a1=−10d，再由等差数列的通项公式可得m的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12. 解：当k=1时，a1，a2，a3成公差为1的等差数列，由于a1=0，故a2=1，a3=2；同理可得当k=2，3，4时，可以求得a4=4，a5=6，a6=9，a7=12，a8=16，a9=20；∴a3−a1=2，a5−a3=4，a7−a5=6，…∴a2n+1−a2n−1=2n，∴将上述n个等式相加得：a2n+1−a1=n(2+2n)2=n2+n，∴a2n+1=n2+n，∴b n=(2n+1)2a2n+1=(2n+1)2n+n=4(n2+n)+1n+n=4+1n+n=4+(1n−1n+1)，∴S n=b1+b2+⋯+b n=4n+[(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)] =4n+(1−1n+1)=4n+nn+1．则S10=40+1011=45011．故选：A．依题意，讨论k=1，2，3，4，可求得a2，a3，…，a9，…，从而利用累加法可求得a2n+1=n2+n，代入b n=(2n+1)2a2n+1，用分组求和与裂项法求和即可求得答案．本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a2n+1=n2+n是关键，也是难点，考查裂项法求和与分组求和，属于难题．13. 解：某中学早上7：50打预备铃，8：00打上课铃，小明在早上7：30至8：10之间到校，且在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明在打上课铃前到校的时间段为30分钟，由几何概型的公式得到所求概率为3040=34；故答案为：34由题意，本题是几何概型，利用时间段的比求得概率．本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应所时间段，利用时间段的比求概率是解决本题的关键14. 解：模拟执行程序框图，可得①y=20−1=19，x=20+19=39，②y=18，x=39+18=57；③y=17，x=57+17=74；④y=16，x=74+16=90>90不成立；⑤y=15，x=90+15=105>90成立，所以输出15；故答案为：15．模拟执行框图，依次写出每次循环得到的x，y值，直到满足条件退出循环，输出y的值．本题主要考查了程序框图和算法，依次得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题．15. 解：由题意可得：a<06≤−12a≤10，解得：−112≤a≤−120．∴实数a的取值范围是[−112,−120]．故答案为：[−112,−120]．由题意可得：a<06≤−12a≤10，解出即可得出．本题考查了不等式的性质与解法、函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 解：∵a cos B+b cos A=a+b2，∴由正弦定理得：sin A cos B+sin B cos A=sin A+sin B2，∴2sin(A+B)=sin A+sin B，而A+B=π−C，∴2sin C=sin A+sin B，即c=a+b2．∴cos C=a 2+b2−(a+b2)22ab=38(ba+ab)−14≥12，当且仅当a=b时取等号，∴C的最大值为π3．故答案为：π3．根据正弦定理将条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式及余弦定理进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式及余弦定理是解决本题的关键，是基础题．17. (Ⅰ)由已知整理可得：b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cos A=12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)利用大边对大角可求B为锐角，利用正弦定理可求sin B=b⋅sin Aa，进而利用同角三角函数基本关系式可得cos B的值．本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18. (Ⅰ)运用数列的递推式：n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n−S n−1，计算即可得到所求通项公式；(Ⅱ)计算b n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．本题考查数列通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．19. (Ⅰ)由茎叶图分别求出甲、乙种吊瓜亩产量的平均数和方差，得到乙种吊瓜籽亩产量更稳定．(Ⅱ)从种植甲种吊瓜的5亩土地中任选2亩，基本事件总数n=C52=10，这两亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出这两亩土地的吊瓜籽亩产量均超过种植甲种吊瓜的5亩土地的平均亩产量的概率．本题考查平均数、方差、概率的求法及应用，考查茎叶图、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．20. (Ⅰ)求出sin D=223，即可求△ABC的面积；(Ⅱ)在△ACD中，求出AC，在△ACD中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos B=12，把已知条件代入并化简求AB的长．本题考查二倍角的余弦公式及余弦定理等有关知识的综合运用，属于中档题．21. (Ⅰ)利用分段函数，结合函数的单调性，即可得出结论；(Ⅱ)利用w=前x个月的利润总和x，求出函数解析式，结合基本不等式，即可得出结论．本题考查的知识点是分段函数，函数求值，函数的最值，难度不大，属于中档题，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．22. (I)数列{a n}的所有项均为正值，其前n项积为Tn =2 n(n−1)，可得n≥2时，a n=T nT n−1，a1=T1．(II)利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第11页，共11页。
高一数学下学期期末三(必修5+必修3)
高一数学下学期期末三（必修5+必修3）一．选择题1.某中学有教师150人,其中年龄在55岁及以上有15人,40岁及以上55岁以下的有45人,40 岁以下的有90人,学校为了解三个年龄段教师的身体健康状况,从中抽取30人进行统计,则三个年龄段抽取的人数分别为( )A.3,9,18B.5,10,15C.3,10,17D.5,9,16 2.不等式0162>-+x x 的解集为( )A.11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3.设0<+b a ,且0>a ,则ab b a -,,22的大小关系是( )A.22b ab a <-< B.22a ab b <-< C.ab b a -<<22 D.22a b ab <<- 4.在ABC ∆中,已知8:7:5::=c b a ,则ABC ∆的最大内角与最小内角之和为 ( ) A.︒105 B.︒120 C.︒135 D.︒1505.在钝角ABC ∆中,已知1,30,AB AC B =∠=︒则ABC ∆的面积是( )C.32D.346.已知数列{}n a 满足:)2(021≥=--n a a n n ,且11=a ,则2a 与4a 的等差中项是( )A.-5B.5C.-10D.10 7.将389 化成四进位制数的末位是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 08.轻度污染.该城市2010年空气质量达到良或优的概率为 ( )A.53 B.1801 C.191 D.65 9.已知0,0>>y x ,且191=+yx ,则y x +的最小值为 ( )A.8B.12C.16D.20 10.已知数列{}n a 满足:())(111*N n nn n n a n∈+++=,则9921a a a +++ =( )A.98B.1110C.1011D.109二.填空题11.甲、乙两个小组各5名同学数学测试成绩的茎叶图如图所示,记甲、乙两组中数学测试成绩的标准差分别为乙甲s s ,,则乙甲s s ,的大小关系为 12.已知x b x a 2,,,依次成等差数列,则b a := 13.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为14.设实数y x ,满足0122=-+xy x ,则y x +的取值范围是(第11题图)三．解答题15.已知集合{}2230A x x x =--<，集合{}2211140B x x x =-+>.（1）求A B . （2）若不等式20x ax b ++<的解集为A B ，求不等式20ax x b ++<的解集.16.某校在举办以"碳排放对气候变化的影响"为主题的环保知识竞赛之后,学生会从参加竞赛的3000名学生中,随机抽取60名学生的成绩,将其得分(均为整数)分成六组[)[)[)100,90,,60,50,50,40 后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息. 回答下列问题:(1).求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2).估计这3000名学生考试成绩的及格率(60分及以上为及格)和优秀人数(80分及以上为优秀);(3).利用各组组中值估计这次考试平均分(组中值即某组数据区间的中点值,如[)80,60的组中值为70).17.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,面积为ABC S ∆,且A bc S ABC cos =∆. (1).求A A A cos sin sin 2+的值. (2).若5,2222=-+=b ac c a b ,求c .18.有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.(1).甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另外一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率.(2).摸球的方法与(1)相同,若规定:俩人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不同则乙获胜,这样规定公平吗?试说明理由.19.已知b x a a x x f +-+-=)5(3)(2,其中R b a ∈,.(1).当不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-时,求实数b a ,的值. (2).若对任意实数0)2(,<f a 恒成立,求实数b 的取值范围.20.已知等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，51a =-，315S =． (1).求{}n a 的通项n a 与n S . (2).当n 为何值时，n S 为最大？最大值为多少？21.在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足.641,)21(321==b b b b n a n 且 （1）求数列}{n a 的通项公式. （2）求证：.22211<+++n n b a b a b a22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)(2*N n a S n n ∈-=,等差数列{}n b 满足12321=++b b b . 设{}n b 的前n 项和为n T ，909=T ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.22.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（1）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,. （2）若A A B A B 2sin 2)sin()sin(=-++，求ABC ∆的面积．。
【浙教版】高中数学必修五期末试卷带答案(2)
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y+的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．942．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关5．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 6．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC边上的中线2BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．128．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．110．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n11．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13x =______. 14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.15．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．在ABC 中，2AB =，30C ︒=，则AB BC 的取值范围是________. 17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 18．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．数列{}n a 满足11a =，()*132n n a a n n N ++=+∈，则{}n a 的通项公式为n a =________．三、解答题21．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？22．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由. 23．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积．24．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围.25．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，公比为2，且2354b S =，3216b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .26．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min22444z a a ⎛⎫==++， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.3．B解析：B 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．4．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <.故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.5．B解析：B 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 6．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．7．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15.故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.9．C解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272nn n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--，所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；10．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122ni n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4 【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=，1=4x =时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解.14．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322zy x =-+， 由图象可知当直线322zy x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=， 故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过解析：2【分析】 由面积比得2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2ABAC=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ． 【详解】由已知1sin 221sin 2ABD ACD BD AD ADBS BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，12CD =，则1BD =， 又AD 平分BAC ∠，所以2AB BDAC CD==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，22222114cos 1222BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠===-⋅， 同理，ACD △中，221154cos 14212x ADC x +-∠==-⨯⨯， 因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以225cos cos 1204ADB ADC x x ∠+∠=-+-=，解得x （负的舍去），故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．16．【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得：所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题 解析：[6,2]-【分析】首先根据正弦定理得4sin =BC A ，化简得到()4sin 2302⋅=+-AB BC A ，再求其范围即可. 【详解】 由正弦定理得：4sin sin ==AB BCC A，所以4sin =BC A .所以()cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+=+⎣⎦A A A A218sin sin cos 4sin 2⎫=-=-⎪⎪⎝⎭A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A因为0150<<A ，所以3030330<2+<A ， 即()1sin 2301-≤+≤A ，()64sin 23022-≤+-≤A .故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为：[6,2]- 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，同时考查三角函数的值域问题，属于中档题.17．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用解析：32【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解.【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A =32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10ak b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b aa b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b aa b a b a b+=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由10y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b aa b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b aa b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】 令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．【分析】先根据条件得隔项成等差数列再根据等差数列通项公式得结果【详解】相减得所以当为奇数时当为偶数时因此故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式根据递推关系求通项公式考查基本分析求解能力属中档题解析：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【分析】先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果. 【详解】1+12323(1)2n n n n a a n a a n +++=+∴+=++相减得23n n a a +-=所以当n 为奇数时，111313(1)13(1)222n n n n a a ++-=+-=+-= 当n 为偶数时，2323(1)513(1)222n n nn a a +=+-=-+-=因此n a =()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩故答案为：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、根据递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）1000(20)(8),(0)S x x x=++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米. 【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽. 【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x=++>， （2）100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米. 【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.22．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析 【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数； （2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论. 【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩， 由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用， 即需4y ≥， 则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ， 则()1220(8)2616168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L . 【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键. 23．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b a c ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 22ABCSac B ===. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.24．（1）3B π=；（2）1(,12-. 【分析】（1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围.【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =，又0B π<< 得3B π=（2）∵3B π=，∴23A C π+=∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2212cos 222A A A A A --+=-=1)3A π-，∵203A π<<，233A πππ-<-<∴sin(2)123A π-<-≤则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛-⎝ 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）21n a n =-，132n n b -=⋅；（2）2323n n T n =⨯+-.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 、2b 的值，进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()13323392a a S a +===，23546b S ∴==，则32212b b ==， 由3216b S +=可得2122264S a a a d d =+=-=-=，2d ∴=，因此，()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-，221226232n n n n b b ---=⨯=⨯=⋅；（2）12132n n n n c a b n -=+=-+⋅，()()()()01211323325322132n n T n -⎡⎤∴=+⋅++⨯++⨯++-+⨯⎣⎦()()121135213323232n n -=++++-++⨯+⨯++⨯⎡⎤⎣⎦()()2312121323212nnn n n ⨯-+-=+=⨯+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.26．（1）41n a n =-；（2）2(1)n nT n =+.【分析】（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；（2）求出n S 及n b 的通项公式，由裂项相消求和可得答案.【详解】（1）∵313321S a d =+=①，51419a a d =+=②由①②得13a =，4d =．∴1(1)41n a a n d n =+-=-；（2）由（1）知41n a n =-，13a =，()234122n n n S n n +-∴==+； ∴111112(1)21n n b S n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， ∴11111111122233412(1)n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.。
高一数学期末(必修1、3、4、5)综合测试参考答案
高一数学期末（必修1、3、4、5）综合测试参考答案一、选择题：共10小题，每题5分，满分50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A A B C A D B二、填空题：共4小题，每题5分，满分20分. 11. 21n - 12.23 13.122⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 14. 6 ， 30 ， 10 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分 15．（本小题满分13分）解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+．解得3B π=．（2）由()2sin 2A B +=，即()2sin 2C π-=，得2sin 2C =． 所以4C π=或34C π=． 由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=． 所以5sin sinsin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sincoscossin4646ππππ=+23212222=⨯+⨯ 264+=． 16．（本小题满分13分） 解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =．（2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种．所以()310P X =． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310． 17．（本小题满分13分）设数列{}n a 的公比为q ，依题意，()()()().8511,1,2,25511,1,2.2,31,)1(8,2,31)1(88,64)1..(.........., (241818181812312231312)315323146=--=-=-==--===±==-=-=-=--=±=∴===-=-q q a S a q q q a S a q q q q a q q q a q a q a a a q q a a a 当当得式代入到将舍去。
【浙教版】高中数学必修五期末试题(含答案)(2)
一、选择题1．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．32．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ） A ．15人 B ．16人C ．17人D ．18人3．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R4．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-5．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）A ．24B ．1233+C ．183D ．()353+6．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km7．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．23a <<8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c=+-，则πsin4C⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．1 B．2C．4D．49．数列{}n a中，11a=，113,3,3nnnna Nana N*+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021na<对任意的()n k k*≤∈N恒成立的最大k值为（）A．1008B．2016C．2018D．2020 10．已知数列{}n a满足11a=，+121nnnaaa=+，则数列{}1n na a+的前n项和n T=（）A．21nn-B．21nn+C．221nn+D．42nn+ 11．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若10a>，81335a a=，则nS中最大的是( ). A．10S B．11S C．20S D．21S12．记等差数列{}n a的前n项和为n S.若64a=，19114S=，则15S=（）A．45 B．75 C．90 D．95二、填空题13．已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________. 14．实数,x y满足约束条件20,10,0,x yx yy-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为4，则ab的最大值为______15．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中2a=，若()()22sin sin sin3sin sinB C B C B C+-+=，则ABC面积的最大值是______.16．已知点(3,A，O是坐标原点，点(),P x y的坐标满足20yxy-≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z为OA在OP上的投影，则z的取值范围是__________.17．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =+，则tan B =______ 18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 20．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．三、解答题21．已知2()(1)1f x ax a x =+-- （1）若()0f x >的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求关于x 的不等式301ax x +≤-的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥.22．已知定义在R 上的函数()()2232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值； （2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围.23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.24．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 32sin 0a b A -=. （1）求角B ； （2）若7b =，5a c +=，求ABC 的面积.25．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦， 所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>， 由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>， 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ， 则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==， 该志愿者服务队总人数为76518++=人. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.3．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.4．D解析：D 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-.故选：D . 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.5．D解析：D 【分析】ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，应用基本不等式可得AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,)2πθ∈，∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，AE CE ==DE =AD =ACD △中，由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则CD ==， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则2sin CD θθθ==，∴θ=，解得cos θ=，6πθ=，∴3CD ==，ACD △中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==，得236AC =⨯=． ABC 中，23ABC πθ∠==，由余弦定理得2222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6ACE π∠=．6．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDC BC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.7．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.8．D解析：D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.10．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．11．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．2【分析】作出不等式对应的平面区域利用z 的几何意义确定取得最大值的条件然后利用基本不等式进行求可得的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域由得则目标函数对应直线的斜率平移直线由图象可知当直线经过点A解析：2 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab 的最大值. 【详解】作出不等式对应的平面区域,由(0,0)z ax bya b =+>>得a zy x b b=-+，则目标函数对应直线的斜率0a b -<，平移直线ay x b=-， 由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2010x y x y -=⎧⎨--=⎩解得(2,1)A此时z 的最大值为2422z a b ab =+=，当且仅当2,1b a ==时取等号.24ab ∴解2ab 故答案为: 2. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.15．【分析】根据利用正弦定理得到再利用余弦定理求得然后由余弦定理结合基本不等式得到再利用三角形面积公式求解【详解】因为所以即所以因为所以由余弦定理得：所以所以故面积的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考【分析】根据()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，利用正弦定理得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得3A π=，然后由余弦定理结合基本不等式得到4bc ≤，再利用三角形面积公式求解. 【详解】因为()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+= 所以()223b c a bc +-=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥, 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A =≤△，故ABC【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题 解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 3OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.17．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 31sin 2tan 2A B A B B B +==+ 又因为132c b =+31=2+132+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=， 所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos CBD ∠==， 所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠12==， 在BCD △中，由正弦定理得sin sin 2BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n na S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.20．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数 解析：1nn + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可 【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈ 对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式三、解答题21．（1）3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =-时，解集为{}1-，当10a -<<时，解集为1,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-，故原不等式等价于2301x x -+-，即(23)(1)010x x x --⎧⎨-≠⎩所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-; 当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 当11a=-，即1a =-时，解集为{}1-; 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题. 22．（1）3；（2）[2,)-+∞ 【分析】（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452x x a x -+≥--求解. 【详解】（1）()()()()223221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ，因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-， 所以1230+=-=x x a ， 解得3a =（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立， 所以()()2245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立，因为2x >， 所以20x ->所以2452x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立，而24512222-+⎛⎫-=--+≤- ⎪--⎝⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号， 所以 2a ≥-，所以a 的取值范围[2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 23．（1）π3；（2）()1,4. 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简已知即得解； （2）先求出ππ62C <<，再利用正弦定理求出1b =. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈， 所以π3A =. （2）由（1）得π3A =， 根据题意得π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62C <<.在ABC 中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以π2sin sin sin 31sin sin sin tan C c B C C b C C C C ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+. 因为ππ62C <<，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，所以()0,3tan C ∈，所以()11,4tan C+∈. 故b 的取值范围为()1,4. 【点睛】易错点睛：本题求b 的取值范围，利用的是函数的方法，学生容易把C 的范围求错，简单认为(0,)2C π∈，解不等式π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得到的才是正确范围.24．（1）3B π=；（2【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解. （2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解.【详解】 （1）∵2sin 0b A -=，∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角，∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos 3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=， ∵5a c +=， ∴6ac =，∴ABC的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．25．（1）21n a n =-；（2）113n n n S +=-.【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-.（2）由（1）得213n n n b -=， 所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--， 所以113n n n S +=-． 【点睛】 方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和. 26．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项.（2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围.【详解】（1）因为()*224n n S a a n N =-∈，故11224n n S a a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12n n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a . （2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭, 所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m >即233m <. 【点睛】 方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。
高一下期末考试数学试题必修3必修5
高一期末考试数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为A ．21B ．23 C.1D.33.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1014.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是A ．5B ．4C ．8D ．65.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （A. 3B. 4C. 5D. 6 6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是A.5B.109.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为A 、63B 、108C 、75D 、83 11.右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．c b > D ．b c > 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈,若1a b -≤,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 A.19B.29C.718 D .49二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝_____________; 14.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为________15.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 ．16．有一个简单的随机样本：10, 12, 9, 14, 13，则样本平均数x =______ ，样本方差2s =______ 。
人教版2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷三及答案解析
2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷03注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
5．考试范围：必修第二册。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数i （i ﹣a ）对应的点的坐标为（﹣1，2），则实数a ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣22．已知a →=(5，−2)，b →=(−4，−3)，若a →−2b →+3c →=0，则c →=（ ） A ．(133，83)B ．(−133，−83)C ．(133，43)D ．(−133，−43)3．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．3个都是篮球B ．至少有1个是排球C ．3个都是排球D ．至少有1个是篮球4．已知作用在坐标原点的三个力F 1→=（3，4），F 2→=（2，﹣5），F 3→=（3，1），则作用在原点的合力F →=F 1→+F 2→+F 3→的坐标为（ ） A ．（8，0）B ．（8，8）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，8）5．已知四棱锥P ﹣ABCD 的所有棱长均相等，点E ，F 分别在线段P A ，PC 上，且EF ∥底面ABCD ，则异面直线EF 与PB 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m %12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（ ）A ．表中m 的数值为8B ．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C ．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D ．估计观看比赛场数的众数为27．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31km 的公路B 处有一个人正沿着此公路向A 走去，走20km 到达D ，此时测得CD 距离为21km ，若此人必须在20分钟内从D 处到达A 处，则此人的最小速度为（ ）A ．30km /hB ．45km /hC ．14km /hD ．15km /h8．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√3πB ．2√33π C ．8√33π D ．4√33π二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．若复数z 满足（z +2）i ＝3+4i （i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A ．z 的虚部为3B ．|z|=√13C ．z 的共轭复数为2+3iD ．z 是第三象限的点10．为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论中根据茎叶图能得到的统计结论的为（ ）A ．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B ．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C ．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差D ．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差 11．在△ABC 中，AB =√3，AC ＝1，B =π6，则角A 的可能取值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π212．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC 和CC 1的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．BC 1∥平面AQPB ．A 1D ⊥平面AQPC ．异面直线A 1C 1与PQ 所成角为90oD ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某次考试，5名同学的成绩分别为：96，100，95，108，115，则这组数据的中位数为 ，平均数为 ．14．抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是 ．①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．15．已知向量a →=（k ，﹣1），b →=（﹣4，2），若a →与b →共线，则实数k 的值为 ．16．一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为√2的正三角形，则这个平面图形的面积是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝x +yi ，z 2＝3﹣4i （x ，y ∈R ，i 为虚数单位）．（1）若y ＝2且z 1z 2是纯虚数，求实数x 的值；（2）若复数|z 1﹣z 2|＝1，求|z 1|的取值范围．18．（12分）已知平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，∠DAB ＝60°，点E 是线段BC 的中点． （1）求AC →⋅AE →的值；（2）若AF →=AE →+λAD →，且BD ⊥AF ，求λ的值．19．（12分）如图，点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，点E 为P A 的中点． （1）求证：PC ∥平面BDE ；（2）求证：BD ⊥平面P AC ．20．（12分）已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）证明a cos B +b cos A ＝c ；（2）在①2c−b cosB=a cosA，②c cos A ＝2b cos A ﹣a cos C ，③2a −bcosC cosA =ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若a ＝7，b ＝5，______，求△ABC 的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分21．（12分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面． （1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（2）假设球半径r ＝12cm ．试计算出图案中圆锥的体积和表面积．22．（12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格． （i ）请将表格补充完整；短潜伏者 长潜伏者合计 60岁及以上 90 60岁以下 140 合计300（ii ）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I 期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷03注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高一数学必修下册期末试卷与答案(三)
A．0.864B．A．3-B．【答案】C【详解】∵1 AP mAC+=．B．C．D．【答案】DMN EF AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，【详解】对于A，由正方体的性质可得////MN平面ABC，能满足；所以直线//MN AD，MN⊄平面ABC，AD⊂对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN平面ABC，能满足；平面ABC，所以直线//MN，MN⊄平面ABC，BD⊂平对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BD面ABC，MN平面ABC，能满足；所以直线//对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：D.7．投掷一枚均匀的骰子，记事件下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互斥C．事件A与事件B相互独立A ．()f x 的图像关于点1,06⎛- ⎝B ．()f x 的图像关于直线x =C ．()f x 在11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为8 15C．第5组志愿者被抽中的概率为1 3D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为23【答案】ABCA ．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B ．若3BB '=，53sin 14ABB '∠=，则2A B ''=C ．若2AB A B ''=，则5AB BB '='D ．若A '是AB '的中点，则三角形ABC 的面积是三角形【答案】ABD若AM MN +最小，则A 、因为11//CC DD ，截面为BDEF的面积为S对于C：直线AB与平面弦值，即cos BAM∠，如图所示：连接在正方体1111ABCD A B C D -中，结合同理可证11A D AC ⊥，因为1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为123(22)234A BD S =⨯= ，周长为设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别是易知六边形EFQNGH 是边长为2正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 故选：ABC.三、填空题：（本题共4小题，每小题【答案】4【详解】由在直角梯形则90DAB ∠=︒，则以设AB a =，设(,0)P x ，则B 故(,1),(,2)PC a x PD x =-=-所以2(23,4)PC PD a x +=- 当且仅当230a x -=即23x =即|2|PC PD +的最小值为【答案】15π【详解】由题图知2A=.由则由图象可知3ππ882K⎛⎫--=⎪⎝⎭又π84T<，所以π2T>.所以K【答案】39π27 4π【详解】解：由题意可知，当平面图所示，取DE的中点G，连接1A G，则△处，设BC的中点为2O，连接OO(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到(3)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在公里马拉松比赛？a=【答案】(1)0.005(2)71.67(3)2250人【详解】（1）解：由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB.【答案】(1)62km(2)302km由图可知，当[){}0,23a ∈ 时，直线因此，实数a 的取值范围是[(1)过Q作AB的垂面QEF，(2)当PQ与平面BCD所成最大角的正切值是值．【答案】(1)证明见解析；(2)155．⊥，AB（2）因为PQ AB=平面ABC⋂平面QEF EF由EF⊥平面ABM，EF⊂所以AB在平面BCD的射影是直线∠是直线PQ与平面BCDQPH由PH⊂平面BCD，得QH．。
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高一年级（下）期末考试一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知数列}{n a 为等比数列，且8,141==a a ，则公比=q（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 （2）已知ABC ∆中， 60,3,2===B b a ，那么角=A（A ）135 （B ）90 （C ）45 （D ）30（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z 2-=的最小值为（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4- （4）若0<<b a ，那么下列不等式中正确的是（A ）b a 11> （B ）ba 11< （C ）2b ab < （D ）2a ab > （5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重1262+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（A ）61 （B ）31 （C ）21 （D ）32 （6）实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则ba 21+的最小值为（A ）3 （B ）223+ （C ）4 （D ）223+（7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（A ）78,27.0 （B ）83,27.0 （C ）78,81.0 （D ）83,09.0 （8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，则输出p 的值为（A ）4- （B ）1 （C ）2 （D ）5 9）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是 （A） （B） （C） （D）0.01频率组距（10）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式12516<--n S n 的最小整数是 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.（12）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________.（13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________. 14.已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-则{}n a 的通项公式（15）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S . 17.（本题满分13分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ).（1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分； (Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.19．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， （1）求a ，b ；（2）解不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0.图220.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 21. 设等比数列{n a }的前n 项和n S ，首项11a =，公比()(1,0)1q f λλλλ==≠-+.(Ⅰ)证明：(1)n n S a λλ=+-；(Ⅱ)若数列{n b }满足112b =，*1()(,2)n n b f b n N n -=∈≥，求数列{n b }的通项公式； (Ⅲ)若1λ=，记1(1)n n nc a b =-，数列{n c }的前项和为n T ，求证：当2n ≥时，24n T ≤<.数学试题参考答案一、选择题9．由题意得22264222B A A A A B A ππππππ⎧⎧+>+>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，又sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A ====，所以2cos 2cos 2cos 46A ππ<<2cos bA a<=<10．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166()3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、填空题11． 6 12．220 13．34 14．5415．1615．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角形ABC的面积1125sin 224216S ab C =≤⨯⨯=，所以最大值为16．三、解答题16． 解：（Ⅰ）由题意2112()10a d a d +=+-0.030.01频率组距由12a =得222(2)10d d +=+-…………………………3分化简得2280d d +-=解得2d =或4d =-（舍） 所以2(1)22n a n n =+-⨯=………………6分 （Ⅱ）由题意12n n b -=………………8分 所以1122()()()n n n S a b a b a b =++++++2(22)1221212n n n n n n +-=+=++--………13分21． 解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……① ，所以21112a a a =+得110a =或（舍）且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+=因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+ 所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式 ………………………………5分（Ⅱ）当3n ≥时， 得证…………12分18. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分）而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π； （6分） （2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ， （8分） 则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3， （11分） 当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （13分） 19. 解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：直方图如右所示 （3分）（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71 估计这次考试的平均分是71分。
（7分）（Ⅲ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3。
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率为702935362314151718=⨯⨯+⨯+⨯=p （12分） 20．解：（1）因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. （5分）（2）所以不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0， （6分）即x 2－（2＋c ）x ＋2c <0，即（x －2）（x －c ）<0. （7分） ①当c >2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为{x |2<x <c }； （9分） ②当c <2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为{x |c <x <2}； （11分） ③当c ＝2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为∅. （12分）综上所述：当c >2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为∅.21.解：(Ⅰ)111[1()](1)1(1)[1()](1)()11111n nn n n a a q S q λλλλλλλλλλλ---+===+-=+--++-+而111()()11n n n a a λλλλ--==++ 所以(1)n n S a λλ=+- ………………………………3分(Ⅱ)()1f λλλ=+,11111,11n n n n n b b b b b ---∴=∴=++, ……………………5分1{}nb ∴是首项为112b =,公差为1的等差数列,12(1)1n n n b =+-=+,即11n b n =+. ………………7分 (Ⅲ) 1λ=时, 11()2n n a -=, 111(1)()2n n n n c a n b -∴=-= ………………8分 相减得211111111()()()()2[1]()222222n n n n n T n n -∴=++++-=--1（）2 21114()()422n n n T n --∴=--<, ………………10分又因为11()02n n c n -=>,n T ∴单调递增,22,n T T ∴≥=故当2n ≥时, 24n T ≤<. ………12分。