南师附中2019年期初高三数学试题及答案

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江苏省南京师大附中2019-2020学年高上学期数学期初模拟

① NB MB ； ② NA MB ；
NB MA 2 2
③ NA MB
．
其中正确结论的序号是
．（写出所有正确结论的序号）
16．已知函数
f
x 对任意的
xR
ห้องสมุดไป่ตู้
，都有
f
1 2
x
f
1 2
x
，函数
f
x
1 是奇函
数，当
1 2
x
1 2
时，
f
x
2x
，则方程
f
x
1 2
3, 5
在区间
内的所有零点之和
横坐标伸长为原来的 2 倍后所得到的图象对应的函数记作 y g x，已知常数 R ，
n N * ，且函数 F x
f
x
g
x
在
(0,
n
)
内恰有
2021
个零点，求常数
与
n
的
值．
x 2 是其图象的一条对称轴．
（1）求函数 f x的解析式；
（2）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 A B C ，
a
cos B
，若 C
角满足
f
C
1
，求
a
b
c
的取值范围；
（3）将函数 y f x的图象向右平移 4 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，
6 则 a 的值为
A． 3 1
B． 2 3 2
C． 2 3 2
D． 6 2
6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为

江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题(含答案)

江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos(α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n∈N *均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，点M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式．2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 4338. －139. － 2 10. 18 11. 2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分)(2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55，所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O ，连结OE ， ∵四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分)∵ AM 平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM⊥BD，且OF∩BD＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OP cos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ⊥PQ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S(θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交，所以直线l 一定存在斜率．(6分) ②设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0，得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)②当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2，即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n≥2) ③，所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n，当n≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0，所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分) 因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>… 所以对任意的n∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，所以b≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.①若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1. 又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a∈(－1e ，0)．(11分)当a∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点．综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分)(2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ，所以PA⊥AB，PA ⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)， BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，。

2018-2019学年江苏省南京市中学附属学校高三数学文月考试题含解析

2018-2019学年江苏省南京市中学附属学校高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则=A．-1-i B．-l+iC．1-i D．l+i参考答案：C2. 盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D3. 已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】函数的值．【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，即a2+3a+2≤0，得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．4. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A． B． C．D．参考答案：A5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由，可得的值，由可得答案.【详解】解：由=，可得，由，可得，故选D.【点睛】本题主要考察二倍角公式，相对简单.6.设{x}表示离x最近的整数，即若≤(m∈Z)，则{x} = m．给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：答案：D7. 已知、都是锐角，则=A. B. C. D.参考答案：C8. 已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，，则＝A．68 B．76 C．78 D．86参考答案：A10. 已知数列{a n}满足：，则( )A. 16B. 25C. 28D. 33参考答案：C【分析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知i是虚数单位，复数__________．参考答案：2略12. 已知依次成等比数列，则在区间内的解集为 .参考答案：13. 若平面向量满足，，则的取值范围为．参考答案：[2，6]【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用≤4||+，及≥﹣4||，求出||的取值范围．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2?2?||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2?2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．14. 已知= 。

2019届江苏省南师大附中高三上学期期中考试数学试题(解析版)

江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合，，则 .【答案】【解析】由题意得．【考点】集合的运算2.若，其中a、b R，i是虚数单位，则a＋b＝_______．【答案】1【解析】【分析】将方程左边展开化简后，利用复数相等的充要条件求得的值，从而求得的值.【详解】依题意得，根据复数相等的充要条件得，故.【点睛】本小题主要考查复数相等的充要条件，考查复数的乘法运算，属于基础题.3.函数的定义域为_______．【答案】(－2，2)【解析】【分析】根据对数真数大于零，解一元二次不等式求得函数的定义域.【详解】由于对数的真数要大于零，故，解得，即函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑：一个是对数的真数大于零，一个是分母不能为零，一个是偶次方根被开方数要为非负数，一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.4.如图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果S是_______．【答案】12【解析】【分析】运行程序，直到时，退出循环结构，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，，判断否，，，判断否，，判断是，输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查循环结构的认识以及何时退出循环结构.属于基础题.5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有________根棉花纤维的长度小于20mm.【答案】30【解析】试题分析：由频率分布直方图可知小于20的3组的频率依次为0.05,0.05,0.2，长度小于20的频率为0.05+0.05+0.2=0.3，所以从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为考点：频率分布直方图点评：频率分布直方图每一个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积和为1视频6.等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______．【答案】8【解析】【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列为等比数列，故，解得，故.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件.7.函数(A＞0，，)的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______．【答案】f(x)＝2sin(2x－)【解析】【分析】根据图像的最大值求得的值，根据四分之三周期求得的值，根据点求得的值.【详解】根据函数图像可知，函数最大值为，故.根据图像可知，，所以，将点代入函数解析式得，解得.故【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像上的条件，求三角函数的解析式，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.8.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】【解析】【分析】抛掷一个骰子两次，基本事件有种，列出符合题意的可能，根据古典概型概率求解公式，求得相应的概率.【详解】抛掷一个骰子两次，基本事件有种，其中符合题意的有：共六种，故概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用列举法求得事件的概率，属于基础题.9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为_______．【答案】【解析】，所以，得离心率。

江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题含附加题(含答案)

江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，3，4}，B ＝{﹣1，2，3}，则集合A B 为． 2．若(2i)i i a b -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝． 3．函数2ln(4)y x =-的定义域为．4．如图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果S 是．5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有根棉花纤维的长度小于20mm ． 6．等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，已知234S =，4154S =，则6a ＝． 7．函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，0ω>，22ππϕ-<<)的部分图象如图所示，则函数的解析式为．第5题第7题第4题8．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为．10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm 的半圆，则该圆锥的体积为 cm 3．11．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 过点A(0，﹣8)，且与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆C 的方程为．12．在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，BA BC 6⋅=，CA CB 3⋅=，BD CE ⋅=4-，则BA CA ⋅的值是．13．己知实数x ，y ，z ∈[0，4]，如果x 2，y 2，z 2是公差为2的等差数列，则x y y z-+-的最小值为．14．已知函数()33x x f x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，BC （1）求角A 的大小；（2）求cos(B ﹣C)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AP ⊥CD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．求证：（1）AP ∥平面BEF ；（2）平面BEF ⊥平面PAC ．17．（本小题满分14分）为美化城市环境，相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡经过直径的两端点A ，B 及圆周上两点C ，D 围成一个多边形ABPQR ，其中AR ，RQ ，QP ，PB 分别与半圆相切于点A ，D ，C ，B ．已知该半圆半径OA 长30米，∠COD 为60°，设∠BOC 为θ．（1）求围挡内部四边形OCQD 的面积；（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR 面积的最小值？并写出此时θ的值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点A(2，1)是椭圆E 上的点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线l 1，l 2分別与椭圆E 交于B ，C 两点，己知△ABC 的面积为209，求直线BC 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线．（1）求实数a 的值；（2）若对任意的x ∈(0，+∞)，都有()(1)f x k x >-，求整数k 的最大值． 20．（本小题满分16分）已知{}n a ，{}n b 都是各项为正数的数列，且11a =，1b =n ，都有n a ，2n b ，1n a -成等差数列，n b ，1n b +成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若存在p ＞0，使得集合M ＝{}n n n a p n N λ*≥∈，恰有一个元素，求实数λ的取值范围．南京师大附中2018～2019学年度第一学期高三年级数学期中试卷（数学Ⅰ）参考答案1、{－1，3}．2、1．3、(－2，2)．4、12．5、30．6、8．7、f (x )＝2sin(2x －π3)．8、16．9、 52．10、 33π．11、x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0．12、2．13、4－2 3．14、[1，＋∞)． 15．解：(1)由余弦定理得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋32－(7)22·2·3＝12，……………2分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．……………5分（漏掉A ∈(0，π)扣1分） (2)由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin C ，所以sin C ＝AB sin A BC ＝2·32 7＝ 217．又因为AB ＜BC ，所以C ＜A即0＜C ＜π3，所以cos C ＝ 1－sin 2C ＝1－(217)2 ＝277．……………8分所以sin2C ＝2 sin C cos C ＝2·217·2 77＝437，cos2C ＝2cos 2C －1＝2(2 77)2－1＝17．…11分因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3．所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ，所以cos(B －C )＝cos(2π3－2C )＝cos 2π3cos2C ＋sin 2π3sin2C ＝(－12)·17＋ 32·4 37＝1114．…14分（说明：算出cos B ＝714，sin B ＝32114…11分，cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝714·2 77＋3 2114·217＝1114…14分）16．证明：(1)连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，连接CE ．因为AE ＝BC ＝1，AD ∥BC ，所以四边形ABCE 为平行四边形．所以点O 为AC 的中点，又因为点F 为PC 的中点．所以OF ∥AP ．……3分又因为OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF 所以AP ∥平面BEF ……7分 (2)因为AD ∥BC ，ED ＝BC ＝1，所以四边形BCDE 为平行四边形．所以BE ∥CD ．因为AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE ．又因为四边形ABCE 为平行四边形，AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形．所以AC ⊥BE ． ……3分又因为AP ⊥BE ，AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面APC ，AC ⊂平面APC ．所以BE ⊥平面APC ．…5分因为BE ⊂平面BEF ．所以平面BEF ⊥平面PAC ． ……7分 17．解：（1）连接OQ ，因为QD ，QC 为圆O 的切线，所以QD ＝QC ，OD ＝OC ＝30， OQ ＝OQ ，所以△ODQ ≌△OCQ ，所以∠DOQ ＝∠COQ ＝30°，又因为OD ⊥DQ ，所以DQ OD ＝tan30°＝33，所以DQ ＝103，所以S △ODQ ＝12OD ·DQ ＝1503，所以S OCQD =2S △ODQ即围挡内部四边形OCQD 的面积为……4分（2）BP =OB tan 2θ，S OBPC =2S △OBP =900 tan 2θ，同理S OARD =2S △OAR =900 tan(3π－2θ)， S ABPQR =900[tan 2θ+ tan(3π－2θ)]＋2(0,)3πθ∈ ……9分（漏掉2(0,)3πθ∈扣1分）即求 tan 2θ+ tan(3π－2θ)的最小值，tan 2θ+ tan(3π－2θ)= tan 2θ+tan 212θθ+=2)212θθ（*）令12x θ+=，由2(0,)3πθ∈得x ∈(1，4) 则（*）42)x x +-x =2时取等号，此时3πθ=，故S min=900×3答：围挡内部多边形ABPQR 面积的最小值为3πθ=……14分注：（*）也可令tan 2x θ=，转化成函数求导，进而求最值.18．解：(1) 因为椭圆E 的离心率为 22，所以c 2a 2＝12，又因为a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以a 2＝2b 2＝2c 2，因为点A (2，1)是椭圆E 上的点，所以 42b 2＋1b 2＝1 ……2分解得b 2＝3，a 2＝6，所以椭圆E 的标准方程是 x 26＋y 23＝1． ……4分(2)当AB 的斜率不存在或为0时，AB ＝4或2，此时△ABC 的面积为4，不合题意舍去； ……6分当AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的斜率为k ，则直线AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1 ，y －1＝k (x －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x = 2， y = 1，或⎩⎪⎨⎪⎧x =4k 2-4k -21+2k 2y =-2k 2-4k+11+2k2. ……8分AB ＝1+k 2| 4k 2-4k -21+2k 2－2|＝1+k 2|4k +41+2k2|，同理将上式中的k 用－1k 替换，得AC ＝1+k 2|4k -4k 2+2|，因为△ABC 的面积为 209，所以12 ⋅AB ⋅ AC ＝121+k 2|4k +41+2k 2|⋅1+k 2|4k -4k 2+2|＝209，……10分化简得(1+k 2)|k 2-1|( 1+2k 2)( k 2+2)＝518，当k 2≥1时，原方程可化为8k 4－25k 2－28=0，解得k 2=4，……12分当k 2≤1时，解得k 2=14，即k =2或－2或12或－12，当AB 的斜率2时，AC 的斜率－12，此时B 点坐标(23，－53)，C 点坐标(23，53)，此时直线BC 的方程为x ＝23， ……14分当AB 的斜率－2时，AC 的斜率12，此时B 点坐标(229，19)，C 点坐标(－2，－1)，此时直线BC 的方程为x －4y －2＝0， ……16分综上，直线BC 的方程为x ＝23或x －4y －2＝0．19．解：（1）设切点P (m ，m ln m ＋am ＋1)，由f ′(x )＝ln x ＋1＋a ……2分知 f (m )＝ln m ＋1＋a .则在点P 处的切线l 方程为：y ＝(ln m ＋1＋a )x －m ＋1.若与题目中的切线重合，则必有⎩⎨⎧ln m ＋1＋a ＝21－m ＝0， ……4分解得a ＝m ＝1，所以a 的值为1. ……6分（2）令F (x )＝f (x )－k (x －1)，则根据题意，等价于F (x )＞0对任意的正数x 恒成立. F ′(x )＝ln x ＋2－k ，令F ′(x )＝0，则x ＝e k －2.当0＜x ＜e k －2 ，则F ′(x )＜0，F (x )在（0，e k －2）上单减；当x ＞e k －2 ，则F ′(x )＞0，F (x )在（e k －2，＋∞）上单增. 所以有F (x )min ＝F (ek －2) ＞0，即ek －2－k －1＜0.当k ＝3，容易验证，e k －2－k －1＜0； ……10分下证：当k ≥4，e k －2－k －1＞0成立. ……13分令h (x )＝e x －2－x －1，x ≥4,则h ′(x )＝e x －2－1≥0，对任意的x ≥4恒成立。

江苏南师附中2019高三高考重点卷(十)(最后一卷)-数学

江苏南师附中2019高三高考重点卷（十）（最后一卷）-数学数学(总分值160分，考试时间120分钟)2018、5 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、1.设集合U ＝R ，集合M ＝{x|x 2－x ≥0}，那么∁U M ＝______________、2.高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______________、(第4题)3.i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，那么正实数a ＝________________、4.执行右图所示的算法流程图，假设输出的结果为12，那么输入的x 为________________、5.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，且x ＞0，那么sin α＝____________、6.从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为a ，从集合{2，3，4}中随机选取一个数记为b ，那么b ＞a 的概率是__________、7.向量a ＝(x －z ，1)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b .假设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤2，那么z 的取值范围是______________、8.“a ＝1”是“函数f(x)＝2x－a2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的____________条件、(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)(第9题)9.一个圆锥的展开图如下图，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，那么该圆锥的体积为__________、10.F 是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，B 1B 2是双曲线的虚轴，M 是OB 1的中点，过F 、M 的直线交双曲线C 于A ，且FM →＝2MA →，那么双曲线C 离心率是______________、11.数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，假设存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，那么u ＋v ＝______________、12.函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，假如函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________、(第13题)13.如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动、当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨道为G.假设G 的周长为l ，其围成的面积为S ，那么l －S 的最大值为____________、14.记F(a ，θ)＝a 2＋2asin θ＋2a 2＋2acos θ＋2，关于任意实数a 、θ，F(a ，θ)的最大值与最小值的和是__________、【二】解答题：本大题共6小题，共90分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、15.(本小题总分值14分)函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)，x ∈R 的图象有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求f(x)的解析式；(2)假设α为锐角，且f(α)＝13，求f(－α)的值、 16.(本小题总分值14分)如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直、EF ∥BD ，AB ＝2EF.求证： (1)BF ∥平面ACE ； (2)BF ⊥BD.如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔沿着弧AC(弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD(其中CD ∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.假设OA ＝1km ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度；(2)求所需渔长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围、抛物线D的顶点是椭圆C：x216＋y215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合、(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点、①假设直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？假如存在，求出m的方程；假如不存在，说明理由、函数f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)假设在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；(3)当m＞0时，假设曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值、假如无穷数列{a n }满足以下条件：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N ，那么我们称数列{a n }为Ω数列、(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围；(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.2018届高三模拟考试试卷(十)数学附加题(总分值40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共20分、假设多做，那么按作答的前两题计分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、A.(选修41：几何证明选讲)从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.B.(选修42：矩阵与变换)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量； (2)假设向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m . C.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ. (1)将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断点A 与圆O 1的位置关系、D.(选修45：不等式选讲)a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y.求证：x x ＋a ＞yy ＋b .【必做题】第22、23题，每题10分，共20分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、22.文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项、会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从文娱队中选2人，设X 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(X ＞0)＝710.(1)求文娱队的总人数； (2)计算E(X)、23.f n (x)＝(1＋x)n，n ∈N .(1)假设g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)＋3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数； (2)假设p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )、2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)数学参考答案及评分标准 1.(0，1)2.173.34.－25.－326.257.13≤z ≤28.充分不必要9.22π3 10.5211.612.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，113.5π414.415.解：(1)由题意，A ＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又0＜φ＜π，因此φ＝π6，因此f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(6分) (2)由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13＜12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝223，(10分)因此f(－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32×223－12×13＝26－16.(14分)16.证明：(1)AC 与BD 交于O 点，连结EO.正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形 ∴BF ∥EO ，又∵BF 平面ACE ，EO 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直， BD 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO 平面ACE ∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD.(14分)17.解：(1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3(6分) (2)设渔的长度为f(θ)、由(1)可知， f(θ)＝θ＋1＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(8分)因此f ′(θ)＝1－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因此π3－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，因此π3－θ＝π6，因此θ＝π6.θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 f ′(θ) ＋0 －f(θ)极大值因此f(θ)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236. 故所需渔长度的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236.(14分) 18.解：(1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)、由a 2－b 2＝4－3＝1，得c ＝1.∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x.(4分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)、①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0. M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴MN ＝（x 1－x 2）2－（y 1－y 2）2＝410.(9分)②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，那么圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G.可得|EG|2＝|MG|2－|ME|2，(11分)即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）24＋a(x 1＋4)－a 2 ＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.(14分)当a ＝3时，|EG|2＝3，如今直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意、(16分)19.解：(1)当m ＝－1时，f(x)＝－x 2－x ＋lnx ，因此f ′(x)＝－2x －1＋1x ＝－（2x －1）（x ＋1）x，因此当0＜x ＜12，f ′(x)＞0，当x ＞12，f ′(x)＜0，因此当x ＝12时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34－ln2.(3分) (2)f ′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1＜0在(0，＋∞)上有解、 ①m ≤0显然成立；②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ＞0m ＜18，综上，m ＜18.(8分)(3)因为f(1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，因此切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1，从而方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解、令g(x)＝mx 2－x ＋lnx －2mx ＋m ＋1，那么g ′(x)＝2mx －1－2m ＋1x ＝2mx 2－（2m ＋1）x ＋1x ＝（2mx －1）（x －1）x，(10分) 因此1°m ＝12，g ′(x)≥0，因此y ＝g(x)在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，因此mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1只有一解、(12分) 2°0＜m ＜12，x ∈(0，1)，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12m ，g ′(x)＜0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，g ′(x)＞0由g(1)＝0及函数单调性可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜0，因为g(x)＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋lnx ＋1，取x ＝2＋1m ，那么g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＞0.因此在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意(14分) 3°m ＞12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，1，g ′(x)＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＞0同理在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解，不符题意，综上所述m ＝12.(16分)20.(1)解：∵b n ＋1－b n ＝5－2n ，∴n ≥3，b n ＋1－b n ＜0，故数列{b n }单调递减；(3分) 当n ＝1，2时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3，那么数列{b n }中的最大项是b 3＝7，因此M ≥7.(4分)(2)证明：∵{c n }是各项正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，设其公比为q ＞0，∴c 3q 2＋c 3q ＋c 3＝74.(6分)整理，得6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)、∴c 1＝1，c n ＝12n －1，S n ＝2－12n ＝S n ＋2，S ＜2.(8分)对任意的n ∈N ，有S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2＜2－12n ＝S n ＋2，且S n ＜2，故{S n }是Ω数列、(10分)(3)证明：假设存在正整数k 使得d k ＞d k ＋1成立，有数列{d n }的各项均为正整数，可得d k ≥d k ＋1＋1，即d k ＋1≤d k －1.因为d k ＋d k ＋22≤d k ＋1，因此d k ＋2≤2d k ＋1－d k ≤2(d k －1)－d k ＝d k －2.由d k ＋2≤2d k ＋1－d k 及d k ＞d k ＋1得d k ＋2＜2d k ＋1－d k ＋1＝d k ＋1，故d k ＋2≤d k ＋1－1.因为d k ＋1＋d k ＋32≤d k ＋2，因此d k ＋3≤2d k ＋2－d k ＋1≤2(d k ＋1－1)－d k ＋1＝d k ＋1－2≤d k －3，由此类推，可得d k ＋m ≤d k －m(m ∈N )、(14分)又存在M ，使d k ≤M ，∴m ＞M ，使d k ＋m ＜0，这与数列{d n }的各项均为正数矛盾，因此假设不成立，即对任意n ∈N ，都有d k ≤d k ＋1成立、(16分)2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.选修41：几何证明选讲证明：连结OF 、OP 、OB.∵AE ∥CD ，∴∠PFB ＝∠AEB.∵PA ，PB 是切线，∴∠POB ＝∠AEB.∵∠PFB ＝∠POB ，∴O ，F ，B ，P 四点共圆、(5分)又∵∠OBP ＝90°，∴∠OFP ＝90°，由垂径定理可知CF ＝DF.(10分)B.选修42：矩阵与变换解：(1)由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3c －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2. 特征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，解得λ＝－1，4.属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(5分)(2)m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.∴A 4m ＝2A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝2(－1)4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－766－514.(10分)C.选修44：坐标系与参数方程解：(1)圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θx 2＋y 2＝4x ＋4y.(5分)(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4A(2，－2)、AO 1＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4＞22＝R ，点在圆外、(10分)D.选修45：不等式选讲证明：∵x x ＋a －y y ＋b ＝x （y ＋b ）－y （x ＋a ）（x ＋a ）（y ＋b ）＝bx －ay（x ＋a ）（y ＋b ），又b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴(x ＋a)(y ＋b)＞0，bx ＞ay ，即bx －ay ＞0，∴x x ＋a －y y ＋b ＞0，即x x ＋a ＞yy ＋b .(10分)22.解：(1)设总人数为n 个，那么P(X ＞0)＝1－P(X ＝0)＝1－C 22n －7C 2n ＝710. ∵2n －7≥2，∴n ≥4.5.∵2＜n ＜7，n ∈N n ＝5，6，逐个代入，得n ＝5.(5分)(2)P(X ＝0)＝1－P(X ＞0)＝1－710＝310，P(X ＝2)＝C 22C 25＝110， P(X ＝1)＝1－110－310＝610＝35，E(X)＝0×310＋2×110＋1×35＝45.(10分)23.(1)解：g(x)中含x 2项的系数为C 44＋2C 45＋3C 46＝1＋10＋45＝56.(3分)(2)证明：由题意，p n ＝2n －1.(5分)①当n ＝1时，p 1(a 1＋1)＝a 1＋1，成立；②假设当n ＝k 时，p k (a 1a 2…a k ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )成立，当n ＝k ＋1时，(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k －1(a 1a 2…a k ＋1)(1＋a k ＋1)＝2k －1(a 1a 2…a k a k ＋1＋a 1a 2…a k ＋a k ＋1＋1)、()∵a k ＞1，a 1a 2…a k (a k ＋1－1)≥a k ＋1－1，即a 1a 2…a k a k ＋1＋1≥a 1a 2…a k ＋a k ＋1，代入()式得(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k (a 1a 2…a k a k ＋1＋1)成立、综合①②可知，p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )对任意n ∈N 成立、(10分)。

2019届江苏省南京大学附属中学高三三模数学试题(解析版)

2019届江苏省南京大学附属中学高三三模数学试题一、填空题1．已知集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{}|2,B x x k k Z ==∈，则A B =I ________. 【答案】∅【解析】利用交集定义直接求解．【详解】解：Q 集合{|21,}A x x k k Z ==-∈{=奇数}，{}|2,B x x k k Z ==∈{=偶数}， A B ∴⋂=∅．故答案为：∅．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．命题“对任意1x >，21x >”的否定是．【答案】存在01x >，使得201x ≤【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意1x >，21x >”的否定是“存在01x >，使得201x ≤”．【考点】命题的否定．3．已知实数,a b 满足2019a bi i +=（i 为虚数单位），则+a b 的值为_______. 【答案】1-【解析】由虚数单位i 的性质结合复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．【详解】解：由1i i =，21i =-，3i i =-，41i =所以201945043()a bi i i i i +===-g ，得0a =，1b =-．1a b ∴+=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的性质，属于基础题．4．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，4-，1-，0，2，则该组数据的标准差为_______. 【答案】4【解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．【详解】解：某地区连续5天的最低气温（单位：C)︒依次为8，4-，1-，0，2，平均数为：()18410215--++=， ∴该组数据的方差为：2222221(81)(41)(11)(01)(21)165S ⎡⎤=-+--+--+-+-=⎣⎦， ∴该组数据的标准差为4．故答案为：4．【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______. 【答案】2413【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．【详解】解：双曲线C ：双曲线22149x y -=中2a =，3b =，c =，则双曲线22149x y -=的一条准线方程为2a x c ==，双曲线的渐近线方程为：32y x =±，可得准线方程与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，(13，)13-，则三角形的面积为12422131313⨯⨯⨯=．故答案为：2413【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题． 6．根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为_______.【答案】6【解析】算法的功能是求21020x x x y x ⎧-=⎨>⎩„的值，根据输出y 的值，分别求出当0x „时和当0x >时的x 值即可得解．【详解】解：由程序语句知：算法的功能是求21020x x x y x ⎧-=⎨>⎩„的值，当0x „时，2112y x =-=，可得：6x =6；当0x >时，122xy ==，可得：1x =-（舍去）．综上x 的值为：6 故答案为：6．【点睛】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．7．已知O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从,,,,A B C D O 这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为________. 【答案】45【解析】基本事件总数3510n C ==，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD ，由此能求出这3个点不共线的概率．【详解】解：O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，基本事件总数3510n C ==，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD ，∴这3个点不共线的概率为241105p =-=．故答案为：45．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．函数()3sin()0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.【答案】8【解析】根据图象利用6(0)f =，先求出ϕ的值，结合()10f =求出ω，然后利用周期公式进行求解即可．【详解】解：由6(0)3sin f ϕ=2sin ϕ=，Q2ϕπ<<π，34πϕ∴=，则3())4f x x πω=+， Q ()3104f πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，34πωπ∴+=，即4πω=，则函数的最小正周期2284T πππω===，故答案为：8 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键． 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________.1【解析】运用等比数列的通项公式，即可解得1a ．【详解】解：Q 65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴531(1)4(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩，3155441a a a a ∴⨯-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=，q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=，11)1a ∴=，11a ∴．1．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．10．已知sin(2)sin p αββ+=，tan()tan p αβα+=，其中，p 为正的常数，且1p ≠，则p 的值为_______.1【解析】把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得p 值．【详解】解：由sin(2)sin p αββ+=，得sin[()]sin[()]p ααβαβα++=+-， sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin p p αβααβααβααβα∴+++=+-+，即(1)sin()cos (1)cos()sin p p αβααβα-+=++， (1)tan()(1)tan p p αβα∴-+=+，又tan()tan p αβα+=，∴11p p p +=-，解得：1p =± p Q为正的常数，1p ∴=．1．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上有且仅有一对点,M N ，使得MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍，则r 的值为_______.【答案】6【解析】写出AB 所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于r 的等式，求解得答案．【详解】解：直线AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=．圆222(2)(0)x y r r -+=>的圆心(2,0)到直线AB 的距离d == 由MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍的点M ，N 有且仅有一对，可得点M 到AB 的距离是点N 到直线AB 的距离的2倍，可得MN 过圆的圆心，如图：)r r =，解得r ．故答案为：6．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．12．已知函数423,0,()log ,0,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若关于x 的不等式()f x a >的解集为()2,a +∞，则实数a 的所有可能值之和为_______. 【答案】6【解析】由分段函数可得0a „不满足题意；0a >时，2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，解方程可得2a =，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．【详解】解：由函数423,0()log ,0x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，可得()f x 的增区间为(,0)-∞，(0,)+∞，0x <时，()(0f x ∈，43)-，0x >时，()f x ∈R ，当关于x 的不等式()f x a >的解集为2(a ，)+∞，可得0a „不成立，0a >时，1081a <„时，不成立； ()f x a >，即为2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，显然2a =，4成立；由2xy =和2y x =的图象可得在0x >仅有两个交点．综上可得a 的所有值的和为6．故答案为：6．【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．13．在ABC ∆中，已知M 是BC 的中点，且1AM =，点P 满足2PA PM =，则()PA PB PC ⋅+uu r uu r uu u r的取值范围是_______.【答案】49-【解析】由题设条件2PB PC PM AP +==u u u r u u u r u u u u r u u u r，故可得2()PA PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ，由于线段PA 长度可以求出，故可解出()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的值．【详解】解：M 是BC 的中点，2AP PM =u u u r u u u u r，1AM = 2()2()PA PB PC PA PM PA AP PA +===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g g224()39MA =-=-u u u r ．故答案为：49-．【点睛】本题考查向量的内积公式与向量加法的三角形法则，本题恰当地利用向量的相关公式灵活变形达到了用已知向量表示未知向量，且求出未知向量的目标．14．设(,)P x y 为椭圆2211612x y +=在第一象限上的点，则346x y x y +--的最小值为________. 【答案】4【解析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点(4cos P α，)α，其中02πα<<，∴33443(6)18()()464646x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 4184184()44646x y x y=--+=-++----，由4cos x α=，y α=，02πα<<，可设41844644cos z x y α=+=---11cos α=-，导数为2sin (1cos )z αα'=--，由0z '=，可得23323sin sin αααααα-+--+22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，sin 0αα-=或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，由3)2cos225)2sin(2)336πππααααα-+++=-+++223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+->，(0)2πα<<，sin 0αα-=，即tan α=3πα=，由03πα<<可得函数z 递减；由32ππα<<，可得函数z 递增，可得3πα=时，函数z取得最小值，且为18112=-，则346x y x y+--的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：（1）D 是PB 的中点；（2）平面ABC ⊥平面PMC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出//MD PA ，由M 是AB 的中点，能证明D 是BP 有中点．（2）作CN PM ⊥于点N ，推导出CN ⊥平面PAB ，从而CN AB ⊥，由AB PC ⊥，能证明AB ⊥平面PMC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PMC ．【详解】证明：（1）在三棱锥P ABC -中，//MD Q 平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，MD ⊂平面PAB ，//MD PA ∴，在PAB ∆中，M Q 是AB 的中点，D ∴是BP 有中点．（2）在三棱锥P ABC -中，CPM ∆Q 是锐角三角形，∴在CPM ∆中，可作CN PM ⊥于点N ，Q 平面PAB ⊥平面PMC ，平面PAB ⋂平面PMC PM =，CN ⊂平面PMC ，CN ∴⊥平面PAB ，AB ⊂Q 平面PAB ，CN AB ∴⊥，AB PC ⊥Q ，CN PC C =I ，AB ∴⊥平面PMC ，AB ⊂Q 平面CAB ，∴平面ABC ⊥平面PMC ．【点睛】本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 16．已知ABC ∆3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r . （1）求角A 的大小及BC 长的最小值；（2）设M 为BC 的中点，且23AM =，BAC ∠的平分线交BC 于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）23A π=，min 6BC =（2）76MN =. 【解析】（1）根据面积公式和数量积性质求角A 及最大边a ；（2）根据AM 的长度求出b ，c 再根据面积比值求BM ，BN 从而求出MN ．【详解】（1）在ABC ∆中，由1AB AC =-u u u r u u u rg ，得cos 1cb A =-，由3ABC S ∆=，得sin 3bc A = 所以222()(cos sin )4bc A A +=，所以2bc =，1cos 2A =-，因为在ABC ∆中，0A π<<，所以23A π=，因为222222cos 222a b c bc A b c bc =+-=+++…（当且仅当b c =时取等），所以BC 6；（2）在三角形ABC 中，因为AM 为中线，所以AM AB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，AM AC CM =+u u u ur u u u r u u u u r ，所以2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，因为23AM =，所以2222(2)()23AM AB AC b c =+=+-=u u u u r u u u r u u u r ，所以225b c +=，由（1）知2bc =，所以1b =，2c =或2b =，1c =，所以2222cos 7a b c bc A =+-=，因为AN 为角平分线，1sin 23ABN S AB AN π∆=g ，1sin 23ACN S AC AN π∆=g ， ∴12ABN ACN S c BN S b CN ∆∆===或2，所以7BM =，7BN =或27，所以7MN =．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．17．一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值；（2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.【答案】（1）1x =，13V =；（2）当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.【解析】（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值；（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==， 2(02)BE BF x x ∴==-<<，EFB ∆Q 恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12EBF S ∆=，由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥，则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME MF M =I ，又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ， 11111233323EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=g g ；（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=，∴2211sin 22EMFS x EMF x ∆=∠= 令2421()()[16(1)]4EMF f x S x x ∆==--，32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-，02x <<Q ，1x ∴=．可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，∴当1x =时，EMF S ∆有最大值．由（1）知，MD ⊥平面EMF ，∴该三棱锥容积的最大值为13EMF V S MD ∆=g ，且2MD =．∴当1x =时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．答：当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点； ②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；②1231k k = 【解析】（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得20b y a=±，从而四边形ACBD 的面积226222ABC b S a b a ∆===g ，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，推导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222286(34k D k -+，22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得202211y a b +=，解得20b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积226222ABCb S a b a∆===g ，23b ∴=，24a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，211211612234k x k -∴-=+，解得211216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+， 212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222286(34k D k -+，22212)34k k -+，猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：213k k =Q ，12221222122212121234348686113434PC PDk k k k k k k k k k -++∴-=------++1211112222221211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =+=+=-=------，P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．②12k k 为定值，理由如下：由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，1,2y ∴=，122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+，∴111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 222222222963()34343499333434m m my y m m m m m y y m m -----++++==-+-+++2222313493334my m m y m -++==-++（定值）．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．19．设k ∈R ，函数()()g x k x e =-，其中e 为自然对数的底数. （1）设函数()1ln xf x x=-.①若1k =-，试判断函数()f x 与()g x的图像在区间上是否有交点； ②求证：对任意的k ∈R ，直线()y g x =都不是()y f x =的切线；（2）设函数()2ln ()h x x x x xg x ekx =-+-，试判断函数()h x 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①函数()f x 与()g x的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）0k >且12k e≠；【解析】（1）①令()()()F x f x g x =-，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为0x ，求出切线方程，得到002x e elnx =-，根据函数的单调性判断即可；（2）求出()h x 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可．【详解】解：（1）①当1k =-时，函数()g x x e =-+，令()()()1xF x f x g x x e lnx=-=+--，x ∈，则()120F e =-<，0F e =>，故()10F F<g ，又函数()F x在区间上的图象是不间断曲线，故函数()F x在区间上有零点，故函数()f x 与()g x的图象在区间上有交点；②证明：假设存在k ∈R ，使得直线()y k x e =-是曲线()y f x =的切线，切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞U ，则切线()y f x =在点0x x =切线方程为000()()()y f x x x f x ='-+，即000002200022(1)(1)1lnx x x lnx x y x lnx lnx lnx --=-+---，从而0202(1)lnx k lnx -=-，且00002002(1)1x x lnx x ke lnx lnx --+=---，消去k ，得002x e elnx =-，故0x e =满足等式，令000()2s x x e elnx =-+，所以00()1es x x '=+，故函数0()s x 在(0,)e 和(,)e +∞上单调递增，又函数0()s x 在0x e =时()0s e =，故方程002x e elnx =-有唯一解0x e =，又()()00,,x e e ∈+∞U ，故0x 不存在，即证；（2）由2()2()22h x x xlnx xg x ekx x xlnx kx kex =-+-=-+-得，0x >，()12()h x lnx k x e '=-+-，令()12()m x lnx k x e =-+-，则121()2kx m x k x x-'=-=， ()()0m e h e '==，()i 当0k …时，()h x '递减，故当(0,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，故在处取得极大值，不合题意； ()0ii k >时，则()m x 在1(0,)2k递减，在1(2k ，)+∞递增，①当102k e <<时，12e k >，故()m x 在1(0,)2k递减，可得当(0,)x e ∈时，()0h x '>，当1(,)2x e k∈时，()0h x '<， 111()(12)2kkke e m ke e ln k k=-+-Q ，易证112ke k k >，令11()2kke m k e ln k=-，1(,)2k e e ∈，令12t e k=>，故()2n t et lnt t =--，则1()210n t e t'=-->，故()n t 在(2,)e +∞递增，则()()()210n t n e n >>>，即102k e<<时，0m >，故在1(2k ，1)ke k内存在0x ，使得0()0m x =，故()h x 在1(2k，0)x 上递减，在0(x ，)+∞递增，故()h x 在0x x =处取得极小值． ②由（1）知12k e =，12e k=，故()h x '在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增，故(0,)x ∈+∞时，()0h x '…，()f x 递增，不合题意； ③当12k e>时，102e k <<，当1(2x k∈，)e 时，()0h x '<，()f x 递减，故在处取极小值，符合题意，综上，实数k 的范围是0k >且12k e≠．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．20．（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*2,n n N ≥∈），求数列()*12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）已知数列{}n b 满足：（ⅰ）对任意的*1,0n n n N b b +∈<≤；（ⅱ）对任意的*2,n n N ≥∈，()()*111*2,21,,2,n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>，且21b b = ①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈.【答案】（1）(1)2n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】（1）由条件可得11n nn n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，4241432m m m b b q μ---=g ，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．【详解】解：（1）11a =，2a λ=，且2111(nn n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n …，*)n N ∈，可得11n nn n a a a a λ+--=，可得数列1{}nn a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列，可得1(1)nn a n a λ-=-，前n 项和为(1)2n n λ+；（2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=g，且21b q b ，即21b b q =，231q b b =，32421q q b b b ==，251b b q =，对任意的*n N ∈，10n n b b +<„，可得123450b b b b b <剟剟，可得1q …，11b …，数列{}n b 是等比数列，则2213b b b =，2435b b b =，可得11b q ==，111n n b b -+=g，即23411b b b b ====，又131n n b b ++=g，即有13n n b b -+=，即1n b =，数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；②证明：对任意的2n …，*n N ∈，*111*2,21()·(0,2()n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >，当2k m =，441412m m m b b q μ-+=g ，4241432m m m b b q μ---=g ，可得241243m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列；同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列；对任意的*n N ∈，10n n b b +<„，可得434241m m m b b b --+剟，即有22222122112m m mb q b q b q --剟，所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -g „，222121221()1m b q b q q -g „，可得21122(1)0q b m lglg q b -+„，122212(1)20q bm lg lg lgq q b -+-„，即12q q „且21q q „，则12q q =，可令120q q q ==，故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯ 是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．第 21 页共 21 页。

【20套试卷合集】南京师范大学附属中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案

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江苏省南京师范大学附属中学2019届高三数学5月模拟试题(含答案)

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三数学5月模拟试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|0≤x ≤2}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x ＋log 2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos(α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n ∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n ∈N *均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．2019届高三模拟考试试卷(二十一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，点M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式．2019届高三模拟考试试卷(二十一)(南师附中)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 4338. －139. － 2 10. 18 11. 2＋2212.(6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分)(2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55，所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， ∵ 四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴ 四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵ 平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵ 正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴ 四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ ⊥PQ ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S(θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交，所以直线l 一定存在斜率．(6分) ② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0，得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分)所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)② 当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n ≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2，即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n ≥2) ③，所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n ≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n ≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n，当n ≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0，所以当n ≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n ≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分) 因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>… 所以对任意的n ∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a ≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x ≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，所以b ≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.① 若a ≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x ≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1. 又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a ∈(－1e ，0)．(11分)当a ∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点．综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分)(2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos(θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)， BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，。

江苏省南京市师范大学第二附属中学2019年高三数学理月考试题含解析

江苏省南京市师范大学第二附属中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，…，为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求50个成绩中成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的个数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个．2. 下列说法正确的是（）A. 若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行B. 若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C. 若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行D. 若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行参考答案：C【分析】举出特例，即可说明错误选项。

【详解】正方体过同一顶点的三个平面可以两两互相垂直，所以A错误；圆锥的两条母线与底面形成的夹角相等，但是两条母线相交，所以B错误；若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直线与另一个平面平行，所以这两个平面平行，故C正确；另一条直线可能在这个平面内，结论不成立，故D错误；综上选C【点睛】本题考查了空间几何体中点、线、面的位置关系，特殊形式下的结论判断，属于基础题。

3. 如图所示，是函数的图象上的动点，过点作直线平行于轴，交函数的图象于点，若函数的图象上存在点使得为等边三角形，则称为函数上的好位置点. 函数上的好位置点的个数为A. 0B.1 C.2 D. 大于2参考答案：B【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。

2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江苏省南京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试卷1.设集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．1D．-13.设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（）A．34B．18C．12D．74.在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架的高度，点是屋宽的五等分点，连接，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为（）A．B．C．D．5.已如是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．6.若直线与曲线和圆都相切，则的方程可能为（）A．B．C．D．7.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．8.已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．9.已知数列，记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A．若“”是“为递增数列”的充分不必要条件B．“为等差数列”是“为等差数列”的必要不充分条件C．若为等比数列，则成等比数列D．若为等比数列，则可能是等差数列10.已知函数，则在区间上可能（）A．单调递增B．有零点C．有最小值D．有极值点11.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A．若O为线段中点，则B．若，则C．存在直线l，使得D．△PFQ面积的最小值为212.已知点A，B是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（）A．若直线AB与y轴垂直，则a的取值范围是B．若点A，B分别在第二与第四象限，则a的取值范围是C．若直线AB的斜率恒大于1，则a的取值范围是D．不存在实数a，使得A，B关于原点对称13.在中，已知点满足，若，则__________.14.已知分别为内角的对边.若，则的最小值为__________.15.已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为________16.若函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则的最大值为__________.17.已知的三内角所对的边分别是分别为，且.(1)求；(2)若，求周长的最大值.18.如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，(1)证明：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值.19.已知等比数列公比为2，数列满足，若数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式；(2)是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数，如不存在，请说明理由.20.随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.(1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出.21.设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于点，求.22.已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)已知实数，设.（i）若，求的极值；（ii）若有3个零点，求的值.。

2019届湖南省南师附中、天一、海门、淮阴四校联考高三期初数学调研测试试题

2019届湖南省南师附中、天⼀、海门、淮阴四校联考⾼三期初数学调研测试试题2018-2019学年南师附中、天⼀、海门、淮阴四校联考期初⾼三数学调研测试试题第Ⅰ卷（共70分）⼀、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合}3,2{},,1{==B a A ，且}3{=?B A ，则实数a 的值是．2.已知复数iiz -+=121，其中i 是虚数单位，则z 的实部是． 3.根据如图所⽰的伪代码，可知输出的结果S 为．4.如图所⽰，⼀⾯包销售店根据以往某种⾯包的销售记录，绘制了⽇销售量的频率分布直⽅图.若⼀个⽉以30天计算，估计这家⾯包店⼀个⽉内⽇销售量100个到200个的天数为．5.有⼀个质地均匀的正四⾯体⽊块4个⾯分别标有数字4,3,2,1.将此⽊块在⽔平桌⾯上抛两次，则两次看不到的数字都⼤于2的概率为．6.已知3)4tan(=+θπ，则θθθ2cos 3cos sin -的值为．7.设数列}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n B S S ,225,9153==为数列}{nS n的前n 项和，则=n B ．8.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，双曲线)0(14:22>=-m my x C 的⼀条渐近线与直线012=-+y x 垂直，则实数m 的值为．9.⾼为3的正四棱锥的侧⾯积为8，则其体积为．10.设)(x f 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间]2,2(-上，其函数解析式是≤<-≤<-+=20|,1|02,)(x x x a x x f ，其中R a ∈.若)5()5(f f =-，则)2(a f 的值是． 11.已知函数1)(223+-+=x a ax x x f 在]1,1[-上单调递减，则a 的取值范围是． 12.如图，在四边形ABCD 中，1==CD AB ，点N M ,分别是边BC AD ,的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点Q P ,，则)(→→→-?DC AB PQ 的值为．13.已知圆B A y x O ,,5:22=+为圆O 上的两个动点，且M AB ,2=为弦AB 的中点，)2,22(),,22(+a D a C .当B A ,在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐⾓，则实数a 的取值范围为． 14.已知2,1>>b a ，则41)(222-+-+b a b a 的最⼩值为．第Ⅱ卷（共90分）⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共90分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在ABC ?中，⾓C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知C c A b B a cos 2cos cos =+. （1）求⾓C 的⼤⼩；（2）若ABC c ?=,2的⾯积为3，求ABC ?的周长.16. 如图，在三棱锥ABC P -中，PC PA ABC ==∠,90,平⾯⊥PAC 平⾯E D ABC ,,分别为BC AC ,中点.（1）求证：//DE 平⾯PAB ；（2）求证：平⾯⊥PBC 平⾯PDE .17. 如图，某⼤型⽔上乐园内有⼀块矩形场地120,=AB ABCD ⽶，80=AD ⽶，以BC AD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形⽔上主题乐园，DA CD BC ,,都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进⼀步提⾼经济效益，⽔上乐园管理部门决定沿着?FB AE 、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园⼤门并设置检票⼝，其中F E ,分别为?BC AD ,上的动点，AB EF //，且线段EF 与线段AB 在圆⼼1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费⽤为200元/⽶，直线部门的平均修建费⽤为400元/⽶.（1）若80=EF ⽶，则检票等候区域（其中阴影部分）⾯积为多少平⽅⽶？（2）试确定点E 的位置，使得修建费⽤最低.18. 已知椭圆C 的⽅程：)0(12222>>=+b a by a x ，右准线l ⽅程为4=x ，右焦点A F ),0,1(为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的⽅程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上⽅⼀点，点N 在右准线上且满⾜0=?→→MN AM 且||2||5→→=MN AM ，求直线AM 的⽅程.19. 已知函数R a ex x g ax x x f ∈=-=,)(,ln )(（e 是⾃然对数的底数）（1）若直线ex y =为曲线)(x f y =的⼀条切线，求实数a 的值；（2）若函数)()(x g x f y -=在区间),1(+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设],1[),(|)(|)(e x x g x f x H ∈?=，若)(x H在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的⾃变量的值），求实数a 的取值范围.20. 设数列}{n a 的⾸项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，均有k a S k n n -=+（k 是常数且*N k ∈）成⽴，则称数列}{n a 为“)(k P 数列”. （1）若数列}{n a 为“)1(P 数列”，求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在数列}{n a 既是“)(k P 数列”，也是“)2(+k P 数列”？若存在，求出符合条件的数列}{n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列}{n a 为“)2(P 数列”，22=a ，设nn n a a a a T 222233221++++= ，证明：321. [选做题]在A 、B 、C 、D 四个⼩题中只能选做2道，每⼩题10分，请把答案写在答题卡指定区域内.A. 选修4-1：集合证明选讲如图，D 为ABC ?的BC 边上的⼀点，⊙1O 经过点D B ,，交AB 于另⼀点E ，⊙2O 经过点D C ,，交AC 于另⼀点F ，⊙1O 与⊙2O 交于点G .B. 选修4-2：矩阵与变换已知⼆阶矩阵=b a M 31的特征值3=λ所对应的⼀个特征向量??=→111e . （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作⽤下得到的曲线C '的⽅程为2=xy ，求曲线C 的⽅程. C. 选修4-4：坐标系与参数⽅程已知曲线??==θθsin 3cos 2:y x C （θ为参数）和曲线=+-=ty t x l 322:（t 为参数）相交于两点B A ,，求两点B A ,的距离. D. 选修4-5：不等式选讲已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x . 22. 如图，已知长⽅体1,2,11111==-AA AB D C B A ABCD ，直线BD 与平⾯B B AA 11所成⾓为AE ,30垂直BD 于点F E ,为11B A 的中点. （1）求直线AE 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值；（2）线段11D C 上是否存在点P ，使得⼆⾯⾓P BD F --的余弦值为53若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由.。

2019届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试数学试题Word版含解析

2019届江苏省南京师范大学附属中学高考模拟考试高三数学试题一、填空题1．已知{}{}21,2,3,|9A B x x ==<，则A B ⋂=__________. 【答案】{}1,2【解析】因为{}1,2,3,{|33}A B x x ==-<<，所以{}1,2A B ⋂=，应填答案{}1,2。

2．已知复数()iia z a R +=∈， i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 __________. 【答案】()0+∞，【解析】因为()1a iz a i i ai i+==-+=-，所以由题意00a a -⇒，应填答案()0,+∞。

3．如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是__________.【答案】27【解析】试题分析：第一次循环， 1,2s n ==，第二次循环， 6,3s n ==，第三次循环， 27,43s n ==>，结束循环，输出27s =. 【考点】循环结构流程图4．从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________. 【答案】12【解析】所有基本事件为()()()()()()2,3,2,4,3,4,3,2,4,2,4,3共六个，满足题设条件的事件有()()()2,3,2,4,3,4共三个，由古典概型的计算公式所求事件的概率3162P ==，应填答案12。

5．随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三5月模拟数学试题

南师附中2019届高三年级模拟考试数学 2019．05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名．学校、班级．学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：．锥体的体积13V Sh =-，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}1,A x x x =≤∈Z ，{}02B x x =≤≤，则A B =I __________．2．已知复数()()12z i a i =++，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虚部相等，则实数a 的值为__________． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是__________．4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是__________．5．函数()f x =的定义域为__________．6．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为__________．7．若正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，点P 为侧棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BCC B -的体积为__________．8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为__________．9．已知函数()()()()2cos 20f x x x ϕϕϕ=+-+≤<π是定义在R 上的奇函数，则8f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________．10．如果函数()()()22281f x m n x =-+-+（m ，n ∈R 且2m ≥，0n ≥）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为__________．11．已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点，其左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且112F P F F =，则双曲线的离心率为__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,5，点B 是直线l ：12y x =上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l所截得的弦长为B 的坐标__________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，22,21,2,2,n n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩N N，则满足20193000n S ≤≤的正整数m 的所有取值为__________．14．已知等边三角形ABC 的边长为2．2AM MB =u u u u r u u u r，点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r取值的集合为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A的纵坐标是10．（1）求3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值：（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B的横坐标为αβ+的值．16．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM P 平面BDE ；（2）求证：AM ⊥平面BDF ．17．某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O 为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ ，其中P 、Q 分别在半圆O 与半圆C 的圆弧上，且PQ 与半圆C 相切于点Q ．已知AB 长为40米，设BOP ∠为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形COPQ 的周长为()fθ，求()f θ的表达式；（2）要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，求sin θ的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且点1F 、2F 与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线4x =-和直线1x =-相交于点M 、N ．试判断12MF MF 是否为定值，并说明理由．19．已知数列{}n a 满足()12122n n n a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和()12n n n b b S +=，（*n ∈N ），且11b =，22b =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）求数列{}n b 的通项公式．（3）设111n n n n c a b b +=-⋅，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的*n ∈N 均有m n T T ≥． 20．设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间：（2）设b 为实数，若不等式()22f x x bx ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围：（3）若函数()()()h x f x g x =+（0x >，x ∈R ）有两个相异的零点，求a 的取值范围．高三年级模拟考试数学附加题2019.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．[选做题]在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，二阶矩阵B 满足1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB（1）求矩阵B ；（2）求矩阵B 的特征值． B ．选修4—4：坐标系与参数方程设a 为实数，在极坐标系中，已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭相切，求a 的值． C ．选修4—5：不等式选讲求函数y =[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值：（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点()1,0处时，下一步可行进到()2,0、()0,0、()1,1,、()1,1-这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为()L n ．（1）分别求()1L 、()2L 、()3L 的值；（2）求()L n 的表达式．南师附中2019届高三年级模拟考试数学参考答案及评分标准2019．05一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上) 1．{}0,12．3-3．184．135．[)0,16．3 7．38．13-9．10．1811．22+12．()6,313．20，2114．{}6-二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标是10，所以由任意角的三角函数的定义可知，sin α=从而cos α==．（1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭1021025⎛⎫⎛⎫=⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的横坐标是5-所以cos 5β=-，从而sin 5β==．于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=1051052⎛=-+⨯ ⎝⎭．因为α为锐角，β为钝角，所以3,22αβππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 从而34αβπ+=． 16．解：（1）设AC BD O =I ，连结OE ，Q 四边形ACEF 是矩形，EF AC ∴P ，EF AC =． O Q 是AC 正方形ABCD 对角线的交点， O ∴是AC 的中点．又M Q 是EF 的中点，EM AO Q P ，EM AO =．∴四边形AOEM 是平行四边形，．AM OE ∴P ．OE ⊂Q 平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，AM ∴P 平面BDE（2）Q 正方形ABCD ，BD AC ∴⊥．Q 平面ABCD I 平面ACEF AC =，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面ACEF ．AM ∴⊂平面ACEF ，BD AM ∴⊥．Q 正方形ABCD ，AD =，1OA ∴=．由（1）可知点M 、O 分别是EF 、AC 的中点，且ACEF 是矩形，又1AF=Q ，AOMF ∴是正方形，AM OF ∴⊥．又AM BD ⊥，且OF BD O =I ，OF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，AM ∴⊥平面BDF ．17．解：（1）连PC ．由条件得00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．在三角形POC 中，10OC =，20OP =，POC πθ∠=-2，由余弦定理，得()()2222cos 210054cos2PC OC OP OC OP θθ=+-⋅π-=+，因为PQ 与半圆C 相切于Q ，所以CQ PQ ⊥，所以()2224001cos2PQ PC CQ θ=-=+，所以PQ θ=．所以四边形COPQ 的周长为()40f CO OP PQ QC θθ=+++=+．（2）设四边形COPQ 的面积为()S θ，则())1002sin cos OCP QCP S S S θθθθ=+=+△△，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以()()()221002cos2sin 1004sin 2S θθθθθθ2'=+-=--+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．令()0S t '=，得sin θ=列表：答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，sin θ的值为8． 18．解：（1）依题意，22c a ==，1c ∴=，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）①因为直线l 分别与直线4x =-和直线1x =-相交，所以，直线l 一定存在斜率． ②设直线l ：y kx m =+，由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()()222438430k x kmx m +++-=，由()()()2228443430km k m ∆=-⨯+⨯-=，得22430k m +-=．①把4x =-代入y kx m =+，得()4,4M k m --+，把1x =-代入y kx m =+，得()1,N k m --+，所以1NF k m =-+，1MF ==，②由①式，得2234m k =-，③把③式代入②式，得12MF k m ==-+，121=22MF k m MF k m -∴=-，即12MF MF 为定值12．19．解：（1）①122122a ⨯==；②当2n ≥时，()()1212111212222n n n n n n n n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅===⋅⋅⋅．所以，数列{}n a 的通项公式为2nn a =（n *∈N ）．（2）由()12n n n b b S +=，得()12n n S n b b =+， ①所以()()11121n n S n b b --=-+，2n ≥．②由-②①，得()1121n n n b b nb n b -=+--，2n ≥，即 ()()11210n n b n b n b -+---=，2n ≥，③所以，()()11320n n b n b n b -+---=，3n ≥． ④由-④③，得()()()1222220n n n n b n b n b -----+-=，3n ≥，因为3n ≥，所以20n ->，上式同除以()2n -，得1220n n n b b b ---+=，3n ≥，即11211n n n n b b b b b b +--=-=⋅⋅⋅=-=，所以，数列{}n b 时首项为1，公差为1的等差数列，故n b n =，n *∈N ．（3）因为()()()111111112112n n n n n n n n c a b b n n n n ++⎡⎤=-=-=-⎢⎥⋅++⎣⎦．所以10c =，20c >，30c >，40c >，50c <．记()()12nn n f n +=，当5n ≥时，()()()()()()()111211222210nn n n n n n n n f n f n ++++++++-==-<．所以，当5n ≥时，数列()f n 为单调递减，当5n ≥时，()()556512f n ⨯<<<．从而，当5n ≥时，()()111012n nn n c n n +⎡⎤=-<⎢⎥+⎣⎦．因此1234T T T T <<<，456T T T >>>L ．所以，对任意的n *∈N ，4n T T ≥．综上，4m =．（注：其他解法酌情给分.）20．解：（1）当0a <时，因为()()1xf x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x <．所以函数()f x 单调减区间为(),1-∞-；单调增区间为()1,-+∞．（2）由()22f x x bx ≥+，得22xaxe x bx ≥+，由于0x >，所以2xae x b ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立，由于0x e >，所以x x ae e ≥，所以2xe x b -≥对任意的0x >恒成立，设()2xx e x ϕ=-，0x >，则()2xx e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()()min ln 222ln 2x ϕϕ==-，所以22ln 2b ≤-．（3）由()ln x h x axe x x =++，得()()()()11111xxx axe h x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a ≥时，则()0h x '>，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递增，所以函数()h x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0h x '=，得10xxe a=->．由第（2）小题，知：当0x >时，()222ln 20xx e x ϕ=-=->，所以2xe x >，所以22xxe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为()0,+∞．所以，存在00x >，使得0010xax e +=，即001x ax e=-，①且当0x x <时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以()()0000000max ln 1ln xh x h x ax e x x x x ==++=-++．②设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则()110x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在()0,+∞单调递增，由于()10ϕ=，所以当1x >时，()0x ϕ>．所以，②式中的01x >，又由①式，得001x x ea=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减，所以1e a->，即1,0a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈．当1,0a e⎛⎫- ⎪⎝⎭∈时，（ⅰ）由于11110eae h e e e ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以的()010h h x e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又因为011x e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，且函数()h x 在()00,x 上单调递减，函数()h x 的图象在()00,x 上不间断，所以函数()h x 在()00,x 上恰有一个零点；（ⅱ）由于1111ln a h e a a a -⎛⎫⎛⎫-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t e a =->，设()ln tF t e t t =-++，t e >，由于t e >时，ln t t <，2te t >，所以设()0F t <，即10h a ⎛⎫⎪⎝⎭-<．由①式，得，当01x >时，0001x x e x a -=>，且()010h h x a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，同理可得函数()h x 在()0,x +∞上也恰有一个零点．综上，1,0a e ⎛⎫ ⎪⎝-⎭∈．数学附加题参考答案及评分标准2019．05说明：．21．[选做题]在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，由矩阵的逆矩阵公式得11101-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦B A ，（2）矩阵B 的特征多项式()()()11fλλλ=+-，令()0fλ=，解得1λ=或1-，所以矩阵B 的特征值为1或1-． B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将圆2sin a ρθ=化成普通方程为222x y ay +=，整理得()222x y a a +-=．将直线cos 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化成普通方程为0x y -=．a =解得2a =． C ．选修4—5：不等式选讲解：因为2=()1203332133x x ⎛⎫≤-+++= ⎪⎝⎭，所以y =≤．等号当且仅当1133233x x =-+，即72,1123x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时成立．所以y的最大值为3． 22．解：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又因为90BAD ∠=︒，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由224AD AB BC ===，4PA =可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，又因为M 为PC 的中点，所以()1,1,2M ．所以()1,1,2BM =-u u u u r ，()0,0,4AP =u u u r，所以,AP BMcos AP BM AP BM ⋅=u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r001421⨯⨯+⨯==-+ 所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为3（2）因为AN λ=，所以()()0,,004N λλ≤≤，则()1,1,2MN λ=---u u u u r， ()0,2,0BC =u u u r ，()2,0,4PB =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =u r，00m BC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r ur u u u r 即20240y x z =⎧⎨-=⎩令2x =，解得0y =，1z =，所以()2,0,1m =u r是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以4cos ,5MN m MN m MN m ===⋅u u u u r u r u u u u r u r u u u u r u r ，解得[]10,4λ=∈． 23．解：（1）()12L =()26L =， ()320L =，（2）设m 为沿x 轴正方向走的步数（每一步长度为1），则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以0m =，1，2，……，2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（其中2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为不超过2n的最大整数）总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n m -步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下），即22mmn mn n m C C --⋅⋅()12220202202 22 n m m n m n n n m m m m n mn n mn m m m n mn n m m C C n L n C C C C n --⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=--=--=⎧⎪⋅⋅⎪⎪∴=⋅⋅=⎨⎪⎪⋅⋅⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数等价于求()21nx +中含nx 项的系数，为2nn C()()()()222201212121nnnnn rrr n r x x x x x C x x -=⎡⎤+=++=+++⋅⎣⎦=⋅∑其中含nx 项的系数为12222022022202 22 n r n r n r n n n r r r n r n rn n r n r r n r n rn n r r C C n C C C C n ---⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=---=---=⎧⎪⋅⋅⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪⋅⋅⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数 ()122202202202 22 n r r n r n n n r r r r n r nn n r n n r r r n rn n r r C C n C C C L n C C n --⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=--=--=⎧⎪⋅⋅⎪⎪==⋅⋅==⎨⎪⎪⋅⋅⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数故()2nn L n C =．。