西南大学2010考研《高等代数》试题
《高等代数》（上）题库
《高等代数》（上）题库《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
西北大学2010年高等代数硕士学位研究生试题
的系数矩阵为 A ，三阶矩阵 B 0 ,且 AB 0 ，试求 的值。 8（15 分）设 A 为数域 p 上秩为 r 的 m n 矩阵， r 0 ，试证：存在秩为
r 的 m r 矩阵 F 和秩为 r 的 r n 矩阵 G ,使得 A FG .
9 (10 分) 设 A, B 为实对称矩阵，若 B 为正定矩阵，证明，若 BA 的特 征值都大于零，则 A 是正定矩阵。
3（10 分）计算 n 1 阶行列式的值
a1 1 0 . . . 0 a2 ... an 0 ... 0 1 . . . 0 ... . . . ... 1 0 0 b1 b2 . . . bn
4 （15 分）当 a, b 取什么值时，下列线性方程组有解，并在有解时求 出所有解
x1 x2 x3 x4 x5 1 x 2x 2x 6x 3 2 3 4 5 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 a 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 b
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试命题 考试科目 高等代数
d n 1（10 分） 求证： ( x 1)|(x 1) 当且仅当 d |n ，其中 d , n 都是非负整数。
2（10 分）解下列联立方程
5 y 2 6 xy 5 x 2 16 0 2 2 y xy 2 x y x 4 0
f1 , f 2 , f3 是它的对偶基， 13 (15 分) 设 1， 2， 3 是线性空间 V 的一组基，
令
1 1 3 , 2 1 2 3 , 3பைடு நூலகம் 2 3
试证：1 , 2 , 3 是现行空间 V 的一组基，并求它的对偶基（用 f1 , f 2 , f3 表 示） 。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
高代10真题 2
2010年招收硕士研究生入学考试试卷一、填空题（每小题，满分30分）1、当t =________，多项式3231x x tx -+-有重根。
2、写出4级行列式所有带有正好并且含有因子23a 的项_______________。
3、设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12(1,2,3,4)ηη'+=，3(2,3,4,5)η'=，该方程组的通解为___________。
4、向量组123,,ααα与向量组12,ββ生成相同子空间⇔______________。
5、实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =+++的秩、正负惯性指数与符号差为_________。
二、简答题；6、判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定。
7、设1V 和2V 分别是齐次线性方程组122...0n x x nx +++=与12...n x x x ===的解空间，证明：数域P 上n 维列空间12n P V V =⊕(1)n >。
8、求矩阵131616576687A ⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子、初等因子、若当标准型和有理标准型。
9、求向量组1(1,1,2,1,0)α=-，2(2,2,4,2,0)α=--，3(3,0,6,1,1)α=-，4(0,3,0,0,1)α=的秩，一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
10、设,A B 为同阶正定矩阵（1）若AB BA =，且A B -为正定矩阵，证明：22A B -也是正定矩阵。
（2）若A B -为正定矩阵，问：22A B -是否一定是正定矩阵？ 三、解答题11、,a b 取什么值时，线性方程组1234512345123451234513232337443222x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩有解？在有解的情形，求一般解。
高等代数真题答案
⾼等代数真题答案第六章习题册1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘.(b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘.(c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘.2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这⾥αβV k F ,∈,∈.3. 下述集合是否是()n M R 的⼦空间 (a) {()}T n V A M R A A =∈|=?(b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这⾥()n A M R ∈是⼀个固定⽅阵.4. 叙述并证明线性空间V 的⼦空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的⼦空间的充分必要条件.5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个⾮空⼦集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?.(b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪.(c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.6. 如果123f f f ,,是实数域上⼀元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性⽆关.试证之.7. 设S 是数域F 上线性空间V 的⼀个线性⽆关⼦集, α是V 中⼀个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈.8. (a)证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的⼦空间的⼀个基.(b). 求3()M F 的⼦空间{()()[]}f A f x F x |∈的⼀个基和维数, 这⾥010001000A=9. 在4R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014 =,=,=,=,=10. 求⼀个⾮零向量ξ, 使得它在基1234(εεεε),,,下的坐标和它在基1234(ηηηη),,,下的坐标相同, 这⾥1234εεεε,,,与第9题相同, 123420101121ηηηη22112111=,=,=,=11. 在4R 中, 求由向量 123421111211αααα30311101=,=,=,= 所张成的⼦空间的⼀个基与维数12. 设123411111146αααα11351122=,=,=,=???????????? ,123411311111ββββ11115131=,=,=,=????????11234{αααα}W Span =,,,, 21234{ββββ}W Span =,,,, 请分别求12W W +和12W W ∩的⼀个基13. 设12{()01},{()1}ij n n ij ij n n ij ji V a a i j n V a a a i j n ××=|=,≤≤≤=|=?,≤,≤是矩阵空间()n M R 的两个⼦空间, 证明12V V ?14. 设3323212322233222g x x g x x x g x x x =?+,=??+,=+?,是[]F x 的⼦空间V ⼀个基, 3321232122f x x f x x f x x =++,=?+,=+.请问123f f f ,,中哪些是属于V ,哪些是不属于V , 如果属于请给出它在基123()g g g ,,下的坐标.15. 4R 中, 求由基1234(αααα),,,到基1234(ββββ),,,的过渡矩阵, 并求向量ξ在指定基1234(αααα),,,下的坐标. 其中1α(1111)=,,,, 2α(1111)=,,?,?, 3α(1111)=,?,,?, 4α(1111)=,?,?,; 1β(1101)=,,,, 2β(2131)=,,,,3β(1100)=,,,, 4β(0111)=,,?,?. ξ(1001)=,,,?.16. 设123()A A A ,,和123()B B B ,,是矩阵空间2()M R 的⼦空间V 的两个基, 其中123123100111450321,111000113112A A A B B B =,=,==,=,=??????求 (a) 基123()A A A ,,到123()B B B ,,的过渡矩阵.(b) 3631C ??=在基123()A A A ,,的坐标(c) C 在基123()B B B ,,的坐标17. 设W 是全体实函数关于函数的加法和函数的数乘所成的实数域上的线性空间, 1W 是全体偶函数所成的⼦集, 2W 是全体奇函数所成的⼦集.证明:1W 与2W 是W 的⼦空间且12W W W =⊕.18. 设1W 与2W 分别是齐次线性⽅程组120n x x x +++= 与 12n x x x === 的解空间.证明12n R W W =⊕, 这⾥R 是实数域.19. 如果12V V V =⊕, ⽽11112V V V =⊕, 证明:11122V V V V =⊕⊕.第七章习题册1. 判别下列变换是否线性变换?(a) α是线性空间V 中⼀个固定向量定义(β)βαβT V :=+,?∈(b) 在3R 中, 定义221231233()()T x x x x x x x ,,:=,+,.(c) 在3R 中, 定义12312231()(22)T x x x x x x x x ,,:=?,+,.(d) 在[]F x 中, 定义(())(1)T f x f x =+2. 设V W ,分别是数域F 上的n 维与m 维线性空间, 12{ααα}n ,,, 是V 的⼀个基, ⽽12{βββ}n ,,, 是 W 中 n 个向量.证明存在唯⼀的线性映射T V W :→使得(α)β12i i T i n =,=,,, .3. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ()L V W ,是V 到W 的所有线性映射所组成的集合.证明 ()L V W ,关于线性映射的加法与数量乘法, 成为数域F 上的⼀个线性空间.4. 在[]F x 中, 定义 12()(())(())()df x T f x T f x xf x dx:=,:=, 证明: 1221TT T T E ?=5. 设T 是V 的线性变换, 向量αV ∈, 存在⼀个正整数k ,使得1(α)0k T ?≠但(α)0k T =. 证明: 21α(α)(α)(α)k T T T ?,,,, 线性⽆关.6. 证明: 设12T T , 是V 的可逆线性变换, 则12TT 也是可逆线性变换, 并且1111221()TTT T =.7. 设T 是V 的线性变换, 证明T 是单射线性变换的充分必要条件是T 把线性⽆关的向量组变为线性⽆关的向量组.8. 设V W ,是数域F 上的两个线性空间, ⽽T V W :→是线性映射. 证明ker T 与()T V 分别是V 与W 的⼦空间. ⼜若dim V 有限, 证明: dimker dim ()dim T T V V +=.9. 在线性空间2()M F 定义线性变换()T X AX XA =?, 其中1234A ??=, 求T 在基11122122()E E E E ,,,下的矩阵.10. 设1234{}V Span f f f f =,,,为函数空间的4维⼦空间, 其中1cos f bx =, 2sin f bx =, 3cos f x bx =, 4sin f x bx =, 求微分变换D 在基1234()f f f f ,,,下的矩阵.11. T 是n 维线性空间V 上的⼀个线性变换, 如果存在αV ∈使得1(α)0n T ?≠, 但(α)0n T =.证明在V 中存在⼀个基, 使得 T 在该基下的矩阵为 0000100001000010A=.12. 设V 是n 维线性空间, 求dim ()L V V ,, 并找出()L V V ,的⼀个基.13. 证明与n 维线性空间V 的所有线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 14.设123131η1η2η1211=,=,=??????是3R 的⼀个基, 定义线性变换为123505(η)0(η)1(η)1369T T T =,=?,=?,???? 求T 在基123(ηηη),,下的矩阵并求(α)T , 其中2α15??=15. 设AP PB =, 其中1581026900370004P =,??0234002300020000B=,求10A16. 若A 可逆, 证明AB 与BA 相似.17. 若A 与B 相似, C 与D 相似, 证明00A C ??与00B D ??相似18. 设A 与B 相似, C 与D 相似, 请举反例说明AC 与BD 不⼀定相似, A C +与B D +不⼀定相似.19. 设123103η0η1η1210=,=,=?,123100010001e e e =,=,=, 在定义为15(η)03T =,?20(η)16T=?,35(η)19T=?, 已知3R 中线性变换T 在基()123ηηη,,下的矩阵为100110002,求T 在基123()e e e ,,下的矩阵.20. 设12n e e e ,,, 是线性空间V 的⼀个基, 11αβnnj ij i j ij i i i a e b e ===,=∑∑, ()()ij ij A a B b =,=, 已知12αααn,,, 线性⽆关. T 是V 上的线性变换使得(α)β12i i T i n =,=,,, .(a) 证明T 在基12(ααα)n ,,, 下的矩阵为1A B ?.(b) T 在基12()n e e e ,,, 下的矩阵为1BA ?.21. 证明: 1212(λ,λ,,λ)~(λ,λ,,λ)n n i i i diag diag , 其中12()n i i i ,,, 是(12)n ,,, 的⼀个排列.22. 设V 为数域F 上的线性空间, T 是V 的线性变换, 若0λ是T 的特征值, 则对任意(λ)[λ]f F ∈, 0(λ)f 是 ()f T 的特征值, 且T 的属于0λ的特征向量也是()f T 的属于0(λ)f 的特征向量.23. 设12λλ,是线性变换T 的两个不同的特征值, 12αα,分别是属于12λλ,的特征向量, 证明12αα+不是T 的特征向量24. 设T 是V 的线性变换. 证明:T 是可逆线性变换充要条件零不是T 的特征值, 并且若λ是T 的特征值, 则1λ?是1T ?的特征值25. 设A B ,是n 阶⽅阵. 证明若1B P AP ?=, 则()()Tr B Tr A =26. 设V 是复数域上的线性空间, 123(ααα),,是V 的有序基, T 是V 上线性变换它在有序基123(ααα),,下的矩阵为 310410482A=, 求T 的特征值与特征向量.27. 求1111111111111111A=的特征值与特征向量.28. 证明不可能存在n 阶⽅阵A 和B 使得AB BA E ?=29. 求下⾯矩阵1212111211121211121124242A=的特征值30. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素1122nn a a a === , 且A 不是对⾓阵, 则A 不可对⾓化.31. 设A 是3阶⽅阵, 112,?,是A 的三个特征值, 101111011,,是分别属于特征值112,?,的三个特征向量,求A .32. 设142034043A=?;求可逆矩阵P 使得1P AP ?为对⾓阵, 并求k A .33. 设A 是⼀个n 阶下三⾓矩阵. 证明若A 的对⾓线元素ii jj a a ≠, (i j ≠), 则A 可对⾓化34. 已知T 在⼀个基下的矩阵为 310410482A=??,试问T 是否可以对⾓化35. 对于n 阶⽅阵A , 定义(){()}n C A D M F AD DA :=∈|= (a) 证明()C A 是()n M F 的⼦空间(b) 设1B P AP ?=, 定义映射1()f D P DP ?:=, 证明f 是()C A 到()C B 的同构映射(c) 设A 是n 阶对⾓矩阵, 它的特征多项式为 1212?(λ)(λ)(λ)(λ)s c c c D s d d d =, 其中12s d d d ,,, 两两不同, 证明22212dim ()s C A c c c =+++.36. 设()n A M F ∈, 证明()n M F 的⼦空间{()()[]}V f A f x F x =|∈的为数等于(λ)A m 的次数.37. 设A 为准对⾓矩阵12()s diag A A A ,,,, 其中i A 为i n 阶⽅阵, 它的最⼩多项式为(λ)12i m i s ,=,,,. 证明: 12(λ)[(λ)(λ)(λ)]A s m m m m =,,, (即A 的最⼩多项式是12s A A A ,,, 的最⼩多项式的最⼩公倍式).38. 设101011112A=,求A 的最⼩多项式.39.求矩阵01011010*******0A=的最⼩多项式, 并判断它们是否可对⾓化.40. 证明:A 是幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为零41. 设T 是矩阵空间()n M F 上的线性变换定义为()T T A A :=. 证明: T 是否可对⾓化42. 若W 是V 的⼀维⼦空间, T 是V 的线性变换, 则W 是T -⼦空间充分必要条件W 中任⼀⾮零向量都是属于同⼀特征值的特征向量.43. 设V 是复数域上n 维线性空间, 1T ,2T 是V 的线性变换, 且1221TT T T =. 证明:1T , 2T ⾄少有⼀个公共特征向量44. 设T 是线性空间V 的线性变换, W 是T -⼦空间, 证明(λ)(λ)WT T m m |45. 设T 是线性空间V 的可逆线性变换, W 是T -⼦空间, 证明W 也是1T ?-⼦空间.46. 设A 是实⽅阵, 则存在实可逆⽅阵P 使得1P AP ? 为上三⾓阵的充分必要条件是A 的特征值全为实数.47. 设T 是3维线性空间V 的线性变换, 它在基123(ααα),,下的矩阵为 210021002A=,(a) 证明如果W 是T 的⾮零不变⼦空间, 则1αW ∈,(b) 证明不存在两个T -⼦空间12W W ,, 使得12V W W =⊕48. 设12T T ,是n 维线性空间V 的两个线性变换, 并且11221T TT T T =?, αV ∈是属于λ的1T 特征向量, 证明2{α012}i W Span T i =|=,,, 是2T -⼦空间, 也是1T -⼦空间.49. 设T 是n 维线性空间V 的两个线性变换, ()()[]f x g x F x ,∈, ()(()())d x f x g x =,, ()[()()]h x f x g x =, (a) 证明如果()()f x g x |, 则ker ()ker ()f T g T ?(b) ker ()ker ()ker ()f T g T d T =∩(c) ker ()ker ()ker ()h T f T g T =+第⼋章习题册1. 试求下列各λ-矩阵的秩, 并判别哪些矩阵是可逆的, 如可逆, 求出其逆矩阵.(a) 22λ2λ111λ1λ1λ1λλ+++??(b) 21010λ1λλ1λ?(c) 5λ125λλ5λ1+??.2. ⽤初等变换求λ-矩阵λ2100λ2100λ2的标准形, 和不变因⼦:。
2010考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --.(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰ .(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k =L ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322xy y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =L 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =L ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分. (20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T . ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)xxy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以dx 收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn ni j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x e -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以2200t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.x t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰. (11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰ ()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰01322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x xc y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()xy x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--．故方程的通解为*212(2)x x xc y y y C e C e x x e =+=+-+．(16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令 12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-, 从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z z y --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由 dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为22T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为,0,22T⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x x +=. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,1000Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1TQ Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---===-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n =31a n=.所以统计量 ()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ-:,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。
2003--2010高等代数真题
2003年高等代数（综合卷）6.(14)设P 是数域,n n P B A ⨯∈,,E 是n 阶单位矩阵.证明:P b a ∈∀,(1)当bB aA +是可逆矩阵时,bB aA B bB aA B b A bB aA A a -=+-+--1212)()(.(2)当bB aA +,bB aA -都是可逆矩阵时, E bB aA B bB aA B b bB aA A bB aA A a =+--+-----112112)()()()(7.(20)设Ax x '是秩为r 的n 元半正定二次型,(1)证明:存在秩为r 的r n ⨯实矩阵C ,使C C A '=. (2)证明:x E A x )(+'是n 元正定二次型.8.(20)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A是数域P 上的n 阶非零矩阵)1(>n (1)求A 的行列式A 和A 的秩. (2)当022221≠=+++k a a a n 时,证明存在n 阶可逆矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001 k AT T . 9.(21)设P 是数域,m n P A ⨯∈,如果m n P X ⨯∈∀规定AX X A :(1)证明A 是数域上线性空间n n P ⨯的线性变换.(2)令},{m n m n O AY P Y Y W ⨯⨯=∈=,证明W 是m n P ⨯的-A 子空间.(3)设秩n r A <=,求W 的维数W dim .2004年 高等代数1.(15)设n a a ,,1 是数域P 上n 个不同的数,解线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----11212111222221212211211n nn n n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x x x . 2.(15)设P 是数域,12)(,3++=∈⨯x x x m P A n n 是A 的最小多项式,求—A ,3.(20) 设P 是数域,n n n ij P a A ⨯∈==),,()(1αα ,nn a 的代数余子式0≠nn A ,(1)证明: n αα,,1 线性无关.(2)当0=A 时,求线性方程组O X A =*的基础解系,其中*A 是A 的伴随矩阵4.(30) 设P 是数域,}{1A A P A V n n ='∈=⨯, }{2是上三角矩阵B P B V n n ⨯∈=,(1)证明: 21V V ，都是n n P ⨯的子空间.(2)证明2121,V V P V V P n n n n ⊕≠+=⨯⨯.5.(30)设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的复根,(1)证明:)(x p 的常数项不等于零.(2)证明:对任意正整数1)),((,=m x x p m (3)设22)(3+-=x x x p ,求51x. 6.(20)设n 元实二次型Ax x x x x f n '=),,,(21 经过正交替换Qy x =(其中Q 是正交矩阵)化为223222132n ny y y y ++++ ，证明: (1)A 的特征值是n ,,2,1 . (2)存在正定矩阵B ,使2B A =7.(20)设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线性变换,0)(,0)(1=A ≠A ∈=αααn n V ，,证明:(1))(,),(),(,12αααα-A A A n 是V 的基.(2)设W 是A 的不变子空间,0,,,,121≠∈a P a a a n ,并且存在向量W a a a a n n ∈A ++A +A +=-)()()(12321ααααβ ,则V W =.2005年 高等代数1.(15)设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵,D 是s s ⨯阶矩阵,A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且r A r M r ==)()(,证明:1D CA B -=.2.(15)设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵,12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax =的线形无关的解,0A β≠,证明12,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.3.(30)设P 是数域,1110{()|,0,1,2,,}n n n n i V f x a x a x a x a a P i n --==++++∈= .(1)证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线性空间.(2)(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线性变换.(3)求线性变换A 在基21,,,,n x x x 上的矩阵.4.(20)设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所有非零的特征值，(1)证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --. (2)求1()E A --的所有特征值.5.(20)设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，（1）证明1A -是n 阶正矩阵；（2）求实的可逆矩阵T ，使得1210000'()00n a a T A B T a -⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,1,2,,.ia i n >= )是对角矩阵，并说明主对角线上的元素6.(20)设()ij A a =是n 阶矩阵，1()nii i Tr A a ==∑是主对角线上的元素之和，22P ⨯表示数域P 上所有2阶构成的集合，22,A P ⨯∀∈规定:()f A Tr A ，(1)证明f 是线性空间22P ⨯线性函数.(2)1112212210000000,,,00011001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22P ⨯的一组基.求22P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-7.(20)设V 是数域P 上的线性变换，A 的最小多项式是2()23,m x x x KerA =--表示A 的核，Im A 表示A的值域，证明：(1)V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵；(2)(3)Im()Ker A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； (3)(3)()V Ker A E Ker A E =-⊕+2006年 高等代数1.(14)计算n 阶行列式:213141111222324221222331323334244142434421234n n n n n n n n n n na a a a a a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a D a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a +++=++,其中120n x x x ≠…. 2.(20)设11112122122212(,,),(,,),(,,),n n r r r rn a a a a a a a a a ααα===…………且12,,αααr …线性无关,12(,,,)n b b b β=….证明:12,,,αααβr …线性相关的充分必要条件是:线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩………的解都是方程11220n n b x b x b x +++=…的解.3.(24)R 是实数域,V 是线性方程组1234513451234512345242470224034440426340x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪+--=⎪⎨-++-=⎪⎪-++-=⎩的所有解构成的集合.(1)证明:V 是5R （列向量组成的空间）的子空间. (2)求V 的基个维数.(3)求V 的正交补V +的基与维数(5R 的内积(,)'αβαβ=).4.(32)设P 是数域,{()[]|()0()}.V f x P x f x f x n =∈=∂<或121210()n n n n f x a x a x a x a V ----∀=++++∈…，规定11:().n n A f x a x --(1)证明A 是V 的线性变换. (2)求A 在基12,,,,1n n x x x --…下的矩阵.(3)求A 在核10A -（）的基. (4)求A 的所有特征值和特征向量.5.(20)设P 是数域,,,.n n A B P C AB BA BC CB ⨯∈=-=，且 证明：(1)对大于1的自然数k,有1k k k A B B A kB C --=.(2)设()f λ是B 的特征多项式,'()f λ是()f λ的微商,则'()0f B C =.6.(20)R 实数域，n n A R ⨯∈,且A 是对称矩阵. (1)证明A 的伴随矩阵*A 也是实对称矩阵.(2)试问A 与*A 合同的充分必要条件是什么?并证明你的结论.7.(20)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n r r εεεεε,,,121 +，，，是V 的基,),,(),(12211n r r V L V εεεεε +==，，，.(1)证明:V 是12,V V 的直和(即12V V V =⊕); (2)设A 是1V 的线性变换,B 是2V 的线性变换,求V 的线性变换C ,使得1V 与2V 的不变子空间，并且C 在1V 与2V 上的限制分别是 12|,|C V A C V B ==2007年 高等代数1.(20)设)(x f 是非零复多项式,用)(x f '记)(x f 的微分(导数)多项式;设)(x d 是)(x f 与)(x f '的最大公因式,设整数1>m .证明:复数c 为)(x f 的m 重根的必要充分条件是c 为)(x d 的1-m 重根.请说明这里为什么要假设1>m ?2.(30)设A 是n m ⨯矩阵,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a 1是线性方程组0=AX 的非零解.证明:(1)如果A 的任何列向量非零,则n a a ,,1 中至少两个非零.(2)如果的A 任何两个列向量线性无关,则n a a ,,1 中至少三个非零.(3)推广(1),(2),你得到什么结论?请证明你的结论.3.(30)对n m ⨯矩阵A ,记A '是A 的转置矩阵.(1)设A 是实矩阵,证明:实线性方程组0=AX 与实线性方程组0)(='X A A 同解.(2)证明:实矩阵A 的秩与A A '矩阵的秩相等.(3)在复数域,上述结论成立吗?为什么?(4)对复数域，你认为应如何修改断言(2)得到一个正确的断言?为什么?4.(20)设A 是实方阵,证明:如果下面三条中的任意两条成立,则另外一条也成立:(1) A 是正交矩阵; (2)A 是对称矩阵; (3) E A =2,其中E 表示单位矩阵.5.(20)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a A 0000的特征根为3,2,1,其中b a ,是实数.求b a ,,并求正交矩阵T 使得AT T '是对角矩阵,其对角线元素依次为3,2,1.6.(30)用C 表示复数域.设A 是n m ⨯复矩阵,设A 的特征多项式)()()(λλλg f A =∆,其中)(λf 与)(λg 互素.在n 维向量空间n C 中,设F 是齐次线性方程组0)(=⋅X A f 的解子空间,G 是齐次线性方程组0)(=⋅X A g 的解子空间,证明: (1) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n n n n C c c c c A f G C c c c c A g F 1111)(,)(; (2)G F C n ⊕=.2008年 高等代数1.(20)以下陈述是否正确?正确的请予以证明,不正确的请举反例(例子的正确性要求论证).(1)有理系数多项式)(x f ,如果在有理数域上不可约,则在任何数域上不可约.(2)两个有理系数多项式)(x f 与)(x g ,如果在有理数域上互素,则在任何数域上互素.{定义1 数域F 上的多项式)(x f 称为在上不可约.如果)(x f 次数大于0而且只要F 上的多项式)(x g 是)(x f 的因式,那么,)(x g 要么与)(x f 相伴,要么与1相伴.定义2 数域F 上的多项式)(x f 与)(x g 称为在F 上互素,如果它们在F 上的最大公因式与1相伴. }2.(20) (1)设B A ,都是n 阶方阵，且O AB =.证明:BA 的秩]2/[n ≤.其中]2/[n 表示不超过2/n 的最大整数(2)对于任意正整数n ,都存在n 阶方阵B A ,满足O AB =而BA 的秩]2/[n =.3.(30)令R 表示实数域,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A .(1)求实矩阵A 的实特征值和实特向量.(2)求3R 中所有的-A 不变子空间(实向量空间3R 的子空间U 称为不变的,如果U Au ∈，U u ∈∀,其中u 写为列向量).4.(30)(1)请叙述什么是实二次型?什么是化实二次型为平方和定理?什么是实二次型的惯性定理?(2)证明实二次型的惯性定理.5.(20)设n 维复向量空间V 的线性变换P 满足P P =2,证明:(1)KerP P V ⊕=Im ,其中P Im 表示P 的像子空间, KerP 表示P 核子空间.(2)像子空间维数trP P =Im dim ,其中trP 表示线性变换P 的迹,即P 的所有特征根(计重数)之和.6. (30)设n 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=E E E E A ,其中E 是n 阶单位矩阵, (1)求A 的特征多项式. (2)求A 的极小多项式. (3) 求A 的约尔当标准形.2009年 高等代数1.(20)设n a a ,,1 是n 个复数,x 是复变元.求x 取哪些复数值时下述等式(等式左边是1+n 阶行列式)成立:011112122221221=n n n n n n n a a a x a a a x a a a x2.(20) 设)(x f 是n 次实系数多项式,设)(x f '是)(x f 的导数多项式,证明:(1)如果r 是)(x f 的m 重根,0>m ,则r 是)(x f '的1-m 重根(若r 是)(x f '的零重根,则表示r 不是)(x f '的根).(2)如果)(x f 的根都是实数,则)(x f '的根也都是实数.3.(20)设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,B 是非零的1⨯m 阶矩阵,考虑线性方程组B AX =,其中X 是变元n x x ,,1 的列向量.证明:(1)线性方程组B AX =的任意有限个解向量n X X ,,1 的向量组的秩1+-≤r n .(2)若线性方程组B AX =有解,则它有1+-r n 个解向量是线性无关的.4.(30)设C B A ,,都是n 阶方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O C B A 是分块构成的n 2阶方阵,其中右下块O 表示n 阶零方阵.(1)证明:)()(C rank B rank O C B A rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里)(B rank 表示B 矩阵的秩. (2)举例说明:(1)中的等号和不等号都可能成立.5.(30)设V 是有限维向量空间,设W U ,是V 两个字空间.(1)什么是U 与W 的和子空间W U +,请叙述关于W U +的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6. (30)设A 是阶实矩阵,si r t +=λ是A 的特征根,其中s r ,是实数,i 是虚数单位.(1)证明:)(21A A '+的特征根都是实数,令n μμ≤≤ 1是)(21A A '+的全部特征根. (2)证明: n r μμ≤≤1.(3)你有类似估计s 的办法吗?2010年 高等代数1.(20)设F 是任意数域,][)(x F x p ∈.证明：)(x p 是不可约多项式当且仅当是)(x p 素多项式.2.(20) (1)设A 是n 阶方阵,E 是单位矩阵,0≠k .证明kA A =2当且仅当n kE A rank A rank =-+)()(.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20)设R 表示实数域,)(3R M V =表示所有33⨯实矩阵构成的向量空间.对给定的)(3R M A =定义在V 上的线性替换V V T A →：为BA AB B T A -=)(,对任意的)(3R M B =.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000A ,求A T 的特征值和相应的特征子空间;并求此时A T 的极小多项式.4.(30)设有三元实二次型xz z y x z y x f 43),,(222+++=,并设z y x ,,满足1222=++z y x .试求f 的最大值和最小值,并求当z y x ,,取什么值时,f 分别达到最大值和最小值.5.(30)设R 是实数域,])1,0([1C V =是闭区间]1,0[上的连续可微函数的集合. V 在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数x e x h x x g x x f ===)(,2)(,cos )(在V 中线性无关.(2)任意给定0>n ,在V 中找出1+n 个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m ,是否有V 和m R 同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6. (30)(1)设A 和B 均为n 阶复方阵,证明:A 与B 相似当且仅当作为-λ矩阵有A E -λ等价于B E -λ.(2)设B A ，都是3阶幂零矩阵,证明: A 相似于B 当且仅当A 与B 有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
2010高等代数考研真题.856答案
2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分）答：1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D) 10.(C)二.（20分）证明下列命题：(1). 如果多项式(),()f x g x 不全为零，证明：()((),())f x f xg x 与()((),())g x f x g x 互素。
(2). 证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠.答：(1).证： 存在多项式(),()u x v x , 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+. (4分)因而()()()()1((),())((),())f x g x u x v x f x g x f x g x +=. (7分)由定理3,()(),1.((),())((),())()f x g x f x g x f x g x = (10分)(2). 必要性：设0x 是()f x 的k 重根。
那么0x 是()f x '的1k -重根，……，是1()k fx -的1重根，是()k f x 的0重根，即不是()k f x 的根，（3分）所以 1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠. （5分）充分性：设1000()()()0k f x f x f x -'==== 而0()0kf x ≠. 设0x 是()f x 的l 重根。
由必要性的证明 1000()()()0l f x f x fx -'==== 而0()0lf x ≠. 从而l k =.(10分)三.（15分）已知行列式12114126211214783D --=. 求13233343A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编
\ 10）设＜4 =（叫/队…，】,）,其中耳为实教” R不全为零，B-A A ,
是
4的转的“则8的全部特征值为， L〔2。分}设况为一复数，且是。[刈中某个非零多顼式的报，令
J = V（X）€ Q[x] |，愆）=0} a
证明；＜D在/中存在唯一的最高轶项系数是1的多项式尸⑴，使p（x）整除J中每一多项
°
Fl 0 ］1
~
A⑵分）设』=0 2 0 ,且施+ E* 4田其中E为三阶单位矩阵,求研 101
3.⑵如设 X为三阶实对祢矩阵，其特征值为；I,=必
=o, %」与
L一
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2
%=］分别是＞1的属于精征值人与石的特征向量。求矩阵元
-2
虫门0胪设尸为教域，/（玖g⑴顷刈，以,弓如尸，且血-加#0,证明
2008年西南大学819高等代数考研真题
西南大学
澎磅年攻读用七学位研究生入学考试试题
硕
学科，专业:摒湖"也
研究方向：&诗帮网佑为向
试题名称：曷驾心妲
试题编号：811
（答题-律做在答题纸上，并注明题忸番号，否则答题无效）
泠意：报汶学衍i n’MlWI.完我I，餐3. 4. 5. 6-境1°暨报引 向的与1「尼成！，2. 3. 4, 5. 6- 7> 8题，监试时问为3小旧’-满分为顷'■
[Q 0 0 1 . (6)给定尸'中的线性变换4如下：
A -. (x)ix1,x3)h>(2xi -xz,x2 +x^2xt +Xj)
则 KeM ="
（7）令4为V的正交变换.。=（2,0厂1厂2）为4的一个特征向街 则
（Aav Aa）=.
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2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
2．（30分）设 ， ，求 。
3．（30分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。 是T的互不相同的特征值， 是T的特征子空间，且 。W是V的T不变子空间。证明：W的每个向量 可唯一表成 ，其中 。
4．（20分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。证明：存在V的线性变换S使得TST=T。
5．（20分）设A为n阶实对称阵，B为n阶实矩阵，且 的特征值全大于零，其中 为B的转置。证明：A可逆。
6．（10分）设X，B0为n阶实矩阵，按归纳法定义矩阵序列
。
证明：如果 ，那么 。
1．填空题（每小题8分，共40分）
（1）每一行和每一列只有一个元素为1其余元素全为零的n阶行列式 共有个，所有这些行列解，则k=。
（3）设 为复数域上两个最高次项系数为1的不同的3次多项式，若 ，则 =。
（4）n元实二次型 的标准形（平方项的系数为1或 ）是。
（5）在Euclid空间Rn中定义变换A：
A ，
其中 为单位向量，k为实数。若A为正交变换，则k=。