15.等积变形-教师版

第15讲 等积变形第一部分：知识介绍我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

但是，当三 角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。

同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等。

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACDBCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③ABCD S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果． 模型三：鸟头定理：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A在ABC ∆中，点E 是AB 上的n 等分点，AE AB n =÷；点F 是AC 上的m 等分点，AF AC m =÷，那么ABCAEF ABC S S S n m n m=÷÷=⨯V V V 。

AB CS 4S 3S 2S 1O DCBA _ A _ B_ C _ D_ O _b _a _ S _3_S _2_S _1 _S _4模型四：燕尾定理：在ABC ∆中，D 、E 、F 是三边上的任意三点，AF 、BE 、CD 相交于点O 。

那么有：OFEDCBA:::AOB AOC BFO CFO S S S S BF CF ==V V V V :::AOC BOC AOD BOD S S S S AD BD ==V V V V:::BOC AOB COE AOE S S S S CE AE ==V V V V上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.第二部分：例题精讲【例 1】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长为BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？GADBCE F【考点】等积变形【解析】连接AG （我们通过ABG ∆把长方形和正方形联系在一起）∵在正方形ABCD 中，G 2AB S AB AB ∆=⨯÷，∴ABG ABCD S S 2∆=÷（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，ABG EFGB S S 2∆=÷。

那么，ABCD EFGB S S =，即：8810⨯=⨯宽， 那么：宽 6.4=厘米。

FE CBDAG【答案】宽 6.4=厘米【例 2】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ABEC【考点】等积变形【解析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=，又∵2DC BD =,∴1.5BC DC =,1.56120ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）【答案】120平方厘米【例 3】如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．A【考点】等积变形【解析】连接CD．根据题意可知，DEF∆的面积为DAC∆面积的13，DAC∆的面积为ABC∆面积的12，所以DEF∆的面积为ABC∆面积的111236⨯=．而DEF∆的面积为5平方厘米，所以ABC∆的面积为15306÷=(平方厘米)。

【答案】30平方厘米【例 4】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿平方厘米。

【考点】等积变形【解析】如图所示：设AC与ED的交点为M，AC与FD的交点为N，D722312MNS∆=÷÷=平方厘米，722326AME CNFS S∆∆==÷÷÷=平方厘米，72126648S=---=阴平方厘米MNEDCB【答案】48平方厘米【例 5】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【考点】蝴蝶定理MFEDCBAN【解析】如右图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母。

因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有ADE DECS S V V=AE EC ，所以ADE S V =AE EC ×6。

同理有ABEBCES S V V =AE EC ，所以ABE S V =AE EC ×7。

所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7． 又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷)。

所以ADE S V =767+×39=18(公顷)， ABE S V =767+×39=21(公顷)。

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【答案】21公顷【例 6】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【考点】蝴蝶定理【解析】三角形BEF 的面积 = BE ×EF ÷2，梯形EFDC 的面积 =（EF+CD ）×CE ÷2= BE ×EF ÷2 = 三角形BEF 的面积， 而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以三角形DHF 的面积 = 三角形BCH 的面积， 可得阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积= 10×10÷2=50（平方厘米）。

【答案】50平方厘米【例 7】（2010年上外口试题）如图，ABCD是梯形，AB∥CD，对角线AC BD、相交于O 点，OE∥AB，交腰BC于E点。

如果三角形OBC的面积是2115cm，那么三角形ADE的面积是（）2cm。

EOD CBA【考点】蝴蝶定理【解析】根据梯形蝴蝶定理，可得2115COB DOAS Scm==V V，在梯形DOEC中，DOE COES S=V V，在梯形OEBA中，AOE OEBS S=V V，所以2115DOE AOE COE OEB COBS S S S S cm+=+==V V V V V，所以三角形ADE的面积为2115115230cm+=。

【答案】230平方厘米【例 8】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】鸟头定理【解析】如下图，连接BD，ED，BG，有V EAD、V ADB同高，所以面积比为底的比。

有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V。

同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V。

类似的，还可得V6FCG BCDS S=V V，有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米。

连接AC，AF，HC，还可得6EFB ABCS S=V V，6DHG ACDS S=V V，有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+=V V V V =30平方厘米。

有四边形EFGH 的面积为V EAH,V FCG,V EFB,V DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米)。

【答案】65平方厘米【例 9】（2008年上外口试题）如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【考点】蝴蝶定理【解析】连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则V BFE 的面积与黄色V CDE 的面积相等为6。

6636FED BCE BFE CDE S S S S ⨯=⨯=⨯=V V V V ，所以3649BCE S =÷=V 。

9615BCD BEC CDE S S S =+=+=V V V 。

又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABD BCD S S ==V V 。

所以FED 15411ABD S S S =-=-=V V 绿色四边形ABEF 红色。

绿色四边形面积为11平方厘米。

【答案】11平方厘米【例 10】图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49。

那么图中阴影部分的面积是______。

493513②①133549【考点】等积变形【解析】设阴影部分面积是S 。