正弦定理和余弦定理的综合应用

(1)求角B的大小；
（2）若b 13, a c 4,求ABC的面积
C
c 2RsinC
2Rsin(A B)
A
B
2Rsin Acos B 2RsinBcos A
a cos B bcos A
同理可证：b a cosC c cos A , a bcosC c cos B ,
4sinB sinC 1 4sinB sin(120 B) 1
4sinB(sin120 cos B cos120 sinB) 1 4sin B( 3 cos B 1 sin B) 1
2
2
3 sin2B 2sin2 B 1 3 sin2B cos 2B
例.已知三角形的三边为1，2，a,若三角形为锐角 三角形，求a的范围。
a·a2＋2ba2b－c2＝3b2＋2cb2c－a2c，化简并整理得： 2(a2－c2)＝b2. 又由已知a2－c2＝2b， ∴4b＝b2. 解得b＝4或b＝0(舍)．
法二 由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a2－c2＝2b，b≠0.
所以b＝2ccos A＋2.①
知识小结
三角形性质
1、A B C
2、大边对大角，大角对大边
3、判断三角形形状：统一看边；或统一看角
4、如无特别说明，△ABC的边BC、AC、
AB分别用a、b、c 表示。
5.正弦定理和余弦定理
• 1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定 理，它将三角形的边和角有机地联系起来， 从而使三角形与几何产生联系，为求三角 形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的 半径等提供了理论基础，也是判定三角形 的形状，证明三角形中有关等式的重要依 据.
tan 2B 3 2B 30 或 2B 210 3 B 15 或 B 105
由于 B C 120 且 B C 60 B 120
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B 105 ，C 180 ( A B) 15 .
在ABC中，角A，B，C 所对的边分别
所以cos A b2 c2 a2 1，
2bc
2
所以A 120，又sin C 2 且C为锐角， 2
所以C 45，所以B 180 A C 15，
综上可知，A 120，B 15，C 45.
在ABC中，a,b, c分别是角A, B,C的对边，且 cos B b cos C 2a c
1
为a，b，c，已知B C，2b 3a， 求cos A的值；
3
在ABC中，角A，B，C 所对的边分别 为a，b，c，已知 cos A 2 cos C 2c a ，求 sin C 的值；
2
cos B
b
sin A
在ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍， 求此三角形的三边长。
a、b、c，sin C 2 ，c bsin2 A b sin2 B c sin2 C，
2 求角A、B、C.
解析： 由c bsin2 A b sin2 B c sin2 C， 得c b a2 b3 c3，
所以c b a2 b c b2 bc c2 0， 即c b b2 bc c2 a2 0，
在ABC中，已知 4sin B sin C 1，b2 c2 a2 bc， 且 B C ，求 A、B、C .
解：由余弦定理，cos A b2 c2 a2 bc 1
2bc 2bc 2 0 A 180， A 60 . B C 120
b、c，求证： c2 ＝ sin C .
sin A cos B －cos A sin B 证明 右边＝
sin C
a2＋c2－b2
b2＋c2－a2
a·
－b·
2ac
2bc
＝
c
a2－b2
a2－b2 sin(A －B )
＝
＝左边．所以
＝
.
c2
c2
sin C
例.判断满足下列条件的三角形的形状 (1)a 2bcos C (2)a c sin A,sinC 2sin Asin B (3)b2 tan A a2 tan B (4)a cos A bcos B c cosC
所以b c或b2 bc c2 a2 0， 当b c时，有B C，所以C为锐角，
解析：又sin C 2 ，所以B C 45， 2
所以A 90，这与ABC为钝角三角形矛盾．
当b2 bc c2 a2 0时，b2 c2 a2 bc，
在 ABC 中，A最大，C 最小，且 A 2C，a c 2b，求此三角形的三边之比。
在ABC中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边， 如果（a2 b2 ) sin( A B) （a2 b2 ) sin( A B),判断 三角形的形状
【变式3】在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A， 判断△ABC的形状． 解 法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为
∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A，
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
∴A＝B或A＋B＝
π 2
，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【变式4】在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b. 解 法一 在△ABC中， ∵sin Acos C＝3cos Asin C， 则由正弦定理及余弦定理有：
• 2.三角形中的恒等式或三角形的形状判 断等问题，要注意根据条件的特点灵活 运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个 方向进行变形，一个方向是边，走代数 变形之路，通常是正弦定理、余弦定理 结合使用；另一个方向是角，走三角变 形之路，主要是利用正弦定理.
1.钝角ABC的三内角A、B、C所对的边分别为
a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a，整理得：(a2＋ b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
法二 由正弦定理，原等式可化为
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C，
sin(A＋C)＝4cos Asin C，
即sin B＝4cos Asin C，
由正弦定理得sin 由①②解得b＝4.
B＝
b c
sin
C，故b＝4ccos
A．②
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、 a2－b2 sin(A－B)