2014中考二次函数总复习(精品课件1)

中考语录
中考是人生的第一 个十字路口，车辆很多 ，但要勇敢地穿过去。
一般地，函数 y ax2 bx c(其中a, b, c是常数， a 0)叫做关于x的二次函数。
1. 自变量的最高次数是2。 2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数解析式必须是整式。
二次函数的解析式y=ax² +bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0)
2
巩固一下吧！
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是:x=- 2a 2 (3)顶点坐标是:(-2a , 4ac-b ) 4a (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
图 26.2.4
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前进
(二) 函数性质：
（1） a>0时，对称轴左侧(x<-2a)， 函数值y随x的增大而减小 ；对称轴 右侧(x>- )，函数值y随x的增大而 2a 增大 。 a<0时，对称轴左侧(x<- 2a)， 函数值y随x的增大而增大 ；对称轴 右侧(x>- 2a )，函数值y随x的增大而 减小 。
当
驶向胜利 的彼岸
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
它是二次函数？
2 m m2 0 若是二次函数，则 m 2 2 且
2
∴当 m 2 时，是二次函数。
驶向胜利 的彼岸
二次函数的三种解析式
使用
解析式
一般式
范围
y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
思考：
求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛 物线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式
小结
1、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称 的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c 2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称 的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c
(3)a、b确定对称轴 ab>0
x
b x=- 2a
的位置:
ab=0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab<0
0
•(x,0)
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
Δ>0
Δ=0
Δ<0
0 0
•(x•,0) • (x ,0) (x,0)
x
1 2
x
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 2 – 4ac > 0 b (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性
最值
当x=h时,最小值为k.
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 2 – 4ac > 0 b (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
小结
(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个 根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0) （2） 抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标 是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为X1,X2 X1+X2= X1X2=
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成 的面积 例1:填空： (1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐 (0,2) 标是____________ ，与x轴的交点 (1,0)和(2,0) 坐标是____________ ； (2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交 (0,-3) 点坐标是____________ ，与 x 轴的 3 (1,0)和(2 ,0) 交点坐标是____________ ．
当x=h时,最大值为k.
a、b、c、 △、的符号与图像的关系
yy
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c<0 y y c>0 c=0
xx
00 0
0 0
•(0,c) • (0,0) •(0,c)
x x
b y x=- b 2a b y x=x=- y 2a2a
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), C 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
3、解答题：
已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且 图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。
D
答案: B
前进
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
2.选择
c (1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1的________________ B A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最 高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
思考：下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的， 请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) y 2 x 3 是 a 2, b 0, c 3 1 2 (2) y x 3 不是，因为不是整式 x
前进
例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4
y ×
(-8)=36>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0
2 （2） a>0时，ymin= 4ac-b 4a
图 26.2.4
a<0时，ymax= 4ac-b2
4a
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
解 解 :: 解 解
• • •• •• • • •• • ••• •
巩固练习:
1、填空：
2-x-6的图象顶点坐标 （1）二次函数 y=x 25 1 1 x= — （—，-— 2 是___________ 对称轴是_________ 。 4） 2 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 （0，0）（2，0） 是___________ 1 2 （3）已知函数y=—x -x-4，当函数值y随 2 x的增大而减小时，x的取值范围是 x<1 ___________ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 2 。 经过原点，则m= ____
A P B x
解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 前进 而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质判定函数图象之间 的位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y
O
x O
x x O O x
A
B
C
1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0 ？ x=-1 1 :(5) yy 3 （ 1 ）∵ a= — >0 (6) (2)由x=0，得 y= — x=-1 2 2 (3) ：（4）由对称性可知 当x≤-1时，y随 x的增大 (1,0) x 由图象可知 2 2=2√2 3(-3,0) MA=MB=√2 +2 ①画对称轴 (1,0) x 抛物线与 - -2 —） (-3,0) ∴抛物线的开口向上 而减小 ; y轴的交点C（0， B(1,0) 0 (1,0) x (-3,0) A(-3,0) AB=|x -x |=4 当 -3 < x < 1 时， y < 0 D x 1 2 ②确定顶点 0 前进 当 x=-1 时， y有最小值为 1 1 3 1 ∴ ΔMAB 的周长 =2MA+AB 2 3 2 2 0 当 x< -3 或 x>1 时， y > 0+x- — 前进 由 y=0 ，得 — x =0 ∵ y= — (x +2x+1)-2= — (x+1) -2 ③确定与坐标轴的交点 (0,– ) y =-2 3 2 2 2 2 前进 最小值 2 =2 √2 × 2+4=4 √2+4 x =-3 x =1 (0,– ) 3 3 及对称点 1 2 2 1 (-1,-2) (0,-– C(0,–) ΔMAB 的面积 =（ — AB × MD 2) 与 x 轴交点 A -3 ， 0 ） B （ 1 ， 0 ） ∴对称轴 x=-1 ，顶点坐标 M （ -1 ， -2 ） (-1,-2) 2 2 1 ×4×2=4 ④连线 (-1,-2) M(-1,-2) =— 2
已知任意 三个点 已知顶点（h,k) 及另一点
已知与x轴的两 个交点及另一 个点
顶点式
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
小结：各种形式的二次函数的关系
y = a( x – h ) 2 + k
左 右 平 移
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2 形状相同,位置不同。
注意:当二次函
数表示某个实际 问题时,还必须根 据题意确定自变 量的取值范围.
想一想:函数的 自变量x是否可 以取任何值呢?
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示 形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
2
(8) y 0.5x 1
2
(10) x y 5
2 2
1，函数 y ax bx c （其中a、b、c为常数）， 当a、b、c满足什么条件时，
2
（1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；
a 0 时，是二次函数； 当 a 0, b 0 时，是一次函数； 当 a 0, b 0, c 0 时，是正比例函数；