昆明理工大学材料力学A80学时习题册
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2.4 一阶梯形立柱受力如图示， F1=120kN， 2 分别是 A 1 =
2 ×10 4 mm 2 ，2 A = 2.4 ×10 4 mm 23, A = 4 ×10 4 mm 2 ,试求：(1)各段
F2=60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积
横截 面上的正应力；（2）杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 F1
∑
= 0
FS 1 (1 − 0 2 .2 2 a ) = ≤ τ A 0.2 t × F = [τ (1 − 0.2 4 2 a2 t 0.0926 m = 92 .6 ⇒ ≥ = ] )F mm 0.2 × 4 × 取 t = 96mm [τ ]
第三章
四、计算题 3.2
扭转
图示一阶梯形传动轴，上面装有三个皮带轮。主动轮Ⅰ输出的功率为
解：设木材承受的轴力为 FNw，每个等边角钢承受的轴力为 FNs
3
F
F
(a ) FNw + 4FNs − F = 0 F l 0 FNwl l= s 由 Δw ⇒ = Ns Ew Aw Es As Δl
∑Y =
为 1 次超静定问题
⇒
FNs Es As = FNw Ew Aw
查附录ⅡP393，每个等边角钢的横截面积 As =3.086cm2 。 FNw 4FNs
α
n
[σσ] sin 2α = = τ α = 2
⇒ α = sin 2α = 2 ⇒ α = 26 .57 0
由： σ ⇒ F≤
α ⇒ 取 [F ] = 50 kN
] [σ cos ]⋅ 2A
α =≤
[σ
= 50 kN
[τ ] 2 2 cos
[σ [τ ] ]
2.7* 木制短柱的四角用四个 40mm×40mm×4mm 的等边角钢固定。已知角钢的许用应力 [σ]钢=160 MPa，E 钢 =200 GPa；木材的许用应力[σ]木=12 MPa，E 木=10 GPa。试求许可 载荷 F。
F
F
由（2.24）式： 40 Fbs F σ = = 3 bs = ×10 Abs cb 0.045 × 0.12
5
2.12
图示凸缘联轴节传递的力偶矩为 m =200N· m，凸缘之间由四只螺栓联接，螺栓内径 d
=10mm，对称地分布在 D0 = 80mm 的圆周上。如螺栓的剪切许用应力[τ]= 60 MPa，试校核螺 栓的剪切强度。 n m
FBC
C
解：取整体为研究对象；
钢
∑Y =
30
o
⇒ FBC = 2 F
⇒ FAB = 3F 3FBC 2 =
FAB
A
木
B x F
0
y
∑X =
0
⇒ F≤ 40.4kN
σ = σ =
AB
FNAB ≤ A1 FNB AC 2
BC
[σ ≤ ]1[σ ]2
⇒ F ≤= 48kN
∴ [F ] = 40 .4 kN
解：欲使刚性板保持水平位置，FNs 和 FNi 应分
A
别作 用在各自截面的形心（如图）且△ls=△li
∑Y =
F Ns + F Ni − F P = 0
(a)
0 为 1 次超静定问题；
y
⇒ FNs FNi
由 Δsl = l Es Δ F Ns
F Ni = Ei
i
⇒
F Ns l F l = Ni E sA E iA
2 2 F S = (1 − a b )F ≤ τ A 4at = τ [ ] (1 − a 2 = 0.0955 m = 95 .5mm b 2) F 4a [τ ]
6
对上层基础如图：
F t
2 ⇒ q1 = F a
Fs1
q1 200mm
0.22q1 + FS1 − F = 0 0.22 Y 2 F F 0.2 q (1 ⇒ S1 = − − 2 )F 1= a
FNw 0.717F ≤ = Aw Aw
木
⇒ F≤
A0.717 [σ ] ⇒ F ≤ 钢 s = 697.5kN 0.071 A
杆∴为 钢F 制
[σ 木 ] =1046kN
w
]
[
]
、2 杆的横截面面积 =，
A
3
已 知.5 k1N 2 = 800 mm ；1、2 杆的许用应力 =6A4 97
[σ]木=20MPa，3、4 杆的许用应力[σ]钢=120MPa，试求结构的许用载荷[P].
⇒ F ⇒ F
N4
(FNs )max = FN3 = 5P
σ w max =
(F Nw )max
Aw ( FNs )max σ s max = As
4P = ≤ 木 3A1 [ σ 5 F ] ≤ 钢 = 3A3 [σ
[σ ] ⇒ P ≤ 木 1 = 60kN 3A 4
⇒
3
[σ ]钢 = P≤
3A35 57.6kN
2m
解：设各杆均受拉；先取销钉 B 为研究对象；
C
FN4
C θ B P
y
D
4
FN3 FN2
FN1
FN3
5m
3m
2 A 3 1B
∑Y = 0 X= ∑
P
⇒ FN 3 = 5P 3 ⇒ FN1 = − 4P = 4P 3 = −P N2
0 3 取销钉 C 为研究对象；
x
θ4m
∑X =
0 0
YNw = )max = FN1 = −4P 3 (F ∴ ∑
A 450 B
C
F
2-2 截面：
0
M1 FN1 FS1
FB
1
C B
∑
0
X1 =
1
FB
⇒ FN 2 = −F,B = −2 2F
第二章
四、计算题 2.2 d=36mm，
拉伸、压缩与剪切
图示等截面直杆由钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处粘接而成。直杆各部分的直径均为
受力如图示。若不考虑杆的自重，试求 AC 段和 AD 段杆的轴向变形量 Δl AC 和 Δl AD 。
= 15 .92 MPa ≤ 60 MPa
[τ ]
=
2.13* 图示正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为 200mm，浇注在混凝土基础上。基础 分两层，每层厚为 t，上层基础为边长 a=300mm 的正方形混凝土板。下层基础为边长 b=800mm 的正方形混凝土板。柱承受轴向压力 F=200kN，假定地基对混凝土板的反力 均匀分布，混凝土的许用剪应力 t 值。
P1 = 50kW，从
动轮Ⅱ传递的功率为
动轮Ⅲ传递的功率为 P3 = 20 kW，轮轴作匀速转 动，转速 n = 200 r∕min 。试作轴的扭矩图。
Ⅰ
A 1m B 0.3m
P2 =30 kW ，从
Ⅱ
Ⅲ
C 0.5m
（ —）
954.9Nm
2387.3Nm
7
1
F2
1
F2
2
F2 3
2
F2 3
∴σ1 = A1 = −6MPa FN 1 A2 = σ 2 = FN = MPa −9MPa σ 10 −3 3 = N3 A F
杆内横截面上的最大正应力（压应力）为：
2
σc max = σ 2
= 10MPa
作用在中段(2-2)横截面上。
2
2.5 在图示简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆 AB 横截面积 A1=100 cm2，许用应力 [σ]1=7MPa；钢杆 BC 的横截面积 A2=6 cm2，许用拉应力[σ]2=160MPa。试求许可吊重 F。
第一章
绪论
四、计算题 1.2 求图示结构中 1-1 和 2-2 截面的内力，并在分离体上画出内力的方向。
a a 2a
F
解：取 ABC 杆为研究对象：
A
2a 2
1 1
2
C
B
2 2
F
B
∑M
B
A
= 0
’
x1
1-1 截面：
FN2
a a 2a
F
y x
a 2a
∑ X= 0 ∑Y = 0 ∑M =
C1
⇒ FB = 2 2F ⇒ FN 1 = 2F ⇒ F s1 = −F ⇒ M1 = −aF
解： QF = pπ ( D2 −1 d 2 ) p 4 2 F ∴活塞杆的轴力：FN杆 = F = pπ ( D2 − 1 d d1 D )4 2 2 每个螺栓的轴力：FN螺 = F 6 = pπ ( D − 1 d ) 24 2 2 2 2 FN杆 pπ (2D − − [ σ 1 d ) 1D 杆 ]1 σ σ ] ⇒ p≤ 2 = ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 杆 d 2 2 A杆 = 4 ×π d1 Dd − d ⋅ 1 18.1MPa = = d 1 p≤ 杆 2 4 ( 2 [ FN螺 − pπ D 螺 6[ 1 1 p≤ 螺 = ⇒ p≤ σ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 螺 = 2 2 = 22 2 D −σ d 24×π 6dd A螺 − d Dd 1 6.5MPa 2 [σ ] 4 2 ] ) ∴最大油压 pmax = 6.5MPa ⋅ d
4
∴ [P ] = 57 .6 kN
]
2.9 * 图示组合柱由钢和铸铁制成，组合柱横截面是边长为 2b 的正方形，钢和铸铁各占横截 面的一半（ b × 2b ）。载荷 FP 通过刚性板沿铅垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹 性模量分别为 Es=196GPa，Ei=98.OGPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位 置 x 应为多少。
= 2
⇒ F Ns = 2 F Ni
FNi = FP 3
代入（a）式得：
FNs = 2FP 3
∑M
0
A
=
b
FNs + (b + 2
b
)FNi − xFP = 0 2
Leabharlann Baidu
⇒
b2FP 3b F + ( ) P − xF P = 0 2 3 2 3 b b ⇒ x= 5b ⇒ + − x= 0 3 2 6
2.10 试校核图示连接销钉的剪切强度。已知 F =100kN，销钉直径 d =30 mm，材料的许用剪 应力[τ]= 60 MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？
D0
FS
m
m
解：假想沿 n-n 面切开，取右半部分为 研究对象并作左视图。由对称性可知， 每个螺栓所受的切力相等，设为 Fs。
o
∑
0
截面 n-n
M0=
FS×
= 0
D0 × − 4 m 2
= 1.25kN
n
⇒ F S =
m 200 = 2D0 2 × 0.08
F 4 Fs 4 × ∴τ = s = = 1250 A πd 2 π × 0.012
[τ]
= 1.5MPa ，试计算为使基础不被剪坏所需的厚度
F
四个可能的剪切面如图中红线所示 对下层基础如图：
F
y
⇒ q= F
a b t q a t t
b2
q
F
qa 2 + FS − F = 0 2 a2 Y ⇒ FS = F − qa = (1− 2 b )F 由（2.23）式：
∑
= 0
Fs
⇒ t≥
l Δ =
AC
1
2.3 卧式拉床的油缸内径 D=186 mm，活塞杆直径 d1=65 mm，材料为 20 Cr 并经过热处理，[σ]
杆
=130 MPa。缸盖由六个 M20 的螺栓与缸体连接，M20 螺栓内径 d=17.3 mm，材料为 35 钢， 经
热处理后[σ]螺=110MPa。试按活塞杆和螺栓的强度确定最大油压 p。
解：Q FNBC = FNCD = F p 2 = 100 kN
FNAB = F p1 + F p 2 = 150 kN
由构件的胡克定律（2.13）式：
FNABlAB FNBClBC = 2.95 mm + ES A ES A FNCDlCD = ΔAD = AC + CD = AC + EC A l Δl Δl Δl 5.29mm
2.6 图示拉杆沿斜面 m-n 由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力[σ]=100 MPa，许用 剪应力[τ]=50 MPa。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。试问：为使杆件承受最大拉力
F，α角的值应为多少？若杆件横截面积为 4cm2，并规定α≤600，试确定许可载荷 F。
m F F
σ
α
2 = σ cos α
F F
FF F
d ≥ 0.0326 m = 32 .6 mm
2.11 木榫接头如图所示。a = b =12 cm，h =35 cm，c =4.5 cm。F = 40 kN。试求接头的剪切、 挤压应力。 F F
F F τ = s = = A hb
40 ×10 = 0.952 MPa 3 0.35 × 0.12 = 7.407MPa
y
∴
FNs = ⋅⋅⋅ = ⇒ FNs = 0.1FNw 代入（a）式得： FNw 0.1 FNs = 0.071F FNw = 0.717F
σ w =
[σ FNs 0.071F ≤] 钢 σ = s = As As [σ
2.8 图示的杆件结构中 1、2 杆为木制，3、4 A1 = A2 = 4000 mm 2 ,3、4 杆的横截面面积
2 ×10 4 mm 2 ，2 A = 2.4 ×10 4 mm 23, A = 4 ×10 4 mm 2 ,试求：(1)各段
F2=60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积
横截 面上的正应力；（2）杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 F1
∑
= 0
FS 1 (1 − 0 2 .2 2 a ) = ≤ τ A 0.2 t × F = [τ (1 − 0.2 4 2 a2 t 0.0926 m = 92 .6 ⇒ ≥ = ] )F mm 0.2 × 4 × 取 t = 96mm [τ ]
第三章
四、计算题 3.2
扭转
图示一阶梯形传动轴，上面装有三个皮带轮。主动轮Ⅰ输出的功率为
解：设木材承受的轴力为 FNw，每个等边角钢承受的轴力为 FNs
3
F
F
(a ) FNw + 4FNs − F = 0 F l 0 FNwl l= s 由 Δw ⇒ = Ns Ew Aw Es As Δl
∑Y =
为 1 次超静定问题
⇒
FNs Es As = FNw Ew Aw
查附录ⅡP393，每个等边角钢的横截面积 As =3.086cm2 。 FNw 4FNs
α
n
[σσ] sin 2α = = τ α = 2
⇒ α = sin 2α = 2 ⇒ α = 26 .57 0
由： σ ⇒ F≤
α ⇒ 取 [F ] = 50 kN
] [σ cos ]⋅ 2A
α =≤
[σ
= 50 kN
[τ ] 2 2 cos
[σ [τ ] ]
2.7* 木制短柱的四角用四个 40mm×40mm×4mm 的等边角钢固定。已知角钢的许用应力 [σ]钢=160 MPa，E 钢 =200 GPa；木材的许用应力[σ]木=12 MPa，E 木=10 GPa。试求许可 载荷 F。
F
F
由（2.24）式： 40 Fbs F σ = = 3 bs = ×10 Abs cb 0.045 × 0.12
5
2.12
图示凸缘联轴节传递的力偶矩为 m =200N· m，凸缘之间由四只螺栓联接，螺栓内径 d
=10mm，对称地分布在 D0 = 80mm 的圆周上。如螺栓的剪切许用应力[τ]= 60 MPa，试校核螺 栓的剪切强度。 n m
FBC
C
解：取整体为研究对象；
钢
∑Y =
30
o
⇒ FBC = 2 F
⇒ FAB = 3F 3FBC 2 =
FAB
A
木
B x F
0
y
∑X =
0
⇒ F≤ 40.4kN
σ = σ =
AB
FNAB ≤ A1 FNB AC 2
BC
[σ ≤ ]1[σ ]2
⇒ F ≤= 48kN
∴ [F ] = 40 .4 kN
解：欲使刚性板保持水平位置，FNs 和 FNi 应分
A
别作 用在各自截面的形心（如图）且△ls=△li
∑Y =
F Ns + F Ni − F P = 0
(a)
0 为 1 次超静定问题；
y
⇒ FNs FNi
由 Δsl = l Es Δ F Ns
F Ni = Ei
i
⇒
F Ns l F l = Ni E sA E iA
2 2 F S = (1 − a b )F ≤ τ A 4at = τ [ ] (1 − a 2 = 0.0955 m = 95 .5mm b 2) F 4a [τ ]
6
对上层基础如图：
F t
2 ⇒ q1 = F a
Fs1
q1 200mm
0.22q1 + FS1 − F = 0 0.22 Y 2 F F 0.2 q (1 ⇒ S1 = − − 2 )F 1= a
FNw 0.717F ≤ = Aw Aw
木
⇒ F≤
A0.717 [σ ] ⇒ F ≤ 钢 s = 697.5kN 0.071 A
杆∴为 钢F 制
[σ 木 ] =1046kN
w
]
[
]
、2 杆的横截面面积 =，
A
3
已 知.5 k1N 2 = 800 mm ；1、2 杆的许用应力 =6A4 97
[σ]木=20MPa，3、4 杆的许用应力[σ]钢=120MPa，试求结构的许用载荷[P].
⇒ F ⇒ F
N4
(FNs )max = FN3 = 5P
σ w max =
(F Nw )max
Aw ( FNs )max σ s max = As
4P = ≤ 木 3A1 [ σ 5 F ] ≤ 钢 = 3A3 [σ
[σ ] ⇒ P ≤ 木 1 = 60kN 3A 4
⇒
3
[σ ]钢 = P≤
3A35 57.6kN
2m
解：设各杆均受拉；先取销钉 B 为研究对象；
C
FN4
C θ B P
y
D
4
FN3 FN2
FN1
FN3
5m
3m
2 A 3 1B
∑Y = 0 X= ∑
P
⇒ FN 3 = 5P 3 ⇒ FN1 = − 4P = 4P 3 = −P N2
0 3 取销钉 C 为研究对象；
x
θ4m
∑X =
0 0
YNw = )max = FN1 = −4P 3 (F ∴ ∑
A 450 B
C
F
2-2 截面：
0
M1 FN1 FS1
FB
1
C B
∑
0
X1 =
1
FB
⇒ FN 2 = −F,B = −2 2F
第二章
四、计算题 2.2 d=36mm，
拉伸、压缩与剪切
图示等截面直杆由钢杆 ABC 与铜杆 CD 在 C 处粘接而成。直杆各部分的直径均为
受力如图示。若不考虑杆的自重，试求 AC 段和 AD 段杆的轴向变形量 Δl AC 和 Δl AD 。
= 15 .92 MPa ≤ 60 MPa
[τ ]
=
2.13* 图示正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为 200mm，浇注在混凝土基础上。基础 分两层，每层厚为 t，上层基础为边长 a=300mm 的正方形混凝土板。下层基础为边长 b=800mm 的正方形混凝土板。柱承受轴向压力 F=200kN，假定地基对混凝土板的反力 均匀分布，混凝土的许用剪应力 t 值。
P1 = 50kW，从
动轮Ⅱ传递的功率为
动轮Ⅲ传递的功率为 P3 = 20 kW，轮轴作匀速转 动，转速 n = 200 r∕min 。试作轴的扭矩图。
Ⅰ
A 1m B 0.3m
P2 =30 kW ，从
Ⅱ
Ⅲ
C 0.5m
（ —）
954.9Nm
2387.3Nm
7
1
F2
1
F2
2
F2 3
2
F2 3
∴σ1 = A1 = −6MPa FN 1 A2 = σ 2 = FN = MPa −9MPa σ 10 −3 3 = N3 A F
杆内横截面上的最大正应力（压应力）为：
2
σc max = σ 2
= 10MPa
作用在中段(2-2)横截面上。
2
2.5 在图示简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆 AB 横截面积 A1=100 cm2，许用应力 [σ]1=7MPa；钢杆 BC 的横截面积 A2=6 cm2，许用拉应力[σ]2=160MPa。试求许可吊重 F。
第一章
绪论
四、计算题 1.2 求图示结构中 1-1 和 2-2 截面的内力，并在分离体上画出内力的方向。
a a 2a
F
解：取 ABC 杆为研究对象：
A
2a 2
1 1
2
C
B
2 2
F
B
∑M
B
A
= 0
’
x1
1-1 截面：
FN2
a a 2a
F
y x
a 2a
∑ X= 0 ∑Y = 0 ∑M =
C1
⇒ FB = 2 2F ⇒ FN 1 = 2F ⇒ F s1 = −F ⇒ M1 = −aF
解： QF = pπ ( D2 −1 d 2 ) p 4 2 F ∴活塞杆的轴力：FN杆 = F = pπ ( D2 − 1 d d1 D )4 2 2 每个螺栓的轴力：FN螺 = F 6 = pπ ( D − 1 d ) 24 2 2 2 2 FN杆 pπ (2D − − [ σ 1 d ) 1D 杆 ]1 σ σ ] ⇒ p≤ 2 = ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 杆 d 2 2 A杆 = 4 ×π d1 Dd − d ⋅ 1 18.1MPa = = d 1 p≤ 杆 2 4 ( 2 [ FN螺 − pπ D 螺 6[ 1 1 p≤ 螺 = ⇒ p≤ σ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 螺 = 2 2 = 22 2 D −σ d 24×π 6dd A螺 − d Dd 1 6.5MPa 2 [σ ] 4 2 ] ) ∴最大油压 pmax = 6.5MPa ⋅ d
4
∴ [P ] = 57 .6 kN
]
2.9 * 图示组合柱由钢和铸铁制成，组合柱横截面是边长为 2b 的正方形，钢和铸铁各占横截 面的一半（ b × 2b ）。载荷 FP 通过刚性板沿铅垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹 性模量分别为 Es=196GPa，Ei=98.OGPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位 置 x 应为多少。
= 2
⇒ F Ns = 2 F Ni
FNi = FP 3
代入（a）式得：
FNs = 2FP 3
∑M
0
A
=
b
FNs + (b + 2
b
)FNi − xFP = 0 2
Leabharlann Baidu
⇒
b2FP 3b F + ( ) P − xF P = 0 2 3 2 3 b b ⇒ x= 5b ⇒ + − x= 0 3 2 6
2.10 试校核图示连接销钉的剪切强度。已知 F =100kN，销钉直径 d =30 mm，材料的许用剪 应力[τ]= 60 MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？
D0
FS
m
m
解：假想沿 n-n 面切开，取右半部分为 研究对象并作左视图。由对称性可知， 每个螺栓所受的切力相等，设为 Fs。
o
∑
0
截面 n-n
M0=
FS×
= 0
D0 × − 4 m 2
= 1.25kN
n
⇒ F S =
m 200 = 2D0 2 × 0.08
F 4 Fs 4 × ∴τ = s = = 1250 A πd 2 π × 0.012
[τ]
= 1.5MPa ，试计算为使基础不被剪坏所需的厚度
F
四个可能的剪切面如图中红线所示 对下层基础如图：
F
y
⇒ q= F
a b t q a t t
b2
q
F
qa 2 + FS − F = 0 2 a2 Y ⇒ FS = F − qa = (1− 2 b )F 由（2.23）式：
∑
= 0
Fs
⇒ t≥
l Δ =
AC
1
2.3 卧式拉床的油缸内径 D=186 mm，活塞杆直径 d1=65 mm，材料为 20 Cr 并经过热处理，[σ]
杆
=130 MPa。缸盖由六个 M20 的螺栓与缸体连接，M20 螺栓内径 d=17.3 mm，材料为 35 钢， 经
热处理后[σ]螺=110MPa。试按活塞杆和螺栓的强度确定最大油压 p。
解：Q FNBC = FNCD = F p 2 = 100 kN
FNAB = F p1 + F p 2 = 150 kN
由构件的胡克定律（2.13）式：
FNABlAB FNBClBC = 2.95 mm + ES A ES A FNCDlCD = ΔAD = AC + CD = AC + EC A l Δl Δl Δl 5.29mm
2.6 图示拉杆沿斜面 m-n 由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力[σ]=100 MPa，许用 剪应力[τ]=50 MPa。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。试问：为使杆件承受最大拉力
F，α角的值应为多少？若杆件横截面积为 4cm2，并规定α≤600，试确定许可载荷 F。
m F F
σ
α
2 = σ cos α
F F
FF F
d ≥ 0.0326 m = 32 .6 mm
2.11 木榫接头如图所示。a = b =12 cm，h =35 cm，c =4.5 cm。F = 40 kN。试求接头的剪切、 挤压应力。 F F
F F τ = s = = A hb
40 ×10 = 0.952 MPa 3 0.35 × 0.12 = 7.407MPa
y
∴
FNs = ⋅⋅⋅ = ⇒ FNs = 0.1FNw 代入（a）式得： FNw 0.1 FNs = 0.071F FNw = 0.717F
σ w =
[σ FNs 0.071F ≤] 钢 σ = s = As As [σ
2.8 图示的杆件结构中 1、2 杆为木制，3、4 A1 = A2 = 4000 mm 2 ,3、4 杆的横截面面积