含有两个储能元件的一阶电路双一阶电路分析
一阶电路和二阶电路的时域分析.
0 0
t =0+时刻
0 0
i ( )d
i
q(0 ) q(0 ) i ( )d
+ uC -
C
当i(t)为有限值时
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 换路前后保持不变。在换路瞬间，可将其视为一个电压源。
duC RC uC 0 dt
i R
pt
C
+ uC –
+ uR –
uC (0+)=U0
uC Ae
p 1 RC
特征方程
RCp+1=0
特征根
t RC
uC U 0e
t0
uC U 0e
t RC
t0
t RC
U0 uC
t RC
uC U 0 i e R R
I 0e
f (0 ) f ( ) A
t
A f (0 ) f ( )
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
3 U0 e -3 0.05U0
5 U0 e -5 0.007U0
U0 0.368U0
工程上认为，经过3 - 5，过渡过程结束。 能量关系： uC(0+)=U0
1 2 电容放出能量： CU 0 2
t 1 2 U 0 RC 2 CU ( e ) Rdt 0 2 R
电阻吸收能量：WR i 2 Rdt 0
三、动态电路过渡过程的分析方法 时域分析法：经典法、状态变量法 经典法：求解描述电路的线性常微分方程 得到电路所求变量（电流或电压），采用 经典法时，必须根据电路的初始条件确定
电路课件 电路07 一阶电路和二阶电路的时域分析
2019年3月29日星期五
经典法
5
• 线性电容在任意时刻t，其电荷、电压与电流关系：
q(t ) q(t0 ) iC ( )d
t0 t
线性电容换路瞬间情况
uC (t ) uC (t0 )
• q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t0＝0-， t=0+得： 0 0
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析
2019年3月29日星期五
3
• 动态电路：含动态元件电容和电感电路。 • 动态电路方程：以电流和电压为变量的微分方程或微 分-积分方程。 • 一阶电路：电路仅一个动态元件，可把动态元件以外 电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换，建立一阶常微分 方程。 • 含2或n个动态元件，方程为2或n阶微分方程。 • 动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化 时(如电路中电源或无源元件断开或接入，信号突然 注入等)，可能使电路改变原来工作状态，转变到另 一工作状态，需经历一个过程，工程上称过渡过程。 • 电路结构或参数变化统称“换路”，t=0时刻进行。 • 换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+， 换路经历时间为0-到0+。
第7章一阶电路和二阶电路的时域分析 7-2一阶电路的零输入响应
2019年3月29日星期五
RC电路零输入响应-１
12
• 电路中电流 • 电阻上电压
RC电路零输入响应-2
1
t t duC U 0 RC t d 1 RC RC i C C (U 0e ) C ( )U 0e e dt dt 1 RC R
R
13
RC电路零输入响应-3
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析(part-2)
解
u C ( ∞ ) = 4i1 + 2i1 = 6i1 = 12 V u = 10 i1 → Req = u / i1 = 10 Ω
7.4.1 一阶RL电路的零输入响应
US iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = = I0 R1 + Rห้องสมุดไป่ตู้应用KVL得：
d iL L + Ri L = 0 dt
iC = iC (∞) + [iC (0 + ) − iC (∞)] e
−
t RC
计算电流能否套用 公式？
套用全响应电压公式
R
C
uC (t ) = Ue − t / RC t ≥ 0
S(t = 0)
−
+
uC
duC iC = C dt
i
t U =− e RC t ≥ 0 −
R
(a= ) U uC (0 -)
(2) 确定稳态值 u c ( ∞ ) 由换路后电路求稳态值 u c ( ∞ ) 9mA
6× 3 3 uC ( ∞ ) = 9 × 10 × × 10 6+ 3 = 18 V
−3
+ R ) 6kΩ uC ( 0 −t=0-等效电路
(3) 由换路后电路求 时间常数 τ
τ = R0C 6× 3 −6 3 = × 10 × 2 × 10 6+ 3 −3 = 4 × 10 s
−
t L/ R
t ≥0
t − L/ R
L uL
–
d iL u L (t ) = L = − RI 0 e dt
τ时间常数
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； I0 iL 连续 函数 t 0 -RI0 uL t 跃变
电气工程师 公共基础科目 第13讲 第五章：一阶电路和二阶电路的时域分析(一)
5.1 动态电路方程5.1.1 动态电路及其方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻；+=0t ：换路后的最初时刻；5.1.2 动态电路的初始条件设0=t 时电路换路，若换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，则在换路瞬间电容元件的电压和电感元件的电流不能跃变，这就是换路定律。
其数学表达式为)0()0()0()0(-+-+==u u q q c 电容上电荷和电压不发生跃变！① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(LLLLiiψψ电感的磁链和电流不发生跃变！①若-=0t时，)0(,)0(IiLL==--ψψ，则有)0(,)0(IiLL==++ψψ, 故换路瞬间，电感相当于电流值为I的电流源；②若-=0t时，0)0(,0)0(==--LLiψ，则应有0)0(,0)0(==++LLiψ , 则换路瞬间，电感相当于开路。
一阶二阶动态电路实验原理
一阶二阶动态电路实验原理随着科技的不断发展，电路技术也在不断地发展，其中动态电路技术是非常重要的一种技术。
动态电路通常指的是在电路中添加了电容器，通过电容器的电荷储存和放电实现不同类型的逻辑运算。
本次实验针对的是一阶二阶动态电路。
首先来介绍一阶动态电路，所谓一阶动态电路是指仅有一个电容器的电路。
在一阶动态电路中，电容器的充放电时间常常与电路整体的时间常数密切相关，一阶动态电路常常用于定时、滤波和存储等应用场景中。
接下来，我们来详细说明一下一阶动态电路实验的原理和步骤。
首先需要准备的材料包括一个电容器、一个电阻、一个函数信号发生器和一个示波器。
实验步骤如下：1. 根据电流的控制特性，将信号发生器的输出与一阶电路串联起来，控制电流的输入。
2. 将一个电阻片放入直流电源接口上，以控制电流的大小。
3. 将示波器与一阶电路并联，这样可以显示电路中的电流和电压变化。
4. 首先将电路中的电容器放置电压，记录电容器的电压值。
然后施加一个方形波信号，记录电容器的电压变化。
通过对信号的分析和测量，可以获得电路中的时间常数，并且可以获得电路的频率响应特性。
二阶动态电路与一阶动态电路相似，但是其结构更加复杂，电容器和电阻器的布置也更加复杂。
二阶动态电路包括了具有两个电容器的电路，因此在设计和使用上要比一阶电路要更复杂一些。
二阶动态电路的应用领域包括了滤波、音频信号处理、图像处理和文本处理等。
在进行二阶动态电路实验之前，首先需要准备材料。
准备工作通常需要准备一个滤波器、一个函数信号发生器和一个立体声隔离器以及一个示波器。
实验过程如下：1. 根据电路分析的结果，将电容器和电阻器按照特定的规律串联起来，实现电路的功能。
2. 将信号发生器的输出与电路进行连接，控制电路输入的电流信号。
3. 将立体声隔离器连接电路的输出，这样可以使电路的输出信号与隔离器的输出信号分离。
4. 将示波器与隔离器并联，在示波器上显示电路的输出和响应特性。
电路课件：第八章 一阶、二阶电路动态分析
1t
iL(t) L
u()d
iL
+
u
L
-
1 0 u( )d 1 t u( ))d
L
L 0
iL (0 )
1 L
t
u( )d
0
0
t = 0+时刻
iL (0 ) iL (0 )
1 L
0 u( )d
0
当u为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
磁链
LiL
L (0＋)= L (0－)
dx
a1 dt a0 x US t a0 x US
dx 0 dt
上页 下页
3. 电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t = 0 时刻进行
0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
0－0 0＋
f (0 ) f (0 )
守恒
结
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
论
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
上页 下页
（4）换路定则
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0－) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
小 → 过渡过程时间短
物理含义
电流初值i(0)一定：
L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小
放电慢
大
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（3）i能量关系
+
L uL
R
–
设iL(0+)=I0
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
电路第7章一阶电路和二阶电路
电路 t=0时闭合开关， 0+时刻等效电路如下图(b)所示．
所以:
L K
iL
R2=1Ω
uL (0 ) R2 i L ( 0 ) 1
i1
R1=1Ω
2A
注： uL (0 ) 0
i1
2A R1
iL(0+) uL(0+) R2
0+时刻等效电路
例5 求 iC(0+) , uL(0+)
求S闭合瞬间流过它的电流值
L C + － uC 10 10 + 20V iL + 1A 10 10 uL
电路
S 解 ①确定0-值
ik
－ + 10V － uC － 10 iC 1010 + 20V 10 + -20V -
20 iL (0 ) iL (0 ) 1A 20
uC (0 ) uC (0 ) 10V
二阶电路
2
二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。
dx a1 a0 x e(t ) t 0 dt
dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
电路
高阶电路
n
电路中有多个动态元件，描述 电路的方程是高阶微分方程。
n 1
dx d x dx an n an1 n1 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt dt
RI S iC (0 ) I s 0 R
uC
–
0+电路 +u
L
IS – R
iC
+ R IS –
uL(0+)= –RIS
第七章：一阶电路和二阶电路总结
若uL 为有限值，则 上式中积分项为0
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
本质: 磁场能量不能跃变
换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持 为有限值，则电容电压（电荷） uC (0+) = uC (0－) 换路前后保持不变。 换路瞬间，若电感电压保持 L (0+)= L (0－) 为有限值，则电感电流（磁链） iL(0+)= iL(0－) 换路前后保持不变。
t=0时，K断开，有
+
10V -
2 k (t=0) +
iL
L
iC
+
uc (0 ) uc (0 ) 8V
iL (0 ) iL (0 ) 1 A
uL
8
C
uC
-
画t=0+时的等效电路，L用1A电流源代,C用 8V电压源代.
ic (0 ) iL (0 ) 1A
K闭合前，电容已充电 uC(0-)=U0
t=0时K合上,则： uc (0 ) uc (0 ) U0
t 0 有 uc ( t ) uR (t ) 0 duc ( t ) uR ( t ) RC dt duc ( t ) RC uc ( t ) 0 dt
k (t=0)
t0 t
1 t iL ( t ) iL ( t0 ) uL ( )d L t0
令t0=0-, t=0+, 则得
L (0 ) L (0 ) 0 uLdt
0
1 0 i L (0 ) i L (0 ) uLdt L 0
李裕能_第九章一阶电路和二阶电路习题及解答
第九章一阶电路和二阶电路本章意图本章主要介绍动态电路的时域分析法。
主要内容有动态电路及其方程，动态电路的换路定则及初始条件的计算，一阶电路的时间常数，一阶电路的零输入响应，一阶电路的零状态响应，一阶电路的全响应，一阶电路的阶跃响应，一阶电路的冲激响应，二阶电路的零输入响应，二阶电路的零状态响应及阶跃响应，二阶电路的冲激响应和卷积积分。
第一节内容提要一、动态电路电路有两种工作状态——稳态和动态。
描述直流稳态电路的方程是代数方程；用相量法分析交流电路时，描述交流稳态电路的方程也是代数方程。
描述动态电路的方程则是微分方程。
描述一阶电路的方程是一阶微分方程，描述二阶电路的方程是二阶微分方程。
二、动态电路的初始条件1 . 换路当电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参数发生变化，我们称此过程为换路。
2 . 换路定则在一般情况下，在换路前后瞬间，电容电流i C为有限值，故有u C(0+) = u C(0 - )在一般情况下，在换路前后瞬间，电感电压u L为有限值，故有i L(0+) = i L(0 - )3 . 如何计算电路的初始条件对于一个动态电路，其独立的初始条件是u C( 0+ )和i L( 0+ )，其余的是非独立初始条件。
如果要计算电路的初始条件，可以由换路前的电路计算出u C( 0 - )和i L( 0 - )，然后令其相等即可求得u C( 0+ )和i L( 0+ )。
最后由换路后的等效电路就可以求出所需要的非独立初始条件。
三、一阶电路的响应1 . 一阶电路的时间常数在换路之后电路中，令独立电源为零，将电路化简成为一个等效电阻与储能元件的并连电路。
对于RC、RL电路的时间常数分别为：τ= RC、τ=L / R。
2 . 一阶电路的零输入响应在换路之后电路中无独立电源，由换路之前储能元件储存的能量在电路中产生响应，称为零输入响应。
3 . 一阶电路的零状态响应在换路之前储能元件没有储存能量，由换路之后电路中独立电源的能量在电路中产生响应，称为零状态响应。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
p1t p2t
uC A1e A2e
经常写为：
e
( t )
( A1e
jt
A2e
jt
)
uC Ae
t
sin( t )
0 t sin( t ) uuC AeU 0e t sin( t ) c
uC (0 ) U 0 A sin U 0 由初始条件 du (0 ) C 0 A( ) sin A cos 0 dt
代入初始条件
i L (0 ) 0
t
A I s
iL i i I S (1 e )
' L " L
7－4 一阶电路的全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路的响应称为全响应。 初始条件
u c ( 0 ) u c (0 ) U 0
当开关S闭合后，由KVL有
初始条件－－电路中的变量在换路后t=0+时 刻的值。
独立初始条件－－换路后的初始值由元件的 性质决定。 独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电 荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)
1 t uc (t ) uc (t0 ) ic ( )d C t0
1 0 uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d C 0
U0 A sin
， arctg
ω0 δ
ω
sin 0
0 A U0
ω，ω０，δ的
关系
0 t uC U 0e sin( t )
0 uC 是振幅以 U 0为包线依指数衰减的正 弦函数。
一阶电路和二阶电路的时域分析
Chapter 7 一阶电路和二阶电路的时域分析主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d t t i t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()( 取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若 有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！ ① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
电路 7章 一阶电路和二阶电路的时域分析
第 1 章
静电场
电流振荡衰减、冲电 放电交替
第 1 章
静电场
情形III： 临界情况
R 2 1 ( ) =0 即 2L LC
R=2
L C
临界电阻
R λ1 = λ2 = 2L
通解为：
uc = ( A + A t)e 1 2
R t 2L
得解为： u = U (1+ R t)e c 0 2L
R t 2L
di =0 dt
第 1 章
静电场
电容电压单调减且大于0
电流先增后减大于0 电感电压先减后增，过0点
第 1 章
静电场
情形II：
(
R 2 1 ) <0 即 2L LC
L R<2 C
振荡放电过程 特征根是一对共轭复数 令
R 1 R 2 2 δ= ; ω = ( ) 2L LC 2L
λ1 = δ + jω
第 1 章
静电场
特征根仅与电路参数和结构相关，与激励和初始 储能无关。
1 R R 2 λ1,2 = ± ( ) LC 2L 2L
通解为
uc = Ae + A e 1 2
λ1t
λ2t
根据电路中R,L,C的不同，特征根可能是三种情形 非振荡放电过程，过阻尼，电阻很大 振荡放电过程，欠阻尼，电阻很小 临界情形，电阻恰好
′ ′′ iL = iL + iL ′ iL = iL (∞) = is ′ iL为特解(强制分量) ′′ iL为对应齐次方程的通解(自由分量)
′′ = Aeλ1t + A eλ2t iL 1 2
因此，通解为
λt 1 λ2t
iL = is + Ae + A e 1 2
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件
IS
iR
R
S(t=0)
iL uL L
t
t
★
iL I S I S e I S (1 e )(t 0)
其中 L
R
2.参数曲线
IS
3.能量转换
WL=WR=½LIS2
O
注：➢零状态响应是激励的
iL"
线性函数： 可加性：
―IS
f1(t)y(1)，f2(t)y(2)， 则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2) 齐次性：
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uC
RC duC dt
0(t
dt
0)
解微分方程可得
+
uS
+
L uL
Ri
L di dt
Um
sin(t
u )
-
iL(0-)=0
– 强制分量(稳态分量)
i i' i"
自由分量(暂态分量)
i"
t
Ae
用相量法计算稳态解 i
R
I
Im
Um
R2 (L)2
+
-
U S
j L
arctgL
R
i' Im sin(t u )
i
i'
i"
含有两个储能元件的一阶电路双一阶电路分析
固定植，而且要相等。不仅如此，电感两端电压与电容两端电压之和还要等于Us ，这就使
得电感与电容部是相互独立。 从电路方程来分析 从电路方程来分析，由方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎨
L diL
IS =
dt R1
+ iL
可以看出，两个方程都是一元方程，求解过程中不涉及代入，故实
⎪ ⎪IS ⎩
=
C
duC dt
+
uC R2
我们希望通过本文的讨论帮助大家认识清楚一阶电路的概念，电路中的等效变换相当 灵活，要活学活用，希望大家在做习题的过程中首先认真分析电路特征，不要盲目套用公式， 避免走弯路。
5
从电路上分析 对于图 1 电路由电路连接特点以及元件性质可以发现，只要电感和与其并联的电阻的
电流之和等于 IS ，电容和与其并联的电阻的电流之和等于 IS 即可，而电感电压，电容电流
等量之间没有约束条件，所以实际上是把电容与电感分开来考虑，相当于是一阶电路。 图 5 电路中，电容和与其并联的电阻的电流和、电感和与其并联电阻的电流和均不是
+ iL
⎪ ⎪IS ⎩
=
C
duC dt
+
uC R2
解这两个联立得一阶微分方程可以得到：
− R1t
iL (t) = IS (1− e L )
−t
uC (t) = IS R2 (1− e ) R2C
u(t)
=
L
diL (t) dt
+ uC (t)
=
IS R2
+
− R1t
IS R1e L
−
−t
IS R2e R C
n=Nc+NL-Cc-KL 在本例中，图 1 和图 5 的电路由上述公式计算复杂度均为 2，但是一个是一阶电路一个 是二阶电路。所以有下列结论： 电路的状态变量数目即电路的复杂度不等于电路阶数！
注册电气专业基础第14讲 第五章：一阶电路和二阶电路的时域分析(二)(2010年新版)
2.具有初始储能的储能元件可用电源和未储能的元件组合来替代，因此，由初始状态和输入共同作用适合运用叠加定理。
通解 S RCt -C RI Ket u +=)(0 ≥t又因 S S C RI U K U RI K u -=⇒=+=00 (0))1( 0 )()( 0RCt eRI U RI t u RCt -S S C =≥-+=∴τ 原图中 ⎪⎩⎪⎨⎧-====)1()( 0 e )( 020 -01ττt -S C t C S e RI t u U U t u I ，可得零状态响应令，可得零输入响应令显然 )()( )1()()(-0021t u eRI U RI e RI eU t u t u C tS S t-S t-C C =-+=-+=+τττ所以 )1()()()(- 021ττtS t-C C C e RI eU t u t u t u -+=+=即 完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应① 零输入响应是初始状态的线性函数； ② 零状态响应是输入的线性函数。
线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和初始状态分别作用时所产生的响应的代数和，也即，全响应是零输入响应和零状态响应之和。
完全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应S t-S C RI eRI U t u +-=τ0)()(完全响应 = 暂态响应（固有响应）+ 强制响应（稳态响应）① 暂态响应：随时间按指数规律衰减，衰减快慢取决于固有频率； ② 稳态响应：常量（不随时间变化）, 取决于外加输入；在有损耗的动态电路中，在恒定输入作用下，一般可分两种工作状态 — 过渡状态和直流状态，暂态响应未消失期间属于过渡期。
三要素法：激励是直流，其一阶暂态电路的响应()()()()[]τtef f f t f -+∞-+∞=0其中，()+0f 是电路变量的初始值；()∞f 是电路变量的稳态值；求此参数时，由于激励是直流，所以，电容做开路处理、电感做短路处理。
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基本电路理论课程论文
2006-2007 第一学期
u(s)
=
Is s
⎡
⎢ ⎢ ⎢
R1s R1 +
s
⎣
+
R2 R2
×1 s
+1 s
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
基本电路理论课程论文
2006-2007 第一学期
含有两个储能元件的一阶电路（双一阶电
路）分析
陈梦含 5050309065 F0503003
项思宁 5050309062 F0503003
摘要：一阶电路和二阶电路是基础电路理论中十分重要的两个概念，但是如果简简单单的从储能元件上对 他们加以区分，在实际中就会遇到很多困难。本文通过对典型习题的剖析，旨在辨析以阶电路与二阶电路 的概念，并主要得出含有两个储能元件的一阶电路的条件。 关键词：一阶电路 二阶电路 两个储能元件
固定植，而且要相等。不仅如此，电感两端电压与电容两端电压之和还要等于Us ，这就使
得电感与电容部是相互独立。 从电路方程来分析 从电路方程来分析，由方程
⎧ ⎪ ⎪ ⎨
L diL
IS =
dt R1
+ iL
可以看出，两个方程都是一元方程，求解过程中不涉及代入，故实
⎪ ⎪IS ⎩
=
C
duC dt
+
uC R2
2
基本电路理论课程论文
2006-2007 第一学期
由以上定义可以发现，本题电路中虽然有两个联立得一阶微分方程，但是它们是相互独 立的，所以经化简后并不需要二阶微分方程求解，所以这仍是一个一阶电路。
本题的电路实际上等效于两个一阶电路：
由三要素法可以迅速求出 uC (t) 、 uL (t)
由 u(t) = uC (t) + uL (t) 求出结果。
但是如果图 1 中的电流元换成电压源，那么下面的等效将不成立：
事实上，对图 5 种的电路列写方程为：
⎧ ⎪ ⎪ ⎨
L
diL dt R1
+ iL
=C
duC dt
+ uC R2
⎪ ⎪ ⎩
L
diL dt
+ uC
= Us
这两个方程化简后是一个二阶微分方程，故这个电路实际上是一个二阶电路，所以上述 等效自然不成立。
际上是两个一阶微分方程。
方程组： R1
+ iL
=C
duC dt
+ uC R2
方程中均含有两个变量，求解过程中经化简后需要
⎪ ⎪ ⎩
L
diL dt
+ uC
= Us
求解二阶微分方程，故这个电路是二阶电路。 状态空间法分析 状态空间法：分析动态电路除了上面介绍的经典方法外，在现代电路理论中还有另一种
从上面的运算过程中可以发现，这个电路虽然含有两个储能元件，但实际上就是一个一
阶电路。
三．二阶电路与一阶电路概念辨析：
首先，我们应该确定一下二阶电路的定义： 我们讲义上的定义是：用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。 查阅的资料上二阶电路的准确定义为：包含两个动态元件的电路可以用一个二阶微分 方程或两个联立的一阶微分方程描述，其中经公式化简需用二阶微分方程描述的动态电路 称为二阶电路。
+ iL
⎪ ⎪IS ⎩
=
C
duC dt
+
uC R2
解这两个联立得一阶微分方程可以得到：
− R1t
iL (t) = IS (1− e L )
−t
uC (t) = IS R2 (1− e ) R2C
u(t)
=
L
diL (t) dt
+ uC (t)
=
IS R2
+
− R1t
IS R1e L
−
−t
IS R2e R C
从电路上分析 对于图 1 电路由电路连接特点以及元件性质可以发现，只要电感和与其并联的电阻的
电流之和等于 IS ，电容和与其并联的电阻的电流之和等于 IS 即可，而电感电压，电容电流
等量之间没有约束条件，所以实际上是把电容与电感分开来考虑，相当于是一阶电路。 图 5 电路中，电容和与其并联的电阻的电流和、电感和与其并联电阻的电流和均不是
=
Is R1 R1 + s
+
Is R2 s2R2 +
s
=
Is R1 R1 + s
+
Is R2 s
−
Is R2 s+ 1
R2
可以求出
[ ] L−1
u(s)
= u(t)
=
IS R2
+
− R1t
IS R1e L
−
−t
IS R2e R C
解法二：
如果对这道题直接求解：
由 KCL：
⎧ ⎪ ⎪ ⎨
IS
=
L diL dt R1
一．引言
通过对基础电路知识的学习，我们掌握了有关一阶电路和二阶电路的解题方法。从解 题的复杂程度来看，一阶电路的解题过程明显比二阶电路的解题过程简单得多。比如：一阶 电路的求解无需求出微分方程，而直接运用三要素法即可快速得到结果。而二阶电路则必须 通过微分方程的特征根的讨论，得出其过阻尼，欠阻尼，临界阻尼的三种状态，即使运用拉 式变换可以使运算得以简化，使方程容易求解，但真分式的化简和最终的拉式逆变换仍会有 大量的计算。
重要的方法——状态空间法。状态是现代系统理论中的一个基本概念，所谓状态是指给定输 入下确定系统全部性状所需的最小量的信号的集合。换言之，若已知某给定时刻的状态，则 它们和该时刻开始的任意输入一起就能完全确定系统在以后任何时刻的性状。状态变量就是 组成状态的这些最少量的信息，显然，状态变量是一组独立变量，它们在任何时刻的值组成 在该时刻的状态。系统的初始状态提供了分析系统今后性状的一组独立的初始条件。由状态 变量组成的一组独立的一阶微分方程称为系统的状态方程。因此若已知状态变量在t0时的 值，而且已知自t0开始的外加输入，则我们能唯一确定t＞t0后系统的全部性状。
但是在做习题的过程中我 们发现，有的电路虽然有两个储能元件，但是实质上仍然是一阶电路。
二．典型例题剖析
下面请看一道例题： 例：如图示电路，开关 S 在打开前已经处于稳态，已知 R1=R2=10Ω L=1H C=1F Is=2A 求 t>0 时的 u（t）。
首先我们可以看出这个电路是零状态响应，在 S 断开之后： 解法一：
那么我们不禁要问，含有两个储能元件的电路在什么情况下是一阶电路呢？
四．含两个储能元件的电路是一阶电路的条件：
通过上面两例的比较不难发现，图 1
i 电路中， (t) 、u (t) 是相互独立的，既是 LC
说， uC (t) 的值的大小不会影响 iL (t) 的取值。
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