初三数学总复习----方程与方程组(一)
九年级数学 人教版 中考专题复习-方程和方程组篇
中考复习-方程和方程组篇学生学校年级九年级次数科目数学教师日期时段课题中考复习-方程和方程组篇教学重点一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式组教学难点分式方程;一元二次方程教学目标1、熟练计算各类方程教学步骤及教学内容一、错题回顾二、内容讲解1几个概念2一元一次方程方程与方程组3一元二次方程4方程组6应用三、课堂总结错题回顾已知直线y=kx+b ，若k+b=－9，kb=8，那么该直线不．经过．．第 象限.（如图，直线y=3 x+3与两坐标轴分别交于A 、B 两点（1）求∠ABO 的度数（2）过A 的直线l 交x 轴半轴于C ，AB=AC ，求直线l 的函数解析式．如图，直线y=23x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为（ ）管理人员签字： 日期： 年 月 日A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（﹣32，0） D ．（﹣52，0）【方程和方程组篇】二、内容讲解【学生总结】等式的性质：①性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么ac=二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的组3、 叫做解方程4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程【解一元一次方程】一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤： 1。
2。
3。
4。
5。
概念考点：（1）若关于x 的方程22(2)10()a a x x ---+=是一元一次方程，求a 的值.（2）若关于x 的方程5413524n x -+=是一元一次方程，求n 的值.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132（3）53210232213+--=-+x x x （4）32116110412xx x --=+++*带小数方程4x 1.55x 0.8 1.2x0.50.20.1－－－－＝【二元一次方程组】二元一次方程组及解法：1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c 是常数，a≠0,b≠0)；2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组；3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；4、 解二元一次方程组的基本思路是： ；5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法例1 解方程组： 213211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②．对应训练（1）解方程组： 2()134123()2(2)3x y x yx y x y -+⎧-=-⎪⎨⎪+--=⎩．3(2)3814x y x y -=⎧⎨-=⎩23(3)253s t t s =⎧⎪+⎨=⎪⎩356(4)415x y x y -=⎧⎨+=-⎩43(1)4(4)(5)(6)35115(1)3(5)7525x x y x y y x y x +-⎧-=-=⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=+⎩152343(1)4(4)(4)(5)(6)3532115(1)3(5)7525x x yx y x y x y y x y x +-⎧+=-=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨-=-=+⎩⎩⎪=+⎩*含参方程组.已知关于x 、y 的方程组52111823128x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩①②的解满足x ＞0，y ＞0，求实数a 的取值范围．【一元一次不等式组】掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a 为非负数，a 为正数，a 不是正数 解： ②(2)8与y 的2倍的和是正数； (3)x 与5的和不小于0；(5)x 的4倍大于x 的3倍与7的差；【学生总结：】基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ，即：若a <b,则a+c b+c(或a-c b-c)基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a <b ，c>0则a c b c （或acb c ）基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a <b ，c <0则a c b c （或acb c ）例题：①解不等式 31（1－2x ）>2)12(3 x②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每天至少读多少页？ 解：（1） 在数轴上表示解集：“大右小左”“” （2） 写出下图所表示的不等式的解集3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边例题：①不等式组⎩⎨⎧-<<,3,2x x ⎩⎨⎧->>,3,2x x ⎩⎨⎧-<>,3,2x x ⎩⎨⎧-><,3,2x x 数轴表示解集考点二：在数轴上表示不等式（组）的解 例2 把不等式组1215x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．对应训练2．不等式组2(5)65212x x x +≥⎧⎨->+⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点三：不等式（组）的解法例3 不等式2x-1＞3的解集是．例4 解不等式组23120xx+>⎧⎨-≥⎩，并把解集在数轴上表示出来．对应训练3．不等式2x-4＜0的解集是．4．解不等式组211 00x xx+>⎧⎨-<⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．考点四：不等式（组）的特殊解例5 不等式组21312xx-<⎧⎪⎨-≤⎪⎩的整数解有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4 对应训练5．求不等式组21025xx x+>⎧⎨>-⎩的正整数解．考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围 例6 若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是 ．对应训练6．已知x=3是关于x 的不等式3x-22ax +>23x的解，求a 的取值范围．课堂总结：针对练习【分式方程】1．解分式方程1x －1－2＝31－x，去分母得( )A ．1－2(x －1)＝－3B ．1－2(x －1)＝3C ．1－2x －2＝－3D ．1－2x ＋2＝32. 分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．无解D ．x ＝－23. 分式方程2x ＋13－x ＝32的解是___________ __．4. 分式方程4x －3－1x＝0的根是____________．5. 关于x的分式方程mx2－4－1x＋2＝0无解，则m＝_____________.解方程：=0．6．①解方程：2﹣=1；②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．11。
初三复习 一次方程和方程组PPT课件
2.解方程的依据------等式的性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个 整式,所得结果仍是等式. (2)等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数或 整式,所得结果仍是等式.
3.解一元一次方程的一般步骤:
①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项⑤系数化为1
4.方程组的常用解法:
①代入消元法 ②加减消元法 ③换元法
4.方程 yy212y32的解是________
5.方程组
x
y 12x 2y7
0
的解是________
6.方程组
2
方程组
ax by 2 ax by 4
的解,
求a、b的值
例1
(1)写出一个以x=-1为根的一元一次方程
{ (2)写出一个以
x 1 为解的二元一次方程组
y 2
(3)王老师在课堂上给出了二元方程x-y=-xy,让
同学们写出它的解,你会写吗?
例2 解方程
(1)2x-(13-x)=3
(2)1.5x1 x 0.5 3 0.6
例3.解方程组
{(1)
3x+y=8 2x-y=7
(2)250((32x3y))58((x23y))2207
3
例4
已知方程2x+3m=4x+1和方程 5x+3m=4x+1的解相同,求m的值.
1.关于x的方程2(x-1)-a=0的根是3,则a的值为( )
A.4
B.-4 C.5 D.-5
2.已知x+y=5,且x-y=1,则xy=______
3.当x=______时,代数式3x-4和2(x-3)互为相反数.
一 次方程与方程组
1.主要概念:
2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第二章方程(组)与不等式(组)第三节分式方程及其应用
耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20 min后，张老师乘坐汽车出发，结果
两人同时到达①.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求李老师骑自
行车的平均速度；
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解：设自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，根据题意，
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第三节
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分式方程及其应用
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分
式
方
程
及
其
应
用
相
关
概
念
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分
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方
程
及
其
应
用
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分
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方
程
及
其
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用
分
式
方
程
的
实
际
应
用
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的
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应
用
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得
－ ＝ ，解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答：李老师骑自行车的平均速度为15 km/h.
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【分层分析】
第一步：设自行车的平均速度为x km/h；
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
中考复习：第五讲方程与方程组
第五讲 方程与方程组第1课时 一元一次方程与二元一次方程组考点一、一元一次方程的概念 （6分）1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
考点二、二元一次方程组 （8~10分）1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组A 级 基础题1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．x (1＋30%)×80%＝2 080B ．x ×30%×80%＝2 080C ．2 080×30%×80%＝xD ．x ×30%＝2 080×80%2．(广西桂林)二元一次方程组 3.24x y x +=⎧⎨=⎩的解是( ) A. 3,0x y =⎧⎨=⎩ B.1,2x y =⎧⎨=⎩ C. 5,2x y =⎧⎨=-⎩ D.2,1x y =⎧⎨=⎩3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得( )A. 50,6()320x y x y +=⎧⎨+=⎩B.50,610320x y x y +=⎧⎨+=⎩C.50,6320x y x y +=⎧⎨+=⎩D.50,106320x y x y +=⎧⎨+=⎩4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )A ．5(x ＋21－1)＝6(x －1)B ．5(x ＋21)＝6(x －1)C ．5(x ＋21－1)＝6xD ．5(x ＋21)＝6x5．已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝m ，则m 的值是________．6．方程组2,21x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是__________． 7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m 3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m 3)?B 级 中等题9．(贵州黔西南)已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项，那么(n －m )2 012＝______.10．10．(山东菏泽)已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组的解8,1,mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩则2m －n 的算术平方根为( ) A ．± 2 B.2 C ．2 D ．411．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．12．(内蒙古呼和浩特)解方程组：4(1)3(1)2,2.23x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩C 级 拔尖题13．如图X2－1－1，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x ，y 的方程组1,,y x y mx n =+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解． (3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．图X2－1－114．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”； 小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．选做题15．(上海)解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩16．若关于x ，y 的二元一次方程组5,9x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43第2课时 分式方程考点一、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
初三数学知识点梳理之方程(组)
初三数学知识点梳理之方程(组 )数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了初三数学知识点梳理之方程(组 )，希望可以帮助到大家。
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法 ; 方程的相关应用题 (特别是行程、工程问题 )☆ 内容纲要☆一、基本看法1.方程、方程的解(根 )、方程组的解、解方程(组 )2.分类：二、解方程的依据-等式性质1.a=ba+c=b+c2.a=bac=bc (c0)三、解法1.一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化成 1 解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法(注意特色 )⑵配方法 (注意步骤 -推倒求根公式)⑶公式法：⑷因式分解法 (特色：左边 =0)3.根的鉴识式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法(如，)⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法(注意技巧 !!) ②换元法 (例，)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题一归纳列方程 (组 )解应用题是中学数学联系实质的一个重要方面。
其详尽步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元 (未知数 )。
①直接未知数②间接未知数(经常二者兼用)。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷搜寻相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出) ，列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程 (组 )解应用题实质是先把本责问题转变成数学问题 (设元、列方程 ) ，在由数学问题的解决而以致本责问题的解决 (列方程、写出答案 )。
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
（2） 已知| x | a(a 0) ，求 x 时，要注意 x a
考点 3 平方根与算术平方根
1、 若 x 2 a(a 0) ，则 x 叫 a 做的_________，记作______；正数 a 的__________叫做算术平 方根，0 的算术平方根是____。当 a 0 时， a 的算术平方根记作__________。
2
y
5、 实数 a, b, c 在数轴上对应点的位置如图 2 所示，下列式子中正确的有（ ）
c
ba
-2 -1 0 1 2 3
图2
① b c 0 ② a b a c ③ bc ac ④ ab ac
A.1 个
B.2 个 C.3 个 D.4 个
6、 ①数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是______数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是
用根号形式表示的数并不都是无理数（如 4 ），也不是所有的无理数都可以写成根号的形
式（如 ）。
练习： 1、 把下列各数填入相应的集合内：
7.5,
15, 4,
8 ,
2 ,
3 8,
,
0.25,
0.1 5
13 3
有理数集{ 正实数集{
}，无理数集{
}
}
2、 在实数 4, 3 , 0, 2
2 1,
64, 3 27 , 1 中，共有___ 27
2、 幂的运算法则：（以下的 m, n 是正整数）
(1)a m a n _____ ； (2)(a m )n ____ ； (3)(ab)n _____ ； (4)a m a n ______(a 0) ；
(5)(b )n ______ a
3、 乘法公式：
北师大初中数学中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解-精选
中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般．．步骤 步骤名 称 方 法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2去括号 去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3 移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）等式性质1移项一定要改变符号4合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1”5系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）*6检根 x=a方法：把x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ① 若 左边＝右边，则x=a 是方程的解； ② 若 左边≠右边，则x=a 不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6.【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．（2015•顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷， 根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅=C ． 208030%80%x ⨯⨯=D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯． 根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．（2015春•宁波期中）解下列方程组． （1） （2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解； （2），①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.① ②4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2； （2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ．73cmB ．74cmC ．75cmD ．76cm【答案】设桌子高度为acm ，木块竖放为bcm ，木块横放为ccm.则80,a=7570a b c a c b +-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x 人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x ，y 人， 根据题意列出方程组： 601000(10002000)100000x y x y +=⎧⎨++=⎩解得：2040y x =⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩．答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。
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方程复习一、一元一次方程归纳1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1归纳2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．72-C ．﹣5D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤24.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为 ．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？二、二元一次方程归纳1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩．归纳3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =432．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 41-D ．47 3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为 ．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？三、分式方程☞考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--．归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程五、一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0归纳3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解． 【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围． 归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个）105 702．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123x x --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。
数学初三知识点归纳总结
数学初三知识点归纳总结在初三数学学习中，我们接触到了各种各样的数学知识点，这些知识点涉及到了代数、几何、概率等多个领域。
下面将对初三数学的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地复习和回顾。
一、代数篇1.整式的加减乘除- 整式的加减运算- 整式的乘法运算- 整式的除法运算2.一元一次方程与一元一次不等式- 一元一次方程- 一元一次不等式- 一元一次方程与一元一次不等式的应用3.二元一次方程组- 二元一次方程组的解法- 二元一次方程组的应用二、几何篇1.角与三角形- 角的概念与性质- 各种类型三角形的性质- 三角形的面积计算公式- 三角形的相似性质2.平行线与比例- 平行线的基本性质- 平行线上的比例定理- 三角形的中线、角平分线与垂心定理3.圆的性质- 圆的基本概念- 圆周角、弧长和扇形面积的计算- 切线与切点的性质三、概率篇1.随机事件与概率- 随机事件的基本概念- 随机事件的运算- 概率的定义与计算2.排列与组合- 排列的概念与计算公式- 组合的概念与计算公式- 排列组合在实际问题中的应用3.统计与图表- 统计调查与样本容量- 统计图表的制作与分析- 四分位数与中位数的计算以上仅是初三数学知识点的归纳总结，每个知识点都有更加详细的内容和公式。
在复习时，我们应该从基础知识出发，逐步深入，加强对概念和定理的理解，并进行大量的练习。
只有通过反复的巩固和实践，我们才能真正掌握初三数学的知识点。
希望这篇总结对你的复习有所帮助，相信通过努力，你一定能够在初三数学中取得好成绩！加油！。
初三数学方程组复习资料
初三数学方程组复习资料初三数学方程组复习资料数学是一门需要不断练习和巩固的学科，而方程组是数学中的一个重要概念。
初三学生在学习方程组时，常常会遇到一些难题和困惑。
为了帮助同学们更好地复习和理解方程组，下面将提供一些复习资料，希望对大家有所帮助。
一、方程组的基本概念和解法1. 方程组的定义方程组是由多个方程组成的一组等式。
通常用字母表示未知数，通过求解方程组，可以找到满足所有方程的未知数的值。
2. 方程组的分类根据方程组的未知数个数和方程个数的不同，可以将方程组分为三类：一元一次方程组、二元一次方程组和三元一次方程组。
3. 一元一次方程组的解法一元一次方程组是最简单的方程组形式，可以通过消元法或代入法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数为1，然后代入另一个方程中消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
4. 二元一次方程组的解法二元一次方程组是两个未知数和两个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
5. 三元一次方程组的解法三元一次方程组是三个未知数和三个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
二、方程组的应用1. 几何问题中的方程组方程组在几何问题中有广泛的应用。
例如，通过两条直线的交点可以构成一个方程组，求解该方程组可以得到两条直线的交点坐标。
又如，在平面上给定一个点和一条直线，通过求解方程组可以判断该点是否在直线上。
初三数学复习资料(方程与方程组)
初三数学复习资料（方程与方程组）一． 知识要点1.方程：含有未知数的 叫做方程2.使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.3.一元一次方程：（1）在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a .（2） 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.4．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.5. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.6. 解二元一次方程的方法有 消元和 消元法两种.7．一元二次方程：（1）在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.（2） 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法 （2）配方法：（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,2(40)2b x b ac a-=-≥. （4）因式分解法 （5）换元法8．分式方程:（1）分母中含有 的方程叫分式方程.（2）解分式方程的一般步骤：（1）去分母 （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.二．练习题1．x 的5倍比x 的2倍大12可列方程为 .2．如果方程2130m x -+=是一元一次方程，则m = .3．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．4． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.5.若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ． 6．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 7.关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____.8．(08福建)若关于x 方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ． 9. (08黄冈)分式方程3111122=---x x 的解是 ．10. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xy y x 11. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ） A ．2 B ．-1 C ．1 D ．-212.下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤13.一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，414．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 215. 以下是方程1211=--xx x 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ） A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+- D.x x 212=-- 16．（08泰安）分式方程21124x x x -=--的解是（ ） A ．32- B ．2- C ．52- D ．3217.分式方程1421-=+-x x x 的解是（ ） A.71=x , 12=x B. 71=x ,12-=xC. 71-=x , 12-=xD. 71-=x 12=x18.不等式组2450x x >-⎧⎨-⎩≤的解集是（ ） （Ａ）2x >- （Ｂ）25x -<≤（Ｃ）5x ≤ （Ｄ）无解19．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x 元，则所列方程正确的是（ ）（A ）50005000 3.06x -=⨯% （B ）5000205000(1 3.06)x +⨯=⨯+%%（C ）5000 3.06205000(1 3.06)x +⨯⨯=⨯+%%%（D ）5000 3.06205000 3.06x +⨯⨯=⨯%%%三．解方程（1）()()() 3175301x x x --+=+； （2）21101136x x ++-=.（3）⎩⎨⎧=-=+1392x y y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+1213343144y x y x(5) x 2－5x －6＝0 ； (6) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(7) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （8）22)21()3(x x -=+1.若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值. 2.（2008湘潭）小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本，根据下面的对话解答问题：小刚：阿姨，我买3支钢笔，2个练习本，共需多少钱？售货员：刚好19元．小明：阿姨，那我买1支钢笔，3个练习本，需多少钱呢？售货员：正好需11元．（1）求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱？（2）小明现有20元钱，需买1支钢笔，还想买一些练习本，那么他最多可买练习本多少个？3．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．复习----------小测试1．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .2．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 4．一元二次方程2230x x --=的根是 .5．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .6．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x7．（06泸州）如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．38．（06临沂）如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ）A ．35=+y y xB ．31=-y x yC ．312=y xD ．4311=++y x 9．（08宜宾）若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.210. 如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－211.解方程（1）1233x x x =+--． （2）x x 4)1(2=+；（3）{4519323a b a b +=--=。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
初三数学复习考前知识回顾 方程与方程组
方程与方程组1． 用换元法解方程215122x x x x +-+=-+，设21x y x +=-，则原方程化为关于y 的整式方程为(A)2y 2＋5y －2=0(B) 2y 2－5y －2=0 (C) 2y 2－5y ＋2=0(D) 2y 2＋5y ＋2=02． 用换元法解方程（x －x 1）2－（3x －x 3）=－2时，如果设x －x1=y ，那么原方程可化为（ ） A 、y 2+3y+2=0 B 、y 2－3y －2=0 C 、y 2+3y －2=0 D 、y 2－3y+2=0 3． 如果关于x 的方程2x 2－7x+m=0的两个实数根互为倒数，那么m 的值为（ ）A 、1/2B 、－1/2C 、2D 、－24． 用换元法把方程71)1(61)1(222=+++++x x x x 化为762=+y y ，那么下列换元方法正确的是 （ ）A 、y x =+11 B 、y x =+112 C 、y x x =++112 D 、y x x =++112 5． 一元二次方程042=-x 的根为（ ）（A ）2=x（B ）2-=x （C ）2,221-==x x （D ）2,221-==x x6． 不解方程，判断方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根7． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-1012y x y x 的解是（ ）A 、⎩⎨⎧==37x y B 、 ⎪⎩⎪⎨⎧==311319x y C 、⎩⎨⎧==28x y D 、⎩⎨⎧==73x y8． 一元二次方程2x 2-4x+1=0根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定 9． 方程x （x+1）（x －2）=0 的根是（ ）A 、－1，2B 、1，－2C 、0，－1，2D 、0，1，－2 10． 不等式组⎩⎨⎧><34x x 的解集是（ ）A 、x>3 B 、x<4 C 、3<x<4 D 、无解11． 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A 、11 B 、8 C 、7 D 、5 12．13． 用换元法解方程（1-x x ）2－6（1-x x ）+5=0，则1-x x =y ，代入原方程后，变形正确的是（ ）A 、y 2+5=0 B 、y 2－6y=0 C 、（y+1）（y+5）=0 D 、（y －1）（y －5）=0 14． 某种商品的进价为800元，出售时的标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ）6折（B ）7折（C ）8折（D ）9折15． 哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A 、19% B 、20% C 、21% D 、22%16． 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标准的80%）优惠卖出，结果每作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（ ） A 、120元 B 、125元 C 、135元 D 、140元17． 不等式组⎩⎨⎧>+≤-0201x x 的解集是（ ）A. –2＜x ＜１ B –2＜x≤１ C 、ｘ≤１ D.x ＞–2 18． 不等式组⎩⎨⎧〈-〉+42532x x 的解集是（ ）（A ）x>1 （B ）x<6 （C ）1<x<6 （D ）x<1或x>619． 如果方程x 2+2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 （ ）A 、m<1B 、m>1C 、m<-1D 、m>-120． 若a －b <0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a >b B 、ab >0 C 、ba<0 D 、－a >－b 21． 关于x 的方程x 2－kx+k －2=0的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、不能确定22． 如果⎩⎨⎧==b y ax 是方程组⎩⎨⎧=+=+8272y x y x 的解，那么a －b 的值等于（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、223． 已知x 、y 是实数，43+x +y 2－6y+9=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（ ）A 、1/4B 、－1/4C 、7/4D 、－7/424． 不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧〉-+〈+02821042x x 的解集是 ；这个不等式组的整数解是 ；若︱x －2︱＋3-y =0，则xy=————————；25． 已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧-==-2,3xy y x ，则x+y= .26． 请写出一个两实根之和为1的一元二次方程 . 27． 已知点（1，3）是双曲线xmy =与抛物线m x k x y +++=)1(2的交点，则k 的值等于____________；28． 如图11半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是_________.(要求写出自变量的取值范围).29． 如果a ，b 是方程012=-+x x 的两个根，那么代数式3223b ab b a a +++的值是 ；30． 用换元法解方程061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 时，设y x x =-1，则原方程化为关于y 的方程是 . 31． 已知方程x 2－5x －x x 52-=2.用换元法解此方程时,如果设y=x x 52-,那么得到关于y 的方程是——————————————.（用一元二次方程的形式表示） 32． 若关于x 的方程2x 2－2kx+3k －4=0有两个相等的实数根，则1682+-k k +k -2的值等于 ；方程x x =-+55的解是 ；33． 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买＿＿＿＿＿＿支钢笔。
中考数学专题复习三《方程与方程组》-考点分析doc
考点分析整体把握课标要求内容对比复习指导整体把握：方程和方程组是工具性极强的数学知识，代数几何中许多问题和生活实际中的应用问题都可以通过列出方程或方程组来解决。
本单元是初中数学的重点内容之一，也是中考命题的核心内容之一，近几年各省市考题中，考查本单元内容的分值平均占到20%左右。
考试题型有填空题、选择题，也就解答题；从难度来说，基础题、中等题及难题都有涉及。
其中一元二次方程根的判别式，根与系数的关系应用较广，考查方式也较多。
出现了与不等式、二次函数及几何方面的新型综合题。
应用方面，仍以列方程（组）解应用题为重点，但题目更贴近生活和生产实际，与国民经济、社会发展的联系越来越密切，题目形式呈现多样化，解法也灵活多变。
预测明年试题也脱不开对所学知识的全面考查，对热点题型及数学思想方法的考查不会减弱，对综合能力的考查可能会增强。
返回课标要求：1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画显示世界的一个有效的数学模型。
2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
3．会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
4．理解配方法，会用因式分解、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
5．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
返回课程标准和原教学大纲之间的区别：返回复习指导：复习好这部分知识要做到：弄清概念；灵活掌握解法；注意“配方法”、“换元法”等数学方法和“转化”的数学思想的应用；具有“学数学、用数学”的意识和提高分析问题的能力。
并且注意观察实际生活，关心国民经济，努力学好数学基础知识，熟练掌握并正确应用到解题中去。
（1）掌握一元一次方程的标准形式ax+b=0（a≠0）和一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），重视其中a≠0的条件。
如方程（m-1）2+3mx-7=0只有在m≠1时才能称为一元二次方程。
（2）对一元二次方程和二元一次方程组进行变形的依据是方程的基本性质：①方程两边都加上或减去同一个整式，方程的解不变；②方程两边都乘或除以同一不为0的数，方程的解不变。
初三综合温习方程与方程组
初三综合温习 方程与方程组一. 教学目标：1. 把握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的概念，2. 使学生把握解方程的大体思想、方式、步骤。
并能熟练运用各技术解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用2. 列方程解决生活实际中的问题例1. 填空题（1）我市某县城为鼓舞居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：假设每一个月用水不超过7立方米，那么按每立方米1元收费；假设每一个月用水超过7立方米，那么超过部份按每立方米2元收费，若是某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为____立方米。
（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有____种换法．（3）假设一个等腰三角形三边长均知足方程x 2－6x ＋8＝0，那么此三角形的周长为____（4）当k 的值是___（填出一个值即可）时，方程x x x k x x --=-221 只有一个实数根。
例2. 方程（m ＋1）x |m|＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例3. •某体育彩票经销商打算用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A ，B ，C 三种不同价钱的彩费，进价别离是A•种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元．（1）假设经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）假设销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时取得手续费最多，你选择哪一种进票方案？例4. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每一个月能售出600个．调查说明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每一个月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例题精讲1. 方程x 111x122+=--的解为＿＿＿＿ 2. 若是方程x2m 12x 1x -=+-+有增根，那么m ＝＿＿＿＿ 3. 把方程x 2＋3＝4x 配方得（ ）A. （x －2）2＝7B. （x －2）2＝1C. （x ＋2）2＝1D. （x ＋2）2＝24. 某车间原打算 x 天内生产零件 50 个，由于采纳新技术，天天多生产零件 5 个，因此提早3 天完成任务，那么可列出的方程为（ ） A. 5x 503x 50+=- B. 53x 50x 50+-= C. 5x 503x 50-=- D. 53x 50x 50--= 5. 我国第一条城际铁路——合宁铁路（合肥至南京）建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由原先的312km 缩短至154km ，设计时速是原先时速的2.5倍，旅客列车运行时刻比原先缩短约3.13h ，求合宁铁路的设计时速。
中考数学方程与方程组综合复习
第二章 方程（组）与不等式（组）本章思维导图第一节 方程与方程组【考点精要解析】考点一：方程（组）的有关概念1．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解（根）．2．—元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1，这样的整式方程叫作一元一次方程．3．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作二元一次方程．4．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最髙次数为2，这样的整式方程叫作一元二次方程．5．分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 考点二：方程（组）的解法 1．等式的基本性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式． 若a ＝b ，则a ±m ＝b ±m ．等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。
若a ＝b ，则am ＝bm ，m a =mb（m ≠0）。
2．—元一次方程的解法（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘分母为1的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax＝b的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以含未知数的项的系数a（a≠0），得到方程的解：x b＝a注意：不要把分子、分母位置颠倒．3．二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是消元．通过代入消元法和加减消元法，把二元一次方程组转化为一元一次方程．4．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：一元二次方程为（x＋a）2＝b（b≥0）或(ax＋b）2＝（cx＋d）2（a ≠c）的形式通常考虑直接开平方法．（2）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．注：若b2—4ac是完全平方数（或式），用十字相乘法解方程比较简单．（3）公式法运用公式法解一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0）的一般步骤是：①把方程化为一般形式．②确定a，b，c的值．③计算b2—4ac的值．④若b2—4ac≥0，则代入公式求方程的根．⑤若b2—4ac<0，则方程无实数根．（4）配方法运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．④化成（x＋m）2＝n的形式．⑤若n≥0，选用直接开平方法得出方程的根．注：若二次项系数为1，一次项系数为偶数，通常考虑用配方法解方程．5．分式方程的解法（1）解分式方程的思想：把分式方程转化成整式方程．（2）解分式方程的步骤①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去． 考点三：一元二次方程根的判别式设一元二次方程为ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0），其根的判别式为∆＝b 2—4ac ，则①∆>0 方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0）有两个不相等的实数根x 1，x 2=aac b b 242-±-②∆＝0 方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0）有两个相等的实数根x 1=x 2=－ab 2 ③∆<0 方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0）没有实数根．注：（1）∆≥0 方程有实数根；（2）若a ，c 异号，则方程有两个不相等的实数根；（3）当∆＝0时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根． 考点四：一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）若一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数， a ≠0）存在两根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－a b ，x 1x 2=ac考点五：列方程（组）解应用题 列方程（组）解决应用题的步骤：（1）审题：明确已知条件和未知条件，以及它们之间的关系． （2）找等量关系：明确题目中的等量关系．（3）设未知数：用字母表示未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数或辅助未知数． （4）列方程：根据等量关系列方程． （5）解方程：选择恰当的方法解方程．（6）检验：检验所求出的方程的根是否符合题意． （7）作答：写出题目最终的答案． 【高频考点过关】考点一：方程（组）的有关概念\ 例题1．已知方程（m ＋3）x1-m ＋2x －1=0（1）若方程是关于x 的一元一次方程，则m 的值为_____________， （2）若方程是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_____________． 答案：（1）2或－2或一3; （2）3． 考点二：方程（组）的解法 例题2．解方程62-x －32+x =1＋21-x 解：去分母，得，（2-x ）－2（2+x ）=6＋3（1-x ）去括号，得：x —2—2x —4＝6＋3x －3，移项，得x —2x —3x ＝6—3＋4＋2，合并同类项，得一4x ＝9，系数化1，得x ＝—49 例题3．（上海中考）解方程组：⎩⎨⎧=---=-02222y xy x y x ． 解：由0222=--y xy x 得（x ＋y ）（x —2y ）＝0，即x ＋y ＝0或x —2y ＝0．∴原方程组可化为⎩⎨⎧=+-=-02y x y x 或⎩⎨⎧=--=-022y x y x 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧-=-=24y x∴原方程组的解为⎩⎨⎧=-=1111y x⎩⎨⎧-=-=2422y x 例题4．解方程：11-x －12+x x =－1 解：去分母，得x ＋1—2x （x —1）＝—x 2＋1．整理，得x 2—3 x ＝0．解得x 1＝0，x 2＝3． 检验：当x ＝0时，（x —l ）（x ＋l ）≠0；当x ＝3时，（x —l ）（x ＋l ）≠0．∴原方程的根为x ＝0或x ＝3．考点三：一元二次方程根的判别式例题5．已知关于x 的方程(k ＋l ）x 2＋2x —1＝0有实数根，则k 的取值范围为___________． 答案：k ≥—2提示：①若k ＋1＝0，方程为一元一次方程，x =21． ②若k ＋1≠0，方程为一元二次方程，则有4＋4（k ＋1）≥0，∴ k ≥—2． 综上所述，k 的取值范围为k ≥—2．考点四：一元二次方程根与系数的关系例题6.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( ). A.－10 B.4 C.－4 D.10 答案：C考点五：列方程(组)解应用题例题7.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多( )元. A.60 B.80 C.120 D.180 答案：C例题8.为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调査了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x ，不吸烟者患肺癌的人数为y ，根据题意，下面列出的方程组正确的是( ).A.⎩⎨⎧x －y ＝22x ×2.5%＋y ×0.5%＝10000B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝22x 2.5%＋y 0.5%＝10000 C.⎩⎨⎧x ＋y ＝10000x ×2.5%－y ×0.5%＝22D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22x 2.5%－y 0.5%＝10000 答案：B例题9.某地计划用120〜180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万m 3.⑴写出运输公司完成任务所需的时间y (单位：天)与平均每天的工作量x (单位：万m 3)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；⑵由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000m 3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万m 3?解：⑴由题意，得y ＝360x .把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x 得x ＝2.∴自变量的取值范围为：2≤x ≤3.∴y ＝360x(2≤x ≤3)⑵设原计划平均每天运送土石方x 万m 3，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万m 3，根据题意，得360x －360x ＋0.5＝24.解得：x ＝2.5或x ＝－3.经检验：x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去.答：原计划每天运送2.5万m 3，实际每天运送3万m 3.例题10.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 解：由题意，得200×(10－6)＋(10－x －6)(200＋50x )＋[(4－6)(600－200－(200＋50x )]＝1250.即800＋(4－x )(200＋50x )－2(200－50x )＝1250. 整理得：x 2－2x ＋1＝0,解得x 1＝x 2＝1,∴10－1＝9. 答：第二周的销售价格为9元. 中考真题链接真题1.(黄冈中考)已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为( ). A.2 B.3 C.4 D.8真题2.(泸州中考)若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ). A.k ＞－1 B.k ＜1且k ≠0 C.k ≥－1且k ≠0 D.k ＞－1且k ≠0 真题3.(枣庄中考)〗对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a ，若2⊕(2x －1)＝1，则x 的值为().A.56B.54C.32D.－16真题4.(铜仁中考)张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x 米/分，则可列得方程为 A.3000x －30001.2x ＝5B.3000x －30001.2x ＝5×60C.30001.2x －3000x＝5D.3000x ＋30001.2x＝5×60真题5.(兰州中考)据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为( ). A.7600(1＋x %)2＝8200 B.7600(1－x %)2＝8200 C.7600(1＋x )2＝8200 D.7600(1－x )2＝8200真题6.(安顺中考)如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝_______.真题7.(咸宁中考)已知⎩⎨⎧x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝7nx －my ＝1的解，则m ＋3n 的立方根为_____.真题8.(威海中考)若关于x 的方程x －1x －5＝m10－2x无解，则m ＝________.真题9.(大兴安岭中考)若关于x 的分式方程2x －ax －1＝1的解为正数，那么字母a 的取值范围是_________.真题10.(白银中考)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x 的值是___________.真题11.(兰州中考)若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是_______.真题12.(绵阳中考)已知整数k ＜5，若等腰△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2－3kx ＋8＝0，则△ABC 的周长是_______. 真题13.⑴(滨州中考)解方程：3x ＋52＝2x －13.⑵(泰州中考)解方程：2x ＋2x －x ＋2x －2＝x 2－2x 2－2x.⑶(黄冈中考)解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧2(x －y )3－(x ＋y )4＝－1123(x ＋y )－2(2x －y )＝3⑷广州中考)解方程：x 2－10x ＋9＝0.真题14.(菏泽中考)已知m 是方程x 2－x －2=0的一个实数根，求代数式(m 2－m )(m －2m ＋1)的值.真题15.(菏泽中考)已知：关于x 的一元二次方程kx 2－(4k ＋1)x ＋3k ＋3＝0(k 是整数). ⑴求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1＜x 2)，设y ＝x 2－x 1，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由.真题16.(北京中考)已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m ≠0). ⑴求证：方程总有两个实数根；⑵若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.真题17.(孝感中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2.⑴求实数k 的取值范围；⑵是否存在实数k 使得x 1x 2－x 21－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由.真题18.(厦门中考)若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”.如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0，都是“偶系二次方程”.⑴判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；⑵对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.真题19.(永州中考)中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一.以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额； 二请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；⑵若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？真题20.(凉山州中考)某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).⑴从运输开始，每天运输的货物吨数n (单位：吨)与运输时间t (单位：天)之间有怎样的函数关系式？⑵因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数. 创新思维训练创新1.下面是小红同学在一次测验中解答的填空题，其中正确的是( ). A.若x ＋12－2x －13＝1，去分母得3(x ＋1)－2(2x －1)＝1.B.方程x (3x －2)＝3x －2的解为x ＝1.C.若方程(m ＋3)x |m |－1＋3mx －1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝3. D.若分式x 2－3x ＋2x －1＝0，则x ＝1，2.创新2.无论k 为何值时，方程(k 2＋1)x 2－2(a ＋k )2x ＋k 2＋4k ＋b ＝0总有一根为1，则ab ＝______.创新3.若方程x －13－1＝3x －2x ＋12与关于x 的方程x ＋6x －a 3＝ax2的解互为倒数，求a 的值.创新4.在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝ax －2y ＝2中.⑴若a ＝4，求方程组的解.⑵若S ＝a (3x －y )，当a 为何值时，S 有最值？※创新5.已知关于x 的一元二次方程mx 2－(3m ＋1)x ＋3＝0①. ⑴求证：此方程总有两个实数根.⑵求证：当m 为不等于0的任意数时，方程总有一个固定的根. ⑶若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值.⑷若方程x 2＋(2m ＋1)x －2m －3＝0与方程①有一个相同的非零实根a ，求(a 2＋a －4)m ＋2a 2＋a ＋3的值.。
初三数学的知识点复习：方程组
初三数学的知识点复习：方程组
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方程(组)
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆ 内容提要☆
一、基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2. 分类：
二、解方程的依据等式性质
1.a=ba+c=b+c
2.a=bac=bc (c0)
三、解法
1.一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项
系数化成1解。
2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入法
②加减法
四、一元二次方程
1.定义及一般形式：
方程组都可用代入法解。
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初三数学总复习-------方程与方程组（一）
一、选择题：
1. 已知方程①3x －1=2x ＋1，②x ＋31=32(x －21)，③23x －1=x ，④27＋431x +=7－413+x 中，解为x=2的是方程 （ ）
A 、①、②和③
B 、①、③和④
C 、②、③和④
D 、①、②和④
2. 方程3
2x －2=3x 的解是 （ ） A 、x=2 B 、x=－11
6 C 、x=－6 D 、x=－76 3.
方程x(x ＋1)=0的根是 （ ） A 、0 B 、1 C 、0和1 D 、0和－1 4.
要使方程ax=a 的解为x=1，必须满足条件 （ ） A 、a 可取任何数 B 、a>0 C 、a<0 D 、a ≠0 5. 已知关于x 的方程
5
1432-=+x a x 的解是非负数，则（ ） A 、53->a B 、53-≥a C 、53>a D 、53-≤a 6.
关于x 的方程(m 2－4)x 2＋5x －3＝0是一元二次方程，则m 满足（ ）
A 、m ≠2
B 、m ≠－2
C 、m ≠±2
D 、m 为任意实数
7. 根为2、－1的一元二次方程是（ ）
A 、x 2－x ＋2＝0
B 、x 2－x －2＝0
C 、x 2＋x －2＝0
D 、x 2＋x ＋2＝0
8. 方程2x 2＋3x ＋2＝0的根的情况是（ ）
A 、有两个相等的实数根
B 、有两个不相等的实数根
C 、有两个实数根
D 、沒有实数根 9. 已知关于x 的一元二次．．．．方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A 、2<k
B 、2<k 且21≠k
C 、21<≤-k
D 、21<≤-k 且2
1≠k 10. 如果0,0<>b
a a ，则22)1()4(+----
b a a b 的值是（ ） A 、－3 B 、3 C 、322++b a D 、522-+-b a
二、填空题：
11. 25与x 的3倍的差比x 的绝对值的2倍大1的方程是______________。
12. 已知方程mx ＋2=2(m －x)的根为x=0.5，那么m= 。
13. 已知－2是方程3a －x=1－2x 的解，那么a= 。
14. 方程x -1=1的解是x= 。
15. 关于x 的方程(m+1)x 2－(m －1)x+2=0,问：
（1）当m 为 ，此方程是一元一次方程？这个一元一次方程的根为 。
（2）当m 为 ，此方程是一元二次方程？这个一元二次方程的二次项系数 、一次项系数 和常数项 。
16、 方程(4x ＋1)(2x －1)=x 2+3化为一般形式是 ．
17、 方程x 2－kx ＋1＝0的一根为2－3，则k ＝ ，另一根为 ．
18、 当m= 时，方程mx 2－3mx+m+5=0有两个相等的实数根，这两个根是
19、 关于x 的二次方程k 2x 2－（2k+1）x+1=0有实数根，则k 的取值范围是
三、解下列方程 ：
20、 （1）
412+x －1=312-x －12110+x （2）23.1-x －2.18.18-x =x x --3
.04.05
21、 （1）x 2＋2x ＝3 （2）3x(x －1)＝2(1－x)
（3） (2x －1)2=(x+1)2 （4）2x 2－5x+3=0
22、 已知关于x 的一元二次方程01)1(2)2(2=++---m x m x m ，当m 为何数时： （1）方程没有一个实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根。
23、 已知关于x 的一元二次方程01)12(22=++-+-m x m x ，求证：无论m 为何值，方程总有两个不
相等的实数根。