中考数学压轴题分类思想
初中数学的压轴题答题技巧
初中数学的压轴题答题技巧很多同学说在解答压轴题的时候，会感到压力很大，找不到解题思路。
不同类型的压轴题所对应的解题思想也存在很大的差异。
今天就来给同学们详细讲讲如何破译中考数学压轴题，帮助大家在考场中从容应对各种类型的压轴题，争取拿到关键的分数！1.分类讨论题分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，以下几点是需要大家注意分类讨论的：1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
2、讨论点的位置一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。
4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。
5、考查点的取值情况或范围。
这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。
7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后（比如从一条线段移动到另一条线段）时，所写的函数应该进行分段讨论。
值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的。
最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。
2.四个秘诀切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。
学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。
切入点二：构造定理所需的图形或基本图形在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的，几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。
在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。
以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。
例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。
从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。
如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。
基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。
二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。
以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。
化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。
化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。
初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。
三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。
中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。
初中数学：压轴题答题技巧,拿到高分技巧
初中数学：压轴题答题技巧，拿到关键的分数很多同学说在解答压轴题的时候，会感到压力很大，找不到解题思路。
不同类型的压轴题所对应的解题思想也存在很大的差异。
今天就来给同学们详细讲讲如何破译中考数学压轴题，帮助大家在考场中从容应对各种类型的压轴题，争取拿到关键的分数！1.分类讨论题分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，以下几点是需要大家注意分类讨论的：1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
2、讨论点的位置一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。
4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。
5、考查点的取值情况或范围。
这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。
7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后（比如从一条线段移动到另一条线段）时，所写的函数应该进行分段讨论。
值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的。
最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。
2.四个秘诀切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。
学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。
切入点二：构造定理所需的图形或基本图形在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的，几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。
切入点三：紧扣不变量在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 用数学思想解决交点问题
与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≤－2
9 B．a＜8
C．1≤a＜98或 a≤－2 D．－2≤a＜98
16．★(2021·贵阳模拟)二次函数 y＝(x－b)2＋b＋1 的图象与一次函数
y＝－x＋5(－1≤x≤5)的图象没有交点，则 b 的取值范围是 ( C )
A．b＜－4
B．2 个
C．3 个
D．4 个
13．(2022·鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一
1 次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，且 k＜0)的图象与直线 y＝3x 都经过点
1 A(3，1)，当 kx＋b＜3x 时，根据图象可知，x 的取值范围是
(A)
A．x＞3
B．x＜3
C．x＜1
D．x＞1
(3)k2x＋b2＝0 的解为 xx＝=－－33.
1．直线 y＝k1x＋b1 与 x 轴交点的横坐标就是方程 k1x＋b1＝0 的解．
2 ． 直 线 y ＝ k1x ＋ b1 与 y ＝ k2x ＋ b2 交 点 的 横 、 纵 坐 标 就 是 方 程 组 yy＝＝kk12xx＋＋bb12，的解． 3．根据满足不等式的图象在交点的左边或右边确定不等式的解集．
直线 x＝1，若关于 x 的一元二次方程 x2－2x－1－t＝0(t 为实数)在－1
＜x＜4 的范围内有实数解，则 t 的取值范围是
(B )
A．t≥－2
B．－2≤t＜7
C．－2≤t＜2
D．2＜t＜7
9．★(2022·孝南区模拟)已知二次函数 y＝－x2＋x＋6，将该二次函数
在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
福建中考数学压轴题思路
福建中考数学压轴题通常包括以下几个部分：图表信息解读：压轴题通常会给出一些图表信息，包括函数图像、几何图形、统计图表等。
考生需要仔细阅读题目，理解图表信息的含义，并从中提取有用的信息。
知识运用：压轴题通常会涉及到多个知识点，考生需要灵活运用所学知识，将知识点进行有机结合，解决问题。
数学思想方法：压轴题通常会考察考生的数学思想方法，如转化、分类讨论、数形结合等。
考生需要理解数学思想方法的含义，掌握其应用技巧。
以下是一些福建中考数学压轴题的思路：函数型压轴题：此类题目通常会考察函数的性质、函数的图像、一次函数、二次函数等知识点。
考生需要理解函数的含义和性质，掌握函数的图像绘制方法，能够根据图像分析函数的性质。
同时，还需要掌握分类讨论的思想方法，根据不同的情况进行讨论。
几何型压轴题：此类题目通常会考察几何图形的性质、面积、周长等知识点。
考生需要理解几何图形的含义和性质，掌握几何图形的面积和周长的计算方法。
同时，还需要掌握数形结合的思想方法，将几何图形与数量关系相结合，进行分析和计算。
统计图表型压轴题：此类题目通常会考察统计图表的应用、概率计算等知识点。
考生需要理解统计图表的含义和作用，掌握统计图表的应用技巧。
同时，还需要掌握概率的计算方法，能够根据实际情况进行概率计算。
应用题型压轴题：此类题目通常会考察实际应用问题的解决能力。
考生需要理解题目的实际意义，掌握应用题的解题方法和技巧。
同时，还需要具备将实际问题转化为数学问题的能力，通过建立数学模型解决问题。
福建中考数学压轴题的思路比较广泛，需要考生具备扎实的基础知识、灵活的思维能力和综合运用的能力。
在备考过程中，考生可以多做一些不同类型的压轴题，不断总结解题方法和技巧，提高自己的解题能力。
同时，还需要注重对数学思想方法的理解和应用，提高自己的数学素养。
中考数学压轴题题型解题思路技巧
中考数学压轴题题型解题思路技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x 的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题思路：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。
以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。
对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。
由已知向未知，由复杂向简单的转换。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
初中数学压轴题解题思路及技巧
初中数学压轴题解题思路及技巧1、学会运用数形结合思想纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题。
另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
2、学会运用函数与方程思想用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。
因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。
例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
3、学会运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行，正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
4、学会运用等价转换思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。
数学分类讨论思想
在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
C
A
D
B
例12、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
C
B
D
A
E
F
如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = , S△AEF= ×10× = 5 (cm2)
1
2
C
B
D
A
17
16
E
F
C
B
D
A
E
F
C
B
D
A
E
F
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元 一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3）在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例 函数 的图象的交点的个数是（ ）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
A
4）、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为 ；
A
C
B
B
A
C
C
B
A
分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4 （2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，另一个交点在延长线上。 3﹤R≦4
例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？
中考数学压轴题常见类型分析
学压轴题常见类
■ 林 永 金
，ＢΒιβλιοθήκη ｝ ｔ ｝ 一 ２
一： Ｄ
四、 创新 性 问题
近年来 ，中考数学命题逐 步由一题把关转 向多 题把关 ， 特别是选择题 、 填空题 中的压轴题已经 由单 纯的知识叠加型转化为知识 、 方法和能力 的综合型 ， 尤其 是创新性 问题 ， 具有 知识 容量大 、 能力要求 高 、 突显数学思想的应用 以及要求学生具有一定 的创新
意识 和 创 新 能力 等特 点 。 如“ 定 义新 概 念 、 新运算” 型 或“ 类 比推理 ” 型等。 “ 定义新概念 、 新运算” 题型成为 中考 的一 个新 亮点 ， 通 过 给 出一 个 新 概 念 ， 或约定一种新 运算 ， 或 给出几个新的模型等创设一种全新 的问题 情境 ， 主
Ａ ２ ＰＡ ３ Ｍ
图④
图②
只的左下端剪 去一个 半径 为 的半 圆后得 到冈形 直径 为前一个
只， …， 记 纸 板
．
（ １ ） 当ｎ ＝ ３ 时， 如 图②所示 ， 将线段绕点 顺时针 旋转６ ０ ｏ 得 到线段Ｐ Ⅳ， 联结Ａ√ ｖ 。 （ ｉ ） 求证 ： 厶４ ｌ ｜ ｐ ＝ ＬＮ Ｐ Ａ ； （ ｉ ｉ ） 求 Ｍ 的大小 ； （ ２ ） 当ｎ ＝ ｋ （ ｋ ≥４ ） 时， 将线段Ａ。 Ｐ 绕点Ｐ 』 贞 ｌ 时针旋
要考查学生独立提取信息 、 加工信息的能力 ， 要求考 生在 阅读理解的基础上 ，紧扣条件 ，抓住关键的信 息， 实现信息的转化 ， 达到灵活解题 的 目的。 例４ 为提高信息传输 的保密性 ， 通常在原信息 中按一定规律加入相 关数据组成传输信息。设原信 息为 。 ａ ２ ， ａ ｌ （ ｉ ＝ ０ ， １ ， ２ ） 是０ 、 １ 中的任意一个 数 ， 传 输
中考数学选填压轴题题型归类(学生版)
选填压轴题题型归类1.目录一、热点题型归纳【题型一】二次函数中的多结论问题【题型二】几何问题中的多结论问题【题型三】几何动点与函数图像问题【题型四】几何中的折叠问题【题型五】几何中的阴影面积问题【题型六】几中的旋转问题【题型七】动态几何的最值问题二、最新模考题组练1热点题型归纳一、子集与真子集的定义与表示题型一:二次函数中的多结论问题【典例分析】1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(-1，0)，其对称轴为直线x=1．下列结论，其中正确的有()①abc<0；②b2-4ac<0；③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；⑤点C(x1，y1)、D(x2，y2)是抛物线上的两点，若x1<x2，则y1<y2；⑥若抛物线经过点(-3，n)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3，5．A.2个B.3个C.4个D.5个【提分秘籍】一般解题思路：①特殊值法：当x分别等于1、2、3、-1、-2、-3时，函数值分别为a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c......②对称轴：灵活应用对称轴-b2a和判别式b2-4ac；③通过①和②中的特殊值进行相加减构造新的结论。
【变式演练】1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-12，且与x轴的一个交点坐标为(-2，0)．下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是()A.①③B.②④C.③④D.②③2如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是-1≤x<3；④点(-2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1 <0<y2.其中结论正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，0<a<c)经过点(1，0)，有下列结论：①2a+b<0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.34已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc>0，②b-2a<0，③a-b+c>0，④a+b>n(an+b)，(n≠1)，⑤2c<3b．正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤题型二:几何问题中的多结论问题【典例分析】1如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：(1)AE= BF；(2)AE⊥BF；(3)AO=OE；(4)S△AOB=S中正确的有()四边形DEOFA.4个B.3个C.2个D.1个【提分秘籍】建议多熟悉数学模型，能更快速的知道结论的正确性，例如：四边形中的十字架模型、中点四边形模型、对角互补模型等；【变式演练】1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA．其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EH=FG，②EH=HG，③四边形EFGH是菱形，④EG⊥FH．其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①AE=EF；②CF=2BE；③∠DAF=∠CEF；④△CEF面积的最大值为16．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个4如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF 交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD•CM．其中，正确结论的序号是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④题型三:几何动点与函数图像问题【典例分析】1如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-B-C匀速运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数关系图象大致是()A. B.C. D.【变式演练】1如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF 的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()A. B.C. D.2如图(1)，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图(2)所示，则边BC的长是()A.20B.23C.24D.63如图，四边形ABCD是正方形，AB=2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y 与x函数关系的是()A. B.C. D.4如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=43cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.题型四:几何中的折叠问题【典例分析】1如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ′、C ′位置，ED ′的延长线与BC 相交于点G ，若∠1=140°，∠GFC ′=．2正方形ABCD 中，AB =2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折叠得到△FDE ，FH ⊥BC ，垂足为H ，则FH =．【提分秘籍】一般解题思路：求角度：需要利用三角形内角和、外角的性质、平行线的性质等进行运算，必要时列方程(组)解答；求边长：首选构造直角三角形，通过勾股定理求值；其次利用全等相似或三角函数进行求解。
中考数学压轴题(分类思想)
我要中考网 整理收集中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填——一锤定音1.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是__________________. 解析:分⊙A 与⊙C 内切、外切两种情况. 答案:1<r<8或18<r<252.在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是3和2,则∠BAC 的度数为__________________. 解析:(1)∠BAC=∠CAD-∠BAD=45°-30°=15°. (2)∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°. 答案:15°或75°3.直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_____________. 解析:5和m 都有可能为斜边. 答案:414120512或4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3 cm 和4 cm,则此正方形的边长为____________ cm. 解析:分以下两种情况讨论.答案:7123760或 5.一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长是4 cm,则它的腰长是_______________. 解析:一边长为4 cm,可能为腰也可能为底. 答案:4 cm 或5 cm6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为____________. 答案：9或57.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_______________.解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能. 答案:35,34512,583,25或或 8.用一张边长分别为10 cm 、8 cm 的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_________________(结果可带π).解析:10 cm 、8 cm 均有可能为圆柱的高. 答案:cm cm ππ54或二、精心选一选——慧眼识金9.如图1-3-2,⊙O 的直径为10 cm,弦AB 为8 cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数,则满足条件的点P 有( )图1-3-2A.2个B.3个C.4个D.5个 答案：D10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )A.2B.3C.4D.5 答案：A11.P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 解析:如图.答案:C12.如图1-3-3,在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,AD=12.在AB 上取一点E,使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似,则AE 的长为( )图1-3-3A.16B.14C.16或14D.16或9解析:(1)ACAEAB AD AB AE AC AD ==)2(;. 答案:D13.若实数a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0,则1111--+--b a a b 的值为( ) A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20 解析:分a=b,a≠b 两种情况. 答案:D14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C 作直线交x 轴于点D,使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的直线最多可以作( )A.2条B.3条C.4条D.6条 答案：C 15.若解方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是( ) A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2解析:原式化为x 2-2x-m-2=0. 原方程有增根,即x=0或x=-1. 答案:D16.在Rt △ABC 中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是( )A.5B.10C.5或4D.10或8 解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边. 答案:D三、用心做一做——马到成功17.(2005安徽课改中考,21)下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰△ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示) 分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.答案:(1)上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下: (ⅰ)当∠A 是顶角时,设底角是α. ∴30°+α+α=180°,α=75°. ∴其余两角是75°和75°. (ⅱ)当∠A 是底角时,设顶角是β, ∴30°+30°+β=180°,β=120°. ∴其余两角分别是0°和120°.(2)感受中答:有“分类讨论”“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的即可. 18.(2006广东深圳中考,21)如图1-3-4,抛物线y=ax 2-8ax+12a(a<0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC.图1-3-4(1)求线段OC 的长.(2)求该抛物线的函数关系式.(3)在x 轴上是否存在点P,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由ax 2-8ax+12a=0(a<0)得x 1=2,x 2=6, 即OA=2,OB=6. ∵△OCA ∽△OBC, ∴OC 2=OA·OB=2×6. ∴OC=32(-32舍去). ∴线段OC 的长为32. (2)∵△OCA ∽△OBC, ∴31322===OC OA BC AC .设AC=k,则BC=3k.由AC 2+BC 2=AB 2得k 2+(3k)2=(6-2)2. 解得k=2(-2舍去). ∴AC=2,BC=32=OC.过点C 作CD ⊥AB 于点D,∴OD=21OB=3. ∴CD=322=-OD OC . ∴C 的坐标为(3,3).将C 点的坐标代入抛物线的解析式得3=a(3-2)(3-6),∴a=-33.∴抛物线的函数关系式为y=34338332-+-x x . (3)①当P 1与O 重合时,△BCP 1为等腰三角形.∴P 1的坐标为(0,0). ②当P 2B=BC 时,(P 2在B 点的左侧),△BCP 2为等腰三角形. ∴P 2的坐标为(6-32,0).③当P 3为AB 的中点时,P 3B=P 3C,△BCP 3为等腰三角形. ∴P 3的坐标为(4,0). ④当BP 4=BC 时(P 4在B 点的右侧),△BCP 4为等腰三角形. ∴P 4的坐标为(6+32,0).∴在x 轴上存在点P,使△BCP 为等腰三角形,符合条件的点P 的坐标为(0,0),(6-32,0)(4,0),(6+32,0).19.(2006上海中考,25)已知点P 在线段AB 上,点O 在线段AB 延长线上.以点O 为圆心,OP 为半径作圆,点C 是圆O 上的一点.图1-3-5(1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO. 求证:△CAO ∽△BCO;(2)如果AP=m(m 是常数,且m>1),BP=1,OP 是OA 、OB 的比例中项.当点C 在圆O 上运动时,求AC ∶BC 的值(结果用含m 的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系,并写出相应m 的取值范围. (1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴2==BO POPO AO . ∵PO=CO,∴BOCOCO AO =. ∵∠COA=∠BOC,∴△CAO ∽△BCO. (2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m, ∵OP 是OA 、OB 的比例中项, ∴x 2=(x-1)(x+m),得x=1-m m ,即OP=1-m m .∴OB=11-m . ∵OP 是OA 、OB 的比例中项,即OBOPOP OA =.∵OP=OC,∴OBOCOC OA =. 设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q,当点C 与点P 、点Q 不重合时, ∵∠AOC=∠COB,∴△CAO ∽△BCO.∴m OBOPOB OC BC AC OB OC BC AC ===∴=.; 当点C 与点P 或点Q 重合时,可得BCAC=m,∴当点C 在圆O 上运动时,AC ∶BC=m.(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1), AC+BC=(m+1)BC,圆B 和圆C 的圆心距d=BC, 显然BC<(m+1)BC,∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含. 当圆B 与圆C 相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2. ∵m>1,∴1<m<2.当圆B 与圆C 内切时,(m-1)BC=BC,得m=2. 当圆B 与圆C 内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式; (2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大? (说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克) 解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤<<+-.180150,2052,150120,80,1200,16032t t t t t (2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,385), ∴385=a(60-110)2+20.∴a=3001.∴z=3001(t-110)2+20(t>0).(3)设纯收益单价为W 元,则W=销售单价-成本单价.故W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---+<≤---<<---+-.180150,20)110(30012052,150120,20)110(300180,1200,20)110(300116032222t t t t t t t t 化简得W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--<<+--.180150,56)170(3001,150120,60)110(3001,1200,100)10(3001222t t t t t t ①当W=-3001(t-10)2+100(0<t<120)时,有t=10时,W 最大,最大值为100;②当W=-3001 (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W 最大,最大值为3259;③当W=-3001(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W 最大,最大值为56.综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.21.(2006云南课改中考,25)如图1-3-8,在直角坐标系中,O 为坐标原点, OABC 的边OA 在x 轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D 是BC 的中点,延长AD 交OC 的延长线于点E.图1-3-8(1)画出△ECD 关于边CD 所在直线为对称轴的对称图形△E 1CD,并求出点E 1的坐标; (2)求经过C 、E 1、B 三点的抛物线的函数表达式;(3)请探求经过C 、E 1、B 三点的抛物线上是否存在点P,使以点P 、B 、C 为顶点的三角形与△ECD 相似.若存在这样的点P,请求出点P 的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由. 解:(1)过点E 作EE 1⊥CD 交BC 于F 点、交x 轴于E 1点,则E 1点为E 点的对称点. 连结DE 1、CE 1,则△CE 1D 为所画的三角形.∵△CED ∽△OEA,21=OA CD , ∴EAEDOA CD EO EC ==. ∵EF 、EE 1分别是△CED 、△OEA 的对应高, ∴211==OA CD EE EF .∴EF=21EE 1. ∴F 是EE 1的中点.∴E 点关于CD 的对称点是E 1点,△CE 1D 为△CED 关于CD 的对称图形. 在Rt △EOE 1中,OE 1=cos60°×EO=21×8=4. ∴E 1点的坐标为(4,0).(2)∵ OABC 的高为h=sin60°×4=32. 过C 作CG ⊥OA 于G,则OG=2.∴C 、B 点的坐标分别为(2,32)、(8,32).∵抛物线过C 、B 两点,且CB ∥x 轴,C 、B 两点关于抛物线的对称轴对称, ∴抛物线的对称轴方程为x=5. 又∵抛物线过E 1(4,0),则抛物线与x 轴的另一个交点为A(6,0). ∴可设抛物线为y=a(x-4)(x-6). ∵点C(2,32)在抛物线上,∴32=a(2-4)(2-6),解得a=43. ∴y=43(x-4)(x-6)=36235432+-x x . (3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD 中∠ECD=60°,若△BCP 与△ECD 相似,则△BCP 中必有一个角为60°.下面进行分类讨论: ①当P 点在直线CB 的上方时,由于△PCB 中,∠CBP>90°或∠BCP>90°. ∴△PCB 为钝角三角形.又∵△ECD 为锐角三角形, ∴△ECD 与△CPB 不相似.从而知在直线CB 上方的抛物线上不存在点P 使△CPB 与△ECD 相似. ②当P 点在直线CB 上时,点P 与C 点或B 点重合, 不能构成三角形. ∴在直线CB 上不存在满足条件的P 点. ③当P 点在直线CB 的下方时, 若∠BCP=60°,则P 点与E 1点重合. 此时,∠ECD=∠BCE 1,而43,641==CE CD CB CE , ∴CBCDCE CE ，CE CD CB CE ≠≠11且. ∴△BCE 1与△ECD 不相似. 若∠CBP=60°,则P 点与A 点重合.根据抛物线的对称性,同理可证△BCA 与△CED 不相似.22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy 中,点M 在x 轴的正半轴上,⊙M 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 、D 两点,且C 为的中点,AE 交y 轴于G 点,若点A 的坐标为(-2,0),AE=8.图1-3-9(1)求点C 的坐标.(2)连结MG 、BC,求证:MG ∥BC.(3)如图1-3-10,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P.动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PFOF的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.图1-3-10答案：(1)解:方法一:∵直径AB ⊥CD,∴CO=21CD. ∵,C 为的中点,∴.∴.∴CD=AE.∴CO=21CD=4. ∴C 点的坐标为(0,4).方法二:连结CM,交AE 于点N, ∵C 为的中点,M 为圆心,∴AN=21AE=4,CM ⊥AE. ∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM 和△COM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,CM AM COM ANM AMN CMO∴△ANM ≌△COM.∴CO=AN=4. ∴C 点的坐标为(0,4).(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2. 由OC 2+OM 2=MC 2得42+(r-2)2=r 2. 解得r=5. ∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG ∽△ANM.∴AN AOMN OG =. ∵MN=OM=3,即423=OG .∴OG=23. ∵OBOMOC OG OB OM OC OG ====,83,8345.1. ∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM ∽△COB. ∴∠GMO=∠CBO.∴MG ∥BC.(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分) (3)解:连结DM,则DM ⊥PD,DO ⊥PM, ∴△MOD ∽△MDP,△MOD ∽△DOP. ∴DM 2=MO·MP, DO 2=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分) 即42=3·OP.∴OP=316. 当点F 与点A 重合时,5323162=-==AP AO PF OF ,当点F 与点B 重合时,5383168=+==PB OB PF OF . 当点F 不与点A 、B 重合时,连结OF 、PF 、MF.∵DM 2=MO·MP,∴FM 2=MO·MP. ∴FMMP OM FM =. ∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO ∽△MPF. ∴53==MF MO PF OF . ∴综上所述,PF OF 的比值不变,比值为53. 23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1经过点A(-2,0)和点B(0,332),直线l 2的函数表达式为y=-33433+x ,l 1与l 2相交于点P.⊙C 是一个动圆,圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a.过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M.图1-3-11(1)填空:直线l 1的函数表达式是________________,交点P 的坐标是________________,∠EPB 的度数是________________.(2)当⊙C 和直线l 2相切时,请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R,并写出R=32-2时a 的值.(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,已知⊙C 的半径R=23-2,记四边形NMOB 的面积为S(其中点N 是直线CM 与l 2的交点).S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)y=33233+x P(1,3) 60° (2)设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示,D 是切点,连结CD,则CD ⊥PD.过点P 作CM 的垂线PG ,垂足为G,则Rt △CDP ≌Rt △PGC.(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC) 所以PG=CD=R.当点C 在射线PA 上,⊙C 和直线l 2相切时,同理可证.取R=23-2时,a=1+R=23-1或a=-(R-1)=3-23.甲(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,由(2)知分两种情况讨论:①如图乙,当0≤a≤23-1时,S=21a a a a 363)]33433(332[2+-=∙+-+.乙当a=-)63(23-⨯=3时(满足a≤23-1),S 有最大值,此时S 最大值=)329(233)63(43或=-⨯-. ②当3-23≤a<0时,显然⊙C 和直线l 2相切,即a=3-23时,S 最大,此时S 最大值=21［334)233(33332+--］·|3-23|=233. 综合以上①和②,当a=3或a=3-23时,存在S 的最大值,其最大面积为223. 24.(2006湖南常德中考,26)把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起,使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动,让三角板DEF 绕点O 旋转,设射线DE 与射线AB 相交于点P,射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1-3-12(1),当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时,易证△APD ∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.(2)将三角板DEF 由图1-3-12(1)所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ 的值是否改变?说明你的理由.(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y 与x 的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).图1-3-12分析:(1)问比较简单但很重要;(2)类似上问的方法思想.解:(1)8(2)AP·CQ 的值不会改变,理由如下: 如右图,在△APD 与△CDQ 中,∠A=∠C=45°,∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ.∴△APD ∽△CDQ.∴CQCD AD AP . ∴AP·CQ=AD·CD=AD 2=(21AC)2=8. (3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D 作DG ⊥AP 于G ,DN ⊥BC 于N, ∴DG=DN=2.由(2)知AP·CQ=8得AP=x 8. 于是y=21AB·AC-21CQ·DN-21AP·DG=8-x-x8(2<x<4). 情形二:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ, 由于AP=x 8,PB=x 8-4,易证:△PBM ∽△DNM,∴22,PB BM BM DN PB MN BM =-=即. 解得BM=xx PB PB --=+44822. ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-xx --448. 于是y=21MQ·DN=4-x-xx --448(0<x≤2). 综上所述,当2<x<4时,y=8-x-x 8. 当0<x≤2时,y=4-x-x x --448(或y=xx x -+-4842).。
谈谈数学中考几种压轴题的解题思想
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谈 谈 数 掌 中考 几种 轴题 的 解 题 飓 想
文 ／ 建 波 林
数学综合题是初中数学中覆盖而最广、 综合性最强 的题型 ， 近 速度 向右移动 ， 直到点 Ｎ与点 Ｂ重合为止 。 几 年 的中考压 轴题 多 以数学综 合 题 的形 式 出现 。解数 学综 合题 一 般可分为认真审题 、 理解题意， 探求解题思路 ， 正确解答三个步骤。 解数学综合题必须要有科学的分析问题 的方法。数学思想是解数 学 综合题 的灵 魂 ，要 善 于总结 解数 学综 合题 中所 隐含 的重 要的 转 化思想、 数形结合思想、 分类讨论的思想 、 类比的思想等 ， 要结合实 际问题加以领会与掌握 ， 这是学 习解综合题的关键 。 （ ） 当等腰直角三 角形 Ｐ １设 ＭＮ移动 ｘｓ ， （时 等腰直角三 角 ） 在这里介绍一些有用的策略与方法 ， 让读者在学 习数学 的 过程中， 能有一些遵循 的模式与法则 。当然并不是所有 的问题 形 Ｐ ＭＮ与等腰梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ重叠部 分的面积 为 ｙ ｍ） Ｙ Ｘ （ ２求 与 ｃ ， 都能经 由这些模式去解 决 ， 只是 试图提出一些理性 的 、 有效率 之 间 的 函数 表 达式 。 的建议 ， 以提供读者参考 。 （ ）当 ｘ ４ ）时 ，求 等腰直角三 角形 Ｐ Ｎ与等腰梯形 ２ ＝ ｓ Ｍ ＡＣ Ｂ Ｄ重叠 部 分 的而 积 。 数 形 结 合 思 想 数 形 结 合 是 数 学 解题 中 常用 的思 想 方 法 ， 形 结 合 的思 想 分 析 ： 出 分界 点 Ｄ， 出 每 一 时 刻 的 图形 （ １ 图 ２， 两 种 数 找 画 图 ， ）分 可 以使某些抽象 的数学 问题 直观化 、 生动化 ， 能够变抽 象思维 情 况类 讨 论 ： 为形象思维 ， 助于把握数学问题的本质 ； 有 另外 ， 由于使用 了数 ①当边 Ｐ Ｎ与线段 Ａ Ｄ相交时， 重叠部分的形状是“ 等腰直角 形 结合 的方 法 ， 多 问 题 便 迎 刃 而 解 ， 解 法 简捷 。 很 且 三角形”图 １ ， （ ）这时， 求得 Ａ Ｎ的取值范围：＜ Ｎ≤６ 即 ０ ｘ 。 ０Ａ ， ＜ ≤６ 题 型 ： 在 性 问题 存 ② 当边 Ｐ Ｎ与线段 Ｄ Ｃ相交 时 ， 重叠部分的形状是“ 等腰梯 （ ）Ａ ６ Ｎ≤１ ， ６＜ ≤ １ 。 ０即 ｘ ０ 近 几 年 的 中考 数 学 试 题 中， 关 函 数 图 象 存 在 性 问题 屡 见 形 ” 图 ２ ， Ｎ的 取值 范 围 ： ＜Ａ 有 不 鲜 。 类 试 题 知识 面广 ， 法灵 活， 巧 性 强 。 除 了考 查 考 生 解题思路 ： 出分界线（ ）将各个时刻 的图形分别画出 ， 同 这 方 技 它 找 点 ， 相 的 相关 基 础 知 识 外 ， 特 别 注 重 考 查 分析 转 化 能 力 、 形 结 合 图形或求解相同的归为 同类 ， 还 数 进行分类讨论 。 思想 的运 用 能 力 以及 探 究 能 力 。 此类 综 合 题 ， 不仅 综 合 了 “ 数 函 Ｐ 及其图像” 一章 的基本知识 ， 还涉及方程（ 、 组）不等式 （ ） 组 及几何 的许多知识点 ， 是中考命题的热点。根据数形结合的特点 ， 函数 将 问题 、 问题转 化为 方程 问题 ， 几何 往往是 解题 的关键 。 例 １ 图， ． 如 已知 二 次 函数 图像 的 顶点 坐标 为 Ｃ 一２ ０ ， （ ，）直 线 ｙ ｘ４与 该 二 次 函数 的 图像 交 于 Ａ ０ ４ 、 点 ， Ｄ 为直 ＝＋ （ ， ）Ｂ两 点 图 线Ａ Ｂ与这个 二次 函数 图像对称轴的交点 。 三 、 比 思 想 类 （ ） 二 次 函 数 的解 析式 及 点 Ｂ 的坐 标 。 １求 （） 线段 Ａ ２在 Ｂ上 是 否 存 在 点 Ｐ 点 Ｅ在 这 个 二 次 函 数 图 （ 类 比法 不 仅 是 一 种 以 特殊 到特 殊 的 推理 方 法 ， 也是 一种 寻 猜测 问题答案或结论的发现方法。通过类 比命题 像上 ）使得 四边形 Ｄ Ｅ ， Ｃ Ｐ是平行 四边形 ？如果存在 ， 求点 Ｐ的 求解题思路 、 坐标。 的解决思路和方法的启发 ， 寻求原命题 的解决思路与方法 。 题型 ： 法 型 问题 方 例 ３（０ ８ 京 市 ） 阅 读 下列 材 料 ： ． ０北 ２ 请 问题 ： 图 １在菱形 Ａ Ｃ 如 ， Ｂ Ｄ和菱形 Ｂ Ｆ Ｅ Ｇ中， Ａ Ｂ Ｅ在 点 、、 分析 ： ①设 元 ：（ ｎ Ｐ ｍ，） 同一条直线上 ， Ｐ是线段 Ｄ Ｆ的 中点 ， 连接 Ｐ 、 Ｃ Ｇ Ｐ 。若 Ａ Ｃ＝ Ｂ ②找 出等量关系 ， 列关于 ｉ、 方程组 ｎｎ Ｂ Ｆ ６。， Ｐ Ｐ Ｅ ： ０ 探究 Ｇ与 Ｃ的位置关系及｛ 的值。 等量关系 １点 Ｐ在直线 Ａ ： Ｂ上 ， 列方程为 ｎ ｍ＋ 。 ＝ ４ 等 量 关 系 ２ 线 段 等量 Ｄ ＝ Ｅ ， 方 程 为 ｎ ｍ ２ ２ ： Ｃ Ｐ ．列 一（ ＋ ） 。 ＝ ③ 解 关 于 ｎ、 ｌｎ的方 程 组 。 二 、 类思 想 分 数 学 分类 思 想 ， 就是 根据 数 学 对 象 本质 属 性 的相 点 与 不 圈１ ■２ 同点 ， 其 分 成 几 个 不 同种 类 的一 种 数 学 思 想 。它 既 是 一 种重 将 要 的数学思想 ，又是一种重要 的数学逻辑方法 。 数学分类讨 小聪同学 的思路是 ： 长 Ｇ 延 Ｐ与 Ｄ Ｃ交于点 Ｈ， 构造全等三 论方法 ， 就是将数学对象分成 几类 ， 分别 进行讨论从 而解决 问 角形 ， 经过推理使 问题得到解决 。 题 的一种 数 学 方 法 。 请你参考小聪 同学的思路 ， 探究并解决下列 问题 ： 题型： 关于图形运动产生 的面积函数关 系问题
数学分类讨论
3
C
7.分类讨论在平行四边形中的应用
【例16】在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（ 4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶 y 点不可能在（ C ） A .第一象限
B .第二象限 (-1,2) (3,2) (7,2)
C .第三象限
D .第四象限
o
(4,0)
x
(1,-2)
P1
A
【例7】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在 x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共 y 有 4 个 当A为顶点时
OA=AP
1
P1(2,0)
当O为顶点时 当P为顶点时
OA=OP
2
2
P2 -1
.A (1,1)
P1 P4 1 P3
P2( 2 ,0), P3(
P
.
x
AP AD x 2 14 时，有ADP ~ BCP, 得 ,x ; BP BC 7x 3 5 AP AD x 2 (2)当 时，有ADP ~ BPC, 得 , x1 1, x2 6 BC BP 3 7x 14 综上所述：AP的长为 ,1或6. 5
7-x
B
P4( 1, 0 )
,0),
o
-1
x
AP=OP
3.分类讨论在直角三角形中的应用
（1）在直角三角形中找斜边：
【例8】 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径 是（ D ） A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8
思路分析： 直角三角形的边BC可能是直角边也可能是斜边，所以 必须分情况讨论。
2
4 （k 1) 2 4 (k 2 1) 8k 8 0，得k 1 k 1, k 1, 且k 1 综上所述：k的取值范围是 k 1
中考数学压轴题的一题多解思路
（ ）（ ）分两种情况 ： ２ ７分 ①（ ３分） 当点 Ｐ 为直角顶点时 ， ， 点 Ｐ 与 点 Ｂ 重合 （ 图 ） 、 ＝Ｏ 得 － 如 令 ， ，
ｏ
｝
１＝ｋ ｂ ｆ３ ＋ ｏ ３ｂ ’ ：
‘ ． ．
．ｋ 一 ｆ １ ＝ 一 ： １ ３ ｂ
Ｙ＝一 ＋３
‘ ．
‘Ｄ ２在 Ｙ＝一 ＋３ 上 ， Ｐ Ｘ ｚ在
１ 、本题以平面直角坐标 系为 背景 ， 考查 了学生对二次函数的理解 ，主要考 查 用待 定 系数法 求二 次 函数 的解析 式 等基础 知识 、基本技能。此题第一 问入 口容 易 ，易上手得分 。 ２ 、第二问 以动带 静 ，考 查数型结 合思想、分类讨论 等。 ３ 、第三 问要 在第二 问的基础上再 分类讨论。
＿‘
１
●
．
．
‘ ． ．
△Ｐ ＡＤ是直角三角形 ， Ｐ的坐 标为 Ｐ ２ ：（ ，一１ ）
Ｉ ，
１
●
Ｄ
ｐ
直
线 ＡＣ：
Ｙ ＝－ － Ｘ＋３ ，
Ｄ 嚣 ”， ＾ ｊ ＼： 一 ／ ，
‘ ｎ ｆ ． 、 ’ ．１
Ｄ ｘ， ｘ ３ ， （ － ＋） Ｄ ＝— ＋ 一（ ｘ ） － ￣ ｘ， Ｐ ｘ ３ ｘ一４ ＋３－ ｘ＋３
在每年 的初 中升学数学复 习时 ，教
‘
．
‘ 抛物线的顶点为 Ｑ （ ，－ ） ２ １
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
中考数学压轴题是考试中最难的一道题，其难度和复杂程度相对于其他题目较高，需要考生具备一定的数学思想和解题思路才能够解答出来。
以下是对中考数学压轴题的数学思想及解题思路进行分析。
数学思想：
1. 数形结合的思想
数形结合是一种数学思想，指的是通过几何图形来解决数学问题。
在数学压轴题中，考生需要通过画图、构建模型等方式将问题转化成几何图形问题，然后再求解。
2. 数量关系的思想
数量关系是指数学中各种量之间的联系和变化规律。
在数学压轴题中，考生需要通过建立各种量之间的关系，从而解决问题。
3. 分析与综合的思想
分析与综合是人类思维的特点之一，指的是将一个整体拆分成几个部分，对每个部分进行分析，最后将各个部分综合起来，形成一个完整的结论。
在数学压轴题中，考生需要通过分析和综合，找到问题的本质和解决办法。
解题思路：
1. 理清题意
数学压轴题往往涉及多个概念和知识点，考生需要认真读题，理清题意，把握问题的核心和难点，避免在解题过程中出现误解。
2. 分析数据
在理清题意之后，考生需要分析数据，找到其中的规律和特点，将数据转化为数学模型或形式化表示，并用数学方法进行计算和分析。
4. 检查答案
最后，考生需要对答案进行检查，确保计算的准确性和解决方案的可行性。
在此过程中，考生需要回顾一遍题意，确认自己的计算步骤和结果是否符合题目要求。
综上所述，中考数学压轴题需要考生具备数形结合、数量关系、分析与综合等数学思想，并遵循理清题意、分析数据、综合分析、检查答案的解题思路，才能够完成高难度的数学问题。
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路中考数学压轴题，是指在中考数学试卷中，较为难度较大、考查学生数学思想和解题能力的题目。
通常这些题目不仅要求学生熟练掌握基本的数学知识和技巧，更重要的是要求学生具备较高的数学思维能力和解题能力。
下面将试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路。
一、数学思想1. 抽象思维中考数学压轴题往往涉及到抽象的数学概念和思维，需要学生具备较强的抽象思维能力。
比如在代数与方程题型中，学生需要将具体的问题抽象成代数表达式或方程式，然后通过对数学概念的把握和理解，得出结论或解决问题。
这就要求学生能够灵活运用代数符号和运算规则，进行变量代换和整理化简，从而找到问题的解决方法。
2. 推理与证明中考数学压轴题中，常常出现需要学生进行推理和证明的题目。
这类题目往往需要学生对数学定理或性质有深入的理解，然后运用逻辑推理进行证明。
这就要求学生在解题过程中，要清晰地把握定理的前提条件和结论，进行逻辑推理，找出合适的思路和方法，合理地推演出证明过程，得出结论。
3. 综合思维中考数学压轴题通常是综合性较强的题目，需要学生将所学的数学知识和技巧进行整合和应用。
这就要求学生能够在解题过程中，将数学概念、方法和技巧进行有效地组合和运用，找出解决问题的最佳路径。
这就需要学生具备较强的综合思维能力，能够跨学科、跨知识领域进行思考和解决问题。
二、解题思路1. 深入理解题目在面对中考数学压轴题时，首先要深入理解题目所描述的情境和问题，明确题目所要求解决的核心内容。
这就要求学生要具备较强的数学直觉和分析能力，能够迅速抓住问题的关键点，确定解题的思路和方法。
2. 运用数学知识和技巧在确立解题思路后，就需要学生灵活运用所学的数学知识和技巧，对题目进行分析和处理。
比如在几何题型中，需要学生结合几何图形的特点和性质，应用几何定理和公式，求解几何问题；在代数与方程题型中，需要学生根据问题的描述，建立代数模型，列出方程式，然后运用解方程的方法，得出问题的解答。
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中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填——一锤定音1.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是__________________. 解析:分⊙A 与⊙C 内切、外切两种情况. 答案:1<r<8或18<r<252.在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是3和2,则∠BAC 的度数为__________________. 解析:(1)∠BAC=∠CA D-∠BAD=45°-30°=15°. (2)∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°. 答案:15°或75°3.直角三角形三边之长为5、4、m,则此三角形斜边上的高为_____________. 解析:5和m 都有可能为斜边. 答案:414120512或 4.若正方形四个顶点分别在直角三角形三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3 cm 和4 cm,则此正方形的边长为____________ cm. 解析:分以下两种情况讨论.答案:7123760或 5.一个等腰三角形的周长为14 cm,且一边长是4 cm,则它的腰长是_______________. 解析:一边长为4 cm,可能为腰也可能为底. 答案:4 cm 或5 cm6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则底边长为____________. 答案：9或57.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,三角形框架的另两边长可以是_______________.解析:与2对应的边中,4、5、6均有可能.答案:35,34512,583,25或或 8.用一张边长分别为10 cm 、8 cm 的矩形纸片做圆柱的侧面,所得圆柱的底面半径为_________________(结果可带π).解析:10 cm 、8 cm 均有可能为圆柱的高. 答案:cm cm ππ54或二、精心选一选——慧眼识金9.如图1-3-2,⊙O 的直径为10 cm,弦AB 为8 cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数,则满足条件的点P 有( )图1-3-2A.2个B.3个C.4个D.5个 答案：D10.在同一个平面内,四条直线的交点个数不能是( )A.2B.3C.4D.5 答案：A11.P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 解析:如图.答案:C12.如图1-3-3,在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是AC 上一点,AD=12.在AB 上取一点E,使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似,则AE 的长为( )图1-3-3A.16B.14C.16或14D.16或9 解析:(1)ACAEAB AD AB AE AC AD ==)2(;.答案:D13.若实数a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0,则1111--+--b a a b 的值为( ) A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20 解析:分a=b,a≠b 两种情况. 答案:D14.在直角坐标系中,已知点A(-2,0)、B(0,4)、C(0,3),过点C 作直线交x 轴于点D,使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似,这样的直线最多可以作( )A.2条B.3条C.4条D.6条 答案：C 15.若解方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是( ) A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2解析:原式化为x 2-2x-m-2=0. 原方程有增根,即x=0或x=-1. 答案:D16.在Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是( )A.5B.10C.5或4D.10或8 解析:BC=8有可能是直角边,也有可能是斜边. 答案:D三、用心做一做——马到成功17.(2005安徽课改中考,21)下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰△ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示) 分析:此题应树立分类讨论思想,考虑问题要全面.答案:(1)上述两同学回答的均不全面,应该是其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.理由如下:(ⅰ)当∠A 是顶角时,设底角是α. ∴30°+α+α=180°,α=75°. ∴其余两角是75°和75°. (ⅱ)当∠A 是底角时,设顶角是β, ∴30°+30°+β=180°,β=120°. ∴其余两角分别是0°和120°.(2)感受中答:有“分类讨论”“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的即可.18.(2006广东深圳中考,21)如图1-3-4,抛物线y=ax 2-8ax+12a(a<0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC.图1-3-4(1)求线段OC 的长.(2)求该抛物线的函数关系式.(3)在x 轴上是否存在点P,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由ax 2-8ax+12a=0(a<0)得x 1=2,x 2=6, 即OA=2,OB=6. ∵△OCA∽△OBC, ∴OC 2=OA·OB=2×6. ∴OC=32(-32舍去). ∴线段OC 的长为32. (2)∵△OCA∽△OBC, ∴31322===OC OA BC AC .设AC=k,则BC=3k.由AC 2+BC 2=AB 2得k 2+(3k)2=(6-2)2. 解得k=2(-2舍去). ∴AC=2,BC=32=OC.过点C 作CD⊥AB 于点D,∴OD=21OB=3. ∴CD=322=-OD OC . ∴C 的坐标为(3,3).将C 点的坐标代入抛物线的解析式得3=a(3-2)(3-6),∴a=-33.∴抛物线的函数关系式为y=34338332-+-x x . (3)①当P 1与O 重合时,△BCP 1为等腰三角形.∴P 1的坐标为(0,0).②当P 2B=BC 时,(P 2在B 点的左侧),△BCP 2为等腰三角形. ∴P 2的坐标为(6-32,0).③当P 3为AB 的中点时,P 3B=P 3C,△BCP 3为等腰三角形. ∴P 3的坐标为(4,0).④当BP 4=BC 时(P 4在B 点的右侧),△BCP 4为等腰三角形. ∴P 4的坐标为(6+32,0).∴在x 轴上存在点P,使△BCP 为等腰三角形,符合条件的点P 的坐标为(0,0),(6-32,0)(4,0),(6+32,0).19.(2006上海中考,25)已知点P 在线段AB 上,点O 在线段AB 延长线上.以点O 为圆心,OP 为半径作圆,点C 是圆O 上的一点.图1-3-5(1)如图1-3-5,如果AP=2PB,PB=BO. 求证:△CAO ∽△BCO;(2)如果AP=m(m 是常数,且m>1),BP=1,OP 是OA 、OB 的比例中项.当点C 在圆O 上运动时,求AC ∶BC 的值(结果用含m 的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系,并写出相应m 的取值范围.(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,∴AO=2PO.∴2==BO POPO AO . ∵PO=CO,∴BOCOCO AO =. ∵∠COA=∠BOC,∴△CAO∽△BCO. (2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m, ∵OP 是OA 、OB 的比例中项, ∴x 2=(x-1)(x+m),得x=1-m m ,即OP=1-m m .∴OB=11-m . ∵OP 是OA 、OB 的比例中项,即OBOPOP OA =.∵OP=OC,∴OBOCOC OA =. 设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q,当点C 与点P 、点Q 不重合时, ∵∠AOC=∠COB,∴△CAO∽△BCO.∴m OBOPOB OC BC AC OB OC BC AC ===∴=.; 当点C 与点P 或点Q 重合时,可得BCAC=m,∴当点C 在圆O 上运动时,AC∶BC=m.(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1), AC+BC=(m+1)BC,圆B 和圆C 的圆心距d=BC,显然BC<(m+1)BC,∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含. 当圆B 与圆C 相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2. ∵m>1,∴1<m<2.当圆B 与圆C 内切时,(m-1)BC=BC,得m=2. 当圆B 与圆C 内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.20.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式; (2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大? (说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克) 解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤<<+-.180150,2052,150120,80,1200,16032t t t t t (2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,385), ∴385=a(60-110)2+20.∴a=3001.∴z=3001(t-110)2+20(t>0).(3)设纯收益单价为W 元,则W=销售单价-成本单价.故W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---+<≤---<<---+-.180150,20)110(30012052,150120,20)110(300180,1200,20)110(300116032222t t t t t t t t 化简得W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--<<+--.180150,56)170(3001,150120,60)110(3001,1200,100)10(3001222t t t t t t①当W=-3001(t-10)2+100(0<t<120)时,有t=10时,W 最大,最大值为100; ②当W=-3001 (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W 最大,最大值为3259; ③当W=-3001(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W 最大,最大值为56. 综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.21.(2006云南课改中考,25)如图1-3-8,在直角坐标系中,O 为坐标原点,OABC 的边OA 在x 轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D 是BC 的中点,延长AD 交OC 的延长线于点E.图1-3-8(1)画出△ECD 关于边CD 所在直线为对称轴的对称图形△E 1CD,并求出点E 1的坐标; (2)求经过C 、E 1、B 三点的抛物线的函数表达式;(3)请探求经过C 、E 1、B 三点的抛物线上是否存在点P,使以点P 、B 、C 为顶点的三角形与△ECD 相似.若存在这样的点P,请求出点P 的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由. 解:(1)过点E 作EE 1⊥CD 交BC 于F 点、交x 轴于E 1点,则E 1点为E 点的对称点. 连结DE 1、CE 1,则△CE 1D 为所画的三角形.∵△CED∽△OEA,21=OA CD , ∴EAEDOA CD EO EC ==. ∵EF、EE 1分别是△CED、△OEA 的对应高, ∴211==OA CD EE EF .∴EF=21EE 1. ∴F 是EE 1的中点.∴E 点关于CD 的对称点是E 1点,△CE 1D 为△CED 关于CD 的对称图形. 在Rt△EOE 1中,OE 1=cos60°×EO=21×8=4. ∴E 1点的坐标为(4,0). (2)∵OABC 的高为h=sin60°×4=32.过C 作CG⊥OA 于G,则OG=2.∴C、B 点的坐标分别为(2,32)、(8,32).∵抛物线过C 、B 两点,且CB ∥x 轴,C 、B 两点关于抛物线的对称轴对称, ∴抛物线的对称轴方程为x=5. 又∵抛物线过E 1(4,0),则抛物线与x 轴的另一个交点为A(6,0). ∴可设抛物线为y=a(x-4)(x-6). ∵点C(2,32)在抛物线上, ∴32=a(2-4)(2-6),解得a=43. ∴y=43(x-4)(x-6)=36235432+-x x . (3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD 中∠ECD=60°,若△BCP 与△ECD 相似,则△BCP 中必有一个角为60°.下面进行分类讨论:①当P 点在直线CB 的上方时,由于△PCB 中,∠CBP>90°或∠BCP>90°. ∴△PCB 为钝角三角形.又∵△ECD 为锐角三角形, ∴△ECD 与△CPB 不相似.从而知在直线CB 上方的抛物线上不存在点P 使△CPB 与△ECD 相似. ②当P 点在直线CB 上时,点P 与C 点或B 点重合, 不能构成三角形. ∴在直线CB 上不存在满足条件的P 点. ③当P 点在直线CB 的下方时,若∠BCP=60°,则P 点与E 1点重合. 此时,∠ECD=∠BCE 1,而43,641==CE CD CB CE , ∴CBCDCE CE ，CE CD CB CE ≠≠11且. ∴△BCE 1与△ECD 不相似.若∠CBP=60°,则P 点与A 点重合.根据抛物线的对称性,同理可证△BCA 与△CED 不相似.22.(2006广东深圳中考,22)如图1-3-9,在平面直角坐标系xOy 中,点M 在x 轴的正半轴上,⊙M 交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 、D 两点,且C 为的中点,AE 交y 轴于G 点,若点A 的坐标为(-2,0),AE=8.图1-3-9(1)求点C 的坐标.(2)连结MG 、BC,求证:MG ∥BC.(3)如图1-3-10,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P.动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PFOF的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.图1-3-10答案：(1)解:方法一:∵直径AB⊥CD,∴CO=21CD.∵,C 为的中点, ∴.∴.∴CD=AE.∴CO=21CD=4. ∴C 点的坐标为(0,4).方法二:连结CM,交AE 于点N, ∵C 为的中点,M 为圆心, ∴AN=21AE=4,CM⊥AE. ∴∠ANM=∠COM=90°.在△ANM 和△COM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,CM AM COM ANM AMN CMO∴△ANM≌△COM.∴CO=AN=4. ∴C 点的坐标为(0,4).(2)证明:设半径AM=CM=r,则OM=r-2. 由OC 2+OM 2=MC 2得42+(r-2)2=r 2. 解得r=5.∵∠AOC=∠ANM=90°,∠EAM=∠MAE,∴△AOG∽△ANM.∴AN AOMN OG =. ∵MN=OM=3,即423=OG .∴OG=23.∵OBOM OC OG OB OM OC OG ====,83,8345.1. ∵∠BOC=∠BOC,∴△GOM∽△COB. ∴∠GMO=∠CBO.∴MG∥BC.(说明:直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分) (3)解:连结DM,则DM⊥PD,DO⊥PM, ∴△MOD∽△MDP,△MOD∽△DOP. ∴DM 2=MO·MP,DO 2=OM·OP,(说明:直接使用射影定理不扣分) 即42=3·OP.∴OP=316. 当点F 与点A 重合时,5323162=-==AP AO PF OF , 当点F 与点B 重合时,5383168=+==PB OB PF OF . 当点F 不与点A 、B 重合时,连结OF 、PF 、MF.∵DM 2=MO·MP,∴FM 2=MO·MP. ∴FM MP OM FM =. ∵∠AMF=∠FMA,∴△MFO∽△MPF. ∴53==MF MO PF OF . ∴综上所述,PF OF 的比值不变,比值为53. 23.(2006浙江中考,24)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1经过点A(-2,0)和点B(0,332),直线l 2的函数表达式为y=-33433+x ,l 1与l 2相交于点P.⊙C 是一个动圆,圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a.过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M.图1-3-11(1)填空:直线l 1的函数表达式是________________,交点P 的坐标是________________,∠EPB 的度数是________________.(2)当⊙C 和直线l 2相切时,请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R,并写出R=32-2时a 的值.(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,已知⊙C 的半径R=23-2,记四边形NMOB 的面积为S(其中点N 是直线CM 与l 2的交点).S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)y=33233+x P(1,3) 60° (2)设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示,D 是切点,连结CD,则CD⊥PD.过点P 作CM 的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC.(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC)所以PG=CD=R.当点C 在射线PA 上,⊙C 和直线l 2相切时,同理可证.取R=23-2时,a=1+R=23-1或a=-(R-1)=3-23.甲(3)当⊙C 和直线l 2不相离时,由(2)知分两种情况讨论:①如图乙,当0≤a≤23-1时,S=21a a a a 363)]33433(332[2+-=•+-+.乙当a=-)63(23-⨯=3时(满足a≤23-1),S 有最大值,此时S 最大值=)329(233)63(43或=-⨯-. ②当3-23≤a<0时,显然⊙C 和直线l 2相切,即a=3-23时,S 最大,此时S 最大值=21［334)233(33332+--］·|3-23|=233. 综合以上①和②,当a=3或a=3-23时,存在S 的最大值,其最大面积为223. 24.(2006湖南常德中考,26)把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起,使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动,让三角板DEF 绕点O 旋转,设射线DE 与射线AB 相交于点P,射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1-3-12(1),当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时,易证△APD ∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.(2)将三角板DEF 由图1-3-12(1)所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ 的值是否改变?说明你的理由.(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y 与x 的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).图1-3-12分析:(1)问比较简单但很重要;(2)类似上问的方法思想.解:(1)8(2)AP·CQ 的值不会改变,理由如下: 如右图,在△APD 与△CDQ 中,∠A=∠C=45°,∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ. ∴△APD∽△CDQ.∴CQ CD AD AP . ∴AP·CQ=AD·CD=AD 2=(21AC)2=8. (3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D 作DG⊥AP 于G,DN⊥BC 于N, ∴DG=DN=2.由(2)知AP·CQ=8得AP=x 8. 于是y=21AB·AC -21CQ·DN -21AP·DG=8-x-x8(2<x<4). 情形二:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ, 由于AP=x 8,PB=x 8-4,易证:△PBM∽△DNM,∴22,PB BM BM DN PB MN BM =-=即. 解得BM=xx PB PB --=+44822. ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-xx --448. 于是y=21MQ·DN=4-x-xx --448(0<x≤2). 综上所述,当2<x<4时,y=8-x-x 8. 当0<x≤2时,y=4-x-xx --448(或y=x x x -+-4842).。