函数的单调性(一)
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
2.1.3函数的单调性(一)
正确答案：增区间为：[-2，1]，[3，5]
减区间为：[-5，-2]，[1，3]
增区间：[-2，1]，[3，5]
减区间：[-5，-2]，[1，3]
练习1：根据下列函数图象，写出其单调区间。
Hale Waihona Puke y=x 2正确答案： 增区间（-∞，0]， 减区间 [0，+∞）
y=x 3
增区间（-∞，+∞）
1 _ y= x
x1<x2 ； • ②作差变形：作差f(x1)-f(x2) ； • ③定号：判断作的差f(x1)-f(x2)的符号； • ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
巩固和练习：
1.课本46页练习B第2题
2.课本46页练习A的第4题
例2：证明函数f(x)=1/x,在区间(-∞,0）和(0,+∞）上分别是减 函数。 证明：
思考：能否说函数 f(x)=1/x在实数集上 是减函数？为什么？ 能否说函数在它的定 义域上是减函数？为 什么？
小结与反思：
1.函数单调性的有关概念（增函数，减函数， 单调区间，单调性） 2.判断函数单调性的方法：图像（“形”的角 度） 定义证明（“数”的角 3.函数单调性的证明步骤： 度） 取值 ： 在 给 定区间上任意取两个值 x 1 ，x2 ，且 • ①
山东省临朐实验中学
刘清大
如图为我市元旦24小时内的气温变化图．观 察这张气温变化图：
考察函数
y=2x, y=-2x, y=x2+1 的图像
1、什么叫做增函数（减函数）？ 什么叫做单调性？单调区间？ 2、如何判断或证明函数的单调性？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间M A. 如果取区间M中的任意两个值x1、x2,改变量 x x2 x1 0，则当 y f ( x2 ) f ( x1 ) 0 时， 就称函数y=f(x)在区间M上是增函数， 当 y f ( x2 ) f ( x1 ) 0时，就称函数y=f(x)在 区间M上是减函数。
函数的单调性
课题：函数的单调性（一）一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？连续提出三个相关联的问题，包括问题3这样让人警觉的反例，使学生在解决问题的过程中，形成对函数单调性的认识．从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．定义形成通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性．师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf．仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．教师介绍单调性和单调区间的定义．函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随x 的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．《函数的单调性》说课稿(二)各位专家：您好！我叫，今天我说课的课题是“”，下面我从教材分析、教法设计、学法设计、学情分析、教学程序、板书设计和评价设计等七个方面向各位阐述我对本节课的构思与设计。
数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版
，(1,0-，()0,1，1,+∞⎡⎣b a ⎤⎥⎦，,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,b a ⎛- ⎝，⎡-⎢⎣上单调递增（减），则数()f x 在区间[],b --上单调递增（减）； 上单调递增（减），则数)在区间[]-上单调递减（增）。
【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭【典型例题分析】例1、判断函数()21xf x x =-在区间()1,1-上的单调性。
【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。
【答案】()21xf x x =-在区间()1,1-上单调递减。
变式练习1：已知()3f x x x =+，判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性，并证明。
【解析】直接利用函数单调性的定义判断。
【答案】()f x 在(),-∞+∞是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取12,x x 应是指定区间上的任意两值，对差()()12f x f x -的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意12,x x 的所在范围，另外，有字母系数（即参数）的要注意字母对单调性的影响（如y kx b =+）变式练习2：证明：函数()1f x x x=+在()0,1上是减函数。
证明略例2、求下列函数的单调区间 （1）()210y x x x =+< （2）221x y x -=+ （3）223y x x =-++ 【解析】 利用常见函数的单调性及函数图像求解 【答案】（1）单调减区间(),0-∞ （2）单调增区间()()1,,,1-+∞-∞- （3）单调增区间为]([],1,0,1-∞- 单调减区间为[])1,0,1,-+∞⎡⎣例3、已知()f x 为偶函数，且当x ∈)0,+∞⎡⎣时单调递减，求()22f x x -()1x ≤的单调区间。
【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。
高一数学《函数的单调性》教案(上)
城东蜊市阳光实验学校函数的单调性〔一〕【教学目的】1．理解函数单调性的概念，会利用函数图象写出单调区间．2．能运用定义对函数单调性进展证明，培养学生的推理论证才能．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】函数单调性概念的理解．【教学过程】一、创设情境，引入课题如图为2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1随着时间是是的推移，气温如何变化？问题2在区间［4，16］上，气温是否随时间是是增大而不断增大？〖设计意图〗从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好根底，有利于定义的生成，也提醒了单调性最本质的东西．二、直观抽象，形成概念当自变量变大时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，我们同学在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义. 1． 借助图象，直观感知 ①观察第一组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？ 从左至右图象呈__上升__趋势 ②观察第二组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？ 从左至右图象呈__下降__趋势 ③观察第三组函数图象，当自变量x 增大时，函数值y 的变化趋势如何？从左至右图象呈_局部上升或者者下降_趋势〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，引导学生进展分类描绘函数的单调性(增函数、减函数)．x y x yy=x x y O O O 111111y=-x +1x y x y x y O O O 1111112． 抽象思维，形成概念问题3.如何用数学语言来准确地表述当自变量x 增大时，函数值y 也增大？引出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．增函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D,区间I D ⊆.对于给定区间I 上的函数y=f(x)，假设对于任意21,x x ∈I 当1x <2x 时，都有f(1x )<f(2x ),那么就说f(x)在这个区间上是增函数〔如图3〕；I 称为f(x)的单调增区间。
10.函数的单调性(1)
10.函数的单调性（1）
教学目标：
理解函数单调性定义，会用定义证明函数的单调性，能根据图像求函数单调区间.
教学过程：
一、引入
某市一天气温变化图：
你能说出气温在哪些时间段内是升高的？在那些时间段内是下降的？
那么，怎样用数学语言刻画这一特征？
二、建构
函数单调性的定义：
函数)(x f y =定义域为A ，区间A I ⊆，
如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，当2
1x x <时，都有)()(21x f x f < （)()(21x f x f >）
那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数（减函数），I 称为函数)(x f y =的单调增区间（减区间）.
说明：如果)(x f y =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说)(x f y =在区间I 上具有单调性. 单调增区间和单调减区间称为单调区间.
引入问题中函数单调区间是什么？ 书P37. 7
三、运用
例1 画出下列函数图像，并写出单调区间.
（1）22
+--=x x y
变式：|2|2+--=x x y
8
（2）x
y 1=
变式：①11+=x y ②x
x y 1+=
解后反思：根据函数的图像，是求单调区间的常用方法. 例2 求证：11)(--=x
x f 在)0,(-∞上是单调增函数.
解后反思：运用单调性定义是证明单调性的主要方法.
四、练习
书P37 1,2，6
五、小结
1.函数单调性的定义；
2.单调区间求法，单调性证明.
六、作业。
高中数学必修一：函数的单调性与最值
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2 6．函数 f(x)＝ 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为_____． x－ 1
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数， 2 4 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－ －(－2)＝ . 3 3
4 答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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3．谨防 3 种失误 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义 域优先”为原则．(如冲关演练第 1 题) (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． (3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，” 连接，不能用“∪”连接．
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[冲关演练] 1．(2017· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(4，＋∞) )
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考点一
确定函数的单调性区间
[考什么·怎么考]
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是 高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现， 但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
ax 1．试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
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x－1＋1 1 1 ＋ 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1
为减函数， 为增函数；
3 x∈2，＋∞时，f(x)＝x2－3x
1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数； x＋1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
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3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是 A．[1,2] C．[0,2] B．[－1,0] D．[2，＋∞)
高中数学函数的单调性
（一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；函数的单调性⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑽函数(0,0)by axa b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②（三）典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例2】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例3】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例6】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例7】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例8】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例9】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例10】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数，在[1,)+∞上是增函数，则(1)f =______【例11】讨论函数y 的单调性．【例12】求函数212y x x =++的单调区间．【例13】设1n >，()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数，且对任何,x y A ∈，有()()()()f x f x f y f y =．那么，（ ） A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例14】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）． A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例15】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例16】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例17】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．【例18】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析，可以很快得到函数2(),0af x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数，在0a x -<<上为减函数，在0x a <<上为减函数，在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ，在0x <上有最大值为2a -．【例19】求函数y =【例20】求函数y =【例21】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例22】已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例23】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例24】设a 是实数，2()()21xf x a x =-∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数；⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．。
导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．
函数的单调性1
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） 答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1] (5) C
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D )
(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3ห้องสมุดไป่ตู้ (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
D.[32，2]
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论 . 本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
2. 已知 y=f(x) 是奇函数，它在 (0 ， +∞) 上是增函数，且 f(x)＜0， 试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常 见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)= f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x· y)=f(x)+f(y) 等分别与一次函数、 指数函数、对数函数相对应 . 本题第四问在前三个问题的基 础上给出则水到渠成. 返回
函数的单调性1
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调 增 区间.
那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
注意：
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调 减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调 性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数 的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，离开了区间 就谈不上增（减）函数。是一个局部性质; （3） x1 ,x2 的三个特征： ：①x1、x2是在同一个区 间上②任意取的两个实数(不能取特定值来判断函数是 增函数或减函数) ，③一般都不妨设为一大一小。
y
y
y
1 x
y
1 ( x 0); x
x 讨论：根据函数单调性的定义，
能不能说y
1 ( , 0)和 (0, 的单调减区间是 _____________ ) x
？)上 x 是单调减函数?
1 例3.判断并证明函数 y x 在定义域 [1, ) 上的单调性. x
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
f ( x) x2 ,x [4, 2]， 例2已知函数
⑴ 判断函数是否是单调函数，并说明理由； ⑵ 作出函数的大致图像，写出函数的单调区 间．
练习画出下列函数图像，并写出单调区间：
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x 1
函数值随着自变量x 的增大而增大
函数值随着自变量x 的增大而减小
y x
2
图象在y轴左侧随着x 的增加，y的值在减小
图象在y轴右侧随着x 的增加，y的值在增加
函数的单调性(1)
函数f ( x)对任意的a, b R, 都有 f (a b) f (a ) f (b) 1, 并且当x 0时，f ( x) 1 (1)探求f ( x)在R上的单调性 （2）若f (4) 5, 解不等式f (3m m 2) 3.
2
补充练习：
求下列函数的单调区间.（复合函数）
解析
函数 f(x)的对称轴：x＝1，单调增区间
为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
2．已知函数 y＝f(x)在 R 上是减函数，A(0，－2)、 B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2 的解集 为________．
(－3,解集为
考点小结
本节课的主要考点是函数单调性的概念，求函数的单调区间；
证明函数的单调性；复合函数的单调性，函数单调性的应用：①
比较函数值的大小； ②解不等式.
注意:①函数的单调性的证明方法，通常用定义法或导数法.
②在证明、判断、讨论函数的单调性时，一定要注意定义中的 “任意”两字.
③判断函数单调性的一些常用方法有：图象法、定义法、导数法；
图像在区间D是下降的
、求函数的单调区间的常用方法有： （1）从定义入手 （2）从导数入手：令f’(x)>0(<0),转化为求关于x的不等式 （3）从图象入手(数形结合) （4）从熟悉的函数入手
基础自测 1． f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为
[1,4] ；f(x)max＝________. 8 __________
注意： 1、求函数的单调区间必须在定义域里边求 函数的单调性是局部性质，从定义上看，是指函数 在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征． 在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2、图像特征 图像在区间D是上升的 函数在区间D单调递增 函数在区间D单调递减
函数的单调性(一)
函数的单调性问题情境体育老师让所有同学从左到右、从低到高站成一队，并让你去检查一下同学们有没有按要求做到，你怎么检查？思考一：任意选两个相邻的人，右边的人都比左边的人高，那么他们从左到右是按从低到高排列的吗？思考二：任意选两个人，如果右边的人都比左边的人高，那么他们从左到右是按从低到高排列的吗？思考三：能不能说：因为第3位同学比第7位同学低，所以所有同学的排列是正确的?思考四：能不能说：因为第3位同学比第7位同学高，所以所有同学的排列是不正确的？思考五：能不能说：前10名同学是从低到高排列的，余下的同学也是从低到高排列的，那么所有同学都是从低到高排列的？这样的说法一定错误吗？加什么样的条件就正确了？新课解讲我们研究函数的单调性也常用两个方法：一个是“形”，也就是通过图象来研究函数的单调性，另一个方法是“数”，也就是通过定义来研究函数的单调性，当然很多时候两个方法都用，也就是“数形结合”。
我们将分三节课来学习函数的单调性，第一节课主要通过图象来解决有关函数单调性的问题，第二节通过定义来研究函数，第三节学习函数单调性的一些应用。
从图象上看，从左到右一直上升的图象我们就说它是单调递增的，一直下降的图象我们就说它是单调递减的。
（不增不减的函数没有单调性，有增有减的过一会儿研究）我们先来画出两个一次函数的图象，由图象观察函数的单调性（1）21y x =-， （2）21y x =--，（1）在R 上是单调 ； （2）在R 上是单调 ； 思考:一次函数0()y kx b k =+≠的单调性与什么有关？练习：（1）函数2()f x kx =+在R 上是单调递减函数，则k 的范围是（2）函数21()()f x a x b =-+在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是 再画出两个二次函数的图象：（1）221y x x =-- （2）221y x x =-+-由这两个函数的图象，我们能不能说他们在R 上是单调递增或单调递减的?思考：一.它们在某个区间上是不是单调递增或单调递减的？二.这个区间能小一些吗？能大一些吗？我们说函数221y x x =--的单调减区间是1(,)-∞，单调增区间是1(,)+∞三.函数在（,a b ）上是单调减函数与函数的单调减区间是（,a b ）是不是一回事？注意：单调增（减）区间一般是指函数在这一区域“最大的”增（减）区间。
函数的 单调性(一)
y x
= 3(x2 － x1)
k y 30 x
当 k＞0时，函数在这个区 间上是增函数
因此，函数 f(x)＝3 x＋2在区间(-∞，+∞)上是增函数．
总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S1: 设 x1 和 x2 是给定区间上的两个不等实 数； S2: 计算 x 和 y ；
y S3: 计算 k = ； x
S4: 当 k＞0时，函数 y = f (x)在这个区间上是增 函数 。
判断函数 f(x) = -2x2在区间(－∞，0)上是 增函数吗？为什么？
本节课主要内容有：
1.增函数定义． 2.判断函数是增函数的步骤
教材P69，练习 A 组第 1题；
练习 B 组第 1题．
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(x2)
y=f(x)
f(x1)
O
x1
x2
x
增函数
自变量增大(x>0)或减小(x<0) 函数值增大(y>0)或减小(y<0)
y 0 x
例2
证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间(－∞，+∞)上是增函数．
证明：设 x1，x2 是(－∞，+∞)上任意两个不相等的实数， 则 计算 x 和y x = x2 － x1 y = f(x2) － f(x1) = (3x2+2) －(3x1+2) 计算 k
例1 给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图
象说出这个函数在哪些区间上是增函数？
y
-1
O
1
2
3
4
x
解：函数在区间[0，1]，[3，4]上是增函数；
（1）观察教材 P 64，例1 的函数图象，说出函数在
高一数学函数的单调性1(1)
例4：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的 的两根的平方和为10，图象经过（0，3）。 (1)求f(x)的表达式； (2)求出函数f(x)的单调区间； (3)证明函数f(x)在（2，+∞）是增函数。
练习：BP32 3，4，5
急火燎地挂上电筒,然后拔通梅林客栈の订餐热线.这点小事都办不好,难怪被甩,哎...第129部分悠闲の午后,充满生活气息の办公地点,香味四溢.“...你倒选了一个好地方,打算长住？”一个眼神明媚の女子坐在柏少华面前品尝着他做の菜肴,身穿一件天青色の真丝旗袍,远山一样の色彩让她看 起来淡雅大方.她是个很好看の女人,浓妆淡抹,玉音婉转,拥有一股含蓄优雅の韵味.“看情况,目前觉得挺好.”柏少华笑了笑,旁边の水开了,他往里边加了一小勺盐,一小勺橄榄油,取出适合一个人分量の通心面往锅里哗啦一放,一把整齐の意面像绽放在开水里の花朵.室内正在直播,两名容颜出 色の男女一起出现,活像一部世家偶像剧似の特别养眼.美食当前,早有准备の粉丝们在屏幕前有の吃着方便面,有の啃薯片,有の嚼辣条,有の咽口水,唯一相同の就是嘴巴没停过.“...姐,您今年贵庚啊？有男朋友了吗？没有の话可以考虑一下我.”“马不知脸长,也不瞧瞧自己长得像用胶合板做 の一堵墙,配得上我姐吗？”女子瞥见粉丝们の对话颇感有趣,不禁笑靥如花.“你の粉丝们挺可爱の.”柏少华瞧来一眼,唇边挂着一抹浅笑,“一群看热闹不嫌事大の小鬼.”“喂喂喂,姐姐我可是比你大三岁！”立即有人抗议,并扔他一束鲜花表达内心の喜悦,赤.裸裸地表示她是一个口是心非の 动物.“楼上の大姐,你老了,请让位,别妨碍妹妹们表现.”男神の亲属在前,女粉丝们极度兴奋猛献殷勤,像在见家长似の气氛十分紧张.倒是男粉丝淡定许多,他们明确表示男神の大姐很美,但不是他们の菜,他们更喜欢姓洪,姓艾,姓欧阳の那几位曾经入过镜头の青春少艾.“我喜欢那位余姐姐,成 熟稳重又能干,未来一定是个贤妻良母住家好女人,和老板挺配の,大家有没觉得？”“那个陆陆也不错,清秀佳人一枚,耐看.”“不行,作家の性情太飘忽,不适合务实の男人,像老板这样の以后会被欺负得很惨,真の.还是余姐姐好,她心灵手巧人也长得好,以后肯定能成为老板の贤内助,大家说是 吧是吧？”柏少华见众人の讨论越来越激烈,不由得出言提醒一下,“聊归聊,不许人身攻击.”他有那么弱吗？“没有,我们就比较比较.”“就是,为你着想,放心,在她们面前我们不会说の.”吧啦吧啦,仿佛一群正在网上开会の月老与红娘.有嘉宾の时候大家很热闹,仅有他一个人时静悄悄,除了 礼物在飘,这是属于他の独特风景.“诶？少华,你跟大家说嘉宾の来历？”女子蹙眉,这样可不好.柏少华往碟里の意面放进海鲜,将热腾腾の散发浓郁香气の肉酱盖在上边,“这些小鬼好奇问,她们自己说の.”他只是没有阻止,再淋上自制の美味酱汁,令人食指大动...这女子确实是他姐,是表姐, 名叫柏少媛.他小时候曾经随外婆回到外祖家住过两年,与表姐妹兄弟很亲近.后来他被父母接出去了,从这时在外边读书,逢假期才能回来探望外公外婆一段时间,不知不觉就生疏了.直到前两年才回来定居.直播完毕,表姐弟俩离开餐厅,打算出去散散步欣赏云岭の田园风光.“不打算回去过生日？ 大伯娘希望你回去.”柏少媛站在门口阶梯上深呼吸一下,身心放松,这里是个养生の好地方.柏少华拄杖而立,目光游移于四周の景色,“麻烦你回去转告,我对她介绍の名媛淑女没兴趣.”少媛微哂,“男大当婚女大当嫁,你决定回国发展就该想到有今天.”“你不也没嫁么？”柏少华不咸不淡地将 她一军.大表姐语结,责怪地嗔了他一眼.“少跟我贫嘴,男人要先成家再立业,有喜欢の赶紧带一个回去给大家过过眼.”柏少华：“...我家没有皇位要继承,不急.”“那可不一定,”表姐玩笑道,“说不准哪天皇冠就来了.”此表姐今年28有余,仍然单身.皇帝不急太监急,大伯娘天天在朋友圈里喊 人帮她找对象,就差把她の简历挂公园了,把这大表姐气得从这时独居远离亲人.她喜欢旅游,经常满世界地跑,今天到这儿只是路过顺便住几天.两人聊着天,此时,村路走来一老一少,神情忧愁,步履缓慢.路两旁浓荫密集,烈日之下,落在地面の只剩下斑驳の几点光影,给人腾出几分清凉の闲暇时 光.“她们是谁？要不要打招呼？”表姐悄声问.在她眼里,这一老一少是乡农の真实写照,此情此景,蕴含着宁静安逸の乡土之美,却不知诗情画意の后面隐藏着什么.“不用.”柏少华态度很冷淡.他极少主动与人打招呼,除非迎面遇上,或者看见举止怪异の人和物.再说了,没看见她们匆匆忙忙在赶 路么？还提着行李,哦,还拐了一个弯...咦？那不是陆陆家吗？俊颜微凝,转念一想,忽而眉头挑起,柏少华忍不住轻笑,清清冷冷の眼神里多了一丝暖意.“你笑什么？”大表姐惊讶地看他一眼.“没什么,走吧,我带你四周逛逛.”拄着拐杖,步伐稳健,心里暗叹（笑）：可怜の人儿,长日屋中坐,灾 福躲不过,斩不断の麻烦,搭不搭理最后都是她の错.唉,没见过这么倒霉の姑娘,今晚要不要给她做道菜压压惊？太可怜了...陆宅,在这个宁静の午后,婷玉在后院晾晒药材,陆羽在二楼码字赚钱.四只汪在休息,母猫小吉也蜷缩在凉亭の顶上晒太阳,不知它什么时候用什么方法跳上去の.剩下几只小 猫到处乱窜,打滚玩耍,偶尔踩水想弄湿架上の药材.“下去.”遭到温柔喝斥,一指弹中它の眉心,喵地一个后空翻安全落地.“呯呯呯,呯呯呯...”前院の门响了,婷玉回眸一顾,放下药材.“不许胡闹.”将正在爬药架の小猫们一个个摘下来扔到前院,自己随后跟上,经过四只汪身 边,“看着药材别弄脏了.”四只汪领命去了后院看守.打开院门,发现访客是一名老妇与上次那个身怀六甲の少妇,但是,她の孩子好像...“杏子在家吗？”第130部分“在我们家住几天？”凉亭里,茶香芬芳,点心摆上,陆羽和婷玉对视一眼.“恐怕不行.”“不可以.”待人客气の是陆羽,坚决果断 の是婷玉.面对两人异口同声の拒绝,赵婶既尴尬又有些难过.她这辈子没求过什么人,一向是老伴出头の,更没在小辈面前低过头,但今天...她这张老脸啊！“杏子,俗话说,远亲不如近邻,就当看在我跟你周叔の份上,让小飞在这儿住几晚,不,两晚也行...小飞晚上过来住,白天在家里帮忙,可能不 用两天就有客人离开了.”老人期盼道,小心翼翼地说完来意,脸上の褶子仿佛更深了.“赵婶,我很感激您和周叔当初の帮助.可说实话,自从听说何玲介绍这宅子给我是为了替定康叔消灾还人情之后,这一切都不重要了...”陆羽抬手制止急欲分辩の赵婶,“既然何玲一开始就不怀好意,作为亲人の 你们无论帮过我什么都是毫无意义の.”负罪感作祟而已,哪怕是真心实意,也无法改变一家子算计她の事实.这次是迷信,下次呢？宁与真小人交手,莫与伪君子为友.“况且我只是借你们の车用用,过后我不但帮你们送菜,去城里帮您孙子买复习资料、玩具包括何玲の化妆品,你们送我蔬菜小葱,我 也送了回礼...这些事,何玲当没看到,您跟周叔也看不到吗？”“杏子,这些我们都知道,可...”赵婶不善言辞,有些难堪.“没有可是,”打断长辈の话不礼貌,前提是对方要讲理,“赵婶,何玲来我家撒泼还打了我朋友,这笔帐我一直记得.我不想再跟你们老周家有任何牵连,所以这个忙我帮不了, 你们走吧.”挟恩图报,在她这里是行不通の.至于这个何小飞,陆羽看了一眼,是那天在餐厅对她咄咄逼人の旗袍美人.此刻正在一边翻白眼,那眼神闪烁不定在院里左瞧右瞄,一看就不是省心の人.“可她没地方去了！她房间被客人住了,行李都收拾好了.白大姐生病帮不了忙,小飞年轻又不懂煮饭, 只好让我和老伴回家伺候着.如果让小飞出去住,我们耳朵不好使恐怕招呼の不周到.唉,杏子,我们农民赚几个钱不容易,你就当帮帮婶子の忙,等这拔客人走了之后我跟老头子让玲子向你道歉好不好？”“这是两码事,赵婶,”陆羽态度很是冷淡,起身直接下逐客令,“不必多说,你们走吧.”见她不 为所动,赵婶唉了声,枯瘦の手开始抹眼泪.旁边の何小飞早听得不耐烦了,“婶子你跟她们啰嗦什么？房子又不是她の,让不让住她说了不算,你回去让我姑跟房东说一声.我今天就留下不走了,有事你们找我玲姑说去.”说罢,姑娘她一把提起行李风风火火就想闯进屋里找房间.“哎...”陆羽刚想 阻拦,忽然手臂被人抓得死紧死紧の.回头看一眼,是赵婶,打算耍无赖了？她不敢用力甩,万一老人在她家出事那麻烦就大了.“杏子,她就住两晚...”老人一味地哀求.陆羽静静看着老人,老周夫妇不是狡诈之徒,没想到今天为了达到目の居然不择手段.人の私欲一旦发作,善人比恶人更可怕.她不 慌不忙,因为婷玉已经拦住何小飞.“你干嘛？想动粗？现在是法治社会,你敢动我一根毫毛就等着坐牢吧！哼.”身高相等,稍嫌圆润の何小飞仰起下巴,挑眉瞪眼,态度相当嚣张.她の体积看起来比婷玉大一倍,心里自然是不怕の.不过,当她眼睁睁看着对方不声不响地举起手,两指之间挟着一枚细 如发丝の长针时,不禁心底一寒,微微后退.“你想干嘛你想干嘛,我告诉你...”死到临头还嘴硬.婷玉眸色转冷,二话不说手往前用力一刺.身上一痛,何小飞瞳孔倏地圆瞪,僵硬迟缓地低下头,无比惊恐地看着对方那枚三寸长の银针被毫不犹豫地刺进自己の锁骨下方,仅剩2cmの长度留在皮肤 外.“啊,啊,啊你...”何小飞被吓呆了,抬眸瞪着面无表情の女孩.她、她怎么敢？！见她正欲尖叫,婷玉迅速又举起一枚长针往她喉间一刺.啊——？！这回何小飞终于吓得尖叫出口,可惜四下静寂无声,喉咙像被什么塞住了,只能喘气,却发不出半点声音.“小飞？小飞怎么了？”赵婶老眼昏花, 看不出何小飞什么情况,只知道那位漂亮の姑娘在她面前扬了两次手,然后世界就安静了.“陆陆,我正好缺个药奴.”婷玉打量何小飞,眼神冷漠.主题有了,细节任凭发挥,这是某人の强项.陆羽心神领会,发现自己の手仍被赵婶抓得死紧,便轻轻一笑,“赵婶,您先放开手,我们同意了,但有件事得先 告诉你们...”一听说同意了,赵婶欣喜若狂,“什么事？你说.”终于完成任务了.“那倒不必,我不缺钱.”陆羽察觉老人劲道松了,稍用力一挣,缩回自己の手,“是这样,我这位姐姐来自秦岭,她从小在深山里长大,脑子有些不清醒,却对古老の药方、医术极感兴趣.”知道老人听不懂太文绉绉の话, 陆羽努力说得直白些.“她总以为自己是名医,常从山上采了好多草药回来找人试验.以后何小
函数的单调性
函数的单调性1．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g:x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
(完整版)函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0,＋∞）上不是增函数的函数是 （ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f （x )=4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1）等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x ）在区间(－2，3)上是增函数，则y =f （x ＋5）的递增区间是 ( ） A ．（3,8） B ．（－7，－2) C ．（－2，3) D ．(0，5)4．函数f （x ）=21++x ax 在区间（－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．（0，21)B ．( 21，＋∞）C ．（－2，＋∞)D ．（－∞,－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f （x ）在区间［a ，b ]上单调，且f (a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x ）=8＋2x －x 2，如果g (x ）=f ( 2－x 2)，那么函数g （x ) （ ） A ．在区间(－1,0)上是减函数 B ．在区间（0，1)上是减函数 C ．在区间（－2，0)上是增函数 D ．在区间（0，2)上是增函数7．已知函数f （x )是R 上的增函数,A （0,－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1）|＜1的解集的补集是 ( ） A ．（－1，2) B ．(1，4） C ．（－∞，－1)∪[4,＋∞) D ．(－∞,－1)∪［2，＋∞)8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f （5＋t )＝f (5－t ）,那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1）＜f (9）＜f (13） B ．f (13)＜f (9）＜f (－1) C ．f （9)＜f (－1)＜f （13） D ．f （13)＜f (－1)＜f （9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间（－∞,＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a ）＋f (b ）] B ．f （a ）＋f （b )≤f （－a ）＋f （－b ） C ．f (a ）＋f （b ）≥－f （a )＋f （b ）] D ．f (a )＋f （b ）≥f （－a )＋f （－b ) 12．定义在R 上的函数y =f （x ）在（－∞，2）上是增函数，且y =f (x ＋2）图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1）＜f （3) B ．f （0）＞f （3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f （3）二、填空题:13．函数y =（x －1)—2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___．15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 。
函数的单调性
数f(x)为单调增函数；如果f′(x)＜0，则函数f(x)为单调减函数；
⑤性质法： 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5．函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合法：对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调 性相同， 那么 y＝f[g(x)]为 ________， 如果内、 外层函数单调性相反， 那么 y＝ f[g(x)]为 __________． (4) 导 数 法 ： 设 y ＝ f(x) 在 定 义 域 的 给 定 区 间 上 可 导 ， 如 果 ________，那么 f(x)为增函数；如果________，那么 f(x)为减函数． (5)性质法： ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数， 则 f(x)＋g(x)为 ______ 函数；若 f(x)为增函数， g(x)为减函数，则 f(x)－ g(x)为 ________； 若 f(x)为减函数， g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为 ________函数． ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性；偶函数 在两个对称的区间上具有 ________的单调性． ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性．
题型一：利用函数图像求函数单调性
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 A．y＝－ x＋1 B．y＝ x 2 2 C．y＝x －4x＋5 D．y＝ x 解析：∵函数y＝ x的单调增区间为[0，＋∞)， ∴函数y＝ x在(0,2)上为增函数． 答案：B 2．函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 1 1 A．k ＞ B．k ＜ 2 2 1 1 C．k ＞－ D．k ＜－ 2 2 解析：∵函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数， 1 ∴2k ＋1＜0，∴k ＜－ . 2 答案：D ( ) ( )
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第14课时函数的单调性（一）【学习目标】1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力．【课前导学】【复习回顾】1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）．【课堂活动】一．建构数学：1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题：问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加．问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1．x2∈[0，+)∞，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)<f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)．结论：这时，说y1=x2在[0，+)∞上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）．如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)．如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f (x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1．x 2∈给定区间，且x 1＜x 2 （取值）；b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简（作差）；b .判断上述差的符号（断号）；d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数) ．二．应用数学：例1 画出下列函数的图像，并写出单调区间．(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)（1）y= - x 2+2(2) y= 1x (x ≠0)【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．下面举例说明．例2 求证：函数f(x)= －x 3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)= －x 13+1+x 23－1=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12)，因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12>0，所以f(x 1) －f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减．例3 证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1．x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2 ， 由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0，又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数．【解后反思】通过观察图象．对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.【拓展】函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上是减函数吗？ 答案：该命题不对；例如121,1x x =-=时， 12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且12()()f x f x <，所以＂函数1y x=在其定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上是减函数＂是不成立的． 【说明】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集．例4 (1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ；（2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；（3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ． 解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28m -=-即16m =； （２）由题意可以知道28m -≤-即16m ≥； （３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x =-即28m -=-即16m =． 三．理解数学：1．证明函数f (x)=3x+2在R 上是增函数．证明：设任意x 1．x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)- f (x 2)=(3x 1+2)-(3x 2+2)=3(x 1-x 2).由x 1<x 2得x 1-x 2<0.∴f (x 1)- f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x)=3x+2 在R 上是增函数．2．求证：1()f x x x=+在区间(0,1)上是减函数． 证明：设1201x x <<<，则21120,01x x x x -><<，∴21()()f x f x -2121212121211212211211()()11()()()()(1)()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+--=---=-<即21()()f x f x <故1()f x x x=+在区间(0,1)上是减函数． 3．求证函数f(x)=3-x +x -5在区间（3，4）上单调增．证明：任取3<x 1<x 2<4，则 f(x 2)-f(x 1)= (32-x -31-x )+(25x -) =331212-+--x x x x +121255x x x x -+-+- =(x 2-x 1)(33112-+-x x －12551x x -+-)，∵3<x 1<x 2<4 ∴31-x <15x -,32-x <25x -，31-x +32-x <15x -+25x -,33112-+-x x >12551x x -+-，∴f(x 2)>f(x 1), f(x)=3-x +x -5在区间（3，4）上单调增．【课后提升】1．函数y=|x+1|的单调递减区间为 [－1，+∞) ，单调递减区间 (－∞，－1] ．2．求函数f(x)=x+xk (k>0)在（0，+∞）上的单调性． 解：任取0<x 1<x 2, 则 f(x 2)-f(x 1)=x 2+2x k -(x 1+1x k )=2112x x x x -(x 1x 2-k) 又2112x x x x ->0,x 12<x 1x 2<x 22, ∴x 1x 2-k<x 22-k ≤0，即x 2≤k 时，f(x 2)-f(x 1)<0,f(x)在(]k ,0上单调递增；同理，f(x)在[)+∞,k 上单调递减．3．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =，∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数， 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.4．讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性. 解：1()2ax f x x +=+ 21221212ax a ax a x ++-=+-=++ 设122x x -<<，则2121(2)(2)0,0x x x x -->->，∴21()()f x f x -211221121222()(12)(2)(2)a a x x x x a x x --=----=--- ∵1221()0(2)(2)x x x x -<--， 当12a <时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当12a >时，21()()f x f x >，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数．【拓展题】已知函数f(x)满足对任意定义域内的m,n,f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且x>0时f(x)>1, 求证：f(x)单调增．【思路分析】在单调性定义中，若设x 1=x,x 2=x+h,h>0,有变形定义： 对于h>0,若f(x+h)>f(x),则f(x)单调增；若f(x+h)<f(x),f(x)单调减证明：对于h>0,f(x+h)=f(x)+[f(h)-1]>f(x),所以f(x)单调增．。