排列组合的两个原理

排列组合问题之—加法原理和乘法原理

排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。

1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。

例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。

加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。

【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。

在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。

例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。

所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。

对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。

总的情况数等于每类的情况数加和。

排列组合两大原理

在排列组合问题中，我们经常使用加法原理和乘法原理，加法原理主要是针对分类法，而乘法原理则主要针对是分步法。

排列组合问题中的这两大原理。

分类法即将完成任务的各种情况进行分类，每类都可以完成这项任务，每类之间是一种“或……或……”的关系，最后将每类的情况数进行简单的相加即可。

加法原理：完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……第k类方法中有mk种不同的方法。

那么完成这件事共有m1+m2+…+mk 种不同的方法。

【例1】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【解析】从甲地到乙地，可以乘火车、汽车、轮船，每种交通方式都可以完成“从甲地到乙地”这项任务，所以我们应当使用分类法即加法原理，则总共应有4+3+2=9种走法。

而分步法则针对的是此任务需要若干个步骤，步骤之间是“先……后……”的关系，必须依次按照步骤才能完成此项任务，其总的情况数就是将每一步的情况数进行简单的相乘。

【例2】从甲地到乙地有3条路线，从乙到丙地4条路线，从丙地到丁地有2条路线，从甲地经过乙地、丙地到丁地不同走法共有多少？【解析】从甲要到丁地必须依次经过乙、丙，要就是说要完成从甲到丁这件任务，有三个必不可少的步骤，第一步，需要从甲到乙，有3种方法；第二步，从乙到丙，有4种方法；第三步，从丙到丁，有2种方法。

因此总的情况数就应该等于完成这项任务的各步情况数相乘即3×4×2=24种方法。

【例3】用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同，都表示不同的信号。

如果一根旗杆上同时最多可以挂3面旗，现有足够的红色和黄色彩旗。

可以表示多少种不同的信号？【解析】要完成挂旗这项任务，我们可以挂一面旗、挂两面旗、挂三面旗，每一个都可以完成这项任务。

因此，可以分成上述三类，即第一类，一面旗；第二类，两面旗；第三类，三面旗，然后再将每一类的情况数进行简单的相加。

排列组合基础知识

排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。

（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。

（3）特点：分成几类，就有几项相加。

2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。

（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。

（3）特点：分成几步，就有几项相乘。

二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。

（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。

（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。

（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。

（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。

公务员考试行测排列组合基本计数原理

公务员考试行测排列组合基本计数原理在各省公务员行测考试中，数量关系是每年都会考察的内容。

这一部分涉及到的内容、题型和知识点都非常繁多，是大家一直比较头痛的部分。

其中，排列组合的相关题目，可能是大家复习当中的难点。

本文是店铺整理的，欢迎阅读。

排列组合基本计数原理排列组合的基本计数原理有两个，加法原理和乘法原理。

下面让我们逐一进行解释：加法原理即分类时采用的计数方法。

也就是说，当完成一件事情，分成几类情况时，把每一类的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有类的情况数相加。

乘法原理即分步时采用的计数方法。

也就是说，当完成一件事情，分成先后几步时，把每一步的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有步的情况数相加乘。

那么，何为分类，何为分步?让我们来举例说明。

如果从北京到上海，那么坐飞机可以，坐高铁可以，坐汽车可以，自驾也行，此时称为分类;如果坐飞机有3个航班合适，坐高铁有4趟高铁合适，坐汽车有2趟都行，自驾游也有1种路线，那么从北京到上海，所有的方法数就是3+4+2+1=10种方法。

如果从北京到上海，上海到广州，广州再回北京，整个的行程按顺序分成了3个步骤，此时即为分步;如果从北京到上海有3种方法，上海到广州到4条路线，广州再回北京也有2种方案，那么整个行程，所有的方法数就是3×4×2=24种方法。

我们发现分类与分步，一定是不同的、有区别的，它们的区别就在于：能否独立完成此事。

第一个例子中，想从北京到上海，飞机、高铁、汽车、自驾，这4类方案，都可以完成这个行程，即分类当中的每一类，都可以独立完成整个事情。

第二个例子中，北京到上海，上海到广州，广州再回北京，这是完成整个行程的3步，单独拿出任何一步来，比如上海到广州，这1步，并不意味着整个行程就完成了，即分步当中的任何一步，都不能独立完成此事。

下面来看一个例题，加深对于分类分步的理解：例题：某人乘车从家直接到艺术中心有3条路线可选;从家到体育场有4条路线可选，从体育场到艺术中心有2条路线可选，则他从家到艺术中心共有几种不同的路线?通过阅读题目，我们可以发现，题目所求的从家到艺术中心，可以分成两类情况：要么直接到;要么从体育场中转换乘间接到。

排列组合

练习5
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做多少个不同的项链 9.在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是 10求取自1,2,...k的长为r的非减序列的个数为
• (20!/20)
(11!/(1!*4!*4!*2!) (c(r+k-1,r))
排列与组合的产生算法
1．排列的产生方法１：（递归，深度优先产生）程序如下： program pailei; const m=4; var a:array[1..m] of integer ; b:array[1..m] of boolean; /////////////////////////////////////////////////// procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; /////////////////////////////////////////////////// procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=1 to m do if b[i] then begin a[dep]:=i; b[i]:=false; if dep=m then print else try(dep+1); b[i]:=true; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////
排列与组合的概念与计算公式
３．其他排列与组合公式 • 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝ p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. • n个元素被分成k类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 =n!/(n1!*n2!*...*nk!). • k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列组合问题2：加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理导言：加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。

把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。

一、概念（一）加法原理如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。

例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。

要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。

而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。

所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法（二）乘法原理如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。

例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。

选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。

从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。

高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理

高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理高中数学知识点总结：排列组合问题的计数原理在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它涉及到一些计数原理和组合技巧。

了解和掌握排列组合的计数原理对于解决各种实际问题以及在数学竞赛中的应用非常有帮助。

本文将对排列组合问题的计数原理进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、排列与组合的概念在开始讨论计数原理之前，我们首先需要了解排列与组合的概念。

排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式，简单来说就是“有序选择”。

排列问题中，元素的顺序是重要的，即不同的顺序会产生不同的排列结果。

组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，简单来说就是“无序选择”。

组合问题中，元素的顺序不重要，即不同的顺序不会产生不同的组合结果。

二、排列问题的计数原理1. 从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P(n, m)）可以用以下公式求解：P(n, m) = n! / (n - m)!其中"!"表示阶乘，即n的阶乘等于n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

2. 当元素可重复使用时，从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P'(n, m)）可以用以下公式求解：P'(n, m) = n^m其中"^"表示乘方。

三、组合问题的计数原理从n个元素中选取m个元素的组合数（记为C(n, m)）可以用以下公式求解：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)四、排列组合问题的应用排列组合的计数原理在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 考虑一个班级有n个学生，其中要选出m个学生参加数学竞赛，那么参赛学生的选择方法就是一个排列问题。

2. 在排列问题的基础上，如果要求被选中的学生必须按照特定的顺序进行比赛，那么可以用排列数来计算不同的比赛顺序总数。

浅谈排列组合

浅谈排列组合摘要排列组合是组合学最基本的概念。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

关键词排列;组合排列组合是组合学最基本的概念。

所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合与古典概率论关系密切。

1排列组合的基本理论和公式排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关。

如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合。

2两个基本原理是排列和组合的基础1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理。

3排列组合例题讲解例1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有()。

(A)5种(B)6种(C)7种(D)8种解法一记购买的软件数为x,磁盘数为y,依题意当x=3时,y=2,3,4;当x=4时,y=2,3;当x=5时,y=2;当x=6时,y=2.上述的不等式组共有7组解,故不同的选购方式共有7种,选C。

排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。

高中数学排列组合与组合

高中数学排列组合与组合排列组合和组合是高中数学中重要的概念和方法。

在解决实际问题时，排列组合和组合可以帮助我们进行正确的计数和计算。

本文将详细介绍高中数学中的排列组合和组合，包括相关定义、基本原理、计算方法以及实际应用。

一、排列组合的定义和基本原理排列指的是从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的方式，可以记作P(n,r)。

排列的基本原理是乘法原理，即每个元素在选择过程中只能使用一次，因此排列的总数为n乘以n-1乘以n-2...直到乘以n-r+1，即n的阶乘除以(n-r)的阶乘。

组合指的是从n个元素中无序选择r个元素的方式，可以记作C(n,r)或者nCr。

组合的基本原理是除法原理，即在计算过程中忽略元素的顺序，因此组合的总数为排列的总数除以r的阶乘。

二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且每个元素只能使用一次，计算排列数的公式为P(n,r)=n!/(n-r)!2. 组合的计算方法：(1) 从n个元素中选取r个元素，且忽略元素的顺序，计算组合数的公式为C(n,r)=P(n,r)/r!三、排列组合的实际应用排列组合和组合在实际问题中有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、统计学等领域。

1. 概率计算：(1) 在抽奖、赌博、随机事件中，排列组合可以帮助我们计算不同情况出现的概率，从而更好地进行决策。

2. 空间排列：(1) 在桌面布局、家居摆放等情况下，排列组合可以帮助我们计算不同物体摆放的方式和数量，从而使空间更加美观和合理。

3. 信息编码：(1) 在计算机科学、通信工程等领域，排列组合可以帮助我们计算不同编码形式的总数，从而提高信息传输的效率和安全性。

4. 运输和配送：(1) 在物流、配送等领域，排列组合可以帮助我们计算不同运输方式和路径的总数，从而优化运输方案和节约成本。

四、排列组合的实例分析为了更好地理解排列组合和组合的应用，下面以实际问题为例进行分析：问题：某个班级有10个学生，其中3个学生将参加篮球比赛，请问从这10个学生中选择3个学生参赛的方式有多少种？解答：根据组合的计算方法，C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 10!/(3!7!) = 120 种。

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．一、排列组合部分是中学数学中的难点之一原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

排列组合的加法原理和乘法原理

排列组合的加法原理和乘法原理
排列组合的加法原理和乘法原理是组合数学中经常用到的基本原理，其含义如下：
加法原理：如果一个事件可以分为若干个互不重叠的子事件，且这些子事件中至少有一个发生，那么这个事件的发生总数等于子事件发生总数的和。

乘法原理：如果一个事件可以分为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于各个子事件的可能性数相乘。

在排列组合中，用加法原理计算事件的总数通常用于计算多个事件中至少有一个事件发生的情况，而用乘法原理计算事件的总数则通常用于计算多个事件同时发生的情况。

例如，如果有3个任务需要完成，分别需要从4个人中选出1
个人来完成，那么根据乘法原理，完成这3个任务的方案数为：
4 × 4 × 4 = 64
如果这3个任务只需要有1个完成，那么根据加法原理，完成这3个任务的方案数为：
4 + 4 + 4 = 12
总的来说，排列组合的加法原理和乘法原理是组合数学中非常基础的概念，对于解决各种组合计数问题都有很大的帮助。

排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。

排列组合基本概念

排列组合基本概念两个基本原理1.加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1m 2…m n 种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N ＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．例2(1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．排列什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m )个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【排列数】1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示.2. 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1)3．全排列、阶乘的意义；n ！=n(n-1)(n-2)…1= n n A ，规定 0!=1 )!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n Z ）例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列66A =720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A 种；第二步余下的5名同学进行全排列有55A 种则共有22A 55A =240种排列方法⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法．解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．组合1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---== ),,(n m N m n ≤∈*且例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：90222426=⋅⋅C C C例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C2．示例一：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C-----精心整理，希望对您有所帮助!。

排列组合二项定理知识点总结

排列组合二项定理知识点总结一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列.从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：n m 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==nn n C C 2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a1，a2,…...an 其中限重复数为n1、n2……nk ，且n = n1+n2+……nk , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmm nm n -=+--== ⑶两个公式：①;mn nm n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有m nC ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 nn nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m nC C C11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n nx x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nnC2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mmn n A A /. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n mn AAA/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11 (21321)，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C. ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k rn r r A A --. 1x 2x 3x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。

离散数学排列组合计数原理和公式

离散数学排列组合计数原理和公式离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的对象和结构。

在离散数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到计数原理和公式的运用。

本文将介绍离散数学中的排列组合计数原理和公式，并探讨其应用。

一、排列与组合的定义在离散数学中，排列与组合是两种常见的计数方法。

排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合。

1. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方法数称为排列数，用P(n, r)表示。

排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。

2. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方法数称为组合数，用C(n, r)表示。

组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)注意，组合数中的元素顺序不影响结果。

二、排列组合计数原理排列组合计数原理是基于乘法原理和加法原理而来。

乘法原理指的是将多个步骤的选择乘起来作为总的选择方式，加法原理指的是将多种不同的选择方式累加起来。

1. 乘法原理：若第一步有m种选择，第二步有n种选择，那么整个过程有m * n种选择方式。

2. 加法原理：若第一种选择方式有m种，第二种选择方式有n种，那么整个过程有m + n种选择方式。

根据乘法原理和加法原理，我们可以得出排列组合计数的基本原理：若某件事有若干步骤完成，第一步有n1种选择，第二步有n2种选择，第r步有nr种选择，那么总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nr。

三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，下面讨论一些常见的应用场景。

1. 生日问题生日问题是一个经典的排列组合问题，在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有365天且每个人的生日在一年中是等概率的。

排列组合基本知识

基本知识排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

排列组合c推导原理

排列组合c推导原理
排列组合是数学中的一个概念，用来计算从给定的一组元素中选择若干个元素进行排列或组合的方式的数目。

排列表示元素的顺序有关，组合表示元素的顺序无关。

下面是排列和组合的推导原理：
1. 排列的推导原理：
设有n个元素要进行排列，第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择，第三个元素有n-2种选择，以此类推，最后一个元素只剩下一个选择。

根据乘法原理，n个元素进行排列的总数为n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，即n!。

2. 组合的推导原理：
设有n个元素要进行组合，我们要选择r个元素进行组合。

首先考虑第一个元素，有n种选择。

然后考虑第二个元素，由于组合中元素的顺序无关，我们要避免重复计数，因此只能在剩余的n-1个元素中选择。

类似地，第三个元素的选择范围是n-2个，以此类推，最后一个要选择的元素的选择范围是n-r+1个。

根据乘法原理，n个元素取r个元素进行组合的总数为n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1) / r!，即C(n, r)。

其中，n!表示n的阶乘，定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的数目。

通过这样的推导原理，我们可以求解更复杂的排列组合问题，例如排列中有重复元素、有限制条件的组合等。