零度根轨迹非最小相位系统
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自控理论 5-3广义根轨迹
(3) 分离点 令 dK1 0 解 得 分 离 点s －0.41
根轨迹图
z1 ( z1 z 2 ) ( z1 p1 ) ( z1 p2 ) 199
(5) 入射角
K1 0.75 时, s2, 3 j1.25
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
图5-11 s2(s+1)+K1=0的根轨迹
图5-12 根轨迹族
由图可见, a=0时系统不稳定。当a 增大至一定数 值时，系统变为稳定。a的临界值可用劳斯判据确 定。系统稳定的临界条件为 K1= a(a+1)
图5-10 例5-8的参量根轨迹
有时在同一问题中，黄金法则不只应用一次。 对于具有两个可变参数的情况, 此法则同样适用， 此时所得到的是根轨迹族。
例5-9 已知系统的开环传递函数 K1 G( s ) H ( s ) s( s 1)(s a )
要求以开环极点a 为连续可变参数，以K1为 参变量绘制该系统的根轨迹族。 解 特征方程
as( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 1) K 1
为了绘出a = 0 ~ ∞的根轨迹，必须确定G*(s)H*(s) 的极点,即方程式 s2(s+1)+K1=0 的根（确切地说是根 轨迹,因为K1为变量）。 再一次应用黄金法则 得另一等效开环传函
K1 1 2 0 s ( s 1)
k1=0.75
根轨迹法
绘制根迹的数学依据：
绘制根轨迹的基本法则：
1参数根轨迹 2多回路系统的根轨迹 3正反馈回路根轨迹 4非最小相位系统根轨迹
参数根轨迹：
前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增
益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上 述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规 根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的 任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数 等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘 制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环 零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的 影响。 G(s)=5/s(s+a)
多回路系统的根轨迹：
前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而
且也适合多环系统。
正反馈回路根轨迹：
前面介绍的绘制根迹的依据、法则，都是针
对负反馈系统的。对于正反馈，前面的依据、 规则，需要作些修改，修改以后的规则，可 被用来画正反馈回路的根迹
非最小相位系统根轨迹：
所谓非最小相位系统:
如果系统的所有极点和零点均位于s左半平面，
根轨迹法
经典控制理论有三种基本分析方法：
1. 时域分析法 2. 根轨迹分析法 3. 频域分析法
根轨迹法定义：
定义1948年，W.R.Evans提出了 一种求特征根的简单方法，并且 在控制系统的分析与设计中得到 广泛的应用。这一方法不直接求 解特征方程，用作图的方法表示 特征方程的根与系统某一参数的 全部数值关系，当这一参数取特 定值时，对应的特征根可在上述 关系图中找到。这种方法叫根轨 迹法。根轨迹法具有直观的特点， 利用系统的根轨迹可以分析结构 和参数已知的闭环系统的稳定性 和瞬态响应特性，还可分析参数 变化对系统性能的影响。在设计 线性控制系统时，可以根据对系 统性能指标的要求确定可调整参 数以及系统开环零极点的位置， 即根轨迹法可以用于系统的分析 与综合。
根轨迹
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
第12讲bode最小相位系统和非最小相位系统
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后
18
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 10-1
100
101
图5-20传递延迟的相角特性曲线
19
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
T
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
请看下页
7
1
5.2.4 二阶因子 [1 2 ( j /n ) ( j /n )2 ]1 1 2 ( j ) ( j )2
L()
( )
纵坐标均按线性分度
横坐标是角速率 按lg 分度 10倍频程，用dec 3
极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表示。 当输入信号的频率 0 ~ 变化时，向量 G( j) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上 移动的轨迹称为极坐标图。 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于 极坐标图阐述了反馈系统稳定性
作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典 型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区 域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
12
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。
参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。
图解法是一种方便的近似方法。
l 、基本内容和要点 （l ）根轨迹的基本概念根轨迹的定义。
以二阶系统为例说明什么是根轨迹，怎样从根轨迹分析闭环零、极点与系统的性能。
（2）绘制根轨迹的基本规则根轨迹的特点和性质。
绘制以系统开环增益K 为变量的根轨迹的规则与方法。
常见的几种典型系统的根轨迹图。
（3）参数根轨迹参数根轨迹的定义。
多参变量根轨迹。
多环系统的根轨迹。
（4）非最小相位系统的根轨迹最小相位和非最小相位系统的定义和特点。
非最小相位系统根轨迹的特点和绘制规则。
（5）含有延迟环节的系统的根轨迹有延迟环节的系统的极轨迹特点及绘制规则。
延迟环节的近似表达式及使用条件。
（6）基于根轨迹分析系统的响应根轨迹的形状，零极点的位置与系统时域响应性能指标间的关系。
几种常见的典型系统的零、极点分布与其暂态响应性能指标。
2、重点（l ）最小相位系统的以开环增益K 为变量的根轨迹的特点及其绘制的规则和方法。
（2）系统根轨迹的形状，零、极点的分布与其时域响应性能指标的关系。
3、难点对“根轨迹上所有的点只是可能的闭环极点”的理解以及非最小相位系统中含最高次冥项系数为负的因子时根轨迹的绘制。
4-1 根轨迹法的基本概念1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化∞→0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。
即在参数变化时图解特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K 的变化∞→0， 对闭环极点的影响。
开环传递函数)15.0()(+=s s Ks G ，闭环传递函数Ks s K s 222)(2++=Φ，特征方程0222=++K s s ，根轨迹方程1)2(-=+s s k ，∞→=0,2K k 。
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
T2 的相角变化范围最小，且变化 的规律与幅频特性的斜率有关 系(如 j1(w) )。而非最小相位系 统的相角变化范围通常比前者
w 大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；
或者相角变化范围虽不大，但 相角的变化趋势与幅频特性的
变化趋势不一致(如 j4(w) )。
10
T2
5
最小相位系统和非最小相位系统
-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) -40 -50
⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -60 0.1
-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)
5.6(1 s 1)
G(s) =
7 s( 1 s 1)
2
j (w) = -90 tg-1 w - tg-1 w
7
2
Saturday, November 28,
Saturday, November 28, 2020
6
最小相位系统和非最小相位系统
5 4.8 4.6 4.4
在u=0(w=w0)时
ln
ctgh u 2
；
4.2 4
偏离此点，函数衰减很快。
3.8
3.6 3.4 3.2
在u=±0.69（在w0上下倍频
3 2.8 2.6 2.4
程处， ln ctgh u = 1.1 ； 2
一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
Saturday, November 28, 2020
15
- du
2
式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度； u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的
自控原理-复习知识点
•3、参量根轨迹的绘制
由系统的闭环特征方程，得到等效的开环传递函数， 将非根轨迹增益的参数变换到根轨迹增益的位置。
•4、 增加开环零、极点对根轨迹的影响 ⑴ 增加开环零点对根轨迹的影响。 (2) 增加开环极点对根轨迹的影响。 (3) 增加开环偶极子对根轨迹的影响。
第三章 控制系统的时域分析
1、稳定性 绝对稳定性、相对稳定性和条件稳定 1）线性系统稳定的充分必要条件: 闭环特征方程的 都具有负实部。 2） 劳斯（Routh）稳定判据：D(s)=1+G(s)H(s)=0 两种特殊情况: 出现全0行对应临界稳定
2、动态性能
输入
系统
响应
单位阶跃响应指标： 超调量：σ% 过渡过程时间：tr 、td 、tp 、ts 分析思路： 推导c(t)→分析曲线，推出性能指标
2
阶跃输入 斜坡输入 加速度输入
开环增益 K lim s G(s)H(s) s0
: 系统型别
0型 K p K
Ⅰ型 K v K
Ⅱ型 K a K
提高系统型别，或增大开环增益，可减小稳态误差
第四章 线性系统的根轨迹法
开环传递函数 G(s )H(s ) K
* i 1 n j 1
3、控制系统的原理分析 4、控制系统的分类 5、对控制系统的基本要求：稳定性、准确性和快速性
第二章 数学模型的建立
1、微分方程 2、传递函数 3、结构图 4、信号流图
信号分方程 拉氏变换 传递函数
时间响应
观察 性能指标
拉氏反变换 估算
5、控制系统的传递函数
s1
0
p1
稳定性、快速性和准 确性分析！
p2
-0.5
s2
4第四节最小相位系统与非最小相位系统
Wednesday, April 01, 2015
15
0 0
最小相位系统和非最小相位系统
例：已知最小相位系统的渐近幅频特 60 性如图所示，试确定系统的传递函数，50 40 并写出系统的相频特性表达式。 解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec所 以有一个积分环节； ⒉在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 ⒊在w=2处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) ⒋在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1) 1 5.6( s 1) 7 G( s) = 1 s( s 1) 2
这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有 相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小， 。相角变化大于最小值的系统称为非最小 如上表示的
( n - m)
2
相位系统。
2
[结论]：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，
相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。
Wednesday, April 01, 2015
2
最小相位系统和非最小相位系统
例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。
T2 s 1 G1 ( s) = T1s 1 1 - T2 s G2 ( s) = T1s 1 T2 s 1 G3 ( s) = 1 - T1s G4 ( s) = 1 - T2 s 1 - T1s
与 的几何中点。
1 T2
w
1/10T1 1/T1
10 / T1
1/T2
-39.3°
10/T2
-5.1°
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
最小相位系统与非最小相位系统
从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节.如果传递函数中具有正实部的零点或极点,或有延迟环节,这个环节就是非最小相位环节.
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统.因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时(泰勒级数展开),会发现它具有正实部零点.
最小相位系统具有如下性质:
1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定;反之亦然.
2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定;反之亦然.
3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小.
非最小相位系统一词源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。
非最小相位系统根轨迹的绘制方法同最小相位系统完全相同。
最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在确定的对应关系。
两个特性中，只要一个被规定，另一个也就可唯一确定。
然而，对非最小相位系统，却不存在这种关系。
非最小相位系统的一类典型情况是包含非最小相位元件的系统或某些局部小回路为不稳定的系统；另一类典型情况为时滞系统。
非最小相位系统的过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。
因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。
较好的解决办法是设法取一些其他信号或增加控制点。
例如在大型锅炉汽包的水位调节中增加一个蒸汽流量的信号，形成所谓的双冲量调节。
正反馈回路和非最小相位系统的根轨迹
例10 试绘制图示非最 小相位系统的根轨迹。
解 系统的相角条件为
G(s) K (1 s) K (s 1) K (s 1) 180
s(s 2)
s(s 1) 0 s(s 2)
根据上述方程，采用前述 的绘制根轨迹的方法可得系统 的根轨迹。
⑹复平面上的根轨迹：由相角条件可知，两个 开环极点之间的连线是根轨迹的一部分。
解本题的MATLAB程序为 n=[-1]； d=[1 2 2]； rlocus(n,d)
2.非最小相位系统的根轨迹
如果系统开环传递函数的所有极点和零点均位 于s 左半平面，则该系统称为最小相位系统。反之， 如果系统开环传递函数中至少有一个极点或零点位 于s 右半平面，则称该系统为非最小相位系统。
G(s)H (s) 180(2k)
故又称零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，需要对 有关涉及相角条件的规则进行修改。
规则4¹在 s平面实轴的线段上存在根轨迹的条 件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数 目之和为偶数。
规则5¹根轨迹的n m 条渐近线与实轴的相角为
180 (2k)
nm
规则7¹根轨迹的出射角和入射角
解 ⑴根轨迹的2条分支始于开环极点1 j1，终 于无穷远处。
⑵因为实轴上无开环零、极点，所以整条实轴 是根轨迹的一部分。
⑶渐近线与实轴的交点为s 1，相角 0,180
⑷根轨迹在开环极点1 j1的出射角为
p (2k)180 90 90
⑸由 dK / ds 0，得根轨迹的会合点为 s 1 。
正反馈回路和非最小相位系统的根轨迹
1.正反馈回路根轨迹
局部正反馈系统 的闭环传递函数为
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
最小相位系统和非最小相位系统
L(w) w1 w2 w w3 w4
什么地方的幅频为-10dB？
5.3 频域中的稳定性判据（Nyquist判据）
• Nyquist判据是用开环频率特性来判别闭环的稳定性（这 个事实与根轨迹相同）。 • 设开环传递函数是
P( s) G ( s) H ( s) Q( s)
那么闭环的特征式是
F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 P( s) P( s) Q( s) 闭环极点 Q( s ) Q( s ) 开环极点
Im
r=
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
3. • 乃氏路径的修正
Im
j
r=
幅角原理规定不能包含F(s)的零极 点，如果虚轴上有开环极点，那么我 们采用小的半圆去包围这样的极点， 如图。 4. 圈数的计算 开环频率特性要包含-1，必须在-1的 左面穿越虚轴，由下到上为正穿越， 由上到下为负穿越，起于-1左面负实 轴的为半穿越。 N等于穿越数的两倍。
5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 一个事实：两个不同的传递函数可以有相同的幅频 特性。例如
G1 ( s) 1 T2 s 1 T1s
G2 ( s) 1 T2 s 1 T1s
• 但是它们的相频变化的范围不同
L( ) dB
1
0
1 1 1 2 m T2 T1T2 T1
20
(rad / s)
G1
( )
0
90
G2
(rad / s)
180
5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 定义：在幅频特性相同的系统中，相频变化最小的 那个系统称为最小相位系统。 • 结论：一个最小相位系统没有右半复平面的零极点， 也没有延迟环节。 • 应用：最小相位系统的传递函数可以由幅频唯一确 定。
§4.5 零度根轨迹
∣n-m∣ ∣ k=j0,1,2, …
，则该段是根轨迹
m
k= 0,1,2, …
变了szjpi2k1l1k2k5实轴上某段右侧零极点个数之和为奇数则该段是根轨迹偶6根轨迹的分离点1与虚轴的交点j1mi1dpi8起始角与终止角n1dzjk012
§4.5 零度根轨迹 零度根轨迹 特征方程为以下形式时， 特征方程为以下形式时，绘制零度根轨迹
K * ∏ (s − z j )
1、 、
m
1–
j= 1
∏ (s − p i )
i =1
n
=0
K*:0 ~ + ∞
2、 、
K * ∏ (s − z j )
m
1+
j= 1
∏ (s − p i )
i =1
n
=0
K*:0 ~ – ∞
请注意： 请注意：G(s)H(s)的分子分母均首一 的分子分母均
零度根轨迹的模值条件与相角条件
零度
模值条件: 模值条件:
实轴上某段
n
)
不变！ 不变 ,λ= ！ 7 ∑ d-p = ∑ L i=1 L i j=1 d-zj 8 起始角与终止角 变了
1 = j=1 奇 数 右 偶 n * 不变！ p 根轨迹的分离点 不变！ - ︱ K 1 ∏︱ i s 1 i=1 (2k+1)π 与虚轴的交点
a
2kπ s ∏︱ - z︱ (2k+1)π 渐近线方向: 渐近线方向 φ = n-m
* K
=
s i ∏︱ -p︱ s j ∏︱ - z︱
j=1 i=1 m
n
相角条件: 相角条件:
4.3非最小相位系统的根轨迹
S1=0(k=0)
S2,3=±j3.14(k=3.07)。
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系统根轨迹图：
第四章 线性系统的根轨迹法
4.3 非最小相位系统的根轨迹
非最小相位系统的根轨迹
• 在复平面[s]右半平面上没有开环零点和极点的系统，称为 最小相位系统； 反之，即为非最小相位系统。
• 具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角范围是最 小的。
• 绘制非最小相位系统的根轨迹的基本规则与绘制最小相位系 统的根轨迹的基本规则相同。
• 首先需要根据系统特征方程得出绘制根轨迹的规则180°或 0°根轨迹规则。
例 设某非最小相位负反馈系统的开环传递函数为 G(S)H (S) K (S 2 2S 3) S(S 2 4S 16)
试绘制该系统的根轨迹证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
解: 首先得出系统特征方程: 已知系统为负反馈系统，则特征方程为：
1. 开环极点和开环零点，P1=0, P2,3=-2±j 2 3 ,Z1=-3,Z2=1
2.根据基本规则一至三，系统的根轨迹图共有三个根轨迹分支， 它们分起始于三个开环极点，其中两个终止于开环零点,有一 个根轨迹分支在参变量k=∞时伸向s平面的无穷远。
3.根据基本规则四，由于n一m=1，故给定系统根轨迹图有一 渐 近线，它与实轴正方向的夹角是0。
1 G(S)H (S) 0，即G(S)H (S) 1
G(S )H(S )
K(S 2 2S 3) S(S 2 4S 16)
1
k(s 3)(s 1)
1
S[S (2 j 2 3)][S (2 j 2 3)]
说明，该题中的非最小相位负反馈系统的根轨迹图需按00根 轨迹的基本规则绘制
最小相位系统和非最小相位系统比较
定义1：一个系统被称为最小相位系统，当且仅当这个系统是因果稳定的，有一个有理形式的系统函数，并且存在着一个因果稳定的逆函数。
定义2：连续系统：开环传递函数的所有零极点都在s 平面虚轴左侧（有说包含虚轴），无迟滞环节。
离散系统：开环传递函数的所有零极点都在单位圆内（有说包含单位圆），无迟滞环节。
接下来解释三个问题：1.为什么有迟滞环节就是非最小相位系统？连续系统：迟滞环节做泰勒近似1s e s ττ-≈-，显然有一正根1τ，其在s 右边平面。
从迟滞环节的相位特性来看，也是对传递函数相频特性有延迟。
（非严格证明）离散系统：对于环节k z -则其逆系统有环节k z ，其为非因果系统。
从迟滞环节的相位特性来看，也是对传递函数相频特性有延迟。
（非严格证明）2.为什么称为最小相位系统最小相位系统在相同的幅频特性情况下，其相移为最小的系统，也称最小相移系统。
举例：()()()()12222211s sG s G s s s +-==++第一个为最小相位系统，第二个为非最小相位系统，其幅频特性和相频特性曲线如下其幅频特性相同，而显然第二个系统的相频特性要远远小于第一个系统（由于三角函数换算关系，第二系统的相位均应该按照-2π来看，故其范围在[0 -270]之间，远小于第一个系统）M a g n i t u d e (d B )10101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)再对其输入sin 信号来直观感受一下，显然G2的对sin 的延时大于G13.最小相位系统控制从频域特性来理解，针对两个幅频特性相同的最小相位系统和非最小相位系统，如果给同样的输入，将该输入转化到频域上，则非最小相位系统对该输入各个频段的相位响应均滞后于最小相位系统，因此最终输出结果也比最小相位系统来得迟缓，甚至有反向效应。
见仿真示例，故一般而言非最小相位系统是比较难控制的：M a g n i t u d e (d B )10101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)s ys其中G2在起始处，输出有明显的反向增大效果，之后阶跃相应也比较缓慢。
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问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统
特征根的麻烦，所以，根轨迹法在工程实践中获得了广泛的应用。 采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图。用数学解析
法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制根轨迹图，十分困难且没有意义。
重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系 以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这 种作图方法的基础就是根轨迹方程。
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R( s )
G( s) H ( s)
C ( s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
i 1 j 1
m
n
0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )
i i
m
(s p )
m
1
m个零点
n个极点 （nm） 相角条件（k=0,1,2, …）
n i i 1 i
幅值条件
K
' i 1 n i 1
sz
m
i
s pi
1
(s z ) (s p ) (2k 1)
[s]
s1 p1
0.5
(s1 p1 ) 135
s1 p2
1
135
(s1 p2 ) 90
0
s2 p2
s2 p1
(s
i 1
m
1
z i ) (s1 p j ) (s1 p1 ) (s1 p2 ) 225 s2
根轨迹图->系统的相关动静态性能信息
（1）稳定性。闭环极点不可能出现在[s]平面右半部， 系统始终稳定。 （2）因为开环传递函数有一个极点位于[s]平面原 点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为 零，静态速度误差系数 K v 即为根轨迹上对应的值K。 （3）暂态性能。当K值确定之后，根据闭环极点 的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
本章主要内容
4.1 根轨迹法的基本概念
4.2 绘制根轨迹的一般原则
4.3 控制系统根轨迹分析
4.4 广义根轨迹
第四章 根轨迹法
根轨迹法实质：
由开环传递函数确定闭环特征根的图解法。 根轨迹法适用范围： 线性系统
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹法基本概念
第四章 根轨迹法
j
K
K 0.25
根轨迹 随着K值的增 加，根轨迹的 变化趋势 － 运动的方向
与特征根位置 相应的开环增 [ s] 益的数值
K 0
K 0 0
1
K
系统开环增益确定闭环极点在[s]平面上的位置也确定。 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
第四章 根轨迹法
K s(s 1)
C ( s)
！试探法
j
判断 s1 (1, j1) s2 (0.5, j1) 点和是否在其根轨迹上。
、
解：将开环零、极点表示在图上（无开环 零点），其中， p1 0 p2 1 。作p1、p2 s1 引向s1的矢量 ( s1 p 2 ) ( s1 p1 )
i 1
1）幅值条件不但与开环零、极点 有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件。
1）幅角条件只与开环零、极点 有关 2）充要条件。
用相角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定 已知根轨迹上某一点K’的值。
第四章 根轨迹法
用相角条件求根轨迹曲线
R(s)
[例]开环传递函数为
K G( s) s( s 1)
根轨迹：当控制系统开环传递函数的某一参数在规
定范围内变化时，闭环特征方程根在[s]平面上的位
置也随之变化移动所形成的轨迹。
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点。
第四章 根轨迹法
[例]： (s) C(s)
R (s)
K s2 s K
R( s)
K s( s 1)
j 1
n
第四章 根轨迹法
不满足相角条件，所以s1不在根轨迹上，即s1不是该系统的 闭环极点。 同样作 p1、p2 引向s2的矢量
j
(s2 p1 ) 116.5
(s2 p2 ) 63.5
s1
[s]
s1 p1
0.5
s1 p2
1
135
(s2 zi ) (s2 p j )
C (s)
闭环特征方程式 根为：
K＝0时
D(s) s 2 s K 0
s1, 2
1 1 1 4K 2 2
s1 0, s2 1
0 K 1 / 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
K＝1 / 4
s1 s2 1 / 2
1/ 4 K
一对共轭复根 离开负实轴，分别s=-1/2 直线向ห้องสมุดไป่ตู้和向下移动。
0 K 1/ 4
j
K
K 0.25
[ s]
K 0 0
K 0
1
K
过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 临界阻尼系统，
K＝ 1/ 4
K 1 / 4 欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
第四章 根轨迹法 根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭 环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根 据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位置以及改 变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合