零度根轨迹非最小相位系统

问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统
特征根的麻烦，所以，根轨迹法在工程实践中获得了广泛的应用。 采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图。用数学解析
法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制根轨迹图，十分困难且没有意义。
重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系 以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这 种作图方法的基础就是根轨迹方程。
i 1
1）幅值条件不但与开环零、极点 有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件。
1）幅角条件只与开环零、极点 有关 2）充要条件。
用相角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定 已知根轨迹上某一点K’的值。
第四章 根轨迹法
用相角条件求根轨迹曲线
R(s)
[例]开环传递函数为
K G( s) s( s 1)
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )
i i
m
(s p )
m
1
m个零点
n个极点 （nm） 相角条件（k=0,1,2, …）
n i i 1 i
幅值条件
K
' i 1 n i 1
sz
m
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i
s pi
1
(s z ) (s p ) (2k 1)
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )

K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
[s]
s1 p1
0.5
(s1 p1 ) 135
s1 p2
1
135

(s1 p2 ) 90
0
s2 p2
s2 p1
(s
i 1
m
1
z i ) (s1 p j ) (s1 p1 ) (s1 p2 ) 225 s2
根轨迹图->系统的相关动静态性能信息
（1）稳定性。闭环极点不可能出现在[s]平面右半部， 系统始终稳定。 （2）因为开环传递函数有一个极点位于[s]平面原 点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为 零，静态速度误差系数 K v 即为根轨迹上对应的值K。 （3）暂态性能。当K值确定之后，根据闭环极点 的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。
根轨迹：当控制系统开环传递函数的某一参数在规
定范围内变化时，闭环特征方程根在[s]平面上的位
置也随之变化移动所形成的轨迹。
根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特 征方程找出闭环极点。
第四章 根轨迹法
[例]： (s) C(s)
R (s)
K s2 s K
R( s)

K s( s 1)
C (s)
闭环特征方程式 根为：
K＝0时
D(s) s 2 s K 0
s1, 2
1 1 1 4K 2 2
s1 0, s2 1
0 K 1 / 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
K＝1 / 4
s1 s2 1 / 2
1/ 4 K
一对共轭复根 离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。
第四章 根轨迹法
j
K
K 0.25
根轨迹 随着K值的增 加，根轨迹的 变化趋势 － 运动的方向
与特征根位置 相应的开环增 [ s] 益的数值
K 0
K 0 0
1
K

系统开环增益确定闭环极点在[s]平面上的位置也确定。 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
本章主要内容
4.1 根轨迹法的基本概念
4.2 绘制根轨迹的一般原则
4.3 控制系统根轨迹分析
4.4 广义根轨迹
第四章 根轨迹法
根轨迹法实质：
由开环传递函数确定闭环特征根的图解法。 根轨迹法适用范围： 线性系统
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹法基本概念
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R( s )
G( s) H ( s)
C ( s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
i 1 j 1
m
n

0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
j 1
n
第四章 根轨迹法
不满足相角条件，所以s1不在根轨迹上，即s1不是该系统的 闭环极点。 同样作 p1、p2 引向s2的矢量
j
(s2 p1 ) 116.5
(s2 p2 ) 63.5
s1
[s]
s1 p1
0.5
s1 p2
1
135
(s2 zi ) (s2 p j )

K s(s 1)
C ( s)
！试探法
j
判断 s1 (1, j1) s2 (0.5, j1) 点和是否在其根轨迹上。
、
解：将开环零、极点表示在图上（无开环 零点），其中， p1 0 p2 1 。作p1、p2 s1 引向s1的矢量 ( s1 p 2 ) ( s1 p1 )
0 K 1/ 4
j
K
K 0.25
[ s]
K 0 0
K 0
1
K

过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 临界阻尼系统，
K＝ 1/ 4
K 1 / 4 欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
第四章 根轨迹法 根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭 环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根 据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位置以及改 变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合