高中数学(人教版)二重积分的变量变换课件

f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J (u, v ) |dudv .
D
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
例1 求 D是由
e
D
x y x y
dxdy ,
其中
y
1
x 0, y 0, x y 1
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt .
2

1

则
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
因此

D
1 f ( xy )d f ( t ) dtdu 2u 2 4 1 dt f ( t )du 1 1 2u
ln 2 f ( t )dt .
( D ) J ( u , v )dudv .

又因为
( D ) 总是非负的, 而
J ( u , v ) 在 上不为零且
所以
连续, 故其函数值在
上不变号,

( D ) | J ( u , v ) |dudv .
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换

另一方面, 在 uv 平面上
y y du dv L x(u , v ) v u
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt , (7) v u 其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于 L
一阶连续偏导数且它们的函数行列式
则有
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J (u, v ) |dudv .
D
§4 二重积分的变量变换
( Di ) | J ( u , v ) |dudv | J ( ui , v i ) | ( i ),
其中 令 则
( ui , v i ) i ( i 1, 2, , n).
i
i x( ui , v i ), i y( ui , v i ), ( i , i ) Di ( i 1, 2, , n).
i 1
n
这个和式是可积函数 在
f ( x( u , v ), y( u , v )) | J ( u , v ) |
又由变换 T 的连续性可知, 当
上的积分和.

D的
的分割
相应分割 因此得到
T :{1 , 2 , n } 的细度 || T || 0 时,
TD :{ D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD || 也趋于零.
上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 映成 xy 平面上的闭区域 D.
,
一对一地
函数
x ( u , v ), y( u , v )在

内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
( x , y ) J (u , v ) 0 , (u , v ) , ( u , v )
则区域 D 的面积
1
2
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt
1
2
1 y t xy , u , J ( t , u) 2u x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 的形式为
所以 则根据格
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D




y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
的 L
设曲线
由于
L 按段光滑, 因此
( D ) | J ( u , v ) |dudv .

(5)
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 下面给出当 时的证明. ( 注: 对
y( u , v ) 在 内具有二阶连续偏导数 y( u , v ) 具有一阶连续偏导数条件 J ( u , v ) 0 , 因而 T
所围的区域(图21-23).
解 为了简化被积函数, 令
O
D
1
u x y, v x y.
即作变换
x
图 21 23
1 1 T : x ( u v ), y (v u), 2 2
它的函数行列式为
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
v
J (u , v )
统一写成如下的形式:

X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
引理 设变换
T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面

的正方向或负方向所决定.
由(6)及(7)式得到
令
y y ( D) du dv L x(u , v ) v u y y L x(u , v ) u du x(u , v ) v dv . y y P ( u , v ) x( u , v ) , Q( u , v ) x( u , v ) , 在uv平 u v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换

当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2)

(即
( t ) 0 )时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1

故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
广义极坐标变换
定理21.13
设
f ( x , y)
在有界闭区域 D 上可积, 变换
T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 的闭区域 D,
一对一地映成 xy 平面上
在
函数
x ( u , v ), y( u , v )
内分别具有
1 2 1 2
1 1 2 0. 2 1 2
1
u v

O
图 21 24
uv
u
在 T 的作用下, 区域 D 的 原象 所以

如图 21-24 所示.
x y x y
e
D
1 dxdy e dudv 2
u v
u 1 v 1 1 1 1 e e dv e v du v (e e1 )dv . v 2 0 2 0 4
数学分析 第二十一章 重积分 二 重积 分是 定积 分在 平面上的推广 , 不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算 , 而二重 积分定义在平面区域上 , 其 面积的计算要复杂得多.
§4 二重积分的变量 变换
一、二重积分的变量变换 公式 二、二重积分的极坐标变换
三、二重积分的广义极坐标 变换

则

当
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) (t )dt .
(1)
(即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
利用这些记号, 公式(1)又可
X (Y ), Y 1 ( X ).
写成
§4 二重积分的变量变换
u( t ), v( t ) 在 [ , ] 上至多除
去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
又因
LD T ( L ),
LD 的参数方程为 x x ( t ) x ( u( t ), v ( t )) ( t ). y y( t ) y( u( t ), v ( t ))
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 用曲线网把
分成
n 个小区域
i ,
在变换 T 作用
下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域
Di 的面积为 ( i )及
加强条件下,
Di . 记 i 及 ( Di )( i 1, 2, , n). 在对 y 的
由引理及二重积分中值定理, 有
*点击以上标题可直接前往对应内容
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 在区间 设
f ( x)
时严格
[a , b]上连续,
x ( t ) 当 t 从 变到
单调地从a 变到 b, 且
( t ) 连续可导,
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
面上对上式应用格林公式, 得到
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
Q P ( D) dudv . u v 2 y 即有 由于函数 y( u , v ) 具有二阶连续偏导数, uv 2 Q P y J ( u , v ), 于是 , 因此 u v vu
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线
y 2 mx , y 2 nx 和直线
y x, y
x
所围区域 D 的面积
( D ) (0 m n , 0 ).
D
解 D 的面积
( D) dxdy . 为了化简积分区域, 作
作二重积分
f ( x , y )dxdy 的积分和
D
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
f ( i , i ) ( Di )
i 1
n
f ( x( ui , v i ), y( ui , v i )) | J ( ui , v i ) | ( i ).
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
例3 设
f ( t ) 在 [1, 2] 上可积, D 是由曲线 xy 1, xy 2, y x , y 4 x
所围成的区域在第一象限中的部分. 证明:
y 证 令 t xy , u 即 x t 1 2 u1 2 , y t 1 2 u1 2 . x ( t , u) [1,2] [1,4], 有 1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 t u t u 1 2 2 J ( t , u) . 2u 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 t u t u 2 2
2u 3 u v 4 0, v u 2 v
因此
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
(u , v ) ,
O
图 21 25
ห้องสมุดไป่ตู้
x
u ( D ) d 4 dudv v D


dv n ( n2 m 2 )( 3 3 ) u du . 4 m 3 3 v 6