高中数学(人教版)二重积分的变量变换课件
合集下载
重积分的变量变换.
o
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r dr.
r 2( )
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
D： ,
D
其中正号及负号分别由 t 从 变 到时，是对
应于 LD 的正向或是负方向所决定．由（6）及
（7）得到
D =
L
xu,
v
y u
du
y v
dv
= 令
Pu,
L
v
xu, v xu,
v
y du u
y
u
xu,v y dv
v
Qu, v xu,
v
y v
在平面 uv 上对上式应用格林公式，得到
D
vdv
1
sin
1.
20
2
二、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
f ( x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
r ri ri r ri
o
i i
i D
i A
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
x, y u, v
0，
= f xu,v, yu,v Ju,vdudv
D
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u, v), y y(u, v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
二重积分的变量变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
前页 后页 返回
例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
前页 后页 返回
o
2 cos
D
2
x
D
x y d
2 2
d
2 2
0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2
前页 后页 返回
例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
二重积分的坐标变换(课堂PPT)
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
首页
上页
返回
下页
结束
由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
首页
上页
返回
下页
结束
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
首页
上页
返回
下页
结束
由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
首页
上页
返回
下页
结束
二、二重积分的换元法
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
首页
上页
返回
下页
结束
若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
二重积分的变量替换
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r = ϕ (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
Ω Ω1
其中Ω 1为Ω的z ≥ 0, y ≥ 0区域
例 计算 ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 + x − y 3 )dxdydz ,
Ω
其中Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z
命题
Ω
若积分区域 Ω关于x , y , z具有轮换对称性，则
Ω Ω
∫∫∫ F ( x , y, z )dv = ∫∫∫ F ( y, z , x )dv = ∫∫∫ F ( z , x , y )dv
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r = ϕ1 ( θ )
r = ϕ 2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ 1 (θ )
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
定义 2 若函数 F ( x1 , x 2 , x 3 , , x n ) ≡ F ( x 2 , x 3 , , x n , x1 ) ≡ ≡ F ( x n , x1 , , x n −1 ) 则称函数 F关于变量 x1 , x 2 , , x n 具有轮换对称性
二重积分的变量代换
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
在整个平面上成立
P Q cos y . y x 由定理21.12, 曲线积分AB (2 x sin y )dx ( x cos y )dy
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x , y ), 取路线为图21-22中的折
. 于是有 线段 OCB
A R
S
B
图 21 19
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y ), 使得
d u P d x Q dy ,
因此 P ( x , y ) ux ( x , y ), Q( x , y ) u y ( x , y ). 于是由
P Q ux y ( x , y ) , u y x ( x , y ), y x
O
x
图 21 20
作业：P232:5(2); 6(1); P278 3
例如： 计算 e
D
x2 y2
dxdy , 其中D是由中心在原点，半径
为a的圆周所围成的闭区域.
y
a x a D : 2 2 2 2 a x y a x
x2 y2 a2
统一写成如下的形式:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
在整个平面上成立
P Q cos y . y x 由定理21.12, 曲线积分AB (2 x sin y )dx ( x cos y )dy
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x , y ), 取路线为图21-22中的折
. 于是有 线段 OCB
A R
S
B
图 21 19
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y ), 使得
d u P d x Q dy ,
因此 P ( x , y ) ux ( x , y ), Q( x , y ) u y ( x , y ). 于是由
P Q ux y ( x , y ) , u y x ( x , y ), y x
O
x
图 21 20
作业：P232:5(2); 6(1); P278 3
例如： 计算 e
D
x2 y2
dxdy , 其中D是由中心在原点，半径
为a的圆周所围成的闭区域.
y
a x a D : 2 2 2 2 a x y a x
x2 y2 a2
统一写成如下的形式:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
二重积分的变量变换.
于是,
f (ax by)dxdy
f (u)dudv
(D : u2
v2
1)
D
11
du
1u 2 1u 2
D
f (u)dv 211 f (u)
1 u2du.
练习P338 第7题(1)
证明: 区域 R: x y 1 x 是由四条直线 y 1,
x y 1, x y 1, x y 1 所围成.
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; x y 2 v 2.
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
xvu, yvu
2
2
v
v2
22
变换T : x r cos , y r sin y r .P(x,y)
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角
0 r ,0 2
O
x
r. 此时J (r, ) (x, y) cos r sin
(r, ) sin r cos
r 于是,有 f (x, y)dxdy f (r cos , r sin ) drd.
v
(u, v)
v(x, y),
求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
(x, y)
(3)在变换下确定u,v的范围 D ;
二重积分的变量变换课件
柱坐标变换案例
总结词
柱坐标变换适用于处理二重积分中与圆有关的积分问题，通过柱坐标系可以将二重积分转化为更易于计算的形式 。
详细描述
柱坐标变换是指将直角坐标系中的点$(x, y)$转换为柱坐标系中的点$(r, varphi, z)$，其中$r$表示点到原点的距 离，$varphi$表示点与x轴的夹角，$z$表示点在垂直方向上的高度。通过柱坐标变换，可以将二重积分中的$x$ 和$y$变量转换为$r$、$varphi$和$z$变量，从而简化计算过程。
$int_{D_1}f(x,y)dxdy+int_{D_2}f(x,y)dxdy=int_{D _1cup D_2}f(x,y)dxdy$。
积分的上、下限的变换
$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{ c}^{b}f(x)dx$。
二重积分的几何意义
表示体积
球坐标变换
01
球坐标变换公式
$x = rhosinthetacosphi, quad y = rhosinthetasinphi, quad z =
rhocostheta$
02
应用场景
当积分区域为球体或球壳时，使用球坐标变换可以简化积分计算。
03实例Βιβλιοθήκη 析计算$intint_{D} (x^2 + y^2 + z^2)^2 dxdydz$，其中D为球心在原
变量变换的精度问题
确定变换的近似程度
在进行变量变换时，需要考虑变换的 近似程度，以确保计算结果的精度。
考虑数值稳定性
在计算过程中，需要考虑数值稳定性 ，以避免计算误差的累积导致结果偏 离真实值。
变量变换的误差分析
二重积分的变量变换
映成 xy 平面上的闭区域 D. 函数 x(u, v), y(u, v)在
内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J(u, v) (x , y) 0, (u, v) , (u, v)
则区域 D 的面积
(D) | J (u, v) |dudv .
(5)
前页 后页 返回
)
dt
,
(7)
其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于L
的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到
(
D)
Ñ L
x(u
,
v
)
y u
du
y v
dv
前页 后页 返回
Ñ L
x(u
,
v
)
y u
du
x(u
,
v
)
y v
dv
.
令 P(u, v) x(u, v) y , Q(u, v) x(u, v) y , 在uv平
x(u(t
),
v(t
))
y u
u(t )
y v
v(t ) dt
.
(6)
前页 后页 返回
另一方面, 在 uv 平面上Ñ Lຫໍສະໝຸດ x(u,v
)
y u
du
y v
dv
x(u(t ) ,
v(t ))
y u
u(t
)
y v
v(t
D
证 用曲线网把 分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用
二重积分的变量变换
(1)
当 (即(t) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
f (x)dx
f ((t))(t)dt . (2)
图 21 24
所以
x y
e x ydxdy
u
ev
1
dudv
D
2
1
1
dv
v
u
ev du
1
1v(e e1 )dv
e e1 .
20
v
20
4
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线 y2 mx , y2 nx 和直线 y x , y
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
x y
例1 求 e x y dxdy , 其中
D
D是由 x 0, y 0, x y 1
广义极坐标变换
y
1
所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
D O
1x
u x y,v x y. 即作变换
图 21 23
2
f ( xy )d ln 21 f ( t )dt.
证
令
D
t xy, u
y
即 x t1 2u1 2 , y t1 2u1 2 . 则
x
(t, u) [1,2][1,4], 有
二重积分的变量变换
r2 0 0
2
R
R2
).
若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累 次积分计算, 则会遇到无法算出 e
y2
dy 的难题.
前页 后页 返回
前页 后页 返回
y
2 2
E
F
O
A B
A
D
x
B
O
C
D R r
(a)
(b)
图 21 26
定理21.14 设 f ( x , y ) 满足定理21.13 的条件, 且在 极坐标变换 (8)下, xy 平面上的有界闭域 D 与 r 平
面上区域 对应, 则成立
前页 后页 返回
此对应不是一对一的, 例如,xy 平面上原点 O (0 , 0) 与 r 平面上直线 r 0 相对应,x 轴上线段 AA 对应 于 r 平面上两条直线段 CD 和 EF (图21-26). 又当
r 0 时, J ( r , ) 0 , 因此不满足定理21.13 的条件.
但是仍然有下面的结论.
所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ). 解 由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第 一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体
z
y
O
y
r R cos
D
x
图 21 32
R
图 21 31
x
前页 后页 返回
积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为 xy 平面内由 y 0 和 x 2 y 2 Rx 所确定的区域 D
f ( x , y)dxdy f (r cos , r sin ) r drd .
2
R
R2
).
若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累 次积分计算, 则会遇到无法算出 e
y2
dy 的难题.
前页 后页 返回
前页 后页 返回
y
2 2
E
F
O
A B
A
D
x
B
O
C
D R r
(a)
(b)
图 21 26
定理21.14 设 f ( x , y ) 满足定理21.13 的条件, 且在 极坐标变换 (8)下, xy 平面上的有界闭域 D 与 r 平
面上区域 对应, 则成立
前页 后页 返回
此对应不是一对一的, 例如,xy 平面上原点 O (0 , 0) 与 r 平面上直线 r 0 相对应,x 轴上线段 AA 对应 于 r 平面上两条直线段 CD 和 EF (图21-26). 又当
r 0 时, J ( r , ) 0 , 因此不满足定理21.13 的条件.
但是仍然有下面的结论.
所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ). 解 由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第 一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体
z
y
O
y
r R cos
D
x
图 21 32
R
图 21 31
x
前页 后页 返回
积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为 xy 平面内由 y 0 和 x 2 y 2 Rx 所确定的区域 D
f ( x , y)dxdy f (r cos , r sin ) r drd .
二重积分的变量替换公式课件
理解二重积分的概念和性质是解题的基础。
详细描述
二重积分是定积分的一种，它表示一个函数在某个区域上的面积。二重积分的性 质包括可加性、可减性、积性等。这些性质对于理解和应用二重积分非常重要。
习题二：掌握变量替换的方法和步骤
总结词
掌握变量替换的方法和步骤是解题的关键。
详细描述
变量替换是解决二重积分问题的一种常用方法。通过选择适当的变量替换，可以将复杂的积分区域转化为简单的 矩形区域，从而简化计算。变量替换的方法和步骤包括选择替换变量、确定替换关系、计算积分等。
变量替换公式可以应用于各种复杂的二重积分问 题，特别是难以直接计算的积分。
通过选择适当的变量替换函数，可以将复杂积分 转换为简单积分，提高计算效率。
变量替换公式的应用需要一定的技巧和经验，需 要掌握常见的积分区域和变量替换方法。
变量替换公式的实例
例如，计算积分 $int_{0}^{1}int_{0}^{y}x^{2}dxdy$，可以 通过变量替换 $x = ysintheta$，将积分转换为 $int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}(ysintheta)^{2}dydtheta$ ，简化计算。
在使用变量替换公式时，需要确保满 足这些限制条件，否则可能导致错误 的计算结果。
变量替换公式的误差分析
变量替换公式存在误差，需要对误差进行分析和估计。
误差可能来源于变量替换的近似性、被积函数在积分区域内的奇异性等方面，需要进行详细的分析和 计算。
05
习题与解答
习题一：理解二重积分的概念和性质
总结词
02
变量替换在二重积分中的应用
变量替换的引入
简化积分计算
通过变量替换，可以将复杂的积分转化为更易于 计算的形式，提高计算效率。
详细描述
二重积分是定积分的一种，它表示一个函数在某个区域上的面积。二重积分的性 质包括可加性、可减性、积性等。这些性质对于理解和应用二重积分非常重要。
习题二：掌握变量替换的方法和步骤
总结词
掌握变量替换的方法和步骤是解题的关键。
详细描述
变量替换是解决二重积分问题的一种常用方法。通过选择适当的变量替换，可以将复杂的积分区域转化为简单的 矩形区域，从而简化计算。变量替换的方法和步骤包括选择替换变量、确定替换关系、计算积分等。
变量替换公式可以应用于各种复杂的二重积分问 题，特别是难以直接计算的积分。
通过选择适当的变量替换函数，可以将复杂积分 转换为简单积分，提高计算效率。
变量替换公式的应用需要一定的技巧和经验，需 要掌握常见的积分区域和变量替换方法。
变量替换公式的实例
例如，计算积分 $int_{0}^{1}int_{0}^{y}x^{2}dxdy$，可以 通过变量替换 $x = ysintheta$，将积分转换为 $int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}(ysintheta)^{2}dydtheta$ ，简化计算。
在使用变量替换公式时，需要确保满 足这些限制条件，否则可能导致错误 的计算结果。
变量替换公式的误差分析
变量替换公式存在误差，需要对误差进行分析和估计。
误差可能来源于变量替换的近似性、被积函数在积分区域内的奇异性等方面，需要进行详细的分析和 计算。
05
习题与解答
习题一：理解二重积分的概念和性质
总结词
02
变量替换在二重积分中的应用
变量替换的引入
简化积分计算
通过变量替换，可以将复杂的积分转化为更易于 计算的形式，提高计算效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以 则根据格
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2))时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
的 L
设曲线
由于
L 按段光滑, 因此
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
(5)
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 下面给出当 时的证明. ( 注: 对
y( u , v ) 在 内具有二阶连续偏导数 y( u , v ) 具有一阶连续偏导数条件 J ( u , v ) 0 , 因而 T
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
例3 设
f ( t ) 在 [1, 2] 上可积, D 是由曲线 xy 1, xy 2, y x , y 4 x
所围成的区域在第一象限中的部分. 证明:
y 证 令 t xy , u 即 x t 1 2 u1 2 , y t 1 2 u1 2 . x ( t , u) [1,2] [1,4], 有 1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 t u t u 1 2 2 J ( t , u) . 2u 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 t u t u 2 2
所围的区域(图21-23).
解 为了简化被积函数, 令
O
D
1
u x y, v x y.
即作变换
x
图 21 23
1 1 T : x ( u v ), y (v u), 2 2
它的函数行列式为
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
v
J (u , v )
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt .
2
1
则
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
因此
D
1 f ( xy )d f ( t ) dtdu 2u 2 4 1 dt f ( t )du 1 1 2u
ln 2 f ( t )dt .
的正方向或负方向所决定.
由(6)及(7)式得到
令
y y ( D) du dv L x(u , v ) v u y y L x(u , v ) u du x(u , v ) v dv . y y P ( u , v ) x( u , v ) , Q( u , v ) x( u , v ) , 在uv平 u v
i 1
n
这个和式是可积函数 在
f ( x( u , v ), y( u , v )) | J ( u , v ) |
又由变换 T 的连续性可知, 当
上的积分和.
D的
的分割
相应分割 因此得到
T :{1 , 2 , n } 的细度 || T || 0 时,
TD :{ D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD || 也趋于零.
作二重积分
f ( x , y )dxdy 的积分和
D
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
f ( i , i ) ( Di )
i 1
n
f ( x( ui , v i ), y( ui , v i )) | J ( ui , v i ) | ( i ).
u( t ), v( t ) 在 [ , ] 上至多除
去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
又因
LD T ( L ),
LD 的参数方程为 x x ( t ) x ( u( t ), v ( t )) ( t ). y y( t ) y( u( t ), v ( t ))
统一写成如下的形式:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
引理 设变换
T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面
2u 3 u v 4 0, v u 2 v
因此
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
(u , v ) ,
O
图 21 25
x
u ( D ) d 4 dudv v D
dv n ( n2 m 2 )( 3 3 ) u du . 4 m 3 3 v 6
*点击以上标题可直接前往对应内容
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 在区间 设
f ( x)
时严格
[a , b]上连续,
x ( t ) 当 t 从 变到
单调地从a 变到 b, 且
( t ) 连续可导,
( D ) J ( u , v )dudv .
又因为
( D ) 总是非负的, 而
J ( u , v ) 在 上不为零且
所以
连续, 故其函数值在
上不变号,
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
一阶连续偏导数且它们的函数行列式
则有
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J (u, v ) |dudv .
D
§4 二重积分的变量变换
另一方面, 在 uv 平面上
y y du dv L x(u , v ) v u
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt , (7) v u 其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于 L
面上对上式应用格林公式, 得到
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
Q P ( D) dudv . u v 2 y 即有 由于函数 y( u , v ) 具有二阶连续偏导数, uv 2 Q P y J ( u , v ), 于是 , 因此 u v vu
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 用曲线网把
分成
n 个小区域
i ,
在变换 T 作用
下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域
Di 的面积为 ( i )及
加强条件下,
Di . 记 i 及 ( Di )( i 1, 2, , n). 在对 y 的
由引理及二重积分中值定理, 有
1
2
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt
1
2
1 y t xy , u , J ( t , u) 2u x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 的形式为
上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 映成 xy 平面上的闭区域 D.
,
一对一地
函数
x ( u , v ), y( u , v )在
t 从 变到 时, 对应于 LD 的正向, 林公式, 取 P ( x , y ) 0, Q ( x , y ) x , 有
若规定
( D) L x dy x(t ) y(t )dt
D
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt . (6) v u
y
变换
u u x 2, y . v v
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
它把 xy 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形
[m , n] [ , ].
O
图 21 25
x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
由于
y
1 v2 J (u , v ) 1 v
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
当
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(2))时, (1)式可写成
f ( x )dx
(X)
1
故当
X
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可
所以 把
下的一般证明, 将在本章§9 中给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且
内点变为 D 的内点,
的按段光滑边界曲线 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . LD
L 的参数方程为 u u( t ), v v ( t ) ( t ).
的 L
设曲线
由于
L 按段光滑, 因此
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
(5)
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 下面给出当 时的证明. ( 注: 对
y( u , v ) 在 内具有二阶连续偏导数 y( u , v ) 具有一阶连续偏导数条件 J ( u , v ) 0 , 因而 T
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
例3 设
f ( t ) 在 [1, 2] 上可积, D 是由曲线 xy 1, xy 2, y x , y 4 x
所围成的区域在第一象限中的部分. 证明:
y 证 令 t xy , u 即 x t 1 2 u1 2 , y t 1 2 u1 2 . x ( t , u) [1,2] [1,4], 有 1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 t u t u 1 2 2 J ( t , u) . 2u 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 t u t u 2 2
所围的区域(图21-23).
解 为了简化被积函数, 令
O
D
1
u x y, v x y.
即作变换
x
图 21 23
1 1 T : x ( u v ), y (v u), 2 2
它的函数行列式为
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
v
J (u , v )
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt .
2
1
则
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
因此
D
1 f ( xy )d f ( t ) dtdu 2u 2 4 1 dt f ( t )du 1 1 2u
ln 2 f ( t )dt .
的正方向或负方向所决定.
由(6)及(7)式得到
令
y y ( D) du dv L x(u , v ) v u y y L x(u , v ) u du x(u , v ) v dv . y y P ( u , v ) x( u , v ) , Q( u , v ) x( u , v ) , 在uv平 u v
i 1
n
这个和式是可积函数 在
f ( x( u , v ), y( u , v )) | J ( u , v ) |
又由变换 T 的连续性可知, 当
上的积分和.
D的
的分割
相应分割 因此得到
T :{1 , 2 , n } 的细度 || T || 0 时,
TD :{ D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD || 也趋于零.
作二重积分
f ( x , y )dxdy 的积分和
D
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
f ( i , i ) ( Di )
i 1
n
f ( x( ui , v i ), y( ui , v i )) | J ( ui , v i ) | ( i ).
u( t ), v( t ) 在 [ , ] 上至多除
去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
又因
LD T ( L ),
LD 的参数方程为 x x ( t ) x ( u( t ), v ( t )) ( t ). y y( t ) y( u( t ), v ( t ))
统一写成如下的形式:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理.
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
引理 设变换
T : x x( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面
2u 3 u v 4 0, v u 2 v
因此
yx
D
y x
y 2 nx y 2 mx
(u , v ) ,
O
图 21 25
x
u ( D ) d 4 dudv v D
dv n ( n2 m 2 )( 3 3 ) u du . 4 m 3 3 v 6
*点击以上标题可直接前往对应内容
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 在区间 设
f ( x)
时严格
[a , b]上连续,
x ( t ) 当 t 从 变到
单调地从a 变到 b, 且
( t ) 连续可导,
( D ) J ( u , v )dudv .
又因为
( D ) 总是非负的, 而
J ( u , v ) 在 上不为零且
所以
连续, 故其函数值在
上不变号,
( D ) | J ( u , v ) |dudv .
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
一阶连续偏导数且它们的函数行列式
则有
( x , y) J (u , v ) 0, ( u , v ) , (u , v )
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J (u, v ) |dudv .
D
§4 二重积分的变量变换
另一方面, 在 uv 平面上
y y du dv L x(u , v ) v u
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
y y x( u( t ), v ( t )) u( t ) v ( t ) dt , (7) v u 其中正号及负号分别由 t 从 变到 时, 是对应于 L
面上对上式应用格林公式, 得到
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
Q P ( D) dudv . u v 2 y 即有 由于函数 y( u , v ) 具有二阶连续偏导数, uv 2 Q P y J ( u , v ), 于是 , 因此 u v vu
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
证 用曲线网把
分成
n 个小区域
i ,
在变换 T 作用
下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域
Di 的面积为 ( i )及
加强条件下,
Di . 记 i 及 ( Di )( i 1, 2, , n). 在对 y 的
由引理及二重积分中值定理, 有
1
2
f (
D
xy )d ln 2 f ( t )dt
1
2
1 y t xy , u , J ( t , u) 2u x
§4 二重积分的变量变换
变量变换公式
极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 的形式为
上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 映成 xy 平面上的闭区域 D.
,
一对一地
函数
x ( u , v ), y( u , v )在