_水文学第三章水文统计基本原理与方法

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如果有n年的水文资料。
1)将按时间顺序排列的实测资料按其数值大小进行递减顺序
的排列。成x1,x2,…xn,对应序号m为1,2,…,n
2)利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。
3)以实测资料为变量 x 作为纵坐标,以频率P 为横坐标,在
坐估标绘纸制上一点条绘光经滑验的频曲率线点,距该(曲线Pi,为x经i)验,频通率过曲点线群。中心,目
的发生率,亦称为机率。根据事件出现的可能性是能够预 先估计出来,可分为事先概率和事后概率:
– 事先概率:试验之前某随机事件出现的可能性可以预 先估计出来,如 投硬币出现正面和反面的机率;
– 事后概率:随机事件出现的可能性不能在试验之前预 先估计出来,必须通过大量的重复试验之后才能估计 出它出现的可能性。
经计算后甲系列的均方差s甲=1.58, s乙=31.4。 甲系列离散程度小,乙系列离散程度大。
例:平均值相同, 均方差不同进行比较。
均方差小的均值代表性好,均 方差大的系列均值代表性差
(2)变差系数
均方差不仅受到系列分布的影响,也与系列的水平有关。
变差系数又称离差系数或者离势系数,是一个系列的均方
概率格纸
3.4 随机变量的统计参数
• 统计参数是反映随机变量系列数值大小、变化幅度、对称 程度等情况的数量特征值,因而能反映水文现象基本的统 计规律,概括水文现象的基本特征和分布特点,也是进行 理论频率曲线估计的基础。
• 统计参数有总体统计参数和样本统计参数。在水文学中主 要应用样本统计参数,来估计总体统计参数。
我国水文分析常用到的理论频率曲线有:皮尔逊Ⅲ型曲 线;特殊情况下也可以用指数Γ分布曲线,对数Γ分布曲 线,极值分布曲线,对数正态分布和威布尔分布曲线。
理论频率曲线—皮尔逊Ⅲ型曲线
英国生物学家皮尔逊研究各种非正态的分布函数曲线形式, 提出了13种分布曲线类型,其中第III型被引入水文学中, 并被我国采纳。 (1)皮尔逊Ⅲ型曲线是 一条一端有限、 一端无限的不对称 单峰正偏曲线, 数学上常称 伽玛分布。
• 水文频率分析主要使用的统计参数包括 均值
变差系数 偏矩态系数
3.4.1 均值
均值是反映随机变量系列平均情况的数。 • 加权平均法 • 算术平均法
若实测系列内各随机变量很少重复出现,可以不考虑出 现次数的影响,用算术平均法求均值。
x
1 n
n i 1
xi
➢ 对于水文系列,一年内只选一个样或者几个样,水文特 征值重复出现的机会很少,一般使用算术平均值,
(3)条件概率
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录,各种水位出现的频率如表3.2所示,试确定 水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率?
序号
1 2 3 4 5

某站水位频率计算
表3.2
水位H(m) 频数f(a) 频率W(%) 累积频率P (%)
4.0
2
5
5
3.5
10
25
30
2.7
16
40
70
2.0
9
• 总体:随机变量所能取值的全体,分有限和无限总体。 • 样本:从总体中随机抽取出的一组观测值。 • 样本容量:样本中所含随机变量的项数。
有的现象无法得到总体,例如水文现象。 水文统计:各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验,
把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本 (样本应足够大,才能比较好的反应总体的近似情况),
注意:累积频率是指多年平均出现的机会;重现期则是平均 若干年出现一次,而不是固定的周期。
**年一遇
3.2.5 设计标准
• 水文现象具有明显的地区性和随机性,因而无法用水文特 征值出现的量值为工程设计的标准。
• 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以及 工程失事后果等因素,在各种工程设计规范中规定各种水 文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。各地 工程业务部门,根据当地实测的水文资料,通过水文分析 计算,求出对应于设计频率的水文特征值,作为工程设计 的依据。
3.2.3 随机变量的概率分布
• 随机变量与其概率一一对应,这种随机变量与概率一一对 应的关系称为随机变量的概率分布规律简称概率分布
• 随机变量可分为两类:离散型随机变量和连续型随机变量
离散型随机变量及其概率分布
X
x1
P(X=xi)
p1
x2
……
xi
……
p2
……
pi
……
• 水文学关心随机变量取值大于等于某一定值的概率,即P (X≥xi),而该概率是x的函数 【例3.6】
• 累计频率指等于或大于(等于或小于)某水文要素出现可能 性的量度。
• 一般在实际应用中,用样本的频率分析曲线代替总体系列的 概率分布。
• 样本足够大时,可以绘出累积频 率曲线。
• 在一个确定的随机变量系列内, 各个随机变量对应着一个累积频 率值,随机变量的大小于累积频 率成反比。
• 工程上一般把累积频率为频率。 • 根据选用样本的不同,频率分为
s
(xi x)2
n
对于样本系列有下列修正公式:
s
(xi x)2
n1
均方差表征的意义:表示分布函数的绝对离散程度。均 方差越大,系列在均值两旁分布越分散,其值变化幅度 越大;反之,依然。
【例】
甲系列:48,49,50,51,52 其均值=50 ;56均值51
乙系列:10,30,50,70,90 其均值=50; 80均值55
4)根据工程设计指定的频率,在该曲线上查出设计所需的相 应设计频率的水文数据。
将某水文变量f 按递减顺序排列,排列中的序号不仅表示排列大 小的次序,而且也表示变量自大到小(大于或等于)的累积次数。
3.3.3 经验频率曲线的外延
水平:正态曲线的概率分 布制成分格制成的。
非正态曲线:两端曲线坡度 变缓,有利于曲线外延
年频率和次频率。
(2)重现期
• 重现期:指等于及大于(或等于及小于)一定数量级的水 文要素出现一次的平均间隔年数,以该量级频率的倒数。
• 当洪峰流量、洪水位、暴雨时,使用的设计频率P﹤50%, 则
T=1/P • 当研究枯水流量、枯水位时,设计频率P常采用大于50%
的值,则
T=1/(1-P)(设计保证率) • 水文现象无固定的周期性。
一般认为资料系列越长,平丰枯水段齐全,其代表性越高。
• 检查资料的随机性; • 检查资料的独立性。
3. 2 频率和概率
3.2.1概率和频率
(1)频率 指在具体重复的实验中,某随机事件A出现的次数
(频数)m与试验总次数n的比值,即:
W (A) m n
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性,即该事件
差与其均值的比值
Cv
s1 xx
(xi x)2 n1
用模比系数带入上式有:
Cv
(Ki 1)2 n1
【例】同上一例,计算得Cv甲=0.005, Cv乙=0.33,甲系列在均值两旁要集中, 离散程度小
【例】见教材p50例3.8 【思考】一条河流上、下游断面的年平均流量的 Cv 值哪个大?为什么?
3.4.3 偏态系数
(1)概率相加定理
• 互斥事件:在一次试验中,只有一个事件发生,其余事件 均不能发生,这类事件称为互斥事件;
• 概率相加定理:互斥的各事件中,至少有一个发生的概率 等于各个事件发生的概率总和。
(2)概率相乘定理
• 独立事件:多个事件中,某一事件的出现并不影响其他事 件的出现。
• 概率相乘定理:几个独立事件一并出现的概率等于各事件 出现概率之积。
3.3 经验频率曲线
3.3.1 经验频率公式
我国目前采用的数学期望公式为:
P m 100% n1
当m=1时,P=1/(n+1)
当T=100a, 则 T=1/P=n+1=100
m—xm在n项观测资料中按递减顺序排列的序号,即在n次 观测试验中大于或等于xm的次数
3.3.2 经验频率曲线的绘制和应用
F(x)P(xxi)xi f(x)dx
• F(X)= P(X≥x) 代表X大于某一取值x的概率,其几何曲线 称为概率分布曲线;如果用实测资料点绘的,水文上称为
累积频率曲线。
3.2.4 累积频率和重现期
(1)累积频率和随机变量的关系
累积频率
• 水文特征值属于连续性随机变量
• 在分析水文系列的概率分布时,不用单个的随机变量(x=xi) 的概率,而是用x≥xi(或者x≤xi )的概率P( x≥xi )(或者P ( x≤xi ))。
x
1 n
n i 1
xi
KK 1K2 n Knn 1i n1Ki 1
3.4.2 均方差和变差系数
要反映整个系列的变化幅度,或者系列在均值两侧分布 的离散程度,需要使用均方差和变差系数。
(1)均方差 为了避免一阶离差代数和为0,一般取 (x x)2的平均值
的开方作为离散程度的计量标准,称为均方差。即:
利用数理统计的方法分析样本的统计规律, 考虑抽样误差.作为总体的规律,应用到工程中 去解决实际问题。
3.1.4 数理统计法对水文资料的要求
• 检查资料的可靠性; • 检查资料的一致性;
要求所使用的资料系列必须是同一类型或者在同一条件下 产生的。如:暴雨洪水和雨雪洪水;瞬时水位和日平均水 位。
• 检查资料的代表性;
➢ 难 点: ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计计算
3.1 水文统计的意义及基本概念
3.1.1 水文统计的意义
• 水文现象具有必然性、偶然性(随机性); • 利用概率论和数理统计的理论和方法,研究和分析水文的
随机现象(已经观测到的水文现象),找出水文现象的统 计规律性; • 以此为基础,对水文现象未来可能的长期变化做出概率意 义下的定量预估,以满足工程规划、设计、施工以及运营 期间的需要。
水文统计基本原理及方法
➢ 内 容: ✓ 3.1 水文统计的意义及基本概念 ✓ 3.2 频率和概率 ✓ 3.3 经验频率曲线 ✓ 3.4 随机变量的统计参数 ✓ 3.5 理论频率曲线 ✓ 3.6 抽样误差 ✓ 3.7 水文频率分析方法 ✓ 3.8 相关分析
➢ 重 点: ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识; ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计计算。
② 目估定线或外延会产生较大的误差。
需要借助某些数字形式的频率曲线作为定线和外延 的依据。通常在实测资料中选取或者算的2~3个有代表性 的特征值作参数,并据此选配一些数学方程作为总体系 列频率密度曲线的假想数学模型,在按一定的方法确定 累积频率曲线。这种用数学形式确定的、符合经验点据 分布规律的的曲线称为理论频率曲线【外延和内插的工 具】
➢ 若系列内出现了相同的水文特征值,将相同值排在一起,
各占一个序号。
推求的是
累积频率
均值特性
平均数反映了随机变量的平均水平,代表整个随机变量系 列的水平高低,故又称数学期望。
利用均值可以推求设计频率的水文特征值。
利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况,绘制成各 种等值线图。
模比系数
Ki
xi x
偏态系数:对系列在均值两旁的对称情况的反映。 表达式(对于样本系列):
Cs
(xi x)3 (Ki 1)3 (n3)s3 (n3)Cv3
来自百度文库
当Cs=0时,系列在均值两旁对称分布; 当Cs>0属正偏分布; 当Cs<0属负偏分布;
3.5 理论频率曲线
经验频率曲线的缺点:
① 由于实测系列的项数较小,所绘经验频率曲线往往不能 满足推求稀遇频率特征值的要求;
(3)频率与概率的关系(表3.1)
lim W(A)P(A)
n
• 频率是经验值,概率是理论值; • 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性; • 样本容量越大,结果越准确; • 对于水文现象,只能采用有限的多年实测水文资料组成样
本系列,推求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
22.5
92.5
1.9
3
7.5
100

40
100

P ( H 2 . 7 ) = W ( 2 . 7 ) W ( 3 . 5 ) W ( 4 . 0 ) 7 % 0
P ( H 2 . 0 ) = W ( 2 . 0 ) P ( H 2 . 7 ) 2 . 5 % 2 7 % 9 0 . 5 % 2
3.1.2 事件
• 随机试验:对随机现象的观测 • 事件:随机试验的结果。包括:
1)必然事件:在一定能够的条件组合下,必然会发生的 事情。
2)不可能是件:在一定的条件组合下,一定不可能发生 的事情。
3)随机事件:在一定的条件组合下,可能发生也可能不 发生的事件。
3.1.3 总体、样本、样本容量
• 随机变量:受随机因素影响,遵循统计规律的变量。通俗 地讲,指在随机试验中测量到的数量。对于水文现象而言, 指某种水文特征值,如某地区流域出口的年径流量和洪峰 流量等。分: – 连续性随机变量,如水位、流量; – 离散性随机变量,如投掷硬币的正反面。
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