_水文学第三章水文统计基本原理与方法

经计算后甲系列的均方差s甲=1.58， s乙=31.4。 甲系列离散程度小，乙系列离散程度大。
例：平均值相同， 均方差不同进行比较。
均方差小的均值代表性好，均 方差大的系列均值代表性差
（2）变差系数
均方差不仅受到系列分布的影响，也与系列的水平有关。
变差系数又称离差系数或者离势系数，是一个系列的均方
我国水文分析常用到的理论频率曲线有：皮尔逊Ⅲ型曲 线；特殊情况下也可以用指数Γ分布曲线，对数Γ分布曲 线，极值分布曲线，对数正态分布和威布尔分布曲线。
理论频率曲线—皮尔逊Ⅲ型曲线
英国生物学家皮尔逊研究各种非正态的分布函数曲线形式， 提出了13种分布曲线类型，其中第III型被引入水文学中， 并被我国采纳。 （1）皮尔逊Ⅲ型曲线是 一条一端有限、 一端无限的不对称 单峰正偏曲线， 数学上常称 伽玛分布。
（3）条件概率
【例】 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确定 水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
序号
1 2 3 4 5
∑
某站水位频率计算
表3.2
水位H（m） 频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
4.0
2
5
5
3.5
10
25
30
2.7
16
40
70
2.0
9
x
1 n
n i 1
xi
KK 1K2 n Knn 1i n1Ki 1
3.4.2 均方差和变差系数
要反映整个系列的变化幅度，或者系列在均值两侧分布 的离散程度，需要使用均方差和变差系数。
（1）均方差 为了避免一阶离差代数和为0，一般取 (x x)2的平均值
的开方作为离散程度的计量标准，称为均方差。即：
概率格纸
3.4 随机变量的统计参数
• 统计参数是反映随机变量系列数值大小、变化幅度、对称 程度等情况的数量特征值，因而能反映水文现象基本的统 计规律，概括水文现象的基本特征和分布特点，也是进行 理论频率曲线估计的基础。
• 统计参数有总体统计参数和样本统计参数。在水文学中主 要应用样本统计参数，来估计总体统计参数。
➢ 难 点： ✓ 水文频率及水文相关分析等水文统计计算
3.1 水文统计的意义及基本概念
3.1.1 水文统计的意义
• 水文现象具有必然性、偶然性（随机性）； • 利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的
随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统 计规律性； • 以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意 义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营 期间的需要。
注意：累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均 若干年出现一次，而不是固定的周期。
**年一遇
3.2.5 设计标准
• 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特 征值出现的量值为工程设计的标准。
• 主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以及 工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水 文特征值的设计频率(或重现期)作为工程设计标准。各地 工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水文分析 计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计 的依据。
3.1.2 事件
• 随机试验：对随机现象的观测 • 事件：随机试验的结果。包括：
1)必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的 事情。
2)不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生 的事情。
3)随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不 发生的事件。
3.1.3 总体、样本、样本容量
• 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗 地讲，指在随机试验中测量到的数量。对于水文现象而言， 指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和洪峰 流量等。分： – 连续性随机变量，如水位、流量； – 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。
如果有n年的水文资料。
1）将按时间顺序排列的实测资料按其数值大小进行递减顺序
的排列。成x1，x2，…xn，对应序号m为1，2，…，n
2）利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。
3）以实测资料为变量 x 作为纵坐标，以频率P 为横坐标，在
坐估标绘纸制上一点条绘光经滑验的频曲率线点，距该（曲线Pi，为x经i）验，频通率过曲点线群。中心，目
22.5
92.5
1.9
3
7.5
100
—
40
100
—
P ( H 2 . 7 ) ＝ W ( 2 . 7 ) W ( 3 . 5 ) W ( 4 . 0 ) 7 % 0
P ( H 2 . 0 ) ＝ W ( 2 . 0 ) P ( H 2 . 7 ) 2 . 5 % 2 7 % 9 0 . 5 % 2
➢ 若系列内出现了相同的水文特征值，将相同值排在一起，
各占一个序号。
推求的是
累积频率
均值特性
平均数反映了随机变量的平均水平，代表整个随机变量系 列的水平高低，故又称数学期望。
利用均值可以推求设计频率的水文特征值。
利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各 种等值线图。
模比系数
Ki
xi x
F(x)P(xxi)xi f(x)dx
• F(X)= P(X≥x) 代表X大于某一取值x的概率，其几何曲线 称为概率分布曲线；如果用实测资料点绘的，水文上称为
累积频率曲线。
3.2.4 累积频率和重现期
（1）累积频率和随机变量的关系
累积频率
• 水文特征值属于连续性随机变量
• 在分析水文系列的概率分布时，不用单个的随机变量（x=xi） 的概率，而是用x≥xi（或者x≤xi ）的概率P（ x≥xi ）（或者P （ x≤xi ））。
② 目估定线或外延会产生较大的误差。
需要借助某些数字形式的频率曲线作为定线和外延 的依据。通常在实测资料中选取或者算的2~3个有代表性 的特征值作参数，并据此选配一些数学方程作为总体系 列频率密度曲线的假想数学模型，在按一定的方法确定 累积频率曲线。这种用数学形式确定的、符合经验点据 分布规律的的曲线称为理论频率曲线【外延和内插的工率公式
我国目前采用的数学期望公式为：
P m 100% n1
当m=1时，P=1/（n+1）
当T=100a, 则 T=1/P=n+1=100
m—xm在n项观测资料中按递减顺序排列的序号，即在n次 观测试验中大于或等于xm的次数
3.3.2 经验频率曲线的绘制和应用
利用数理统计的方法分析样本的统计规律， 考虑抽样误差．作为总体的规律，应用到工程中 去解决实际问题。
3.1.4 数理统计法对水文资料的要求
• 检查资料的可靠性； • 检查资料的一致性；
要求所使用的资料系列必须是同一类型或者在同一条件下 产生的。如：暴雨洪水和雨雪洪水；瞬时水位和日平均水 位。
• 检查资料的代表性；
一般认为资料系列越长，平丰枯水段齐全，其代表性越高。
• 检查资料的随机性； • 检查资料的独立性。
3. 2 频率和概率
3.2.1概率和频率
（1）频率 指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数
（频数）m与试验总次数n的比值，即：
W (A) m n
（2）概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件
（3）频率与概率的关系（表3.1）
lim W(A)P(A)
n
• 频率是经验值，概率是理论值； • 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； • 样本容量越大，结果越准确； • 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样
本系列，推求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
的发生率，亦称为机率。根据事件出现的可能性是能够预 先估计出来，可分为事先概率和事后概率：
– 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预 先估计出来，如 投硬币出现正面和反面的机率；
– 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预 先估计出来，必须通过大量的重复试验之后才能估计 出它出现的可能性。
• 水文频率分析主要使用的统计参数包括 均值
变差系数 偏矩态系数
3.4.1 均值
均值是反映随机变量系列平均情况的数。 • 加权平均法 • 算术平均法
若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出 现次数的影响，用算术平均法求均值。
x
1 n
n i 1
xi
➢ 对于水文系列，一年内只选一个样或者几个样，水文特 征值重复出现的机会很少，一般使用算术平均值，
• 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 • 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 • 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
有的现象无法得到总体，例如水文现象。 水文统计：各种水文现象的调查和实测过程当作随机试验，
把已观测到的水文资料当作总体的一个随机样本 （样本应足够大，才能比较好的反应总体的近似情况），
4）根据工程设计指定的频率，在该曲线上查出设计所需的相 应设计频率的水文数据。
将某水文变量f 按递减顺序排列，排列中的序号不仅表示排列大 小的次序，而且也表示变量自大到小(大于或等于)的累积次数。
3.3.3 经验频率曲线的外延
水平：正态曲线的概率分 布制成分格制成的。
非正态曲线：两端曲线坡度 变缓，有利于曲线外延
• 累计频率指等于或大于（等于或小于）某水文要素出现可能 性的量度。
• 一般在实际应用中，用样本的频率分析曲线代替总体系列的 概率分布。
• 样本足够大时，可以绘出累积频 率曲线。
• 在一个确定的随机变量系列内， 各个随机变量对应着一个累积频 率值，随机变量的大小于累积频 率成反比。
• 工程上一般把累积频率为频率。 • 根据选用样本的不同，频率分为