复数的几种表示形式的转换及计算.

O -F2
O
+1F2 F1-F2 F1
O
+1
F1 +1
+1 O 复数减法的平行四边形法和三角形法 复数加法的平行四边形法和三角形法
2．乘法运算：
①代数形式：
F1 F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
②指数形式：
②指数形式：
F1 | F1 | e j 1 | F1 | j（ 1 2） e j 2 F2 | F2 | e | F2 |
③极坐标形式：
④图解法：
+j F1 F1/F2
1 1 - 2
F1 | F1 | 1 | F1 | 1 2 F2 | F2 | 2 | F2 |
12 2 来规范它。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点：
在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率 的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
+j b |F| F
F a b
2
2
--复数F的模(值) --复数F的辐角
argF
O a +1
b 由于主值arctan（ ） 〔 ， 〕，若实部为负数， a 2 2 b 则arctan（ ） 才是正确的辐角 。 a
§8-1 复
一、复数的几种表示形式 3．三角形式：
12 （t u1） （t i2 ） u1 i2
①12>0 －－u1超前i2；
②12<0
③12=0 ④|12|=π /2 ⑤|12|=π
－－u1滞后i2；
－－u1和i2同相； －－u1和i2正交； －－u1和i2反相。
主值 12 〔 ，〕， 若 12 〔 ，〕，则用
I 1 C UC j IC j C C
iC(t) t(rad) O 90o uC(t)
u i

2
I C
U C

电容元件 VCR 的波形示意及相量图
二、正弦量的相量
u（t） U m cos（t ）
由欧拉公式：
e j（t ） cos （t ） jsin （t ） j（t ） 则U m e U m cos （t ） j U m sin （t ）
复常数
Ume e
j
jt
模相乘，辐角相加。
O
1
F1 +1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式： F1 a1 jb1 （a1 jb1 ）（a 2 jb2） F2 a 2 jb2 （a 2 jb2）（a 2 jb2）
a1a 2 b1b2 a 2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 （a 2） （b2） （a 2） （b2）
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹） ƒ=50Hz－－工频 ƒ=1/T ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2 2f T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素 3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。 单位：弧度 初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。 （ω t+）|t=0 = 单位：弧度 通常，||≤180°－－主值范围。
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复
一、复数的几种表示形式 1．代数形式：
数
Re[F] a Im[F] b
2．向量形式：
F a jb
--复数F的实部
--复数F的虚部
a F cos b F sin
三、几个概念 1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
I
def
1 T

T
0
1 i dt T
2

T
0
2 I m cos（ t ） i dt 2
i i1 i2
②正弦量的微分：
I I1 I 2



di dt
j I I i


2
（乘以jω ）
③正弦量的积分：
idt
I I i 2 j
（除以jω ）
§8-4 电路定律的相量形式
一、KCL、KVL的相量形式 1．KCL：
①时域形式： ②相量形式：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
u（t） U m cos（t u） i（t） I m cos（t ） i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素 1．幅值Um/Im：
Um 、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．KVL：
①时域形式：
u 0
②相量形式：
0 U
二、R、L、C元件的VCR相量表示 1．电阻元件R： ①时域形式： u Ri
e jt〕 e jt〕 有 Re〔U Re〔RI U RI
②相量形式： U RI
u i （同相）
t(rad)
uR(t) O
模相除，辐角相减。
F2 O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子：
+j F2 jF1 F1
-jF2
e
j
1 －－旋转因子

2
e
j

2
O 旋转因子示意
+1
j ，e
-j
j ，e
j
-1
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-jห้องสมุดไป่ตู้除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流 1．定义：
二、复数的四则运算 1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
②图解法：
F2 +j j + F1
F1+F2 F2
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
F2
+ + jj F1-F2 F1 F1+F2 F2
－－均方根值
I I m / 2 0.707 I m
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、 电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念 2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
u1 2Ucos（t u1） i2 2 Icos（t i2 ）
U R
I R


iR(t) 电阻元件 VCR 的波形示意及相量图
2．电感元件L：
①时域形式： uL L
di L dt
d jt e jt〕） e jt〕 有 Re〔U Le 〕 L （Re〔I Re 〔 j L I L L dt jLI ②相量形式：U U L LI L ，I L U L / L L L
随时间变化
U e j U 令U m m m Ue j U 有U
－－电压振幅相量
－－电压有效值相量 2U ，I 2I U m m
u（t） Re U m e

j（t ）

jt Re U m e


三、正弦量的运算
①同频正弦量的代数和：
F1 F2 | F1 | e j 1 | F2 | e j 2 | F1 || F2 | e j（ 1 2）
③极坐标形式：
④图解法：
+j F1F2 F2
2 1 + 2
F1 F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
例2：将
F2 20 j 40 化为极坐标形式。
2 2 解： | F2 | （ 20 ） （ 40 ） 44.7
F2 在第三象限， 40 arctan（ ） 180 63.4 180 243.4 20
F2 44.7243.4
数
F F（cos jsin ）
e j cos jsin
j
4．指数形式：
由欧拉公式：
F Fe
5．极坐标形式：
F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1
9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j 9.5 sin73
2.78 j 9.08
i 0 I 0
i（t） I m cos（t ） 2 Icos（t ） i i
I ，则i（t） e jt〕 引入相量 I Re〔 2 I
e jt）〕 i（t） 〔Re（ 2 I Re〔 2
jt （ I ） e 〕 0
U 1 L IL j UL j L L
uL(t) t(rad) O 90o iL(t)
u i

2
U L I L

电感元件 VCR 的波形示意及相量图
3．电容元件C：
①时域形式： iC C
duC dt
d jt e jt〕） e jt〕 有 Re〔I C e 〕 C （Re〔U Re 〔 j C U C C dt j C U ②相量形式：I I C LUC ， U C I C / C C C