复数的几种表示形式的转换及计算.
复数的几种表示形式的转换及计算 ppt课件
经典的复数知识
各种表示形式之间的相互转换
一、复数的形式
1、代数形式
A = a + jb
j
1
为虚单位 Re[A ] = a
b
+j A
复数A 的实部
复数A 的虚部 Im[A ] = b
O 复数 A = a + jb 在复平面上可以用一条 从原点O 指向A 对应坐标点的有向线段 一一对应[点A(a,b)]。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设A1=3-j4，A2=10 /135°
求 : A1+ A2 和 A1/ A2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
A2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
A1 + A2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
几何意义 +j
A1 A2
A1
A2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 A1 a1
jb1 A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义
+j
A1 A2
A1
A1 A2
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
eБайду номын сангаас
高考复数公式知识点
高考复数公式知识点复数是数学中的一种数形式，由实部和虚部组成。
在高中数学中，学生需要掌握复数的基本概念、运算法则以及常见的复数公式。
本文将介绍几个高考重要的复数公式知识点。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的，记作a+bi。
其中，a为实部，b为虚部，i为单位虚数，满足i²=-1。
二、复数的四则运算复数的加法：（a+bi）+（c+di）= (a+c) + (b+d)i复数的减法：（a+bi）-（c+di）= (a-c) + (b-d)i复数的乘法：（a+bi）*（c+di）= (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法：（a+bi）/（c+di）= [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i三、共轭复数对于复数z=a+bi，它的共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数的性质如下：（1）复数z与其共轭复数z*的和为实数：z+z*=2a（2）复数z与其共轭复数z*的积为实数：zz* = a²+b²四、欧拉公式欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
其中，e代表自然对数的底数。
五、复数的模和幅角复数z=a+bi的模记作|z|，表示为|z|=√(a²+b²)。
复数z的幅角记作arg(z)，且满足tan(arg(z)) = b/a。
（注意：幅角arg(z)的取值在[-π, π)范围内）六、复数的乘方对于复数z=a+bi，求z的n次方的公式为：z^n = |z|^n * [cos(narg(z)) + isin(narg(z))]七、代数方程的根对于代数方程az^n + bz^(n-1) + ... + c = 0，其中a、b、c为实数，z 为未知数，复数的根共有n个，可以使用根号公式进行求解。
八、复数平方根对于复数z=a+bi，可以求其平方根的公式为：√(z) = ±√((a+|z|)/2) + i*sgn(b)*√((|z|-a)/2)以上就是高考复数公式的一些重要知识点。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式： z=a+bi 。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从 i 这个数产生以后，我们就规定了 a+bi 是复数，并且 b=0 时就是我们以前的实数。
（a,b ）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式： z=r(cos θ+isin θ)这个结合几何意义容易看出来：记复数 z 的模为 r，幅角为θ，显然有 a=rcos θ ,b=rsin θ代入坐标形式里即有：Z1z2 =r1r2(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2+i(sinθ1cos θ2 + cos θ1sin θ2)) = r1r2（cos( θ1 +θ2)+isin( θ1 +θ2) ）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为则该复数只起到旋转的效果，例如：而且在旋转1，在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(n θ )+isin(nθ))特别地，令 r=1 ，可以得到著名的王陆杰公式：n这个公式很有用，我们下一次再谈。
i θ因此有 e iθ= cos θ+isin θ从而有 z=r(cos θ+isin θ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ) = cosn θ+isinn θ= (e iθ ) n=( cos θ+isin θ) n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：i π特别地，令θ=π，则 e=-1 。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
高二数学复数的指数形式与三角形式的转化与应用
高二数学复数的指数形式与三角形式的转化与应用复数是数学中的一种特殊概念，它由实部与虚部组成，常用于解决各种实际问题。
复数可以表示为指数形式和三角形式，两种表示形式在一定条件下可以互相转化并应用于不同的数学问题中。
本文将对高二数学中复数的指数形式与三角形式进行详细分析，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、复数的指数形式复数的指数形式可以表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
指数形式中，复数z可以通过指数函数e的形式表示，即z=r·e^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。
指数形式的复数有以下几个重要性质：1. 模长：复数的模长表示复数到原点的距离，记为|z|=r=√(a²+b²)。
2. 辐角：复数的辐角表示复数与实轴的夹角，记为arg(z)或θ=tan⁻¹(b/a)。
3. 指数形式转化为三角形式：复数z=r·e^(iθ)可以转化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)。
二、复数的三角形式复数的三角形式可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
三角形式将复数表示为向量的形式，可以用来进行运算和解决实际问题。
三角形式的复数有以下几个重要性质：1. 模长：模长r表示复数到原点的距离，与指数形式中的模长相同，即r=|z|=√(a²+b²)。
2. 辐角：辐角θ表示复数与实轴的夹角，与指数形式中的辐角相同，即θ=arg(z)或θ=tan⁻¹(b/a)。
3. 三角形式转化为指数形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以转化为指数形式z=r·e^(iθ)。
三、指数形式与三角形式的转化指数形式与三角形式之间可以进行相互转化，便于在不同问题中的应用。
1. 由指数形式转化为三角形式：对于给定的复数z=r·e^(iθ)，可以通过欧拉公式进行转化，即z=r(cosθ+isinθ)。
复数的几种表示形式的转换及计算.
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
④图解法：
F1 F2
1 T
T 0
Im2cos（2 t
i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、
电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的几种表示形式
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)))）=r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ=cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数知识点公式总结
复数知识点公式总结复数是数学中的一个重要概念，它可以用于表示实数和虚数的和，通常以a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数在数学中有着广泛的应用，尤其在物理和工程领域中经常会遇到，因此对于复数的基本知识点和公式的掌握是很重要的。
一、复数的基本概念在介绍复数的公式之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 复数的表示形式复数可以用代数式表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
2. 复数的加法两个复数相加的规则是将实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法两个复数相减的规则是将实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法两个复数相乘的规则是将实部之间相乘减虚部之间相乘，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
5. 复数的除法两个复数相除的规则是先以分母的共轭复数作为分母，并将分子与分母同时乘以分母的共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
6. 复数的模复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭定义为z的虚部取相反数，即z的共轭为a-bi。
二、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角，可以表示成z=re^(iθ)。
1. 复数的模和辐角复数z=a+bi的模r和辐角θ可以通过以下公式计算得到：r=|z|=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)，其中a和b为复数z的实部和虚部。
2. 欧拉公式欧拉公式是指e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，θ是实数。
复数的代数运算公式
复数的代数运算公式一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二、复数的加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法运算可以用以下公式表示：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i三、复数的减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的减法运算可以用以下公式表示：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i四、复数的乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i五、复数的除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的除法运算可以用以下公式表示：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i六、复数的共轭对于一个复数 a+bi，它的共轭可以用以下公式表示：(a+bi)的共轭 = (a-bi)七、复数的模对于一个复数 a+bi，它的模可以用以下公式表示：|a+bi| = √(a^2+b^2)八、复数的幂运算对于一个复数 a+bi 和一个整数 n，它们的幂运算可以用以下公式表示：(a+bi)^n = (a^2+b^2)^(n/2) * cos(nθ) + (a^2+b^2)^(n/2) * sin(nθ)i九、复数的指数函数对于一个复数 a+bi，它的指数函数可以用以下公式表示：e^(a+bi) = e^a * cos(b) + e^a * sin(b)i十、复数的对数函数对于一个复数 a+bi，它的对数函数可以用以下公式表示：ln(a+bi) = ln|a+bi| + i * arg(a+bi)复数的代数运算公式包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模、幂运算、指数函数和对数函数等。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数的表示及初等运算20150815
一、复数的表示1、实部-虚部形式y i x z ⋅+=（1-1）式中，x 称为复数z 的实部，记作Re(z)；y 称为复数z 的虚部，记作Im(z)。
2、指数形式θi e r z ⋅=（1-2）式中，r 称为复数z 的模或绝对值，记作|z|或abs(z)；θ称为复数z 的辐角，记作Arg(z)，θ可用弧度或角度表示。
复数的指数形式的证明：任何一个函数都可以表示成幂级数的形式，称为泰勒级数，如式（2-1）所示。
()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f （1-2-1）特别地，当x0=0时，称为麦克劳林级数，如式（2-2）所示。
()()()∑∞==0!0n nn x n f x f （1-2-2）正弦函数、余弦函数和指数函数的麦克劳林级数分别为()()∑∞=++-=012!121sin n n nx n x（1-2-3）()()∑∞=-=02!21cos n nn x n x（1-2-4）∑∞==0!1n n xx n e （1-2-5）将式（2-5）中的x 用ix 替换，得()∑∞==0!1n n ixix n e （1-2-6）()()()()x x k ix n ek k kkn n nixcos !21!1Re 0220=-==∑∑∞==∞= （1-2-7）()()()()x x k ix n i ek k kk n n nixsin !121!11Im 012120=+-==∑∑∞=++=∞= （1-2-8）所以 x i x e ix sin cos ⋅+=（1-2-9）3、幅值-辐角形式ϕ∠=r z（1-3）式中，φ称为复数z 的辐角的主值，记作arg(z)，φ的取值范围为0≤φ<2π或0≤φ<360°。
该形式一般用于工程上的直观表述。
二、复数几种形式间的转化1、实部 ()ϕθcos cos Re ⋅=⋅==r r x z（2-1）2、虚部()ϕθsin sin Im ⋅=⋅==r r y z（2-2）3、模（绝对值）()r y x z z abs =+==22（2-3）4、辐角主值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤==πϕϕϕ20sin cos r y r x （2-4）5、辐角()()πk z z Arg 2arg +=，Z ∈k（2-5）三、复数的初等运算实数是复数的特殊情形，即满足y=0或φ=k π（k 为整数）的复数为实数，故复数与实数的运算仍满足复数间的运算法则。
复数的变换规则
复数的变换规则一、复数的基本形式复数一般表示为z = a+bi，其中a为实部（a∈ R），b为虚部（b∈ R），i为虚数单位，且i^2=- 1。
二、复数的四则运算规则1. 加法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i。
- 例如：若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3+2)i=3 + 5i。
2. 减法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}-z_{2}=(a - c)+(b - d)i。
- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1 + 2i，则z_{1}-z_{2}=(2-1)+(3 - 2)i=1+i。
3. 乘法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}· z_{2}=(ac - bd)+(ad+bc)i。
- 推导：(a + bi)(c+di)=ac+adi + bci+bdi^2=ac - bd+(ad + bc)i（因为i^2=-1）- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}· z_{2}=(2×1-3×2)+(2×2 + 3×1)i=(2 - 6)+(4 + 3)i=-4+7i。
4. 除法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di（c + di≠0），则frac{z_{1}}{z_{2}}=(a + bi)/(c+di)=((a + bi)(c - di))/((c + di)(c - di))=(ac+bd)/(c^2)+d^{2}+(bc - ad)/(c^2)+d^{2}i。
- 推导：为了将分母化为实数，我们给分子分母同时乘以z_{2}的共轭复数c - di。
- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则frac{z_{1}}{z_{2}}=((2 + 3i)(1-2i))/((1+2i)(1 - 2i))=frac{2-4i+3i - 6i^2}{1-(2i)^2}=(2 - i+6)/(1 + 4)=(8 -i)/(5)=(8)/(5)-(1)/(5)i。
高中数学中的复数与根式转换技巧
高中数学中的复数与根式转换技巧在高中数学中，复数和根式是常见的数学概念和表达方式。
复数是由实数和虚数构成的数，而根式则是指数和根号的组合。
学生在学习数学时，往往会遇到需要将复数和根式进行转换的情况。
本文将介绍一些高中数学中常用的复数与根式转换技巧。
一、复数的转换1. 从标准形式到三角形式的转换复数的标准形式是 a + bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。
要将复数从标准形式转换为三角形式，可以使用欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
通过欧拉公式，我们可以将复数表示为模长和辐角的形式。
例如，将复数 z = 1 + i 转换为三角形式。
首先，计算出 z 的模长：|z| = √(1^2 + 1^2) = √2。
然后，计算出 z 的辐角：θ = arctan(1/1) = π/4。
因此，复数 z 可以表示为√2 * (cos(π/4) + isin(π/4))。
2. 从三角形式到标准形式的转换要将复数从三角形式转换为标准形式，可以使用三角函数的性质。
根据三角函数的定义，cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2，sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)。
通过这些性质，我们可以将复数表示为标准形式。
例如，将复数z = 2(cos(π/6) + isin(π/6)) 转换为标准形式。
首先，计算出 z 的实部和虚部：Re(z) = 2 * cos(π/6) = √3，Im(z) = 2 * sin(π/6) = 1。
因此，复数 z 可以表示为√3 + i。
二、根式的转换1. 有理化分母有理化分母是将根式的分母中的根号去除的过程。
有理化分母的方法有两种：乘以共轭根式和分子有理化。
乘以共轭根式的方法是将根式的分母乘以它的共轭根式。
例如，有理化分母的根式为1/(√2 + 1)，可以将分母乘以它的共轭根式，得到1/(√2 + 1) * (√2 - 1) = (√2 - 1)/(√2^2 - 1^2) = (√2 - 1)/1 = √2 - 1。
复数公式汇总 复数公式
复数公式汇总复数公式在数学中，复数是由实数和虚数组成的一种数形式。
复数通常表示为a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
而复数的求模、求幂和求根都可以通过复数的实部和虚部进行计算。
1. 加法：两个复数相加，只需将实部相加，虚部相加即可。
例如，复数a+bi 和c+di相加得到(a+c)+(b+d)i。
这一规律可表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法：两个复数相减，只需将实部相减，虚部相减即可。
例如，复数a+bi 减去复数c+di得到(a-c)+(b-d)i。
这一规律可表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法：两个复数相乘时，分别将实部和虚部相乘，然后根据i的性质化简即可。
例如，复数a+bi乘以复数c+di得到(ac-bd)+(ad+bc)i。
这一规律可表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法：两个复数相除时，先将除数的共轭乘到被除数上，然后根据i的性质进行化简。
例如，复数a+bi除以复数c+di得到((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
这一规律可表示为：(a+bi) ÷(c+di) = ((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
除了上述基本的复数运算规律，还有一些关于复数求模、求幂和求根的公式。
5. 求模：复数的模是复数到原点的距离，可以通过复数的实部和虚部进行计算。
复数a+bi的模可以表示为：|a+bi| = √(a^2 + b^2)。
6. 求幂：复数的幂可以通过幂的性质和复数的乘法进行计算。
复数a+bi的n次幂可以表示为：(a+bi)^n = (a^2 + b^2)^(n/2) × cos(nθ) + (a^2 +b^2)^(n/2) × sin(nθ)i，其中θ为复数的辐角。
复数转换知识点总结数学
复数转换知识点总结数学复数是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
复数指的是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
在实际问题中，我们经常需要进行复数的运算、转换和简化，因此对复数的转换知识点有着重要的理解和掌握。
1. 复数的标准形式复数可以用多种不同的形式来表示，但最常见的是标准形式，即a+bi的形式。
在进行复数运算和转换时，首先需要将复数转换为标准形式，这样可以更方便地进行计算和理解。
2. 实部和虚部复数a+bi中，a称为实部，b称为虚部。
实部和虚部分别代表了复数在实轴和虚轴上的坐标，实部决定复数在实轴上的位置，虚部决定复数在虚轴上的位置。
实部和虚部的概念在复数的运算和转换中起着重要的作用，需要特别注意理解和运用。
3. 复数加减运算对于复数a+bi和c+di，它们的加法和减法可以分别表示为(a+c)+(b+d)i和(a-c)+(b-d)i。
即实部相加（减），虚部相加（减）。
在实际问题中，我们需要根据具体情况进行复数的加减运算，然后简化结果，以得到最终的答案。
4. 复数乘法对于复数a+bi和c+di，它们的乘法可以表示为(ac-bd)+(ad+bc)i。
即在乘法运算中，首先分别计算出实部和虚部的乘积，然后合并得到最终的结果。
复数的乘法是复数运算中比较复杂的一部分，需要掌握正确的计算方法和技巧。
5. 复数除法对于复数a+bi和c+di，它们的除法需要进行有理化，得到(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)i)/(c²+d²)的形式。
复数的除法相对而言较为繁琐，需要仔细计算和化简，确保得到正确的结果。
6. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。
共轭复数在复数运算中有着特殊的作用，可以帮助我们进行除法运算、求模运算和求实部虚部等。
掌握共轭复数的性质和运用是复数运算中很重要的一部分。
相量法基础知识讲义
例1. 547 10 25 ?
解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ? 20 j5
解：上式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
wL ) R
wL
R L
小结
① 正弦量 时域
正弦波形图
相量 频域 相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
w1
w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
8. 4 电路定律的相量形式
VCR、KCL和KVL
(3) 初相位(initial phase angle)y ：反映了正弦量的计时起点。
(wt+y )表示正弦量随时间变化的
进程,称之为相位角。它的大小决定该
i(t)=Imsin(w t+y)
i
T
时刻正弦量的值。 Im
y/w O
2 twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：| | 。
I
1 T i 2 (t )dt
T0
均方根值
物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t+ )
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二、复数的四则运算 1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
②图解法：
F2 +j j + F1
F1+F2 F2
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
F2
+ + jj F1-F2 F1 F1+F2 F2
例2：将
F2 20 j 40 化为极坐标形式。
2 2 解： | F2 | （ 20 ） （ 40 ） 44.7
F2 在第三象限， 40 arctan（ ） 180 63.4 180 243.4 20
F2 44.7243.4
U R
I R
iR(t) 电阻元件 VCR 的波形示意及相量图
2．电感元件L：
①时域形式： uL L
di L dt
d jt e jt〕） e jt〕 有 Re〔U Le 〕 L （Re〔I Re 〔 j L I L L dt jLI ②相量形式：U U L LI L ，I L U L / L L L
+j b |F| F
F a b
2
2
--复数F的模(值) --复数F的辐角
argF
O a +1
b 由于主值arctan（ ） 〔 ， 〕，若实部为负数， a 2 2 b 则arctan（ ） 才是正确的辐角 。 a
§8-1 复
一、复数的几种表示形式 3．三角形式：
模相除，辐角相减。
F2 O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子：
+j F2 jF1 F1
-jF2
e
j
1 －－旋转因子
2
e
j
2
O 旋转因子示意
+1
j ，e
-j
j ，e
j
-1
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流 1．定义：
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹） ƒ=50Hz－－工频 ƒ=1/T ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2 2f T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素 3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。 单位：弧度 初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。 （ω t+）|t=0 = 单位：弧度 通常，||≤180°－－主值范围。
－－均方根值
I I m / 2 0.707 I m
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、 电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念 2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
u1 2Ucos（t u1） i2 2 Icos（t i2 ）
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复
一、复数的几种表示形式 1．代数形式：
数
Re[F] a Im[F] b
2．向量形式：
F a jb
--复数F的实部
--复数F的虚部
a F cos b F sin
U 1 L IL j UL j L L
uL(t) t(rad) O 90o iL(t)
u i
2
U L I L
电感元件 VCR 的波形示意及相量图
3．电容元件C：
①时域形式： iC C
duC dt
d jt e jt〕） e jt〕 有 Re〔I C e 〕 C （Re〔U Re 〔 j C U C C dt j C U ②相量形式：I I C LUC ， U C I C / C C C
F1 F2 | F1 | e j 1 | F2 | e j 2 | F1 || F2 | e j（ 1 2）
③极坐标形式：
④图解法：
+j F1F2 F2
2 1 + 2
F1 F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
数
F F（cos jsin ）
e j cos jsin
j
4．指数形式：
由欧拉公式：
F Fe
5．极坐标形式：
F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1
9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j 9.5 sin73
2.78 j 9.08
I 1 C UC j IC j C C
iC(t) t(rad) O 90o uC(t)
u i
2
I C
U C
电容元件 VCR 的波形示意及相量图
②指数形式：
F1 | F1 | e j 1 | F1 | j（ 1 2） e j 2 F2 | F2 | e | F2 |
③极坐标形式：
④图解法：
+j F1 F1/F2
1 1 - 2
F1 | F1 | 1 | F1 | 1 2 F2 | F2 | 2 | F2 |
12 2 来规范它。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点：
在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率 的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
O -F2
O
+1F2 F1-F2 F1
O
+1
F1 +1
+1 O 复数减法的平行四边形法和三角形法 复数加法的平行四边形法和三角形法
2．乘法运算：
①代数形式：
F1 F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
②指数形式：
模相乘，辐角相加。
O
1
F1 +1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式： F1 a1 jb1 （a1 jb1 ）（a 2 jb2） F2 a 2 jb2 （a 2 jb2）（a 2 jb2）
a1a 2 b1b2 a 2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 （a 2） （b2） （a 2） （b2）
2．KVL：
①时域形式：
u 0
②相量形式：
0 U
二、R、L、C元件的VCR相量表示 1．电阻元件R： ①时域形式： u Ri
e jt〕 e jt〕 有 Re〔U Re〔RI U RI
②相量形式： U பைடு நூலகம் RI
u i （同相）
t(rad)
uR(t) O
随时间变化
U e j U 令U m m m Ue j U 有U
－－电压振幅相量
－－电压有效值相量 2U ，I 2I U m m
u（t） Re U m e
j（t ）
jt Re U m e
三、正弦量的运算
①同频正弦量的代数和：
12 （t u1） （t i2 ） u1 i2
①12>0 －－u1超前i2；
②12<0
③12=0 ④|12|=π /2 ⑤|12|=π
－－u1滞后i2；
－－u1和i2同相； －－u1和i2正交； －－u1和i2反相。
主值 12 〔 ，〕， 若 12 〔 ，〕，则用
i 0 I 0
i（t） I m cos（t ） 2 Icos（t ） i i
I ，则i（t） e jt〕 引入相量 I Re〔 2 I
e jt）〕 i（t） 〔Re（ 2 I Re〔 2
jt （ I ） e 〕 0
二、正弦量的相量
u（t） U m cos（t ）
由欧拉公式：
e j（t ） cos （t ） jsin （t ） j（t ） 则U m e U m cos （t ） j U m sin （t ）
复常数
Ume e
j
jt
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
u（t） U m cos（t u） i（t） I m cos（t ） i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素 1．幅值Um/Im：
Um 、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
三、几个概念 1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
I
def
1 T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos（ t ） i dt 2