甘肃省镇原县平泉中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题

甘肃省镇原县平泉中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．在复平面内与复数21i
z i
=
+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）
A ．1i + Ｂ．1i - C ．1i -- Ｄ．1i -+ 2．已知e 为自然对数的底数，设函数()x
f x xe =，则( ) A ．1是)(x f 的极小值点 B ．1-是)(x f 的极小值点 C ．1是)(x f 的极大值点 D ．1-是)(x f 的极大值点
3．函数x x y ln 232-=的单调增区间为（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-∞33,0)33,
( B ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃-,33)0,33
( C.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,33 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,
0 4．曲线3
()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
5．二项式9
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 的系数是( )
A ．84
B ．-84
C ．126
D ．-126
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
(A)某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人
(B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质
(C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 (D)在数列{a n }中,a 1=1,a n =1
2错误！未找到引用源。

111n n a a --⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,由此归纳出{a n }的通项公式
7．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫
=≤≤
⎪⎝
⎭
与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．
5
2
Ｄ．3 8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上满足()0f x '>，则满足2
(2)()f x x f x -<的x
的取值范围是
A ．(3,1)-
B ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞
C ．(3,3)-
D ．(1,3)
9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,那么( )
(A)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 (B)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
(C)△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 (D)△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形
10．若函数()f x 的导函数在区间(),a b 上的图像关于直线2
a b
x +=
对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．②③
D ．③④
11．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种
A ．12
B ．18
C ．24
D ．48
12．已知f(x)=33x x m -+，在区间[0,2]上任取三个数,,a b c ,均存在以
(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A. 2m >
B. 4m >
C. 6m >
D. 8m >
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ．
14．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 15．已知函数f(x)＝lnx －
m
x
(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________． 16．新华学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．新华高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，要写出必要的过程和演算步骤，否则不得分）
17．（本小题10分）已知m∈R，设p：复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i (i是虚数单位)在复平面内
对应的点在第二象限，q：复数z2＝1＋(m－2)i
（1）当p为真命题时，求m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．
18．（本小题12分）在(3－x)20(x∈R，x≠0)的展开式中，已知第2r项与第r＋1项(r≠1)的
二项式系数相等．
(1)求r的值；
(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的
1
256
相等，求x的值．
19．（本小题12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的数？
(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
20．（本小题12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n∈N )． (1)求a 2，a 3，a 4的值；
(2)由(1)猜想{a n }的通项公式，并给出证明．
21．（本小题12分）已知函数错误！未找到引用源。

（e 为自然对数的底数） （1）求()f x 错误！未找到引用源。

的最小值；
（2）若对于任意的∈x []20，，不等式错误！未找到引用源。

恒成立，求实数a 的取值范围.
22．（本小题12分）已知函数()ln a
f x ax bx x
=++（a 、b 为常数），在1x =-时取得极值．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（3）数列{}n a 满足1111
n n a a -=-
+（*
n N ∈且2n ≥），11
2
a =
，数列{}n a 的前n 项
和为n S ， 求证：1
2n n S a n n a e +-⋅≥（*
n N ∈,e 是自然对数的底）．
高二（理科）数学期中考试答案卷
19.
20.
21.22.（做在背面）
18．解：(1)由题意知C202r-1＝C202r，
即2r－1＝r或2r－1＝20－r，解得r＝7或r＝1(舍去)．
(2)T r＝C202r-1·321－r·(－x)r－1，
当r＝7时，T7＝C206·314·x6，
倒数第7项，即T15＝C2014·36·x14，
(2)猜想a n＝.证明：①当n＝1时，猜想成立．
②设当n＝k时(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝，
则当n＝k＋1时，有a k＋1＝2－＝2－，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立．
当
时，上述不等式显然成立，故只需考虑
的情况.
将变形为.
令，则的导函数，
令，解得
；令
，解得.
从而在
内单调递减，在内单调递增.
所以，当
时，
取得最小值
，
从而实数的取值范围是. 12分
22．（1）1b <且1
2
b ≠
；（2）3ln 2m >-；
（1）
∵
在
有定义 ∴
∴是方程的根，且不是重根
∴ 且 又 ∵ ∴且 4分
（2）时 即方程在上有两个不等实根
即方程在上有两个不等实根
令
∴在上单调递减，在上单
调递增当时，且当时，
∴当时，方程有两个不相等的实数根 8分
（3）∴∴∴
∴ 10分
由（2）知
代得即
∴
累加得
即∴得证 12分．
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