抽象函数解题方法与技巧
抽象函数题的解法与技巧
抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入,对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高,其题型包括抽象函数的定义域值域问题,抽象函数的单调性和奇偶性问题,求解析式及对称性问题,现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下,供备考同学们参考使用。
类型一:求抽象函数的定义域。
例题1.(2013高考大纲版数学(理))已知函数f(x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x-1)的定义域为 (A)(-1,1) (B)(-1,21) (C)(-1,0) (D)(21,1) 解析:因为原函数的定义域为(﹣1,0),所以﹣1<2x ﹣1<0,解得﹣1<x <.所以则函数f (2x ﹣1)的定义域为(-1,21).故选B . 变式1:已知f (2x-1)定义域是[]2,1,则函数)(x f 的定义域为 答案:[1,3]变式2:已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1,则函数)12(+x f 的定义域为 答案:[0,1] 解题技巧:抽象函数是没有解析式的函数,解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质,像例题1这种题型的本质是解不等式,变式1题型的本质就是求函数的值域,变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。
解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来,是解决的技巧所在。
类型二:抽象函数的求值问题:例2.对任意实数x,y ,均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f (1)≠0,则f2014)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手:令x=1,y=n ,得f (n+1)=f (n )+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得:f(0)=0,∴f(1)=21,即f (n+1)-f (n )=21,f (n )=2n,所以,f(2014)=22014=1007. 解题技巧:抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中,抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面:
1.确定定义域和值域:抽象函数的定义域和值域是解题的基础,需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质:抽象函数和一般的函数一样,具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中,可以根据这些性质进行分析和推导,从而得出结论。
3.运用复合函数的性质:抽象函数可能会出现复合函数的形式,运用复合函数的性质可以将抽象函数化简,从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征:抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等,在解题过程中可以结合图像特征进行分析,进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是,抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点,需要学生掌握一定的数学基础和思维方法,例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此,在学习抽象函数时,需要逐步扩充自己的数学知识面,并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
(完整版)抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x -a)(或f(x -2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数;8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x),则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0; 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知:对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
高中数学解题方法系列:函数问题中抽象函数的4种策略
高中数学解题方法系列:函数问题中抽象函数的4种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力,有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
一、数形结合使抽象函数具体一般地讲,抽象函数的图象为示意图居多,有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点,但通过示意图却使抽象变形象化,有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。
例1、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-,若当x (]5,0∈时,()f x 是增函数且f(2)=o 求不等式x ()0f x <的解。
分析:f(x)的图像如图所示x>0时2<x 5≤x<0时-2<x 0≤例2、已知函数f (x )对一切实数x 都有f (2+x )=f (2-x ),如果方程f (x )=0恰好有4个不同的实根,求这些实根之和。
分析:由f (2+x )=f (2-x )知直线x=2是函数图象的对称轴,又f (x )=0有四根,现从大到小依次设为x 1、x 2、x 3、x 4,则x 1与x 4,x 2与x 3均关于x=2对称,∴x 1+x 4=x 2+x 3=2×2=4,∴x 1+x 2+x 3+x 4=8。
评注:一般地,若函数f (x )满足f (a+x )=f (a-x ),则直线x=a 是函数图象的对称轴,利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解。
二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f 即为“穿”,去掉函数符号f 即为“脱”。
对于有些抽象函数,可根据函数的单调性,实现对函数符号的“穿脱”,以达到简化的目的。
例3已知f(x)是定义在(0,)上的增函数,且f(y x )=f(x)-f(y),若f(6)=1,解不等式。
f(x+5)-f(x1)<2分析:由f(6)=1,f(yx )=f(x)-f(y)得:f(636)=f(36)-f(6),所以f(36)=2。
抽象函数题的几种解题策略
抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一:定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题,其求解的一般思路是:紧扣有关概念,充分利用定义来解决问题。
例1: 已知f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),又当x 2>x 1>0时,f (x 2)>f (x 1).(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值;(2)若有f (x )+f (x -2)≤3成立,求x 的取值范围.变式:设f(x)对任意x,y R ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+,且0>x 时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)求证:f(x)是奇函数;(2)试问在33≤≤-x 时,f(x)是否有最值?如果有求出最值;如果没有,说出理由.策略之二:特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征,从满足题设条件的特殊函数(或特殊值)入手分析、研究,寻求问题的解题思路或结论。
例2、定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间(0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。
设a>b>0,给出下列不等式:①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是( ) A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三:整体思想运用整体思想进行求解,即先化整体为局部,再由各局部的解决使问题获解。
例3、已知f(x)、g(x)为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+3(a,b 为常数),若F(4)=-4,则F(-4)=。
策略之四:巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系,经过推理或计算来解决问题。
例4、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( )A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五:数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息,运用数形结合思想方法来解决问题。
如何解答抽象函数问题
解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域,求抽象函数的定义域,判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例,谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题,往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题,需对已知关系式进行赋值,以便根据函数单调性的定义,判断出函数的单调性,然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值,即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间,则需在每个区间内讨论函数的单调性,再比较各个区间上的最大、最小值,即可解题.例1.若对任意实数x ,y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ,当x >0时恒有f ()x >0,且f ()-1=-2,求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ,x 2=x +y ,可得x 2-x 1>0,∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0,∴f ()x 1<f ()x 2,可得f ()x 在R 上单调递增,∴当x ∈[]-2,1时,f ()-2≤f ()x ≤f ()1,∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4,f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2,∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题,需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值,令x 1=y ,x 2=x +y ,通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号,便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性,即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性,求得函数的单调区间.解答此类问题,需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为:①在定义域内任选两个数x 1、x 2,且使x 1<x 2,②结合已知条件,化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1,并将其与0、1比较,③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1,则函数在定义域上单调递增;若f ()x 2<f ()x 1,则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ,恒有f ()x >0,当x >0时,f ()x >1.对任意x ,y ∈R ,均有f ()x +y =f ()x f ()y ,试证明:f ()x 在R 上单调递增.分析:我们需先设出x 1,x 2,然后通过等量代换,判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系,以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明:令x 1<x 2,则f ()x 2>0,f ()x 1>0,x 2-x 1>0,f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1,故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题,通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时,要首先对已知关系式进行赋值,如令x =0、1、-1、-x 等,并将其代入式子中,以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ,则函数为偶函数;若f ()-x =-f ()x ,则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ,g ()x 的定义域为R ,对于任意x ,y ∈R ,均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ,且f ()0≠0,试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0,由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0,因为f ()0≠0,所以f ()0=1,令x =0,可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ,则f ()y =f ()-y ,故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性,需令x =y =0,通过多次赋值,才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之,抽象函数是一类较为特殊的函数,它没有具体的解析式和图象,因而在解答抽象函数问题时,需重点研究已知关系式和抽象函数的性质,从中找到解题的突破口.(作者单位:云南省曲靖市会泽县实验高级中学)方琼41。
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略1.理解抽象函数:首先,应该了解抽象函数的定义,它是指一个函数不涉及具体的参数值,而是做出一般性的抽象,表达一般行为的形式。
2.掌握函数的概念:除了理解抽象函数的定义外,还需要掌握函数的概念,它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系,一般分为变量和参数,参数是可以改变的。
3.熟悉函数的几种类型:熟悉函数的几种类型,有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数,以及还有抽象函数等,仔细分析各种函数,理解抽象函数的特点,并利用这些特点解决问题。
4.理解函数运算:函数运算是关于函数关系的常见解决方案,其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算,要想解决抽象函数的问题,需要理解这些函数的运算,充分利用数学知识找出最佳的解决方案。
5.利用特殊工具解决特殊问题:特殊工具包括特定编程语言,如C 语言或Matlab,还有函数图像分析等,然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。
6.通过图像因素处理:利用图像因素处理的方法,可以解决抽象函数的复杂性及其他问题,因此,当需要解决抽象函数问题时,可采用图像因素处理的方法进行解决。
7.建立抽象模型:抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数,可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法,结合抽象模型,可以很好的解决抽象函数问题。
8.利用算法工具:在解决抽象函数的问题时,可以采取算法的方式来解决,在算法方面,包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等,可以利用算法工具求解抽象函数的问题。
9.结合实际:最后,解决抽象函数的问题时,还可以结合实际情况,借鉴或者组合已有方法,根据实际情况及需求来抽象通用解决方案,使得解决问题更加简单、高效。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是: 由a<g(x)<b,求得x 的范围,即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域,求内层函数的定义域,即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1,4],求f()的定义域. 解: 由1≤≤4,得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b),求f(x)的定义域,其方法是: 由a<x<b,求得g(x)的范围,即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域,求内层函数的值域,即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2,2],求函数f(x)的定义域. 解:∵f(x+2)的定义域为[-2,2], ∴-2≤x ≤2, ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0,4]3. 已知f[ (x)]的定义域,求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域,求f(x)的定义域,再由f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域,求得第一个函数内层函数的值域,第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域,由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域,再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为,求函数f ()的定义域. 解:∵f(x+1)的定义域为, ∴-2≤x 3, ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4,∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域,求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域,其方法是:由,求得x 的范围,即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x -a)(或f(x -2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数;7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数;8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7)函数图像的对称性:1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x),则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0;()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知:对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学(417500)邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质,又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度,因而在高考中备受青睐。
本文结合实例,介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一:活用定义与性质以函数“三性”为突破口,紧扣其定义及性质间的相互联系,经推理或计算求解问题。
例1:己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数,给出以下四个命题:(1)函数f(x)是周期函数,(2)函数f(x)的图象关于点(-34,0)对称,(3)函数f(x)是偶函数,(4)函数f(x)是R上的单调函数,以上四个命题中,真命题序号是。
解析:∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得:f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故(1)正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点(-34,0)对称。
故(2)正确;又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得:f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故(3)正确,从而(4)错误∴真命题是(1)、(2)、(3)策略二:巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现,求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式,经运算与推理,得出结论:例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2,满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称,(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)是R 上的增函数。
证明:(1)令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x,x2=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4,故f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称。
高考数学几种解决抽象函数问题的方法
一、赋值法赋值法的基本思路是:将所给函数的性质转化为条件等式,在条件等式中对变量赋予一些具体的值,构造出所需条件或发现某些性质,其中f(0)、f(1)是常常起桥梁作用的重要条件。
例1设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立。
若已知f(2)=1,试求:(1)f(1/2)的值;(2)f(2 - n)的值,其中n为正整数。
思路:合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律。
解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0再令x=2,y=1/2,则f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)= -f(2)= -1(2)由于f(2 - 2)=f(1/2)+f(1/2)= -2,f(2 - 3)= f(1/2)+f(1/2)+f(1/2)= -3,依此类推就有f(2 - n)= -n,其中n为正整数。
二、利用函数单调性解抽象函数不等式,要设法将它转化成显性的不等式求解.这需要具备两个条件:一是要把不等式化为f(□)>f(△)的形式,二是要判断函数的单调性。
再根据函数的单调性,将抽象函数不等式的符号"f"去掉,得到具体的不等式求解.例2 若f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且对一切a,b∈(0,+∞),都有f(a/b)=f(a)-f(b),且f(4)=1,试解不等式f(x+6)-f(1/x)>2.思路:逆用函数单调性,将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系.解:因为f(a/b)=f(a)-f(b),且f(4)=1,所以f(x+6)-f(1/x)>2则f(x+6)-f(1/x)>2f(4)则有f(x 2+6x)-f(4)>f(4)故f[(x 2+6x)/4]>f(4).由于f(x)是(0,+∞)上的减函数,因此由1/x>0x+6>0(x 2+6x)/4<4同时成立解得0<x<2,故原不等式的解集是(0,2).三、利用函数的对称性例3 设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(x+3)=f(3-x)且方程f(x)=0恰好有6个不同的实根,这6个根的和为()A.18B.12C.9D.0解:由命题1知,y=f(x)的图象关于x=3对称,故6个根的和为18,故选A。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数;8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知:对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数几类问题的解题方法与技巧
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1:已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解:令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法,换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2:若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ,求f(x) 解:令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x =>f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5:如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解:f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6:已知f(x)是多项式函数,解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中,常用方法是赋值法,赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在(-1、1)上的函数f(x)满足。
(1)对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()(2)当x∈ (-1、0) 时,有f(x)>0求证(I)f(x)是奇函数,(II)f(证明:(1)令x=y=0,则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x),对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0(1)求证f(0)=1 (2)求证y=f(x)是偶函数证明:(1)令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) =>f(-y)=f(y) =>y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得:f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6:定义域为R 的函数f(x)满足:对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x >0时,f(x)<0恒成立。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式,因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢?下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式,所以在求抽象函数的值时,通常需根据函数的关系式、某个点的坐标,以及抽象函数的性质:单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点,如零点、原点、对称点等的值,以找到更多的条件,顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R,f(x+2)=1-f(x)1+f(x),f(-2)=1-3,则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解:∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x),∴函数f(x)为周期函数,且周期为8,∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题,需从已知的函数关系式入手,通过恒等变换,求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响,要求抽象函数的定义域,需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量,利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换,从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0,3],求函数f(3x+2)的定义域.解:因为函数f(x)的定义域为[0,3],所以0≤x≤3,则0≤3x+2≤3,解得-23≤x≤13,故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题,关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同,那么二者的取值范围一致,据此建立不等式,解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题,通常要先根据已知的函数关系式,函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换;再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地,若f(-x)=-f(x)成立,则该函数为奇函数;若f(-x)=f(x)成立,则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1),那么t的取值范围是______.解:由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(ln t)=fæèöøln1t,由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1),得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增的,所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数,所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系;然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系,进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性,建立关于t的不等式,求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解:∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(-x+4)=f(x+4),∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称,∴f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,∴f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题,需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性,并根据选项中的数值对函数进行赋值,才能顺利得到正确的答案.由此可见,解答抽象函数问题,关键在于研究已知关系式和函数的性质,必要时需对函数进行赋值,以得到更多的条件,为解题提供更多的依据.(作者单位:江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数得周期性:1、定义在x∈R上得函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x—a)(或f(x-2a)=f(x))(a>0)恒成立,则y=f(x)就是周期为2a得周期函数;2、若y=f(x)得图像关于直线x=a与x=b对称,则函数y=f(x)就是周期为2|a-b|得周期函数;3、若y=f(x)得图像关于点(a,0)与(b,0)对称,则函数y=f(x)就是周期为2|a—b|得周期函数;4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(a,0)与一条对称轴x=b(a≠b),则函数y=f(x)就是周期为4|a-b|得周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a;6、定义在x∈R上得函数y=f(x),满足f(x+a)=—f(x),则y=f(x)就是周期为2|a|得周期函数;7、若在x∈R恒成立,其中a>0,则y=f(x)就是周期为4a得周期函数;8、若在x∈R恒成立,其中a>0,则y=f(x)就是周期为2a得周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7)函数图像得对称性:1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)得图像关于直线对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)得图像关于直线x=a对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)得图像关于点成中心对称图形;4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)得对称曲线得方程为f(2a-x,2b—y)=0;5、形如得图像就是双曲线,由常数分离法知:对称中心就是点;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)得图像关于直线对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)与y=f -1(x+a)得图像关于直线y=x+a对称。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析式作为载体,因此理解起来比较困难,那么怎样求解抽象函数问题呢?以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一. 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时,一般用“代换”的方法,如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时,可用特殊值(如0或1或-1)“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭,求()f x 的解析式。
解:先令3u x =,解出3u x =,于是有:()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得:()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组,并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭,解得()6455u f u u=-即所求解析式为:()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =,求()f x 的解析式。
解:利用特殊值法 令1a =,等式变为:()()()()111f b f f b b f b b+=++=++,即:()()11f b f b b +-=+,注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式,令1b =, 有()()2111f f -=+2b =,有()()3221f f -=+1b n =-,有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加,得:()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即:()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为:()()12x x f x -=二. 函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是: 由a<g(x)<b,求得x 的范围,即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域,求内层函数的定义域,即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1,4],求f()的定义域. 解: 由1≤≤4,得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b),求f(x)的定义域,其方法是: 由a<x<b,求得g(x)的范围,即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域,求内层函数的值域,即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2,2],求函数f(x)的定义域. 解:∵f(x+2)的定义域为[-2,2], ∴-2≤x ≤2, ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0,4]3. 已知f[ (x)]的定义域,求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域,求f(x)的定义域,再由f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域,求得第一个函数内层函数的值域,第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域,由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域,再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为,求函数f ()的定义域. 解:∵f(x+1)的定义域为, ∴-2≤x 3, ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4,∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域,求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域,其方法是:由,求得x 的范围,即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
求抽象函数表达式常见五种方法
求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1:已知()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法:在已知(())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2:已知3311()f x x x x +=+,求()f x3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x .5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出()f x 的表达式例6:设()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案:例1:解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=- 例2:解:∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)例3.解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。
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抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x -a)(或f(x -2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数;8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x),则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0; 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知:对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x)()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例3.已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x -1)=2x 2-4x ,求f(x).四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例4.对任意实数x,y ,均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.例5.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6.设函数f(x)对任意实数x,y ,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2, 求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。
例7.定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m ,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x -3)≤2,求x 的取值范围。
六、递推法 对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8.已知f(x)是定义在R 上的函数,f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x ,则g(2002)=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
5个根之和=_____________例11.设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x ,y ∈R ,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 (1)解不等式f(3x -x 2)>4;(2)解方程[f(x)]2+12f(x+3)=f(2)+1例12.已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。
试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由。
函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是( )A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是( ))127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是( )A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是( ) A. B. C. D.6. 函数是( )A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是 8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 (1)有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数的图象是一直线;(4)函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:(1)是奇函数;(2)在定义域上单调递减;(3)求的取值范围.)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x -a)(或f(x -2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数;2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数;4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ;6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数;8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x),则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称;2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称;3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0; 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知:对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭;6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称;7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。