一次函数竞赛题归纳及其解法

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一次函数综合题解法归纳

一次函数综合题解法归纳
一次函数是一种线性函数，其数学表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，a代表斜率，b代表y轴截距。

综合题是指结合多个概念或条件，进行综合运算和分析的题目。

下面将归纳一次函数在综合题中的解法：
1. 求解函数的斜率和截距：通过已知条件得到函数的斜率和截距。

斜率可以通过计算两个不同点的纵坐标差值除以横坐标差值得到，截距可以通过将已知的点的坐标代入函数表达式求解得到。

2. 求解函数与坐标轴的交点：对于与x轴的交点，令y = 0，将其代入函数表达式中求解x的值；对于与y轴的交点，令x = 0，将其代入函数表达式中求解y的值。

3. 求解函数的零点：零点即函数与x轴的交点，此时y = 0。

将函数表达式中的y替换为0，解方程得到x的值，即为零点。

4. 求解函数的最值：当给定函数的定义域时，可以通过计算函数的斜率确定最值。

当斜率为正时，函数呈上升趋势，其最小值为定义域的最小值；当斜率为负时，函数呈下降趋势，其最大值为定义域的最大值。

5. 图像特征分析：将函数绘制在坐标系上，分析图像的特征。

通过观察斜率与截距的正负、零点的位置、曲线的开口等特征，可以判断函数的增减性、奇偶性和性质。

6. 利用函数进行问题求解：根据问题的条件，建立一个一次函数模型，利用函数进行计算和求解。

通过理解问题中的关系和函数的性质，将问题转化为求解一次函数方程或利用函数图像进行解答。

综合题中一次函数的解法与使用范围非常广泛，了解和掌握一次函数的相关知识和技巧对于完成综合题目是非常重要的。

通过图像分析、方程运算和函数性质的运用，可以更好地理解和解决一次函数相关的综合题。

初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)

一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一、基础概念梳理1.1 一次函数的定义和性质一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 不等于 0。

其图像为一条直线，斜率为 a，截距为 b。

在直角坐标系中，表现为直线过原点或不过原点。

一次函数的性质包括斜率和截距等。

1.2 一次函数的图像和特征一次函数的图像呈线性关系，表现为直线。

斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线和 y 轴的交点。

掌握一次函数的图像和特征是解题的关键。

二、易错题分析2.1 斜率与线性关系易错点：部分学生对斜率的计算和理解存在困难，无法准确求解斜率或理解斜率的意义。

解决方法：要重点训练学生如何计算斜率，以及斜率对线性关系的影响。

可以通过练习题和实例来加深理解。

2.2 截距的求解易错点：学生在求解截距时常常出错，或者无法正确理解截距的含义。

解决方法：通过大量的实例练习，加深学生对截距的理解和运用能力。

可以设计一些生活中的例子来帮助学生理解截距的含义。

2.3 点斜式方程易错点：学生在转化为一般式方程时，容易出错或混淆概念。

解决方法：通过举例和练习，让学生掌握点斜式方程和一般式方程之间的转化，加深对一次函数的理解和掌握能力。

三、高级拓展题3.1 一次函数的应用在生活中，一次函数的应用非常广泛，包括经济学、物理学和工程学等领域。

这些应用题往往涉及到实际问题的建模和解决，需要学生有较强的数学建模和解题能力。

3.2 特殊题型及解法除了基本的一次函数题，还有一些特殊的题型需要引起重视，包括两条直线的关系、两个一次函数的综合运用等。

这些题型需要学生拓展思维，掌握各种解题方法。

四、总结回顾在学习一次函数这一题型时，学生需要注重基本概念的理解和掌握，加强实例练习，培养解题思维，拓展应用能力。

重点关注易错点，并采取有效的方法加以解决，提高学生对一次函数的理解和应用能力。

个人观点及理解对于一次函数的学习和掌握，我认为重在理解和应用。

一次函数经典题及答案

一次函数经典题一．定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：一次函数的图像过点(2, -1)，，即k=1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。

三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线；。

当k1=k2，b1≠b2时，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。

又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为b=1-2=-1，故图像解析式为七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20故所求函数的解析式为Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

竞赛辅导：一次函数及绝对值函数的应用(含答案)

竞赛辅导：一次函数及绝对值函数的应用1一、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）1．（5分）已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，当m=_________时，有一个交点的纵坐标为6．2．（5分）如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是_________（0＜x＜10）．3．（5分）将直线y=2x﹣4沿y轴向上平移3个单位得到直线_________，若沿x轴向右平移3个单位又可得到直线_________．4．（5分）直线y=3x+4关于直线y=x对称的直线的函数解析式是_________．二、选择题（共2小题，每小题4分，满分8分）5．（4分）方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4B．3C．2D．16．（4分）方程|xy|+|x﹣y+1|=0的图象是（）A．三条直线：x=0，y=0，x﹣y+1=0 B．两条直线：x=0，x﹣y+1=0C．一个点和一条直线：（0，0），x﹣y+1=0 D．两个点（0，1），（﹣1，0）三、解答题（共6小题，满分72分）7．（12分）作出函数y=|x﹣2|﹣1的图象．8．（12分）已知函数y=|x﹣a|+|x+19|+|x﹣a﹣96|，其中a为常数，且满足19＜a＜96，当自变量x的取值范围是a≤x≤96时，求y的最大值．9．（12分）已知A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y=0.5x+2上，横坐标为m，如果△ABP为直角三角形，求m的值．10．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB是斜边，点P在中线CD上，AC=3cm，BC=4cm，设P、C的距离为xcm，△APB的面积为ycm2，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．11．（12分）在平面直角坐标系里，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内一次函数y=﹣x+6图象上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为（x，y），求S关于x的函数表达式．12．（12分）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．（l）根据表中提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，l吨水生产出的饮料所获的利润是多少？1吨水价格x（元） 4 6用1吨水生产的饮料所获利润y（元）200 198（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元．求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．竞赛辅导：一次函数及绝对值函数的应用1参考答案与试题解析一、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）1．（5分）已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，当m=5时，有一个交点的纵坐标为6．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：将y=6分别代入两个函数可得，然后变形可得．解答：解：依题意有，由3x+m=6可得6x=12﹣2m，再代入m﹣3=6x中就可得到m=5．故答案为：5．点评：运用了函数的知识、方程组的有关知识，以及整体代入的思想．2．（5分）如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是y=5x+50（0＜x＜10）．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；三角形中位线定理；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：易得BF是△EPC的中位线，那么△EFB的面积与△EPC面积之比为1：4，易得正方形的面积，那么也就可以求得四边形AFPD的面积，让△EFB与四边形AFPD的面积相加即可．解答：解：∵正方形ABCD的边长为10cm，DP=xcm，∴PC=10﹣x，∵EB=10cm，∴S△EPC=×（10﹣x）×（10+10）=100﹣10x，BF是△EPC的中位线，∴△EFB∽△EPC，∴S△EFB=×（100﹣10x），∴四边形BCPF的面积×（100﹣10x），∵正方形的面积为100，四边形AFPD的面积=100﹣×（100﹣10x），∴y=×（100﹣10x）+100﹣×（100﹣10x）=5x+50，故答案为y=5x+50．点评：考查了列一次函数问题，用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．（5分）将直线y=2x﹣4沿y轴向上平移3个单位得到直线y=2x﹣1，若沿x轴向右平移3个单位又可得到直线y=2x﹣10．考点：一次函数图象与几何变换．分析：根据上加下减，左加右减的法则可得出答案．解答：解：y=2x﹣4沿y轴向上平移3个单位得到直线：y=2x﹣4+3=2x﹣1，若沿x轴向右平移3个单位又可得到直线：y=2（x﹣3）﹣4=2x﹣10．故填：y=2x﹣1，y=2x﹣10．点评：本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减．4．（5分）直线y=3x+4关于直线y=x对称的直线的函数解析式是y=x﹣．考点：一次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：设（x，y）为所求函数解析式上任意点，则关于y=x的对称点为（y，x），∴（y，x）在直线y=3x+4上，代入后即可得出要求的函数解析式．解答：解：设（x，y）为所求函数解析式上任意点：则关于y=x的对称点为（y，x），∴（y，x）在直线y=3x+4上，代入得：x=3y+4，∴3y=x﹣4，∴y=x﹣，故答案为：y=x﹣．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，属于基础题，注意设出一个点的坐标是关键．二、选择题（共2小题，每小题4分，满分8分）5．（4分）方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4B．3C．2D．1考点：函数最值问题．专题：计算题．分析：由方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积与方程|x|+|y|=1确定的曲线所围成的图形面积相等，分析求解方程|x|+|y|=1确定的曲线所围成的图形面积相即可．解答：解：先考虑简单的情况：当|x|+|y|=1时：当x＞0，y＞0时，x+y=1，当x＞0，y＜0时，x﹣y=1，当x＜0，y＞0时，y﹣x=1，当x＜0，y＜0时，x+y=﹣1，∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），∴正方形边长为：=，∴正方形面积为：×=2．∵|x﹣1|+|y﹣1|=1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|=1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，∴其面积依然为2．故选C．点评：此题考查了函数最值问题．注意抓住方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线所围成的图形面积与方程|x|+|y|=1确定的曲线所围成的图形面积相等是解题的关键．6．（4分）方程|xy|+|x﹣y+1|=0的图象是（）A．三条直线：x=0，y=0，x﹣y+1=0 B．两条直线：x=0，x﹣y+1=0C．一个点和一条直线：（0，0），x﹣y+1=0 D．两个点（0，1），（﹣1，0）考点：非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组．分析：根据非负数的性质，可求出x、y的值，从而得到方程|xy﹣1|+|x﹣y+1|=0的图象是两个点．解答：解：根据题意得：，解得或．∴方程|xy﹣1|+|x﹣y+1|=0的图象是两个点（0，1），（﹣1，0）．故选D．点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．三、解答题（共6小题，满分72分）7．（12分）作出函数y=|x﹣2|﹣1的图象．考点：一次函数的图象；绝对值．专题：作图题．分析：根据题意，化简绝对值可得，函数y=|x﹣2|﹣1=，进而作出其图象．解答：解：根据题意，函数y=|x﹣2|﹣1=，进而可得其图象为：点评：本题考查一次函数图象的变化及分段函数图象的作法，注意绝对值的化简方法即可．8．（12分）已知函数y=|x﹣a|+|x+19|+|x﹣a﹣96|，其中a为常数，且满足19＜a＜96，当自变量x的取值范围是a≤x≤96时，求y的最大值．考点：一次函数的性质；绝对值．专题：计算题．分析：先由19＜a＜96，a≤x≤96，得到x﹣a＞0，x+19＞0，x﹣a﹣96＜0，这样就可以去绝对值，即y=x﹣a+x+19﹣（x﹣a﹣96）=x+115，根据当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大，所以x=96，y有最大值，代入计算即可．解答：解：∵19＜a＜96，a≤x≤96，得到x﹣a＞0，x+19＞0，x﹣a﹣96＜0，∴y=|x﹣a|+|x+19|+|x﹣a﹣96|=x﹣a+x+19﹣（x﹣a﹣96）=x+115，∵k=1＞0，y随x的增大而增大，∴当自变量x的取值范围是a≤x≤96时，x=96，y有最大值，y的最大值=96+115=211．所以y的最大值为211．点评：本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，直线与y 轴的交点在x轴上方；当b=0，直线经过坐标原点；当b＜0，直线与y轴的交点在x轴下方．同时考查了绝对值的含义．9．（12分）已知A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y=0.5x+2上，横坐标为m，如果△ABP为直角三角形，求m的值．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题；数形结合．分析：分三种情况①A为直角，②B为直角，③P为直角，前两种情况m的值就是A和B的横坐标，③可设p （m，m+2），再根据AP2+BP2=AB2可求出．解答：解：①此时AP垂直x轴，m=﹣2；②此时BP垂直x轴，m=4；③可设p（m，m+2），∴可得：（m+2）2++（m﹣4）2+=36，解得：m=±．∴m的值可为﹣2，4，±．点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，注意本题要分三种情况讨论，不要漏解．10．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB是斜边，点P在中线CD上，AC=3cm，BC=4cm，设P、C的距离为xcm，△APB的面积为ycm2，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：计算题．分析：根据勾股定理求出AB的长，然后过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，求证△ACB∽△AMC，利用其对应边成比例求得CM的长，再利用CM∥BH，求出PH，代入即可．解答：解：在Rt△ABC中，AB===5，∵AD=BD，∴CD=AB=，∵PC的长为x，∴PD=﹣x，过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，∵△ACB∽△AMC∴=，∴CM==，∵CM⊥AB，PH⊥AB，∴CM∥BH，∴=，∴PH===﹣x．S△APB=y=AB•BH=×5×（﹣x），∴y=﹣x+6，∴0＜x＜．答：y与x的函数关系式是y=﹣x+6，自变量x的取值范围为0＜x＜．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、根据实际问题列一次函数关系式、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性强，难度大，属于难题．解答此题的关键是过P点作PH⊥AB交AB于H，过C点作CM⊥AB交AB于M，求证△ACB∽△AMC．11．（12分）在平面直角坐标系里，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内一次函数y=﹣x+6图象上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为（x，y），求S关于x的函数表达式．考点：一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积．专题：几何图形问题．分析：易得OA之间的距离，△OPA的面积=×AO×P的纵坐标，把相关数值代入求解即可．解答：解：∵AO=4，点P的纵坐标为y，∴S=×4y=2（6﹣x）=12﹣2x，∵点P在第一象限，∴x＞0，6﹣x＞0，∴0＜x＜6，∴S=12﹣2x（0＜x＜6）．点评：考查一次函数图象上的点的坐标的特点；得到三角形的面积的关系式是解决本题的关键．注意写完函数解析式后应考虑相应自变量的取值．12．（12分）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．（l）根据表中提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，l吨水生产出的饮料所获的利润是多少？1吨水价格x（元） 4 6用1吨水生产的饮料所获利润y（元）200 198（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元．求W与t 的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．考点：一次函数的应用．分析：（1）用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．可以设出一次函数关系式，然后根据表中所给的条件（4，200）（6，198）可求出解析式；（2）根据函数式可求出一吨水价是40的利润，然后根据题意可得w=200×20+164（t﹣20），代入t=20或t=25可求出日利润的取值范围．解答：解：（1）用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数式为根据题意得：y=kx+b，，解得，∴所求一次函数式是y=﹣x+204，当x=10时，y=﹣10+204=194（元）；（2）当1吨水的价格为40元时，所获利润是：y=﹣40+204=164（元）．∴W与t的函数关系式是w=200×20+（t﹣20）×164，即w=164t+720，∵20≤t≤25，∴4000≤w≤4820．点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；workholic；392901；gsls；自由人；zcx；lanchong；caicl；HLing；王岑；lk；fxx（排名不分先后）菁优网2012年12月20日。

一次函数题型及解题方法

一次函数题型及解题方法考点一、一次函数的图象与性质【方法总结】一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.考点二、确定一次函数的解析式【方法总结】用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．考点三、一次函数与一次方程（组）【方法总结】两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．考点四、一次函数与一元一次不等式补充：方法二，kx+3＞0也就是函数y>0，结合图像x轴上方的部分，此时x＜2【方法总结】先把已知点的坐标代入求出解析式，然后在解不等式求出解集。

或者利用函数图像分析来解答，函数大于0也就是对应图像中在x轴以上的部分函数，再找出对应的x的取值范围即可。

考点五、一次函数与图形面积问题【方法总结】两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高考点六、一次函数的平移一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b 个单位；b＜0，下移|b|个单位．一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝02．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．。

一次函数难题汇编附答案解析

【详解】∵A(－2，0)，B(0，1)，
∴OA=2，OB=1，
∵四边形OACB是矩形，
∴BC=OA=2，AC=OB=1，
∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），
∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，
∴-2k=1，
∴k=－，
故选A.
【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C的坐标是解题的关键.
【详解】
解∵B点坐标为（b，-b+2），
∴点B在直线y=-x+2上，
直线y=-x+2与y轴的交点Q的坐标为（0，2），连结AQ，以AQ为直径作⊙P，如图，
∵A（2，0），
∴∠AQO=45°，
∴点B在直线y=-x+2上（除Q点外），有∠ABO小于45°，
∴b的取值范围为b＜0或b＞2．
故选D．
【点睛】
11．如图在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，点在第二象限内，将沿射线平移，平移后点的横坐标为，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求出点A、B的坐标，再求出直线OA的解析式，继而得出点的纵坐标，找出点A平移至点的规律，即可求出点的坐标．
【详解】
解：根据题意，由图可知，甲走了480米后才发现了没带票，返回公司用时12分钟，行进过程中速度不变，
即：甲步行的速度为每分钟米，乙步行的速度也为每分钟80米，
故A正确；
又∵甲乙再次相遇时是16分钟，
∴16分乙共走了米，
由图可知，出租车的用时为16-12=4分钟，
∴出租车的速度为每分米，
故B正确；
由此发现规律：

一次函数竞赛题

一次函数竞赛试题一．选择题：1．直线y ＝3X ＋b 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求与Y 轴的交点坐标 ……………………………（） A 、（0，2） B 、（0，－2）（0，2） C 、（0，6） D 、（0，6）、（0，－6）2．已知一次函数Y ＝KX ＋b ，当x =0时,y <0;,当y =0时,x >0,那么下列结论正确的是 ( )A 、k >0,b >0B 、k >0，b <0C 、k <0,b >0D 、k <0，b <03．某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）。

4．.如图1，在一次函数3+-=x y 的图象上取点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴;垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）（A ） 4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个4．在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）个（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）A 、k<31 B 、31< k <1 C 、k>1 D 、k>1或k<31 6．一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p,0）,交y 轴于（0，q ）,若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）A. 0B.1C.2D.无数 7．当－1≤x ≤2时，函数6+=ax y 满足10<y ，则常数a 的取值范围是（） A 、04<<-a B 、20<<a C 、24<<-a 且0≠a D 、24<<-a 8．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条9．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x －3与y=kx+k的交点为整数时，k 的值可以取（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个 10．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分，下山的速度是b 米/分，（a ＜)b ；乙上山的速度是12a 米/分，下山的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（）二．填空题：11．某市市内电话费y （元）与通话时间 t （分钟）之间的函数关系图象如图所示，则通话7分钟需付电话费元。

一次函数常考题型及解题技巧

一次函数常考题型及解题技巧一次函数是数学中非常基础且常见的函数类型，也是中学数学中常考的题型之一。

本文将介绍一些常见的一次函数考题及解题技巧，帮助学生更好地理解和应用一次函数。

一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数的图像表现为一条直线，具有许多重要的性质和应用。

常见的一次函数考题类型包括求解函数图像的斜率和截距、求解函数在给定点或区间的函数值、求解函数的零点（即方程ax + b = 0的解）等等。

首先，我们来看求解函数图像的斜率和截距的考题。

斜率表示函数图像的倾斜程度，定义为函数曲线上任意两点之间的纵坐标差除以横坐标差。

而截距表示函数曲线与纵轴的交点位置，即函数曲线与纵轴的交点的横坐标。

对于给定的一次函数，可以通过观察函数的表达式直接得出斜率和截距的值，也可以通过已知的点坐标来求解。

当已知函数通过某一点时，可以利用该点的坐标代入函数表达式，解出斜率和截距的值。

其次，求解函数在给定点或区间的函数值是另一类常见的一次函数题型。

对于已知的一次函数，当给定x的值时，可以直接将x的值代入函数表达式，求解y的值。

对于给定的区间，可以将区间内的点依次代入函数表达式，求解对应的y的值，从而得到函数在该区间上的函数值变化规律。

最后，求解函数的零点也是一类常见的一次函数题型。

零点即函数曲线与x轴的交点位置，即函数的解。

对于一次函数，可以通过令函数表达式等于零，然后解方程求解x的值，即可得到函数的零点。

求解一次函数的零点可以帮助我们判断函数的根的个数，进一步分析函数的增减性和图像的位置。

在解题过程中，可以运用一些技巧来简化计算和推导，例如化简表达式、利用已知条件、运用基本的代数运算法则等。

同时，还应该注重理解一次函数的基本性质和图像特征，有助于更好地理解和解决相关的问题。

总之，掌握一次函数的基本概念和常见题型的解题技巧对于学生来说是非常重要的。

通过多做练习题和实际应用题，加深对一次函数的理解和掌握，能够更好地应对考试和日常数学应用中的相关问题。

初二年级一次函数所有知识点总结及常考题提高难题压轴题练习[含答案及解析]

()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 初二一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。

2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。

3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。

4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。

5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。

6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。

7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。

当b=0时,称y 是x 的正比例函数。

9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。

10点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x 轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（）A ．y=B ．y=C ．y=x ﹣3D ．y=2．下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x ﹣2的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x 的值是（） A ．± B ．4 C ．±或4 D ．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜07．已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较8．一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题（共13小题）28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．31．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（0，3）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．32．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）33．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．34．某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．35．为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）当用电量是180千瓦时时，电费是元；（2）第二档的用电量范围是；（3）“基本电价”是元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？36．某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气种型号沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．37．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．38．兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y 与x之间的函数关系式．39．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y1与x的函数关系式；②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．初二一次函数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012•湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y=【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2015春•营山县期末）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．【解答】解：A、是一次函数，正确；B、是二次函数，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、是二次函数，正确．故选：C．【点评】本题主要考查函数的自变量与函数值是一一对应的，即给自变量一个值，有唯一的一个值与它对应．3．（2010•綦江县）一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．【解答】解：∵解析式y=﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，∴图象过二、三、四象限．故选A．【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y 随x的增大而减小．4．（2015•甘南州）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．【解答】解：把y=8代入函数，先代入上边的方程得x=，∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=﹣；再代入下边的方程x=4，∵x＞2，故x=4，综上，x的值为4或﹣．故选：D．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．5．（2001•常州）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当mn ＞0，m ，n 同号，同正时y=mx+n 过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn ＜0时，m ，n 异号，则y=mx+n 过1，3，4象限或2，4，1象限．故选A ．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．6．（2013•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜0【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m 、n 的正负．【解答】解：A 、m ＞0，n ＞0，A 、B 两点在同一象限，故A 错误；B 、m ＞0，n ＜0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故B 错误；C 、m ＜0，n ＞0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故C 错误；D 、m ＜0，n ＜0，A 、B 两点在同一个正比例函数的不同象限，故D 正确．故选：D ．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．7．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解答】解：∵k=﹣＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵﹣4＜2，∴y 1＞y 2．故选：A ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．8．（2013•娄底）一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．故选：C．【点评】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．9．（2008•菏泽）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA 运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5．∴△ABC的面积为=×4×5=10．故选A．【点评】解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．10．（2009•莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．11．（2011•张家界）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．12．（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．13．（2014•德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时【分析】结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y 轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米；平均速度=总路程÷总时间．【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15=15（分钟），故B选项正确；C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，早餐店和家三者在同一直线上，故C选项错误；D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65=30（分钟），距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故D选项正确．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．14．（2014•黔西南州）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③【分析】易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．【解答】解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；b=5×100﹣4×（100+2）=92（米）；5a﹣4×（a+2）=0，解得a=8，c=100+92÷4=123（秒），∴正确的有①②③．故选：A．【点评】考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．二．填空题（共13小题）15．（2013•内江）函数y=中自变量x的取值范围是x≥﹣且x≠1 ．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故答案为：x≥﹣且x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为﹣．【分析】将点（3，5）代入直线解析式，可得出b﹣5的值，继而代入可得出答案．【解答】解：∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，∴b﹣5=﹣3a，则==．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式．17．（2014•梅州）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第一象限．【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．【解答】解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．18．（2013•潍坊）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是﹣2＜b＜3 ．【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．【解答】解：由题意，得，解此不等式组，得﹣2＜b＜3．故答案为﹣2＜b＜3．【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．19．（2014•益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t （分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是80 米/分钟．【分析】他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．【解答】解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），故答案为：80．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是7≤a≤9 ．【分析】根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）=0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．【解答】解：∵直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），∴2≤x≤3，令y=0，则2x+（3﹣a）=0，解得x=，则2≤≤3，解得7≤a≤9．故答案是：7≤a≤9．。

一次函数精选20题(附问题详解)

分邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A 村到县城共用多长时间？26．（本小题满分8分）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：（1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）小24.（本题满分10分）工业园区某消毒液工厂，今年四月份以前，每天的产量与销售量均为500箱.进入四月份后，每天的产量保持不变，市场需求量不断增加.如图是四月前后一段时期库存量y(箱)与生产时间t(月份)之间的函数图象.（1）四月份的平均日销售量为多少箱？（2）该厂什么时候开始出现供不应求的现象，此时日销售量为多少箱？（3）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过135万元的情况下，购买5台新设备，使扩大生产规模后的日产量不低于四月份的平均日销售量.现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：哪几种购买设备的方案？若为了使日产量最大，应选择哪种方案？24．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线所示，小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段ＡＢ所示．（１）小李到达甲地后，再经过＿＿＿小时小张到达乙地；小张骑自行车的速度是＿＿＿千米／小时.（２）小张出发几小时与小李相距15千米？（３）若小李想在小张休息期间与他相遇，则他出发的时间x应在什么范围？（直接写出答案）25．(本小题满分8分)因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援下图是两水库的蓄水量y （万米3）与时间x （天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？（3）求直线AD 的解析式．23.（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？20．（本题满分9分）某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图11中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）22．（本题满分10分）甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两人的速度各是多少？（4分）（2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个）．（3分）（3）在什么时间段内乙比甲离A 地更近？（3分）图1325、（2011•黑河）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y （千元）与证书数量x （千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．（1）请你直接写出甲厂的制版费及y 甲与x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价．（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？23．（2011福建龙岩，23， 12分) 周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法

一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一次函数是初中数学中的一个重要概念，也是学生们在学习数学过程中比较容易犯错的一个知识点。

对于一次函数的易错题和压轴题，我们需要系统地进行归纳和总结，并提出解题方法，以帮助学生能够更好地掌握这一知识点。

一、基本概念回顾在深入讨论一次函数的易错题和压轴题之前，我们首先需要对一次函数的基本概念进行回顾。

一次函数是指数学中的一种线性函数，其表达式为y=kx+b，其中k和b是常数，且k不等于0。

在一次函数中，自变量x的最高次数为1，因此该函数的图像是一条直线。

二、易错题归纳1. 混淆斜率和截距的概念：有时候学生容易将斜率和截距的概念搞混，导致在解题过程中出现错误。

2. 计算斜率时忽略符号：在计算斜率的过程中，学生们有时会忽略负号，导致最终答案错误。

3. 表达式化简不熟练：一次函数的题目中经常涉及表达式的化简，学生们在这一环节容易出现错误。

4. 不懂得应用一次函数的实际意义：能否准确地将一次函数应用于实际问题，也是学生容易出错的地方。

三、压轴题题型归纳1. 给定直线上两点，求斜率和截距。

2. 要求根据实际问题建立一次函数，并回答相应问题。

3. 给定一次函数的图像，要求根据图像提取信息并回答相应问题。

4. 要求根据一次函数的表达式，分析其斜率和截距的意义。

四、解题方法1. 深入理解斜率和截距的意义：斜率代表着函数图像的倾斜程度，截距则代表了函数图像与y轴的交点。

深入理解斜率和截距的意义，能够帮助学生更好地理解一次函数的图像特征。

2. 多做实际问题练习：通过大量的实际问题练习，能够帮助学生更好地理解一次函数在实际生活中的应用，从而提高解题能力。

3. 注意符号和计算过程：在解题过程中，学生需要特别注意符号的运用，以及化简表达式的计算过程，避免因为粗心而导致错误。

五、个人观点对于一次函数的易错题和压轴题，我认为学生需要在掌握基本概念的基础上，注重理解和应用。

只有深入理解一次函数的特点和应用，才能够更好地解决易错题和应对压轴题。

一次函数题型总结(含答案)

一次函数题型总结(含答案)一次函数题型总结(含答案)求一次函数解析式常见题型解析一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。

二.平移型两条直线l1：yk1xb1；l2：yk2xb2。

当k1k2，b1b2时，l1∥l2，解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。

例1.把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

第一种情况：直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。

（已知是一次函数或已知解析式形式ykxb或已知函数图象是直线都是已知了一次函数）一、定义型一次函数的定义：形如ykxb，k、b为常数，且k≠0。

例1.已知函数ym3xm283是一次函数，求其解析式。

解析：由一次函数定义知m3，故一次函数的解析式为y3x3注意：利用定义求一次函数ykxb解析式时，要保证k≠0。

如本例中应保证m30。

例2.已知y-1与x＋1成正比例,且当x=1时,y=5.求y与x的函数关系式;解析：∵y-1与x＋1成正比例，∴可假设y-1=k（x＋1）又当x=1时,y=5，代入求出k=2，所以y-1=2（x＋1），变形为y=2x＋3注意：“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知y-1与x＋1成正比例就可以假设y-1=k（x＋1）。

解析：直线y2x1向下平移得到的直线与直线y2x1平行∴可设把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为y2xb直线y2x1与y轴交点为（0，1）向下平移2个单位得到的点为（0，-1）∴可代入y2xb求出b=-1∴所求解析式为y2x1例2.已知直线ykxb与直线y2x平行，且与x轴交点横坐标为1，则直线的解析式为___________。

解析：直线ykxb与直线y2x平行，∴k2。

又直线ykxb与x轴交点横坐标为1，即过点（1,0）代入y2xb中可求出b2故直线的解析式为y2x2三.两点型从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式ykxb中含两个待定系数k和b，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。

一次函数竞赛题归纳及其解法

一次函数竞赛题归纳及其解法一次函数竞赛题归纳及其解法一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜. 1 一次函数的性质问题一次函数y kx b =+(,k b 是常数,k ≠0)的性质大致如下: (1)它的图象是经过点(,0bk-)和(0,b )的一条直线; (2)它的系数符号决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况),如图1所示.来源学科网Z,X,X,K]例1 已知一次函数,0y kx b kb =+<,则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有个,即第象限.例2 已知abc ≠0,并且a b b c c ap c a b+++===,那么y px p =+一定经过( )A.第一、二象限B.第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限2 一次函数图象上的特殊点问题(k<0,b<0)(k<0.b>0)(k>0,b<0)(k>o,b>0)OxyOxy Oy y xO一次函数图象上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、定点(恒过某一点)、整点以及两个一次函数图象的交点等.例3 函数3|2|y x =--的图象如图2所示,则点A 与B 的坐标分别是A ,B例 4 如图3在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么,b =3 一次函数的图象与面积问题一次函数的图象与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数,k b 表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示,使面积问题与坐标建立联系.例5 设直线(1)2nx n y ++=(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n =1,2,3,…,2000).则S 1+S 2+S 3+…+S 2000的值为 ( )A.19992000B.1C.20002001D.20012002例6 如图4,直线313y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点,A B ,以线段AB 为直yxOB (15,6)yxAC OB y角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=90○.如果在第二象限内有一点P(a,12),且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求a的值.4 一次函数的应用问题一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系,构建一次函数模型,再利用一次函数的性质求出问题的解.例7 某家电生产业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工作时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表1 表一家电名称空调器彩电冰箱工时121314产值(千元) 4 3 2[来源:学科网ZX XK]问每周应生产空调器,彩电,冰箱各多少台才能使产值最高?最高产值多少(以千元为单位)?与一次函数相关的内容是十分丰富的,如大家非常熟悉的用待定系数法求解析式等,在这里就不一一赘述.【练习题】。

一次函数竞赛、赏析、图解、例题剖析、竞赛真题

【本讲教育信息】一. 教学内容：一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组的图像解法[学习目标]1. 理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质，会画一次函数的图像.2. 会应用一次函数的性质解决实际问题，能够用图像法解二元一次方程组.3. 通过学习，进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.二. 重点、难点：能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像，用图像法解二元一次方程组，理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点；难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题.三. 知识要点：1. 一次函数与正比例函数的图像一般地，一次函数的图像是过（），（0，b）的一条直线；特殊的，正比例函数的图像是过（0，0），（1，k）的一条直线.直线是由直线向上或向下平移单位得到的.或者说直线是由直线向右或向左平移单位得到的.2. 一次函数的性质（1）增减性：如果，那么y的值随x值的增大而增大；如果，那么y的值随x值的增大而减小（2）所通过的象限如下表k，b的符k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<0号图像所通过一，二，三一，三，四一，二，四二，三，四的象限3. 一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系：一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数图像上.4. 数形结合及数学建模思想方法的体会与应用也是本章的一个重要知识点.【典型例题】例1. 如图所示，两条直线分别表示函数和，请根据图像，回答下列问题：（1）直线AB表示的图像，直线OB表示的图像.（2）函数随x的增大而，函数随x的减小而 .分析（1）观察图像可知，直线AB与直线OB的区别是直线OB经过原点，而正比例函数的图像是经过原点的一条直线，所以直线OB表示，直线AB表示.（2）从左向右看两个图像的变化趋势可知，函数随x的增大而增大；函数随x的减小而增大解（1）；（2）增大；增大方法指导经过原点的直线是正比例函数的图像，不经过原点的直线是一般是一次函数的图像.例2.直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致为（）分析解决此题有效的方法是排除法.如我们以B为例，可以看出正比例函数kb>0，即k，b为同号；另外从一次函数y＝kx+b的图像可以看出k<0，b>0，即k，b异号，所以出现矛盾情况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握.解 A例3一次函数的图像过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式.分析要求一次函数的函数关系式，必须知道函数图像经过两点的坐标，由条件知一个点的坐标，必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为9”可求得另一个点的坐标.最后用待定系数法去求关系式.解如图，设一次函数的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，b），则OA＝3，OB＝.又，故B的坐标为（0，6）或（0，－6）.设一次函数的函数关系式为，则得所以一次函数的解析式为y＝－2x+6或y＝2x－6评析解决面积问题结合图形考虑，不但对问题容易把握，而且可以使问题解决的更全面.例4如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）变化的图像（全程）.根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；（2）求这次比赛的全程是多少千米；（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析认真读图，通过图像上的一些特殊点，如图像与坐标轴的交点，图像的起、终点，图像上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口，如本题以A，B两点为突破口.解（1）当把（15，5）和（33，7）代入得当y＝6时，有∴比赛开始24min两人第一次相遇.（2）设∴∴比赛的全程为12km.（3）当解得解方程组∴比赛开始38min两人第二次相遇.评析本题体现了从形到数的转化，是数形结合的具体运用，也是待定系数法的具体应用，此方法与方程、方程组的解法密不可分.例5 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等分析（1）纵轴表示蜡烛的高度.（2）因为图像都是线段，所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用待定系数法分别求解.（3）求出两条线段的交点坐标，结合图像的位置求解.解（1）30cm， 25cm； 2h，（2）设甲蜡烛燃烧时y与x函数关系式为观察可知，它的图像经过点（2，0），（0，30）所以解得所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为设乙蜡烛燃烧时y与x函数关系式为观察可知，它的图像经过点（，0），（0，25）所以解得∴乙蜡烛燃烧时函数关系式为：（3）当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时，则所以x＝1时，甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等.观察图像可知，当甲蜡烛比乙蜡烛低.方法指导第（3）小问要抓住交点的意义，并结合图像求解.例6 学校有一批复印任务，原来有甲复印社承接，按每100页40元计费.现在乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图根据图像回答下列问题：（1）乙复印社的每月承包费是多少（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么学校应选择哪个复印社比较合算分析由图像可知，乙的图像与y轴的交点坐标为（0，200），说明乙每月的承包费为200元；而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置；对于选择哪家复印社比较合算，那就要看当x＝1200时，哪条直线的位置“较低”了.解（1）乙复印社的每月承包费为200元；（2）从图像上观察可知，当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；（3）如果每月复印页数在1200页左右，也就是当x＝1200时，其在乙图像上的点低于甲图像上的点，故说明学校应选择乙复印社比较合算.评析根据条件，本题还可以依据图像写出收费y（元）与复印页数x（页）之间的函数关系式，甲为y＝，乙为y＝+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第（2），（3）问了.【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是（写出一个即可）2. 一次函数y＝kx+b满足kb＞0且y随x的增大而减小，则此函数图象不经过（）A、第1象限B、第2象限C、第3象限D、第4象限3. 两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的（）4. 在函数y＝－2x+3中，当自变量x满足时，图象在第一象限.5. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）且不经过第四象限，则满足以上条件的一个一次函数的解析式为6. 某污水处理厂的一个净化池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个，每个进水口进水速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水也不出水.其中正确的是（）A、（1）B、（1）（2）C、（1）（3）D、（1）（2）（3）7.如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数的解析式为（）A. 2x－y+3＝0B. x－y－3＝0C. 2y－x+3＝0D. x+y－3＝08. 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行驶的路程与经过的时间的函数关系，请根据图象填空：出发早，早了小时，先到达，先到小时，电动自行车的速度为 km/h，汽车的速度为 km/h.9. 已知正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝ k2x－9的图象相交于点P（3，－6）.（1）求k1、k2的值；（2）如果一次函数y＝k1x－9的图象与x轴交于点A，求A的坐标.10. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次印刷的印数不少于印数x（册）500080001000015000……成本y（元）28500360004100053500……（1）经过对上表数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入48000元，那么能印读物多少册11. 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1、y2的解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案12. 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集.（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式；（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值.【试题答案】1. y＝2x2. A3. B4.5. y＝x+16. C7. D8. 电动车， 2 ，汽车， 2 ， 18 km/h，60 km/h.9. （1）k1＝－2，k2＝1；（2）（9，0）10. （1）（2）1280011. （1）（2）第一种情况是按照推销的件数提成；第二种情况是先付给推销员300元，然后再按推销的件数提成.（3）当推销产品的件数等于30件时，两种方案一样，然后再分大于30件和小于30件来考虑（1）y ＝5x+105 （2）略一次函数最优化问题的解法一次函数解法全析取值范围1、方法要领求自变量的取值范围，主要考虑三点：（1）分母不为0，即x1中x ≠0；（2）二次根号内的数大于或等于0，即x 中，x ≥0；（3）实际问题中的自变量，要使其有实际意义.2、实战分析例1、(2005年，荆门)如果代数式mnm 1+-有意义，那么平面直角坐标系中的点P （m ，n ）的位置在（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：要考虑两点：第一，分母不为0，即mn ≠0；第二，二次根号内的数大于或等于0，故要⎩⎨⎧≥≥-00mn m .所以m<0,n<0.故点P （m,n ）在第三象限.例2、求xx y --=22中自变量x 的取值范围.解：由分子中的x -2≥0，及分母2-x ≠0.综合可得x<-2或x>2.3、融会贯通（1）(2005年，兰州)函数ｙ＝42113-+-x x 中自变量ｘ的取值范围是（） A ．ｘ≥１且ｘ≠２ B ．ｘ≠２ C ．ｘ＞１且ｘ≠２ D ．全体实数（2）求132-+=x x y 中自变量x 的取值范围.函数概念1、方法要领若两个变量x ，y 的关系可以表示成y =kx +b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y =kx +b 为一次函数 (x 为自变量，y 为因变量)．特别地，当b =0时，一次函数y =kx （k ≠0）也叫正比例函数．2、实战分析例3、已知关于x 的函数y =(m －2)x 552+-m m +m －3，问：当m 为何值时，它是一次函数解：根据一次函数的定义，有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m 解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或故m =1或m =4例4、如果关于x 的函数y =mx 32-m是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(x ，y )，总有xy ＜0，求m 的值．分析：根据正比例函数y =kx (k ≠0)中对k 的要求及对x 的指数的要求，可求得m 的值．解：根据题意，y =mx 32-m是正比例函数，故有m 2－3=1，且m ≠0，得2±=m .但当m =2时，y=2x ，由xy<0知x ≠0, 则xy=2>>0，与题设矛盾. ∴m =－2．3、融会贯通（3）若函数y =（3m -2）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为_________.函数表达式1、方法要领确定一次函数的表达式，一般是先设出一次函数的一般形式，再把符合函数的点的坐标代入，解方程（组）求得k 和b 的值.2、实战分析例5、若一次函数y =kx +b （k 、b 为常数）的图象经过点(－3，－2)和(1，6)，求k ，b 及一次函数的表达式．分析：题目中已经设好了关系式，直接代入求值就行了. 解：根据题意，得②①⎩⎨⎧=+-=+-623b k b k 解得：⎩⎨⎧==42b k 从而，所求一次函数的表达式为y =2x +4.例6、已知一次函数的图象过点A (2，－1)和点B ，其中点B 是直线y =－21x +3与y 轴的交点，求这个一次函数的表达式．解：在函数y =－21x +3中当x =0时，y =3即直线y =－21x +3与y 轴的交点B 坐标为(0，3). 设过A 、B 两点的直线表达式为y =kx +b ．根据题意，得⎩⎨⎧=-=+312b b k 解得：⎩⎨⎧=-=32b k故所求一次函数的表达式为y =－2x +33、融会贯通（4）在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数）的图象经过三点A (2，0)，B (0，2)，C (m ，3)，求这个函数的表达式，并求m 的值．图象解题1、方法要领当函数图象反映的是实际问题时，图象与图象以及图象与坐标轴的交点都是具有特殊意义的，图象的形状反映了事物的状态或变化过程.要会根据实际问题看图、用图.2、实战分析例7、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备与一合资出租车公司或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设所租汽车每月行驶x 千米，应付给合资出租车公司的月租费y 2元，应付给国营出租车公司的月租费是y 1元，y 1、y 2与x 之间的函数关系图象分别如图1所示，观察图象回答下列问题．(1)每月行驶的路程在什么范围内时租国营公司的车合算 (2)每月行驶的路程等于多少时租两家的车的费用相同(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km ，那么这个单位租哪一家的车合算图1分析：结合实际意义，图象在下方的费用少，在上方的费用多，交点表示费用相等.解：观察图象可知：(1)每月行驶的路程小于1500km 时，租国营公司的车合算． (2)每月行驶的路程等于1500km 时，租两家车的费用相同． (3)如果每月行驶的路程为2300km 时，那么租合资公司的车合算．例8、图2中的折线ABC 为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的函数关系的图象，当x ≥3时，该函数的解析式为_________.图2解：由图象知，当x ≥3时，图象过B （3，）和C （5，）两点. 设直线BC 的解析式为y =kx +b ．则⎩⎨⎧=+=+4.454.23b k b k 解得：⎩⎨⎧-==6.01b k ∴故该函数的解析式为y =（x ≥3）3、融会贯通（5）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(h)的变化情况如图3所示．①服药后_____h时，血液中含药量最高，达每毫升_____微克，接着逐步衰减；②服药后5h时，血液中含药量为每毫升_____微克；③当x≤2时，y与x之间的函数关系式是_____；④当x≥2时，y与x之间的函数关系式是_____．⑤如果每毫升血液中含药量不小于3微克时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是服药后的_________．图3（6）一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图4中，若x代表时间(h)，y代表路程(km)，那么从图象上可以看出，某人出发时(x=0)，离某地2km，出发1h后，由x=1，得y=5，即某人离某地5km，他走了3km．甲、乙两人的运动图象如图5所示，请根据图象回答下列问题．图4 图5①如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式分别是_______，_________；②甲的运动速度是_________km/h ．③两人同时同向出发，相遇时，甲比乙多走_________km ．图象应用1、方法要领一次函数关系式中k 和b 的取值与函数图象位置的关系如下图所示：k>0,b=0 k<0,b=0 k>0,b>0k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b>0利用图象的性质可轻松解决很多问题.另外，两个一次函数的图象平行时，它们的自变量系数k 是相等的.2、实战分析例9、已知关于x 的函数y=（m －2）x+n 的图象经过第一、二、四象限，求m 、n 的取值范围．解：由函数y=（m －2）x+n 的图象经过第一、二、四象限，可知 m －2<0，n>0， ∴m<2，n>0．例10、已知关于x 的一次函数182)3(2+--=m x m y ．（1）m 为何值时，函数的图象经过原点（2）m 为何值时，函数的图象经过点（0，－2）（3）m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行（4）m 为何值时，y 随x 的增大而减小解：（1）由题意，m 需满足⎩⎨⎧≠±=⎩⎨⎧≠-=+-330301822m m m m ，，故m=－3时，函数的图象经过原点；（2）由题意得：m 需满足，21822-=+-m ，故10±=m 时，函数的图象经过点（0，－2）；（3）由题意，m 需满足⎩⎨⎧=±≠⎩⎨⎧-=-≠+-431301822m m m m ，，故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x ；（4）当3－m<0时，即m>3时，y 随x 的增大而减小．3、融会贯通（7）已知某一次函数的图象与正比例函数x y 32-=平行，且通过点M(0，4)．①若点(－8，m)和(n ，5)在一次函数图象上，求m 、n 的值； ②x 在什么范围内取值时，这个一次函数的值是正数图象面积1、方法要领一次函数的图象与两坐标轴相交（或两相交直线与坐标轴之间）能组成三角形，如何求其面积呢解这类题目一般通过解析式求出三角形顶点的坐标，找出三角形的底和高，直接求其面积.不易找出底和高的，可把三角形进行分割，再分别求其面积.解题时一定要准确画出图形，注意数形结合思想的运用.2、实战分析例11、已知直线111b x k y +=经过原点和点(－2，－4)，直线222b x k y +=经过点(1，5)和点(8，－2)．(1)求这两条直线的解析式，并作出其图象．(2)若直线111b x k y +=与222b x k y +=交于点M ，直线222b x k y +=与x 轴交于点N ，试求△MON 的面积．分析：本题可利用待定系数法求解析式．然后把两条直线的解析式均看作二元一次方程，二元一次方程组的解就是它们交点的坐标．解：(1)对直线111b x k y +=，由题意可得：⎩⎨⎧-=+-=420111b k b解得21=k ， ∴x y 21=．对直线222b x k y +=，由题意可得：⎩⎨⎧-=+=+.28,52222b k b k解得：12-=k ，62=b ．∴62+-=x y ．图6 它们的图象如图6所示．其交点为M （2，4）.(2)由于直线222b x k y +=与x 轴交于点N ，令02=y ，得x=6． ∴点N 的坐标为(6，0)，于是△MON 中，ON=6．又ON 边上的高为点M 的纵坐标4．∴124621=⨯⨯=∆MON S ．例12、直线y=kx+b 过点A(－1，5)且平行于直线y=－x ．若点B(m ，-5)在这条直线上，O 为坐标原点，求m 的值及△AOB 的面积．分析：直线解析式易求.求三角形面积时，因三角形的边不在坐标轴上，可用坐标轴把三角形分成几个边在坐标轴上的小三角形来处理．解：易得直线解析式为y=－x+4． ∵B(m ，－5)在直线上， ∴－5=－m+4，m=9．如图7，设直线与y 轴的交点为C ，则C 的坐标为(0，4)．由图知∴BOC AOC AOB S S S ∆∆∆+=图7.2094211421||21||21=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=B A x OC x OC （注: A x 为A 的横坐标，B x 为B 的横坐标）3、融会贯通（8）如图8，直线y= -x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b 经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分，若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值.图8中考函数1、方法要领中考中的一次函数问题，一般和实际问题结合较多.解题中一定要读懂题目x yA BC O12y=-x+2y=kx+b的意思，结合一次函数的图象和性质来解题.2、实战分析例13、如图9，直线l 1、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（-1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，-2），结合图象解答下列问题：（1）求出直线l 2表示的一次函数的表达式；（2）当x 为何值时，l 1、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0解：（1）设l 2的解析式为y=kx+b,由图象可知，l 2过点（2，3）和点（0，-2），则有232k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：b= -2，k=52 图9 所以l 2的解析式为y=52x-2 （2）从图象可知，当x>-1时，l 1表示的一次函数的函数值大于0 .对于l 2，当y=0时，x=45，所以 l 2与x 轴的交点为（45，0）.再结合图象可知，当x>45时，l 2表示的一次函数的函数值大于0 .综合可知，当x>45时，l 1、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0.例14、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧过程中，其高度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的关系如图10所示(蜡烛点燃到燃尽过程中不熄灭)，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是 .（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式.（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低v1.0 可编辑可修改图10解：（1）30cm 和25cm ；2h 和.（2）设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b .由图10可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），则有⎩⎨⎧==+3002b b k ，解得⎩⎨⎧=-=3015b k 所以y=-15x+30（0≤x ≤2）.同理可得乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为 y=-10x+25（0≤x ≤）.（3）由⎩⎨⎧+-=+-=25103015x y x y ，解得两图象交点为（1，15），所以当燃烧1h 的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等.观察图象可知，当0≤x ＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x ＜时，甲蜡烛比乙蜡烛低.3、融会贯通（9）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗如图11是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x (℃)，华氏温度为y(°F)，则y 是x 的一次函数.①仔细观察图中数据，试求出y 与x 之间的函数表达式； ②当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少PDA FCE B图11创新题型1、方法要领创新题型主要包括开放型问题、探索型问题、应用型问题.这类题型解法比较灵活，技巧性较强，难以找到解题的突破口.解题关键是要结合一次函数性质，大胆猜测，敢于动手.2、实战分析例15、设直线nx+(n+1)y=2(n 为非零自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n (n=1,2,…2005)，则S 1+ S 2+ ……S 2005的值是多少分析：通过直线解析式求出直线与两坐标轴交点的坐标，再用n 表示出S n ，这时你就会发现表示S n 的代数式是一个非常熟悉的式子，求和将会很简单.解：当x=0时，12+=n y ，∴直线与y 轴交点B （0，12+n ）当y=0时，n x 2=，∴直线与x 轴交点A （n2，0）故OA=n 2，OB=12+n ∴)1(112221+=+⋅⋅==∆n n n n S S OAB n ∴S 1+ S 2+ ……S 2005=)12005(20051)12(21)11(11+⨯+++⨯++⨯=(1-21)+(21-31)+……+(2006120051-) =1-20061=200620053、融会贯通（10）如图12，在直角梯形ABCD 中，AB=22，CD=10，AD=16.①在斜腰BC 上任取一点P ，过P 点作底边的垂线，与上下底分别交于E 、F.设PE 长为x ，PF 长为y ，求y 与x 的函数表达式；②如果S △PCD =S △PAB ，P 点应取在什么地方图12——运费与利润一、一次函数的最值一次函数y=kx+b 在n ≤x ≤m 时可取得最值。

一次函数题型(含解析)

一次函数典型例题精讲分析（解析归纳）类型一：正比例函数与一次函数定义1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，∴ ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数．举一反三：【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．解析：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-3＝2k，∴ k＝2．∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（ 2，-1），∴ -l=2×2+b．∴ b=-5，∴所求一次函数的表达式为 y=2x-5.总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

举一反三：【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．由题意可知，当 x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.把它们代入y=kx+b中得∴∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6．【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．解析：∵直线 y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，∴两直线上的点关于 y轴对称．又∵直线 y＝2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（-，0），B（0，1）,∴A（-，0），B（0，1）关于y轴的对称点为A′（，0），B′（0，1）．∴直线 y=kx+b必经过点A′（，0），B′（0，1）．把A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得∴∴k＝-2，b＝1．所以（1）点M（0，1）（2）k=-2,b=1【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．由题意可知，∴∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．∴当 x=4时，y=4-2=2．∴点 C（4，2）在直线y=x-2上．∴三点 A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了___________ km；(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了120×2=240(千米)，整个过程用时4.5小时，平均速度为240÷4.5= (千米/时)，行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶.解析：(1)240； (2)0.5； (3) ； (4)从目的地返回出发点.总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s 与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

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