第3章 32 323 导数的四则运算法则

3.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：1.理解函数和、差、积、商的求导法则．(重点).2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
导数的运算法则
(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的．
(2)法则：
①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′.
②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
特别地：[Cf (x )]′＝Cf ′(x )．
③商的求导法则：
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )(g (x )≠0)， 特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )
(g (x )≠0)． 思考：商的导数⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？
[提示] 先对f (x )求导，即f ′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( )
(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x )
.( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数．( )
[提示] (1)√ (2)√
(3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即
f′(x)，g′(x)存在．
2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()
A．－2e x cos x B．－2e x sin x
C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x) D[y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．]
3．已知函数f(x)＝ln x
x，则f′(1)＝________.
【导学号：73122232】
1[∵f′(x)＝1
x×x－ln x
x2＝
1－ln x
x2，∴f′(1)＝1.]
[合作探究·攻重难]
(1)y＝2x2＋1
x－
3
x3；
(2)y＝x＋3
x2＋3
；
(3)y＝e x cos x＋sin x；
(4)y＝x3＋lg x.
[思路探究]观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．
[解](1)∵y＝2x2＋x－1－3·x－3，
∴y′＝4x－x－2－3·(－3)x－4＝4x－1
x2＋
9
x4.
(2)y′＝1·(x2＋3)－2x(x＋3)
(x2＋3)2
＝
－x2－6x＋3
(x2＋3)2
.
(3)y′＝(e x cos x＋sin x)′＝(e x cos x)′＋(sin x)′
＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＋cos x
＝e x cos x －e x sin x ＋cos x .
(4)y ′＝3x 2＋1x ln 10.
求下列函数的导数：
(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2. (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－32x －6＋2. (3)y ＝cos x ln x . (4)y ＝x e x .
【导学号：73122233】
[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′ ＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x
＝－2x 3＋12cos x .
(2)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′
＝3x 2－3x －6.
(3)y ′＝(cos x ln x )′
＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′
＝－sin x ln x ＋cos x x .
(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x
)′(e x )2
＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x .
[1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？
[提示] [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．
2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？
[提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．
已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝
f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．
[思路探究] 先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程．
[解] 因为当a ＝－1时， f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．
所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，
因为f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，
即x －y ＋ln 2＝0.
母题探究：1.(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0”，求a 的值．
[解] 因为f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2＋x ＋a －1x 2
，又曲线在点(2，，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0，所以f ′(2)＝1，即－22a ＋2＋a －122
＝1，即a ＝－1. 2．(改变问法)本典例的条件不变，求使f ′(x )>0成立的x 的取值范围．
[解] 因为当a ＝－1时，
f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．
所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，
因为f ′(x )>0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －2＞0，
x ＞0.解得x ∈(1，＋∞)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列结论不正确的是( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3
C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1
2x
＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．]
2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2k x ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )
【导学号：73122234】
A.e 2
B.e 3 C ．－e 2 D ．－e 3
A [∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，
∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e 2，故选A.]
3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22
B [∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )
2 ＝1
(sin x ＋cos x )2，
∴y ′|x ＝π4
＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 【导学号：73122235】
12
[∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.
又∵f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，
∴a ＝12.]
5．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))
处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．
[解] 由题意，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，
由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得
⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(0)＝0，f (0)＝1， 即⎩⎨⎧ 02－a ×0＋b ＝0，
13×03－a 2
×02＋b ×0＋c ＝1， 解得b ＝0，c ＝1.。