高三数学数列专题训练(含解析)

数列

20．（本小题满分12分）

已知等差数列

{}

n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列

{}

n b 满足

n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。

（Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<

20．（本题满分12分）

数列11117

,,{}242

n n n n b b b T b +=

+=且为的前n 项和。 （1）求证：数列1

{}2

n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；

（2）如果{}n b 对任意*

12,27(122)

n k

n N n n T ∈≥-+-不等式恒成立，求实数k 的取值

范围。

18．（本题满分12分）QQ 先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出, 则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．

（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率；

（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ

QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()1

77

P ξ==

……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()616

67535

P ξ==⨯= ……4分

故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()11

66735

P P P ξξξ≥==+== ……6分

（2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为

64216(4)75335P ξ==⨯⨯= ………8分 ()6418

575335

P ξ==⨯⨯=………10分

所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分）

……………………11分 故416586675

535353535

E ξ⨯⨯⨯⨯=+++=，所求期望值为5． (12)

20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2．

∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1

212

2 中令n=1得：b 1=a 1=3，

又b 1+2b 2+ (2)

b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n

b n+1=（n+1）a n+1一na n ．

∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3，

∴n n n b 23

41+=

+， ∴)2(2

1

41≥-=-n n b n n ， …………5分

经检验，b 1=3也符合上式，所以数列{b n }的通项公式为1

2

1

4--=n n n b …………6分 （Ⅱ）S n =3+7·

21+…+（4n －1）·（2

1）n －1

， 21S n =3·21+7·（21）2+…+（4n 一5）·（21）n-1+（4n 一1）（2

1）n

．………8分

两式相减得：21S n =3+4[21+（21）2+…+（21）n-1]一（4n 一1）（21）n

，

∴21S n =3+4·n n n )21)(14(2

11]

)21(1[211-----，

∴S n =14一12

7

4-+n n ． …………10分

∴∀n∈N*，S<14．

∵数列{b n }的各项为正，∴S n 单调递增， 又计算得131627145<-

=S ，1332

31146>-=S ， 满足13

20．解：（1）对任意*

N n ∈,都有11124n n b b +=

+，所以1111

()222

n n b b +-=-…………1分 则1{}2n b -成等比数列，首项为1132b -=，公比为1

2

…………2分

所以1

113()22

n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分

（2）因为111

3()22

n n b -=⨯+

所以2113(1)

111123(1...)6(1)1222222212

n n n n

n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式

1227(122)

n k n n T ≥-+-，化简得272n

n k -≥对任意*

N n ∈恒成立……7分 设272n n n c -=

，则1112(1)72792222

n n

n n n n n n

c c ++++----=-=…………9分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列