高数红宝书——第五章 多元函数微分学

一般地，存在下列关系：
如 ②全 导（只有多空间曲线才存在全导）
而 归结为一元函数求导，符合下列叠加原理： ， 称为全导。
陈氏第8技 关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。
● 如果（表达式，表达式，表达式），如 ，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。
● 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变 量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量， 对的偏导。例如：
【例30】 求函数 在条件下的极值 解： 先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则
或 当λ=1时不适题意，故λ≠1 代入方程组可得 及 又
故分别为的极小值点的极小值点为： 【例31】 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小 值。
解：① 在D内只有驻点(2，1)
②求在D的边界上的最值 在边界和上 在边界 上，代入
驻点有三类： 第一类： 第二类： 第三类：边界上的最值 综合上述结果，可得
评 注 由于积分是个区域， 故需要讨论被积函数的无条件极值和有条 件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。 【例34】求证：， 其中：。 证明：等效于求函数的最大值与最小值。 先求开区域 上的极值，再求边界上的极值，一起比较得出最大值与最 小值。 【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。
正定
负定
不定时
形象记忆法： 无根取极值，负负得正。 ④条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极 值。 利用拉格朗日乘数法求解 一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极 小值。 ⑤最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小
值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。
二、需要掌握的题型
【例13】 已知为某一函数的全微分，则值为多少？ 解：
【例14】 求 解：
【例15】设 求 解：4个未知数，三个方程，一个独立变量，本题取。
两边对求偏导 故 【例16】已知函数的二阶偏导连续，试证明： 证明：用罗毕达法则 ： 【例17】 在处的切线和法平面方程 解：
为切线方向向量 故切线方程 法平面 【例18】设在点可微，， 求。 解：只要 ，下面的解法就很好理解和掌握。
方向导数定理：如果在点可微，那么函数沿任一射线方向 的方向导数存数的最大值，方向为方向导数在该点取最大值 的方向。
当时，，具有最大值，我们定义 【例12】在点的某邻域内有定义，且，试讨论在点的连续性、可微性和 方向导数。 解：根据脱帽法：
又：
又因为不一定可微，所以，求点的方向导数不能利用公式：
【例1】求和
解： 使用一元化技巧
【例2】
解：无法一元化，利用技巧。
可见，极限不存在。
【例3】求 解：无法一元化，使用夹逼法。
二重极限的脱帽法：其中：。 评 注 求二元函数的二重极限技巧是：先把值强行代入，如能直接得到 值，则说明在点连续；否者，需要先定型后定法再求极限，具体技巧有 3个：一元化、夹逼法和直线探针。
比较后可知 为Max 为Min
【例32】 在平面 与三坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶 面，在坐标面上的投影为长方形的六面体体积最大者（其中）。 解：
直线AB： 令
依题得应为最大体积。
【例33】估计积分的取值范围。 解：（1）讨论无条件极值.
显然唯一的最大值为 ，无最小值，且
（2）讨论条件极值
【例19】设二阶偏导连续，求和。 解：
【例20】设，将作为方程新变量，变换方程
解： （经常使用这个方法把直角坐标的偏导变换到极坐标中，是考研 的典型题型） 【例21】设由参数方程确定，其中是初值问题 的解，求。 解：
【例22】设，试将变换到极坐标中。 解：（请留意这种雅可比矩阵解法技巧）
则有： 将的两边同时对求偏导，即
2）和在区域都连续，则，如果，则和在区域D至少有一个不连 续。 【例5】（混合偏导次序不能交换的例子）
解： 读者可以对求混合偏导，结果是在点是不连续的。
3）本质上是一个求一元函数极值的过程，所以与二重极限无 关。
4）如果只求在某点的偏导，不必先求出该函数在任一点的偏 导，而是先代入或后，再对或求偏导。
解：注意： 【例26】 求过直线且与曲面相切之切平面方程。
解：过直线L的平面束方程为 法向向量为 而曲面 的法向向量由决定
设该曲面与所求平面相切点为，则
代入（3）
故所求切平面方程为 或 【例27】求常数的值，使函数在点处沿轴正向的方向导数有最大值64。 解:
【例28】求曲面方程确定的的极值。 解：
如果设 则 满足函数连续性要求，即在点连续。 而， 不满足函数可微性要求，即在点不可微。所以满足连续不一定 满足可微。显然，满足可微一定满足连续。 【例9】讨论函数在点的可微性。 解：
故在点的不可微。
陈氏第10技 快速判断可微方略：二元函数的整数阶次大于1才可能可
微，否则一定不可微。 例如：
1.6. 偏导的求法 陈氏第11技
● 重要性质： 一切多元初等函数与一元函数一样，在其定义区间内是连续的。 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函 数。 多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内 也是连续的。
1.4. 偏导、全导、全微分
① 偏导： 1） 定义：在内有定义且，
对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用 该定义求左右偏导。
【例6】设，求，并讨论点的可微性与连续性。 解： 于是：当时，
当时， 当时， 当时， 当时， 故： 可见，可微并不能保证偏导连续。
【例7】分析的偏导与可微。 解：
可见在偏导存在；而 上式右边并不是时的高阶无穷小，事实上， ，可见在点不可微。
【例8】分析函数的连续和可微的关系。 解： 连续性要求
可微性要求
，而只能利用定义求之如下：
可见在点任何方向的方向导数都存在，并且：
1.9 二元函数的泰勒公式 设在点的某一邻域内连续且有直到阶连续偏导，为该邻域内的任一
点，则有
● 二元函数的泰勒公式的黑塞矩阵形式： 定义黑塞矩阵H：
上式取得二元拉格朗日中值公式
1.10 . 多元函数的极值
①驻点 ②驻点 中含有极值点，但极值点未必是驻点，如在点取得极小值， 但都不存在。 ③无条件极值存在的充分条件研究： ● 由黑塞矩阵的正定性决定极值的充分条件如下：
解：令曲线上的点到坐标原点的距离为。
而两个驻点到原点的距离都为1，由实际问题一定有最短距离可知， 最短距离为1。
1.5、二元函数的四性关系（极限存在、连续、偏导及可微的 关系）
陈氏第9技 二元函数的四性关系与原创反例。
评 注 偏导、二次极限是一维问题，而二重极限、连续、可微是二维问 题，所以两组问题
之间没有任何关系，除非二维问题中含有一维因子，如可微。 方向导数则是单方向。 ● 为便于比较，再列举一元函数的四性关系
【例11】 ，求 解：方法一： 方法二： 可见法二要简单些，这正是利用全微分形式的不变性的优点。
1.7. 多元函数微分学在几何上的应用
①空间曲线 则 代表切线方向向量 易得切线和平面方程如下： 切线方程： 平面方程：
②空间曲线 ，则为切线方向向量 切线方程： 法平面方程：
③空间曲面 ，则表示切平面法线方向向量，易得切平面和法线方程 切平面方程： 法线方程： 如果曲面为形式，则
第五章 多元函数微分学
2008年考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元 连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复 合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲 面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最 大值、最小值及其简单应用
即为驻点
将 代入原式 取极小值； 取极大值。 【例29】求的极值。 解： 驻点： 二阶偏导： 1．在点，，但由于在直线上，； 在直线上，。 所以，不是极值点。可见，驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻 点，只有偏导存在的函数的极值点才一定是驻点。 2．在点， 3．在点，
故存在极小值，没有极大值。
②二重极限定义法： 则 在点连续，它与一元函数的连续性定义完 全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把值同时前行代 入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。
③ 无穷小定义法： 从上述定义可得等价形式：
。
评 注 由于可微的定义是
而，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函 数的连续与可微性方面十分有用。
【例23】设有连续的偏导数，证明：存在可微函数使得 的充要条件是：。 解：（1）必要性
（注意为形式一元函数） （2）充分性
令
【例24】若一阶连续可导函数满足关系，称为齐次函数， 证明：为次齐次函数的充要条件是：。
证明：（1）必要性
（2）充分性 ，
又由于
评 注 注意在中，偏导符号中的表示对中的第一个位置求导，与中的变 量无关，这一点是绝大部分考生容易出错的地方！ 【例25】，求 。
评 注 以后我们假定曲面法向量的方向是向上的为正，即它的正向与轴 正向的夹角为锐角。则法向量的方向余弦为。
上述形式就是我们以后研究多元函数积分学中去曲面积分的使用 规定，切记！ 评 注 特别注意，只有在可微得情况下，空间曲线才有切平面。
1.8．方向导数与梯度
方向导数定义：
特别注意：为的参数方程，是以射线趋于的，即单向，而偏导是双 向的。
● 复合函数的求偏导切入点：确定独立变量的个数，再根据题意选定自 变量和因变量；利用“剥皮法”画出关系图求之。 ● 隐函数的求偏导一般方法：求一阶偏导采用全微分法，求二阶偏导 则需要直接从一阶偏导的结果求，而不可以采用全微分法，否则反而 繁杂。