量子力学 第三章知识点

对于方势阱（如右图所示） ： V ( x) = 求散射态下，反射系数和透射系数 当 E > 0 时，粒子处于散射态。能量本征方程为：
−V0 , 0 < x < a; 0, x < 0, x > a.
作者：张宏标（任课教师）
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C ∆1 = = A ∆
2
2i β k ( k − β ) sinh β a + 2iβ k cosh β a
2 2
(k
2
− β 2 ) sinh β a + 2i) sinh β a
R =
B = A
2
(k
2
+ β 2 ) sinh 2 β a + 4k 2 β 2
> 2 d 2 − = V0 ψ ( x) Eψ ( x) − 2 2m dx 2 2 > d −= ψ ( x) Eψ ( x) 2m dx 2
取k =
(0 < x < a) ( x < 0, x > a ) ( x < 0, x > a ) (0 < x < a)
其中 v 是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下， 入射几率流密度是 j = A 2 v I I 反射几率流密度是 j = B 2 v R R 透射几率流密度是 j = C 2 v T T
作者：张宏标（任课教师） 1
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作者：张宏标（任课教师）
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G (1) A + B = ik ( A − B) = F (2) β F sinh β a + G cosh β a = Ceika (3) ika ikCe (4) β ( F cosh β a + G sinh β a ) =
将(1)和(2)代入(3)和(4)，消去 G 和 F 得到一个关于以
，
C B 和 为变量的二元一次方程组 A A
ika e eika
B ik C ik + sinh β a − cosh β a = sinh β a + cosh β a A β A β C β β B cosh β a + sinh β a + cosh β a − sinh β a = A ik ik A
=
1 sin 2 ( k2 a ) 1+ 4E E − 1 V0 V0
R=
B = A
2
(k
2
2 − k2 ) sin 2 ( k2 a ) + 4k 2 k22 2
2 2 (k 2 − k2 ) sin 2 ( k2 a )
= 1− T
2 4k 2 k 2 2
透射系数作为 a 的函数在其最大值 1 和最小值
a 2m( E − V0 ) = nπ
n =1, 2,3,3
n 2π 2 2 即入射粒子的能量 E 满足 En = + V0 2ma 2
射共振能级。
( n=
1, 2,3,3) 时，粒子发生透射共振，该能级称为透
三、方势阱的穿透与共振(Tunneling of Square-well potential )
( k 2 − k22 ) + 4k 2 k22
之间振荡，见下图。
作者：张宏标（任课教师）
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当a =
nπ 时，在势垒上没有反射，这种情况称为共振散射。 k2
系数公式，并利用公式： sinh ( ik2 a ) = i sin ( k2 a ) 得：
= T
C = A
2
(k
2
−k
2 2 2
)
= 2 sin ( k2 a ) + 4k k2
2 2
2 4k 2 k 2
1
2
1 k k 1 + − 2 sin 2 ( k2 a ) 4 k2 k
− ikx
2mE= 及γ
2 ψ ′′ + k ψ = 0 2m(V0 + E ) 上式变为 2 ψ 0 ψ ′′ + γ =
1 β a −β a 1 e + e ) ≈ e β a ，则近似结果为： ( 2 2
= T
16k 2 β 2 e −2 β a ≈ = T0 e −2 β a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( k + β ) sinh β a + 4k β ( k + β ) 4k 2 β 2 16 E (V0 − E ) 16k 2 β 2 以及 β = = 2 2 2 2 V 0 + β k ( ) 2m (V0 − E ) 。
ikx
； 。
− ikx
x → −∞ 时ψ= ( x) A eikx + B e − ikx (入射加反射) x → +∞ 时ψ ( x) = C eikx
在ψ = A e
ikx
(只有透射)
时，粒子的几率流密度是：
∗ dψ dψ ∗ 2 k 2 j= −ψ =A v ψ =A 2im dx dx m
结果讨论：
(i)、当 E = V0 时， = β ik = 0 发生全反射现象 R = 1 。 2
sin 2 ( k2 a ) sin 2 ( k2 a ) 3 E 1 1 1 EE (ii)、由 E > V0 知， − 1= − + > ⇒ 1 + < 1+ ≤ V0 V0 V0 2 4 2 2 2 4E E − 1 V0 V0
其中 T0 =
这表明， T 对势垒高度( V0 )、宽度( a )和粒子能量( E )非常敏感。其主要应用：隧道二极管、扫描隧 道显微镜、外电场下金属电子的冷发射等等。 2、当 E > V0 时，令 k2 =
= 2m ( E − V0 ) ，则 β
2m (V0 − E ) = ik2 代入上面得到的反、透射
ikx ikx
和e
− ikx
(k =
2mE 的线性
)
是沿 x 轴正向行波， e
− ikx
是反向行波。
具体地实际情况是：粒子从一边入射，被势场散射而分成了反射和透射两个部分。这给方程提出了一 定的定解条件： 粒子从左方入射： x → +∞ 时，ψ ( x) → C e 粒子从右方入射： x → −∞ 时，ψ ( x) → C e 下面以左方入射为例，边界条件是：
2 ψ ′′ + k ψ = 0 2 ψ 0 ψ ′′ − β =
( x < 0, x > a ) (0 < x < a)
其中 k =
2mE = 及β
ikx
2m(V0 − E ) 。
− ikx
在粒子从左方入射时，在 x < 0 区域，既有入射波 e 又有反射波 e 因此在整个区域波函数为：
ik
β
= β ik 2 cosh β a − + sinh β a ik β β ik eika − sinh β a B ∆2 ik β = = = A ∆ β ik 2 cosh β a − + sinh β a ik β
所以，反射系数和透射系数分别是：
−1
2
(k
2
+ β 2 ) sinh 2 β a + 4k 2 β 2
2
4k 2 β 2
讨论结果的物理意义： (i)、 R + T = 1 ，即是几率守恒。 (ii)、在 E < V0 时，即使粒子的入射能量 E 很小，透射系数 T ≠ 0 。这说明粒子能穿透比它动能更高 的势垒，这是经典力学不能解释的，称为量子隧道效应（或势垒贯穿） ， 是粒子具有波动性的表现。 (iii) 若 β a >> 1 ，有 sinh β a =
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§3、一维散射问题(Problems of 1-D Scatters/unbound states)
一、一维散射问题的提法
本节不同于前几节，是一个非束缚态问题。即在无穷远处有粒子存在，所以波函数不能归一化。这是 一类包括隧道贯穿和势垒散射等问题的概括。例如, 核中α 粒子衰变、金属中电子的光电效应、自由 中子穿过板状磁场等等。为简化计算，假定势垒为矩形，粒子自左向右朝向势垒运动并经受势垒散射 和透射。 一般地，假设 U ( ±∞) = 0 ，且 E > 0 。故在 x → ±∞ 处， ψ ( x ) = e 组合，其中 e
设质量为 m ，能量为 E 的粒子沿 x 轴正方向从左侧射向方势垒：
V , 0 < x < a; , V ( x) = 0 0, x < 0, x > a.
当 0 < E < V0 时，求反射系数 R (reflection coefficient)和透射系 数 T ( tansmission coefficient)。 在经典情况，由于粒子只表现为粒子性。当入射能量 E < V0 时，粒子不能越过势垒只能被反弹回 来。在量子力学情况，由于粒子还具有波动性，是否有可能穿过去呢？ 下面让我们来讨论之。 1、当 0 < E < V0 时，处于束缚态。能量本征方程为：
2
= ⇒T
1 2 > 。因此，粒子透射很容易， 但粒子仍有一定的概率被反射回去。 2 sin ( k2 a ) 3 1+ 4E E − 1 V0 V0
(iii)、若 sin ( k2 a ) = 0 ，则 T = 1 入射波将全部透过势垒，这种现象称为共振透射。此时得到：
k2 a = nπ ⇒
用行列式来求解如下：
sinh β a − cosh β a β ik = ∆ = 2 cosh β a − + sinh β a β ik β eika cosh β a − sinh β a ik ik ik sinh β a + cosh β a sinh β a − cosh β a β β ∆1 = 2 β β cosh β a + sinh β a cosh β a − sinh β a ik ik ik sinh β a + cosh β a eika β ik β = ∆2 = eika − sinh β a β ik β eika cosh β a + sinh β a ik eika
, 在 x > a 区域只有透射波 e ；
ikx
A eikx + B e − ikx ψ ( x) F sinh β x + G cosh β x = ikx C e
( x < 0) (0 < x < a) ( x > a)
考虑 ψ 和 ψ ′ 在 x = 0 和 x = a 处连续，得到下列四个方程：
2
(k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 β a
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T =
4k 2 β 2 C = = (k 2 − β 2 ) 2 sinh 2 β a + 4k 2 β 2 cosh 2 β a A 1 β k 2 2 =+ 1 + sinh β a 4 k β
由此定义： (i)、反射系数 = R
jR = jI
B vR A vI
2 2
2
，表示粒子被势垒反弹回去的概率；
(ii)、透射系数 T =
jT C vT = = 1 − R ， 表示粒子穿透过去势垒的概率。 2 jI A vI
二、方势垒的穿透（隧道效应）(Square Barriers and quantum Tunnelling effect)